七、动量
一、知识网络
二、画龙点睛
概念
1、冲量
(1)定义
力F和力的作用时间t的乘积Ft叫做力的冲量，通常用I表示。
冲量表示力对时间的累积效果，冲量是过程量。
(2)大小：物体在恒力作用下，冲量的大小是力和作用时间的乘积，即
I ＝Ft
计算冲量时，要明确是哪个力在哪一段时间内的冲量。 (3)方向：冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的。 如果力的方向在作用时间内不变，冲量方向就跟力的方向相同。 (4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒（N ·s ）。 (5)说明
①冲量是矢量。恒力冲量的大小等于力和时间的乘积，方向与力的方向一致；冲量的运算符合矢量运算的平行四边形定则。
(怎样求合力的冲量，怎样求变力的冲量)
②冲量是过程量。冲量表示力对时间的累积效果，只要有力并且作用一段时间，那么该力对物体就有冲量作用。计算冲量时必须明确是哪个力在哪段时间内的冲量。
③冲量是绝对的。与物体的运动状态无关，与参考系的选择无关。 ④冲量可以用F ─t 图象描述。
F ─t 图线下方与时间轴之间包围的“面积”值表示对应时间内力的冲量。 例题：①如图所示，一个质量为m 的物块在与水平方向成θ角的恒力F 作用下，经过时间t ，获得的速度为V ，求F 在t 时间内的冲量？
(大小：Ft；方向：与F的方向一致，与水平方向成θ角)
②一质量为mkg的物体，以初速度V0水平抛出，经时间t，求重力在时间t内的冲量？
(大小：mgt；方向：竖直向下)
例题：以初速度V0竖直向上抛出一物体，空气阻力不可忽略。关于物体受到的冲量，以下说法中正确的是
A．物体上升阶段和下落阶段受到重力的冲量方向相反
B．物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力冲量的方向相反
C．物体在下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量
D．物体从抛出到返回抛出点，所受各力冲量的总和方向向下
解析：物体在整个运动中所受重力方向都向下，重力对物体的冲量在上升、下落阶段方向都向下，选项A错。
物体向上运动时，空气阻力方向向下，阻力的冲量方向也向下。物体下落时阻力方向向上，阻力的冲量方向向上。选项B正确。
在有阻力的情况下，物体下落的时间t2比上升时所用时间t1大。物体下落阶段重力的冲量mgt2大于上升阶段重力的冲量mgt1，选项C正确。
在物体上抛的整个运动中，重力方向都向下。物体在上升阶段阻力的方向向下，在下落阶段虽然阻力的方向向上，但它比重力小。在物体从抛出到返回抛出点整个过程中，物体受到合力的冲量方向向下，选项D正确。
综上所述，正确选项是B、C、D。
2、动量
(1)定义：在物理学中，物体的质量m和速度V的乘积mV叫做动量，动量通常用符号P 表示。
(2)大小：物体在某一状态动量的大小等于物体的质量和物体在该时刻瞬时速度的乘积，即
P ＝mV
计算动量时，要明确是哪个物体在哪个状态的动量，速度一定要是该状态的瞬时速度。 (3)方向：动量也是矢量，动量的方向与速度方向相同。
动量的运算服从矢量运算规则，要按照平行四边形定则进行。 (4)单位：在国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒（kg ·m/s ）
1kg ·m/s ＝1N ·s (5)说明
①动量是矢量。动量有大小和方向，动量的大小等于物体的质量和速度的乘积，方向与物体的运动方向相同。动量的运算符合矢量运算的平行四边形定则。在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量变化就可简化为代数运算。
②动量是状态量。动量与物体的运动状态相对应。计算动量时，要明确是哪个物体在哪个状态的动量，速度一定要是该状态的瞬时速度。
③动量与参考系有关。物体的速度与参考系有关，所以物体的动量也与参考系有关。在中学物理中，如无特别说明，一般都以地面为参考系。 3、动量的变化
①动量变化的三种情况：动量大小变化、动量方向改变、动量的大小和方向都改变三种可能。
②定义：在某一过程中，末状态动量与初状态动量的矢量差值，叫该过程的动量变化。 ③计算
a 、如果v 1和v 2方向相同，计算动量的变化就可用算术减法求之。 12mv mv mv -=?
b 、如果v 1和v 2方向相反，计算动量的变化就需用代数减法求之，若以v 2为正值，则
v 1就应为负值。
1212)(mv mv v m mv mv +=--=?
c 、如果v 1与v 2的方向不在同一直线上，应当运用矢量的运算法则： 如图1所示，mV 1为初动量，mV 2为末动量，则动量的变化（矢量式）
)(1212mv mv mv mv mv -+=-=?
即作mV 1的等大、反向矢量-mV 1，然后，将mV 2与-mV 1运用平行四边形定则作其对角线即为动量的变化mv ?，如图2所示。
或者将初动量与末动量的矢量箭头共点放置，
自初动量的箭头指向末动量箭头的有向线段，即为矢量ΔP 。
例题：一个质量是0.1kg 的钢球，以6m/s 的速度水平向右运动，碰到一块坚硬的障碍物后被弹回，沿着同一直线以6 m/s
变化了多少？
解析：取水平向右的方向为正方向，碰撞前钢球的速度V ＝6m/s ，碰撞前钢球的动量为
P ＝mV ＝0.1×6kg ·m/s ＝0.6kg ·m/s 碰撞后钢球的速度为V ′＝－6m/s
，碰撞后钢球
正方向 ΔP
P
P ′
图1
mV
mV
的动量为
P ′＝mV ′＝－0.1×6kg ·m/s ＝－0.6kg ·m/s 碰撞前后钢球动量的变化为
ΔP ＝P ˊ－P ＝－0.6kg ·m/s －0.6 kg ·m/s ＝－1.2 kg ·m/s 且动量变化的方向向左。
[对例题的处理：①为熟悉动量变化的矢量运算，可先假定物体运动速度的方向没有变化，仅大小发生改变，要求学生算出动量的变化。②规定向右为正方向，求动量的变化量。③最后再要求学生用向左为正方向运算，求动量的变化量(
向的选择只是一种解题的处理手段，并不影响解题的结果。] 例题：一个质量是0.2kg 的钢球，以2m/s 的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45°，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45°，速度大小仍为2m/s ，求出钢球动量变化的大小和方向？
解析：碰撞前后钢球不在同一直线上运动，据平行四边形定则，
P ′、P 和ΔP 的矢量关系如右图所示。
ΔP
＝m/s ?kg 20.4=m/s ?kg 4.0+4.0=+2222
/p p 方向竖直向上。
总结：动量是矢量，求其变化量应用平行四边形定则；
在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量变化就可简化为代数运算。 例题：质量m 为3kg 的小球，以2m/s 的速率绕其圆心O 做匀速圆周运动，小球从A 转到B 过程中动量的变化为多少？从A 转到C 的过程中，动量变化又为多少？
解析：小球从A 转到B 过程中，动量变化的大小为26kg ·m/s ，方向
P
为向下偏左45°，小球从A 转到C ，规定向左为正方向，则ΔP ＝12kg ·m/s ，方向水平向左。 例题：质量为m 的小球由高为H 的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？ 解析：力的作用时间都是g
H
g
H t 2sin 1
sin 22α
α=
=
，力的大小依次是mg 、 mg cos α和mg sin α，所以它们的冲量依次是：
gH m I gH
m I gH m I N G 2,tan 2,sin 2===
合α
α
特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。
例题：以初速度v 0平抛出一个质量为m 的物体，抛出后t 秒内物体的动量变化是多少？ 解析：因为合外力就是重力，所以Δp =F t =m g t
有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合外力为恒力时往往用Ft 来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用Δp 来求。
1、动量定理
(1)内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化，这个结论叫做动量定理。 (2)表达式：Ft ＝mV ′－mV ＝P ′－P
规律
(3) 推导
问题：一个质量为m的物体，初速度为V，在合力F的作用下，经过一段时间t，速度变为V′，求：
①物体的初动量P和末动量P′分别为多少？
②物体的加速度a＝?
③据牛顿第二定律F＝ma可推导得到一个什么表达式？
解析：①初动量为P＝mV ，末动量为P′＝mV′
②物体的加速度a＝(V＇－V)/t
③根据牛顿第二定律F＝ma＝(mV＇－mV)/t可得
Ft＝mV′－mV
即Ft＝P′－P
等号左边表示合力的冲量，等号右边是物体动量的变化量。
⑷说明：
①动量定理Ft＝P′－P是矢量式，Ft指的是合外力的冲量，ΔP指的是动量的变化。
动量定理说明合外力的冲量与动量变化的数值相同，方向一致，单位等效，但不能认为合外力的冲量就是动量的增量。对方向变化的力，其冲量的方向与力的方向一般不同，但冲量的方向与动量变化的方向一定相同。
若公式中各量均在一条直线上，可规定某一方向为正，根据已知各量的方向确定它们的正负，从而把矢量运算简化为代数运算。公式中的“－”号是运算符号，与正方向的选取无关。
②动量定理揭示的因果关系。它表明物体所受合外力的冲量是物体动量变化的原因，物体动量的变化是由它受到的外力经过一段时间积累的结果。
③动量定理的分量形式：物体在某一方向上的动量变化只由这一方向上的外力冲量决定。
F x t＝mV x′－mV x
F y t＝mV y′－mV y
④动量定理既适用于恒力，也适用于变力。对于变力的情况，动量定理中的F应理解为变力在作用时间内的平均值。
⑤动量定理的研究对象。在中学阶段，动量定理的研究对象通常是指单个物体，合外力是指物体受到的一切外力的合力。实际上，动量定理对物体系统也是适用的。对物体系统来说，内力不会改变系统的动量，同样是系统合外力的冲量等于系统的动量变化。
⑥牛顿第二定律的动量表示，F＝(P′－P)/t＝ΔP/t。从该式可以得出：合外力等于物体的动量变化率。
(5)动量定理的特性
①矢量性：冲量、动量和动量变化均为矢量，动量定理为矢量关系；
②整体性：F和t，m和V不可分；运用动量定理可对整个过程建立方程，对过程的细节考虑较少，解题较动力学和运动学容易些。
③独立性：某方向的冲量只改变该方向的动量；
④对应性：Ft和ΔP应对应同一过程，F、V应对应同一惯性参考系；
⑤因果性：冲量是动量变化的原因，动量变化是力对时间累积的结果；
⑥变通性：在具体应用时，可用冲量代替匀变速曲线运动的动量变化，也可用动量变化代替变力的冲量。
动量定理应用举例
(1)解释现象
①在ΔP一定的情况下，要减小力F，可以延长力的作用时间；要增大力F，可缩短力的作用时间。
②在F一定的情况下，作用时间t短则ΔP小，作用时间t长则ΔP大；
③在t一定的情况下，作用力F小则ΔP小，作用力F大则ΔP大。
例题：鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？
解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=Δp，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。（再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。）
例题：某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？
解：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力
冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。
(2)定量计算
应用动量定理解题的步骤： ①确定研究对象；
②对研究对象进行正确的受力分析，确定合外力及作用时间； ③找出物体的初末状态并确定相应的动量；
④如果初、末动量在同一直线上，则选定正方向，并给每个力的冲量和初、末动量带上正负号，以表示和正方向同向或反向；如果初、末动量不在同一直线上，则用平行四边形定则求解；
⑤根据动量定理列方程； ⑥解方程，讨论。
例题：一个质量为0.18kg 的垒球，以25 m/s 的水平速度飞向球棒，被球棒打击后，反向水平飞回，速度的大小为45 m/s ，设球棒与垒球的作用时间为0.01 s ，求球棒对垒球的平均作用力有多大？
解析：取垒球飞向球棒时的方向为正方向，垒球的初动量为P ＝mV ＝4.5kg ·m/s ，垒球的末动量为P ＇＝mV ＇＝－8.1kg ·m/s ，由动量定理可得
垒球所受的平均力为
/8.1 4.5
12600.01
P P F N N t ---===-
垒球所受的平均力的大小为1260N ，负号表示力的方向与所选的正方向相反，即力的方向与垒球飞回的方向相同。
⑶计算冲量的大小主要有下述的三种方法：
第一种方法是：根据冲量的概念求解。即将已知的力F 和作用的时间t 代入下式： Ft I =（矢量式 ）
第二种方法是：根据“动量定理”求解。即用已知的1mv 和2mv 求出mv ?代入下式： 12mv mv mv Ft -=?=
第三种方法是：求变力的冲量，不能直接用F ·t 求解，应该由动量定律根据动量的变化间接求解，也可以 F-t 图像下的“面积”的计算方法求解。
例题：一个物体同时受到两个力F 1、F 2的作用，F 1、F 2与时间t 的关系如图所示。若该物体从静止开始运动，则在0 – 10s 的这段时间内，物体动量的最大值为___________。 解析：这是一个受两个线性变化力的问题，物体动量的情况应借助于图象去做， 如图所示，做任一时刻的“面积”，S 1为F 1的冲量、S 2为F 2的冲量；不过S 1为正，S 2为负；这样从静止开始到t 内的冲量为 )(21S S I -+= 而 []2112110)10(1021
t t t t t F S -=?-+=
= 2222
12
1t t t t F S =?== 于是
25)5(10)(2221+--=-=-+=t t t S S I
所以，在5s 时动量最大，最大值为25kg ·m/s
警示！物理中的图象是多功能的，这里“面积”有正负，应该取代数和。
例题：从地面以1v 速度竖直竖直向上抛出一气球，皮球落地时的速度为2v ，若皮球运动中
所受空气的阻力的大小与其速度的成正比，试求皮球在空气中的运动时间。 解析：如何突破这个问题？
阻力的变化引起加速度的变化，不过物体上升的位移与下降的位移等值、反向；作υ—t 图，S 1为上升的位移、S 2为下降的位移大小；即 0)(21=-+S S
对全过程应用动量定理，得
)(12mv mv t f t f mgt --=++下下上上
这里，[]021=-+=+）（下下上上S S K t f t f ，如图所示 所以，g
v v t 2
1+=
警示！应用图象、转化图象，可以突破难点。
例题：一质量为700g 的足球从m h 51=高处自由落下，落地后反跳到m h 2.31=的高处。（(g 取10m/s 2)）
求：（1）球在与地面撞击的极短过程中动量变化如何？
（2）若球与地面的接触时间是0.02s,球对地面的平均作用力有多大？ 解析：(1) 球刚落地时速度大小为 s m gh v /105102211=??==
方向为竖直向下。
反跳时（即离开地面的一瞬间）足球的速度大小为
s m gh v /82.3102222=??==
方向为竖直向上。 所以，动量的变化为
s m kg mv mv p /6.12)107.0(87.0)(12?=?--?=--=? 方向为竖直向上。
（2）取向上为正，根据动量定理，球的动量改变正是球受到的冲量所致，所以 )(12mv mv mgt I --=- )(12mv mv mgt Ft --+=
N t mv mv mg F 637630702
.06
.12712=+=+=++
= 其方向应该和动量增量的方向相同，即方向为竖直向上。
根据作用与反作用的关系，球对地面作用的平均冲力的大小为637N 、方向为竖直向下。 警示！建议不论作用时间长、短，都不要忽略重力。 例题：如图所示，，在光滑的水平面上静止放着两个相互接触的木块A 和B ，质量分别为m 1和m 2，今有一颗子弹水平地穿过两个木块，设子弹穿过A 、B 木块的时间分别为
t 1和t 2，木块对子弹的阻力大小恒为f ，则子弹穿出两木块后，木块A 的速度和木块B 的速度分别为多少?
解析：子弹打入A 时，A 、B 具有共同的速度，子弹离开A 打入B 时，A 、B 的共同的速度也就是A 的最终速度A v ， 对A 、B 这一过程根据动量定理，
0)(211-+=A v m m ft ①
第二阶段，对B 根据动量定理，
B B v m v m ft 222-= ②
由①得 2
11
m m ft v A +=
将①代人②得 2
11
22m m ft m ft v B ++=
警示！虽然物体多，但是一一分析清楚，结合已知条件列出方程，就会解答。
例题： 质量为m 的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t 1到达沙坑表面，又经过时间
t 2停在沙坑里。求：⑴沙对小球的平均阻力F ；⑵小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I 。
解：设刚开始下落的位置为A ，刚好接触沙的位置为B ，在沙中到达的最低点为C 。⑴在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t 1+t 2，而阻力作用时间仅为t 2，以竖直向下为正方向，有：
m g (t 1+t 2)-F t 2=0, 解得：()2
21t t t mg F +=
⑵仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t 1时间内只有重力的冲量，在t 2时间内只有总冲量（已包括重力冲量在内），以竖直向下为正方向，有：
m g t 1-I =0,∴I =m g t 1
这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t 1>> t 2时，F >>mg 。
例题：质量为M 的汽车带着质量为m 的拖车在平直公路上以加速度a 匀加速前进，当速度
为v 0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？
解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为()a m M +，该过程经历时间为v 0/μg ，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：
()()()()000,v Mg
g a m M v v m M v M g v a m M μμμ++='∴+-'=?
+ 这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是()a m M +。
例题：一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。已知盘与桌布的动摩擦因数为1μ，盘与桌面间的动摩擦因数为2μ。现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后末从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？（以g 表示重力加速度）
解析：设圆盘的质量为m ，桌长为l ，，这一阶段圆盘的末速度为1v 解法一：（动量法）
第一阶段，对圆盘（在桌布上运动）根据动量定理，
111mv mgt =μ ①
第二阶段，对圆盘（在桌面上运动，初速度1v ，末速度临界值为0）根据动量定理， 1220mv mgt -=-μ ② 在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为1a
11 这一阶段圆盘的位移为 21112
1
t a x = ④
第二阶段，盘的加速度为2a g a 22μ=
⑤
这一阶段圆盘的位移为
2
2222
1t a x =
⑥
桌布从盘下抽出所经历的时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有
221at x =
⑦ 而 12
1x l x += ⑧
盘没有从桌面上掉下的条件是
122
1
x l x -≤
⑨ 联立解得 g a μμμμ2
2
12+≥
解法二：（以牛顿定律为主） 在桌布从圆盘下抽出的过程中，
①
圆盘在桌面上运动的过程中，
②
第一阶段圆盘的末速度为1v
112
12x a v = ③
1
1ma mg =μ2
2ma mg =μ
221盘没有从桌面上掉下的条件是
122
1
x l x -≤
⑤ 桌布从盘下抽出所经历的时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有
2
2
1at x =
⑥ ⑦
而 12
1x l x += ⑧ 由以上各式得
g a μμμμ2
2
12+≥
解法三：（能量法）???
???
?
==222221112121mv
mgx mv mgx μμ 或直接写出：2211mgx mgx μμ= 盘没有从桌面上掉下的条件是
122
1
x l x -≤
桌布从盘下抽出所经历的时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有
2
2
1at x =
而 12
1x l x += 由以上各式得
g a μμμμ2
2
12+≥
2
112
1t a x =2
112
1t a x =
解法四：（图象法）g a 11μ=
g a 22μ=
)(/21t t a t a -=
2211/l
t a t ≤ 2
2121212l t a at =- 所以， g a μμμμ2
2
12+≥
警示！物理中的规律是有内在联系的，多种方法、多个角度的解决问题是必须的，经常这样做一定会有长足的进步。 2、动量守恒定律 (1) 几个概念
①系统：有相互作用的物体通常称为系统。 ②内力：系统中各物体之间的相互作用力叫做内力。 ③外力：外部其他物体对系统的作用力叫做外力。
④系统的总动量：系统中各物体在同一状态相对同一参考系的动量的矢量和，为系统该状态的总动量。
(2)内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。 (3)理论推导
①第一个小球和第二个小球在碰撞中所受的平均作
用力F 1和F 2是一对相互作用力，大小相等，方向相反，作用在同一直线上，作用的时间相同，分别作用在两个
m 1 V 1′ V 2′ m 2
V 1
V 2
碰前 F 1
F 2
物体上；
②第一个小球受到的冲量是F1t1；动量变化为ΔP1＝m1V1′－m1V1，根据动量定理有：
F1t1＝m1V1′－m1V1
第二个小球受到的冲量是F2t2；动量变化为ΔP2＝m2V2′－m2V2，根据动量定理有：：F2t2＝m2V2′－m2V2
③由牛顿第三定律知，F1和F2大小相等，方向相反，t1和t2相等。所以
F1t1＝－F2t2
m1V1′－m1V1＝－(m2V2′－m2V2)
由此得：
m1V1＋m2V2＝m1V1′＋m2V2′
或者：
P1＋P2＝P1′＋P2′
P＝P′
上式的物理含义是：两个小球碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量。
(4)动量守恒的条件：系统不受外力或者所受外力之和为零。
注意：“外力之和”和“合外力”不是一个概念：外力之和是指把作用在系统上的所有外力平移到某点后算出的矢量和。合外力是指作用在单个物体（质点）上的外力的矢量和。
(5)表达式
P＝P′(系统相互作用前的总动量P等于相互作用后的总动量P′)
ΔP＝0 (系统总动量变化为0)
如果相互作用的系统由两个物体构成，动量守恒的具体表达式为
P1＋P2＝P1′＋P2′(系统相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量)
物理 1.一中子与一质量数为A(A>1)的原子核发生弹性正碰。若碰前原子核静止,则碰撞前与碰撞后中子的速率之比为( ) A. B. C. D. [解析] 1.设中子质量为m,则原子核的质量为Am。设碰撞前后中子的速度分别为v0、v1,碰后原子核的速度为v2,由弹性碰撞可得mv0=mv1+Amv2,m=m+Am,解得v1=v0,故=,A正确。 2.很多相同的绝缘铜圆环沿竖直方向叠放,形成一很长的竖直圆筒。一条形磁铁沿圆筒的中心轴竖直放置,其下端与圆筒上端开口平齐。让条形磁铁从静止开始下落。条形磁铁在圆筒中的运动速率( ) A.均匀增大 B.先增大,后减小 C.逐渐增大,趋于不变 D.先增大,再减小,最后不变[解析] 2.对磁铁受力分析可知,磁铁重力不变,磁场力随速率的增大而增大,当重力等于磁场力时,磁铁匀速下落,所以选C。 3.(2014大纲全国，19，6分)一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时, 上升的最大高度为H,如图所示;当物块的初速度为时,上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为( )
A.tan θ和 B.tan θ和 C.tan θ和 D.tan θ和 [解析] 3.由动能定理有 -mgH-μmg cos θ=0-mv2 -mgh-μmg cos θ=0-m()2 解得μ=(-1)tan θ,h=,故D正确。 4.两列振动方向相同、振幅分别为A1和A2的相干简谐横波相遇。下列说法正确的是( ) A.波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A1-A2| B.波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A1+A2 C.波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移 D.波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅 [解析] 4.两列振动方向相同的相干波相遇叠加,在相遇区域内各质点仍做简谐运动,其振动位移在0到最大值之间,B、C项错误。在波峰与波谷相遇处质点振幅为两波振幅之差,在波峰与波峰相遇处质点振幅为两波振幅之和,故A、D项正确。
1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .
数学归纳法 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列，
经典题型巩固专练——卷7 1、据记载,为使探险更有成效,西班牙国王曾答应哥伦布享有新大陆1/10的收入,允许麦哲伦船队拥有所发现的岛屿和大陆收入的1/20,后又增至1/15。这一记载说明( ) A.西班牙最早开展了航海探险 B.航海人才受到西班牙的重视 C.良好竞争机制促使探险成功 D.新航路开辟得益于王权支持 2、新航路的开辟让欧洲各国在世界舞台上扮演的角色发生了变化,出现了新的名称如“黄金漏斗”、“现代金融和商业制度创立者”、“新航路的受害者”等。下列与其对应的国家分别是( ) A.西班牙、英国、法国 B.意大利、法国、荷兰 C.英国、意大利、荷兰 D.西班牙、荷兰、意大利 3、18世纪70年代英国城乡比例是1:2,19世纪初上升为2:3,产生这一变化的原因是 ( ) A.圈地运动使大批农民流入城市 B.大量外来移民涌入英国 C.大批人口前往殖民地 D.工业革命改变了英国的人口布局 4、1834年,英国通过了《济贫法修正案》即新济贫法,它规定,从1835年7月1日起,一律停止对济贫院外所有状年男子救济,受救济者必须是被收容在济贫院中的贫民。这一“修正”主要是因为( ) A.缓和社会阶级矛盾的需要 B.机器生产需要太量劳动力 C.主张政府干预经济的表现 D.受美国罗斯福新政的影响 5、第二次工业革命使世界市场进一步发展,与此相关的内容有（） ①世界范围工业生产空前发展 ②产品销往各地 ③新型交通工具和通讯手段 ④国际分工日益明显 A.①② B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 6、下表是19世纪中期前后中国茶叶产销统计表。对其分析错误的是( )
A.中国农产品商品化程度日益提高 B.外国资本主义在中国大量倾销商品 C.中国茶叶外销增长迅速 D.中国日益卷入资本主义世界市场 7、下图为湖广总督张之洞于1894年7月3日视察武汉汉阳铁厂时拍摄的老相处。 拍摄该照片的目的是( ) A.表达对环境污染的忧虑 B.展现近代化运动的成就 C.鼓舞清军对日作战的信心 D.对中体西用思想进行反思 8、阅读近代民族资本主义工业简况表（部分）。表中反映的历史现象主要是由于( ) A．洋务运动的诱导B．清政府放宽民间设厂限制 C．南京临时政府奖励实业D．欧洲列强忙于一战 9、图为中国民族资本主义曲折发展示意图,造成F段发展趋势的原因是( )
物理选修3-5动量典型例题 【例1】质量为0.1kg 的小球，以10m ／s 的速度水平撞击在竖直放置的厚钢板上，而后以7m ／s 的速度被反向弹回，设撞击的时间为0.01s ，并取撞击前钢球速度的方向为正方向，则钢球受到的平均作用力为（ ）． A ．30N B ．－30N C ．170N D ．－170N 【例2】质量为m 的钢球自高处落下，以速率1v 碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短离地的速率为2v ，在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为（ ）． A ．向下，12()m v v - B ．向下，12()m v v + C ．向上，12()m v v - D ．向上，12()m v v + 【例3】质量为2m 的物体A ，以一定的速度沿光滑水平面运动，与一静止的物体B 碰撞后粘为一体继续运动，它们共同的速度为碰撞前A 的速度的2／3，则物体B 的质量为（ ）． A ．m B ．2m C ．3m D ． 2 3 m 【例4】一个不稳定的原子核，质量为M ，处于静止状态，当它以速度0v 释 放一个质量为m 的粒子后，则原子核剩余部分的速度为（ ）． A ．0 m v M m - B ． m v M - C ．0m v M m -- D ．0 m v M m - + 【例5】带有光滑圆弧轨道、质量为M 的滑车静止置于光滑水平面上,如图所示.一质量为m 的小球以速度v 0水平冲上滑车,当小球上滑再返回并脱离滑车时,有①小球一定水平向左做 平抛运动 ②小球可能水平向左做平抛运动 ③小球可能做自由落体运动 ④小球一定水平向右做平抛运动 以上说法正确的是( ) A.① B .②③ C.④ D.每种说法都不对 【例6】质量为m 的物体静止在足够大的水平面上，物体与桌面的动摩擦因数为μ，有一水平恒力作用于物体上，并使之加速前进，经1t 秒后去掉此恒力，求物体运动的总时间t ． 【例7】将质量为0.10kg 的小球从离地面20m 高处竖直向上抛出，抛出时 的初速度为15m ／s ，当小球落地时，求： （1）小球的动量； （2）小球从抛出至落地过程中的动量增量； （3）小球从抛出至落地过程中受到的重力的冲量． 【例8】气球质量为200kg ，载有质量为50kg 的人，静止在空中距地面20m 高的地方，气球下方悬根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则这根绳长至少为多少米？（不计人的高度）
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③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
2012年高考全国卷历史部分 24.汉武帝设置十三州刺史以监察地方，并将豪强大族“田宅逾制”作为重要的监察内容，各地财产达300万钱的豪族被迁到长安附近集中居住。这表明当时 A.政权的政治与经济支柱是豪强大族 B.政治权力与经济势力出现严重分离 C.抑制豪强是缓解土地兼并的重要措施 D.经济手段是巩固专制集权的主要方式 25.许仙与白娘子自由相恋因法海和尚作梗终成悲剧，菩萨化身的济公游戏人间维持正义。这些在宋代杭州流传的故事，反应出当时 A.对僧人爱恨交加的社会心态 B.民间思想借助戏剧广泛传播 C.中国文化的地域性特色浓厚 D.市民阶层的价值取向 26.明后期松江人何良俊记述：“（正德）以前，百姓十一在官，十九在田……今去农而改业为工商者三倍于前矣。昔日原无游手之人，今去农而游手趁食（谋生）者又十之二三也。大抵以十分百姓言之，已六七去农。”据此可知 A．工商业的发展造成了农业的衰退 B.工商业发展导致了社会结构的变动 C.财富分配不均引起贫富分化加剧 D.无业游民增加促成了工商业的发展 27.理学家王阳明说：“士以修治，农以具养，工以利器，商以通货，各就其资之所近，力之所及者而业焉，以求尽其心，其归要在于有益生人（民）之道，则一而已……四民异业而同道。”在此，王阳明 A.重申传统的“四民”秩序 B.主张重新整合社会阶层 C.关注的核心问题是百姓生计 D.阐发的根本问题是正心诚意 28.清代内阁处理公务的案例“积成样本四巨册”，官员“怀揣摹此样本为急”，时人称之为：“依样葫芦画不难，葫芦变化有千端。画成依旧葫芦样，要把葫芦仔细看。”这反应出当时 A.内阁职权下降导致官员无所事事 B.政治体制僵化官员拘泥规则 C.内阁机要事务繁忙官员穷于应付 D.皇帝个人独裁官员惟命是从
高考历史经典材料解析题选——西方世界的挑战 材料一： 第三十四款和约一经议定，两国各宜遵守，不得轻有更改；至各口情形不一，所有贸易及海面各款恐不无稍有变通之处，应俟十二年后，两国派员公平酌办。又和约既经批准后，两国官民人等均应恪遵；至合众国中各国均不得遣员到来，另有异议。 ——《望厦条约》材料二： 鸦片战争后的中英贸易（此表所列为正常商品贸易额，不含鸦片贸易。单位：万英镑）年份1840年1842年1845年1850年1851年1853年输华商品总值52.4 96.6 239.0 140.0 216.0 100.0 材料三： 外国人始终想将贸易从五个口岸扩展到全中国，在北京设立常驻使节以绕开顽固的广州当局，以及由于战后商品价格普遍下降而产生的降低关税要求。这些问题汇合到一起，在外国人中间引发了一种要求修约的强烈冲动。……1856年，三国公使再次提出修约要求。朝廷告知可允许作一些合理的小变动，但重大条款不予考虑，以免万年和约《南京条约》失去其意义。 ——徐中约《中国近代史》问题：（25分） （1）材料一中《望厦条约》第三十四款规定了什么原则？（2分） （2）材料二中的数据说明了什么问题？（3分） （3）材料三中所述的“在外国人中间引发了一种要求修约的强烈冲动”的原因是什么？当时中国内部正面临怎样的统治危机？（5分） （4）综合上述材料并结合所学，谈谈你对清政府应对西方世界挑战态度的看法。（15分）答案： （1）条约一经签订，双方应遵守；如确因情况变化，须经双方协商而定。（2分） （2）中国人民购买力低下；自然经济的抵制作用；英国打开中国大门的目的没有实现；（3分） （3）对华商品倾销额远没有达到预期效果；与中国方面打交道不顺畅；战后商品价格下降
高中物理必修1 运动学问题是力学部分的基础之一，在整个力学中的地位是非常重要的，本章是讲运动的初步概念，描述运动的位移、速度、加速度等，贯穿了几乎整个高中物理内容，尽管在前几年高考中单纯考运动学题目并不多，但力、电、磁综合问题往往渗透了对本章知识点的考察。近些年高考中图像问题频频出现，且要求较高，它属于数学方法在物理中应用的一个重要方面。 第一章运动的描述 专题一：描述物体运动的几个基本本概念 ◎知识梳理 1．机械运动：一个物体相对于另一个物体的位置的改变叫做机械运动，简称运动，它包括平动、转动和振动等形式。 2．参考系：被假定为不动的物体系。 对同一物体的运动，若所选的参考系不同，对其运动的描述就会不同，通常以地球为参考系研究物体的运动。 3．质点：用来代替物体的有质量的点。它是在研究物体的运动时，为使问题简化，而引入的理想模型。仅凭物体的大小不能视为质点的依据，如：公转的地球可视为质点，而比赛中旋转的乒乓球则不能视为质点。’ 物体可视为质点主要是以下三种情形： (1)物体平动时； (2)物体的位移远远大于物体本身的限度时； (3)只研究物体的平动，而不考虑其转动效果时。 4．时刻和时间 (1)时刻指的是某一瞬时，是时间轴上的一点，对应于位置、瞬时速度、动量、动能等状态量，通常说的“2秒末”，“速度达2m/s时”都是指时刻。 (2)时间是两时刻的间隔，是时间轴上的一段。对应位移、路程、冲量、功等过程量．通常说的“几秒内”“第几秒内”均是指时间。 5．位移和路程 (1)位移表示质点在空间的位置的变化，是矢量。位移用有向线段表示，位移的大小等于有向线段的长度，位移的方向由初位置指向末位置。当物体作直线运动时，可用带有正负号的数值表示位移，取正值时表示其方向与规定正方向一致，反之则相反。 (2)路程是质点在空间运动轨迹的长度，是标量。在确定的两位置间，物体的路程不是唯一的，它与质点的具体运动过程有关。 (3)位移与路程是在一定时间内发生的，是过程量，二者都与参考系的选取有关。一般情况下，位移的大小并不等于路程，只有当质点做单方向直线运动时，二者才相等。6．速度 （1）．速度：是描述物体运动方向和快慢的物理量。 （2）．瞬时速度：运动物体经过某一时刻或某一位置的速度，其大小叫速率。
如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 类型一：1()n n a a f n +-= 或 1 () n n a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或1 21 121n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211 ,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s += =，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121 1 1 1 (1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111 ()()()121122 n n n n =-+-++-+---…… 312n = - （2）2(1)n n s n a =+Q 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：1(2) 1n n a n n a n -=≥- 12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=??…… 121 121n n n n -=??--……
14．（7分）如图14所示，两平行金属导轨间的距离 L=0.40 m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ=37°，在 导轨所在平面内，分布着磁感应强度B=0.50 T、方向垂直于 导轨所在平面的匀强磁场．金属导轨的一端接有电动势 E=4.5 V、内阻r=0.50 Ω的直流电源．现把一个质量m=0.040 kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒恰好静止．导体棒 与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接图14 触的两点间的电阻R0＝2.5 Ω,金属导轨电阻不计，g取 10 m/s2．已知sin 37°=0.60，cos 37°=0.80，求： （1）通过导体棒的电流； （2）导体棒受到的安培力大小； （3）导体棒受到的摩擦力 15．（7分）如图15所示，边长L=0.20m的正方形导线框ABCD 由粗细均匀的同种材料制成，正方形导线框每边的电阻R0＝1.0 Ω， 金属棒MN与正方形导线框的对角线长度恰好相等，金属棒MN的电 阻r=0.20 Ω．导线框放置在匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.50 T,方向垂直导线框所在平面向里．金属棒MN与导线框接触良好，且 与导线框的对角线BD垂直放置在导线框上，金属棒的中点始终在BD 连线上．若金属棒以v=4.0 m/s的速度向右匀速运动，当金属棒运动 至AC的位置时，求（计算结果保留两位有效数字）： 图15 （1）金属棒产生的电动势大小； （2）金属棒MN上通过的电流大小和方向； （3）导线框消耗的电功率． 16．（8分）如图16所示，正方形导线框abcd的质量为m、边长为l， 导线框的总电阻为R．导线框从垂直纸面向里的水平有界匀强磁场的上 方某处由静止自由下落，下落过程中，导线框始终在与磁场垂直的竖直 平面内，cd边保持水平．磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向 里，磁场上、下两个界面水平距离为l已．知cd边刚进入磁场时线框 恰好做匀速运动．重力加速度为g． （1）求cd边刚进入磁场时导线框的速度大小． （2）请证明：导线框的cd边在磁场中运动的任意瞬间，导线框克 服安培力做功的功率等于导线框消耗的电功率．图16 （3）求从导线框cd边刚进入磁场到ab边刚离开磁场的过程中，导 线框克服安培力所做的功． 17．（8分）图17（甲）为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的匝数n=100、电阻r=10 Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，电阻R=90 Ω，与R并联的交流电压表为理想电表．在t=0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量φ随时间t按图17（乙）所示正弦规律变化．求： （1）交流发电机产生的 电动势最大值；
1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B
高考数学典型题归纳 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合等于 A ．{2，3} B ．{2，3，5，6} C ．{1，4} D ．{1，4，5，6} 2．设复数满足，则z 的共轭复数z = A ． B ． C ． D ． 3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线()2 40y ax a = ≠的焦点坐标是 A. ()0,a B. (),0a C. 10,16a ? ? ??? D. 1,016 a ?? ??? 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是 A. 4 3 3cm B. 833cm C.33cm D.4 3cm 7. 已知实数满足约束条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则的 最大为 A . B. C. D. 8. 若执行如图所示的程序框图，则输出的值是 ,x y 2z x y =+3323 2 -3-k ()N M
高考历史41题典型例题 1.比较汉与明清经济示意图，提取两项有关汉与明清经济变迁的信息，并结合所学说明。 信息一：汉朝主要的粮食产区集中在黄河流域；明清时期江南地区成为重要的粮食产地。说明：江南经济的发展；经济重心南移；高产作物的引进。 信息二：汉朝手工业中心都集中在黄河流域；明清时期江浙地区兴起众多工商业市镇。说明：农业和手工业发展促进商品经济的发展；商品经济向农村渗透；隋以来大运河的兴建。2．比较图一、图二，提取两项有关唐朝和美国政府机构的信息，并结合所学说明。 图一唐朝政府机构示意图图二美国联邦政府机构示意图
信息一：都是通过权力的分散达到中央政府部门互相制约与平衡，防止部门集权。说明：唐朝君主专制制度的完善；美国1787年宪法确立三权分立的民主政治体制）。 信息二：都是三权分立，但权力分割的形式不同。说明：唐朝三省六部制是将宰相权力分为决策权、审核权、执行权；美国三权分立体制是将国家权力分为立法权、司法权、行政权。信息三：体现的本质不同。说明：唐朝三省六部制体现了封建君主专制统治；美国三权分立体现了资产阶级民主政治。 信息四：两者权力运作方式不同。说明：唐朝三省六部制是集权下的分权，皇帝大权独揽；美国三权分立是三者独立平等，互相制约。 3.阅读材料，完成下列要求。 图8 唐朝长安平面图图9 北宋东京平面图比较唐朝长安平面图与北宋东京平面图，提取两项有关唐宋间历史变迁的信息，并结合所学知识予以说明。 信息一：唐朝长安城市格局规范整齐，而北宋东京城市布局则不十分规范整齐。说明：北宋都城布局是依据河流流向而规划的。 信息二：唐朝坊与市分开，商业区固定在特定区域，而北宋坊和市的界限被打破。说明：北宋商品经济得到较大发展。
一、计算题(解答写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。本题包含55小题，每题？分，共？分) 1．如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是M 的小车A 和B ，两车间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度向右运动，另有一质量为 0M 的粘性物体，从高处自由下落，正好落 至A 车并与之粘合在一起，在此后的过程中，弹簧获得最大弹性势能为E ，试求A 、B 车开始匀速运动的初速度 0v 的大小． 解析：物体 0M 落到车A 上并与之共同前进，设其共同速度为1v ， 在水平方向动量守恒，有 100)(v M M M v += 所以 0 01v M M M v += 物体0M 与A 、B 车共同压缩弹簧，最后以共同速度前进，设共同速度为2v ，根据动量守 恒有 200)2(2v M M Mv += 所以 0222v M M M v += 当弹簧被压缩至最大而获得弹性势能为E ，根据能量守恒定律有： ()()202102202121221 Mv v M M v M M E ++=++ 解得 ()()002 0022M M M M MM E v ++= ． 2．如图所示，质量为M 的平板小车静止在光滑的水平地面上，小车左端放一个质量为m 的木块，车的右端固定一个轻质弹簧．现给木块一个水平向右的瞬时冲量I ，木块便沿小车向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端．试求： (1)木块返回到小车左端时小车的动能． (2)弹簧获得的最大弹性势能． 解：(1)选小车和木块为研究对象．由于m 受到冲量I 之后系统水平方向不受外力作用，系统动量守恒．则v m M I )(+=
高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-<
∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2
历史上重大改革回眸 1.(2014重庆)《清史稿》记载:“亲政之时,春秋方富,抱大有为之志,欲张挞伐,以湔(洗)国耻。已而师徒挠败,割地输平,遂引新进小臣,锐志更张,为发奋自强之计。”此处评价的这位皇帝是( ) A.康熙帝 B.乾隆帝 C.光绪帝 D.宣统帝 2.改革是历史发展的鲜明主题。回答1—2题。 (2014四川)下列改革中,实现了富国强兵,“倾邻国而雄诸侯”的是( ) A.商鞅变法 B.汉武帝改革 C.北魏孝文帝改革 D.王安石变法 (2014四川)邓小平曾说,如果当初搞经济特区时加上上海,“现在长江三角洲,整个长江流域,乃至全国改革开放的局面,都会不一样”。当时没有把上海列为经济特区,主要是基于( ) ①改革初期摸索中的谨慎②经济改革国际阻力太大③上海自身经济基础薄弱④国人思想解放程度不足 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.(2014安徽)下列变法措施与结果对应,符合史实的是( ) 变法措施结果 A 商鞅变法:户籍什伍制、连坐法,奖励耕织和奖励军功“行之十年,秦民大说,道不拾遗,山无盗贼,家给人足,民勇于公战,怯于私斗,乡邑大治” B 王安石变法:市易法“市易之起,自为细民久困,以抑兼并尔,于官何利焉” C 戊戌变法:设立农工商总局促进民族资本主义迅速发展 D 明治维新:殖产兴业没有实现传统产业的现代化和工业化 4.(2014北京)19世纪以来,一些阿拉伯国家进行了近代化改革,其中以埃及的穆罕默德·阿里改革和土耳其的凯末尔改革最具代表性。这两次改革相同之处有( ) ①废除哈里发制度②进行军事改革③建立近代工业④实行教育改革 A.①② B.②③ C.③④ D.①④
高中物理力学典型例题 1、如图1-1所示，长为5米的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距 为4米的两杆顶端A、B。绳上挂一个光滑的轻质挂钩。它钩着一个重 为12牛的物体。平衡时，绳中张力T=＿＿＿＿ 分析与解：本题为三力平衡问题。其基本思路为：选对象、分析力、画 力图、列方程。对平衡问题，根据题目所给条件，往往可采用不同的方 法，如正交分解法、相似三角形等。所以，本题有多种解法。 解法一：选挂钩为研究对象，其受力如图1-2所示，设细绳与水平夹角 为α，由平衡条件可知：2TSinα=F，其中F=12牛，将绳延长，由图 中几何条件得：Sinα=3/5，则代入上式可得T=10牛。 解法二：挂钩受三个力，由平衡条件可知：两个拉力（大小相等均为T） 的合力F’与F大小相等方向相反。以两个拉力为邻边所作的平行四边形 为菱形。如图1-2所示，其中力的三角形△OEG与△ADC相似，则： 得：牛。 想一想：若将右端绳A 沿杆适当下移些，细绳上张力是否变化？ （提示：挂钩在细绳上移到一个新位置，挂钩两边细绳与水平方向夹角仍相等，细绳的张力仍不变。） 2、如图2-1所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、 B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相 等。在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg。先托住物块， 使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持 C、D两端的拉力F不变。 （1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？ （2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？ （3）求物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H？ 分析与解：物块向下先作加速运动，随着物块的下落，两绳间的夹角 逐渐减小。因为绳子对物块的拉力大小不变，恒等于F，所以随着两 绳间的夹角减小，两绳对物块拉力的合力将逐渐增大，物块所受合力 逐渐减小，向下加速度逐渐减小。当物块的合外力为零时，速度达到 最大值。之后，因为两绳间夹角继续减小，物块所受合外力竖直向上， 且逐渐增大，物块将作加速度逐渐增大的减速运动。当物块下降速度 减为零时，物块竖直下落的距离达到最大值H。 当物块的加速度为零时，由共点力平衡条件可求出相应的θ角，再由θ角求出相应的距离h，进而求出克服C端恒力F所做的功。 对物块运用动能定理可求出物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H。 （1）当物块所受的合外力为零时，加速度为零，此时物块下降距离为h。因为F恒等于mg，所以绳对物块拉力大小恒为mg，由平衡条件知：2θ=120°，所以θ=60°，由图2-2知： h=L*tg30°= L [1] （2）当物块下落h时，绳的C、D端均上升h’，由几何关系可得：h’=-L [2] 克服C端恒力F做的功为：W=F*h’[3]
专题五考点总结与典型例题【中国古代疫病防治】 1.背景 (1)处于由盛转衰时期，政治腐败，社会动荡 (2)小农经济占主导 (3)战争频发，气候异常，新型传染病增多，疫病大规模爆发 (4)思想观念落后、愚昧 (5)医学家深入研究 2.特点 (1)总说 ①发现传染现象较晚 ②受宗教影响，有一定迷信色彩 ③科学性与迷信交织 ④受道德影响明显 （2)阶段特征（历史沿革） ①汉代至隋代，瘟病学说以内科理论为基础 ②宋元以来，瘟病与伤寒从论症和治法等方面区分开来 ③明清时期，瘟病学说逐渐形成体系 (3)积极 ①由临时性到常态化、制度化 ②由以民促官到政府主动介入 ③中央政府由缺位到主导 ④由带有封建迷信色彩到日益重视科学防治 (4)消极 ①政府应对消极 ②防疫重点主要集中在灾后赈济救助 ③防疫措施呈零散性、偶然性
④防疫措施迷信色彩深厚 3.影响 (1)积极 ①一定程度上防控了疫情，缓和了社会矛盾 ②扩大了儒家思想在民间的影响，增强了道德约束力 ③一定程度上推动防疫措施的普及 ④推动了早期公益事业的产生 (2)消极 ①迷信使人们长期以来无法科学认识传染现象 ②导致疫病蔓延，人口大量死亡，社会动荡 4.措施 (1)政府减免税收，发放钱赈济灾民 (2)针对疫病施医送药，采取隔离措施避免疫情扩散 (3)斋戒祈祷趋避疫病 (4)民间医生与儒生救助灾民 【中国近代疫病防治】 1.背景 (1)政府措施得力且应对方法科学有效 (2)吸取国外先进科技并有创新突破 (3)地方政府和民间团体的积极配合 (4)东北地区开发较晚，人口大量涌入，医疗设施落后 (5)文化保守势力强大，固有观念阻碍防疫工作 2.措施 (1)开始仍然使用传统方法治疗，未进行隔离（反面） (2)制定一系列疫时社会制度
1.（8分）如图19所示，长度L = 1.0 m的长木板A静止在水平地面上，A的质量m1 = 1.0 kg，A与水平地面之间的动摩擦因数μ1 = 0.04．在A 的右端有一个小物块B（可视为质点）．现猛击A左侧，使A瞬间获得水平向右的速度υ0 = 2.0 m/s．B的质量m2 = 1.0 kg，A与B之间的动摩擦因数μ2 = 0.16．取重力加速度g = 10 m/s2． （1）求B在A上相对A滑行的最远距离； （2）若只改变物理量υ0、μ2中的一个，使B刚好从A上滑下．请求出改变后该物理量的数值（只要求出一个即可）． 2、（8分）如图13所示，如图所示，水平地面上一个质量M=4.0kg、长度L=2.0m的木板，在F=8.0N的水平拉力作用下，以v0=2.0m/s的速度向右做匀速直线运动．某时刻将质量m=1.0kg的物块（物块可视为质点）轻放在木板最右端．（g=10m/s2） （1）若物块与木板间无摩擦，求物块离开木板所需的时间；（保留二位有效数字） （2）若物块与木板间有摩擦，且物块与木板间的动摩擦因数和木板与地面间的动摩擦因数相等，求将物块放在木板上后，经过多长时间木板停止运动． B A v0 L 图19
3.(2009春会考）（8分）如图15所示，光滑水平面上有一块木板，质量M = 1.0 kg，长度L = 1.0 m．在木板的最左端有一个小滑块（可视为 质点），质量m = 1.0 kg．小滑块与木板之间的动摩擦因数μ= 0.30．开始时它们都处于静止状态．某时刻起对小滑块施加一个F = 8.0 N水平向右的恒力，此后小滑块将相对木板滑动. （1）求小滑块离开木板时的速度； （2）假设只改变M、m、μ、F中一个物理量的大小，使得小滑块速度总是木板速度的2倍，请你通过计算确定改变后的那个物理量的数值（只要提出一种方案即可）. 4.（2009夏）（8分）如图15所示，水平桌面到地面的高度h= 0.8 m. 质量m = 0.2 kg的小物块（可以看作质点）放在桌面A端. 现对小物块施加一个F＝0.8 N的水平向右的恒力，小物块从静止开始运动. 当它经过桌面上的B点时撤去力F，一段时间后小物块从桌面上的C端飞出，最后落在水平地面上. 已知AB = BC = 0.5 m，小物块在A、B间运动时与桌面间的动摩擦因数μ1 = 0.2，在B、C间运动时与桌面间的动摩擦因数μ2 = 0.1. （1）求小物块落地点与桌面C端的水平距离； （2）某同学作出了如下判断：若仅改变AB段的长度而保持BC段的长度不变，或仅改变BC段的长度而保持AB段的长度不变，都可以使小物块落地点与桌面C端的水平距离变为原来的2倍. 请你通过计算说明这位同学的判断是否正确. m M F 图15 F h A B C 图15