又
b
=≈80.1(cm)；
=≈74.1(cm).根据正弦定理
a
【答案】根据正弦定理a
a=
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析
类型一：正弦定理的应用：
例1．已知在?ABC中，c=10，A=45 ，C=30 ，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.
解析：
a c
=，sin A sin C
∴a=c sin A10?sin45
==102，sin C sin30
∴B=180 -(A+C)=105 ，
c
=，
sin B sin C
c sin B10?s in105 6+2
∴b===20sin75 =20?=56+52．
sin C sin30 4
总结升华：
1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在?ABC中，已知A=32.00，B=81.80，a=42.9cm，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，C=1800-(A+B)=1800-(32.00+81.80)=66.20；
根据正弦定理，b=根据正弦定理，c=a sin B42.9sin81.80 sin A sin32.00 a sin C42.9sin66.20 sin A sin32.00
【变式2】在?ABC中，已知B=750，C=600，c=5，求a、A.
【答案】A=1800-(B+C)=1800-(750+600)=450，
556
=，∴.
sin45o sin60o3
【变式3】在?ABC中，已知sin A:sin B:sin C=1:2:3，求a:b:c
b c
==，得a:b:c=sin A:sin B:sin C=1:2:3.
sin A sin B sin C
例2．在?ABC中，b=3,B=60 ,c=1，求：a和A，C．
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.
解析：由正弦定理得：
b
= = =
c = ，
sin B sin C
c sin B 1? s in 60 1
∴ sin C = = = ，
b 3
2
（方法一）∵ 0 < C < 180 ，
∴ C = 30 或 C = 150 ，
当 C = 150 时， B + C = 210 > 180 ，（舍去）；
当 C = 30 时， A = 90 ，∴ a = b 2 + c 2 = 2 ．
（方法二）∵ b > c ， B = 60 ， ∴ C < B ，
∴ C < 60 即 C 为锐角， ∴ C = 30 ， A = 90
∴ a = b 2 + c 2 = 2 ．
总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角 C 时，因为 sin C = sin(1800 - C ) ，所以要依据题意准确确定角 C 的范围，再
求出角 C .
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三：
【变式 1】在 ?ABC 中， c =
6 ， a = 2 ， A = 45 ，求 b 和 B , C ．
a
c c sin A 6 ? sin 45 3 【答案】∵ ， ∴ sin C = ，
sin A sin C a 2 2
∵ 0 < C < 180 ，
∴ C = 60 或 C = 120
∴当 C = 60 时， B = 75 ， b = c sin B 6 sin 75
= = 3 + 1 ；
sin C sin 60
∴当 C = 120 时， B = 15 ， b = c sin B 6 sin15
= = 3 - 1；
sin C sin 60
所以， b = 3 + 1, B = 75 , C = 60 或 b = 3 -1, B = 15 , C = 120 ．
【变式 2】在 ?ABC 中 a = 20 , b = 10 2 , A = 45 , 求 B 和 c ；
【答案】 ∵ a 10 2
= ， ∴ sin 45o sin B
sin B =
1 2
3 1
∵ 0 < B < 180 ， ∴ B = 30 或 B = 150
①当 B = 30 时， C = 105 ， c = 10( 3 + 1) ；
②当 B = 150 时， A + B = 195 > 180 （舍去）。
【变式 3】在 ?ABC 中， B = 60 ， a = 14 , b = 7 6 , 求 ∠A .
【答案】由正弦定理，得 s in A = a sin B 14 ? sin 60 0 2
= =
b 7 6 2
.
∵ a < b ,
∴ A < B ，即 0 < A < 60
∴ A = 45
类型二：余弦定理的应用：
例 3．已知 ?ABC 中， AB = 3 、 BC =
37 、 AC = 4 ，求 ?ABC 中的最大角。
思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
解析：∵三边中 BC = 37 最大，∴ BC 其所对角 A 最大，
AB 2 + AC 2 - BC 2 32 + 42 - ( 37) 2 1
根据余弦定理： cos A = = =- ，
2 A B AC 2 ?
3 ?
4 2
∵ 0 < A < 180 ，
∴ A = 120
故 ?ABC 中的最大角是 A = 120 .
总结升华：
1. ?ABC 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三：
【变式 1】已知 ?ABC 中 a = 3 , b = 5 , c = 7 , 求角 C .
【答案】根据余弦定理： cos C = a 2 + b 2 - c 2 52 + 32 - 72 1
= =- ，
2ab 2 ? 3 ? 5 2
∵ 0 < C < 180 ，
∴ C = 120o
【变式 2】在 ?ABC 中，角 A , B , C 所对的三边长分别为 a , b , c ，若 a : b : c =
6:2: （ + ）
，求 ?ABC
的各角的大小．
【答案】设 a = 6k ， b = 2k ， c =
(
3 + 1)
k ， (k > 0)
根据余弦定理得： c os B = 6 +
( 3 + 1)
2 -
4∵ cos A = = = ，
?sin45 0=
∵ sin A = sin B = .
2 (
3 + 1) 6 = 2 2
，
∵ 0 < B < 180 ，∴ B = 45 ；
同理可得 A = 60 ；
∴ C = 180 - A - B = 75
【变式 3】在 ?ABC 中，若 a 2 = b 2 + c 2 + bc ，求角 A .
【答案】∵ b 2 + c 2 - a 2 = -bc ， ∴ cos A = b
2 + c 2 - a 2 1 =-
2bc 2
∵ 0 < A < 180 ，
∴ A = 120
类型三：正、余弦定理的综合应用
例 4．在 ?ABC 中，已知 a = 2 3 ， c = 6 + 2 ， B = 450，求 b 及 A .
思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边 b ，然后继续用余弦定理或正 弦定理求角 A .
解析：
⑴由余弦定理得：
b 2 = a 2 +
c 2 - 2ac cos B
= (2 3)2 + ( 6 + 2) 2 - 2?2 3 ?( 6 + 2)cos45 0
=12 + ( 6 + 2) 2 - 4 3( 3 +1)
= 8
∴ b = 2 2.
⑵求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： （法一：余弦定理）
b 2 +
c 2 - a 2 (2 2) 2 + ( 6 + 2 )2 - (2 3)2 1
2bc 2?2 2 ?( 6 + 2)
2
∴ A = 600 （法二：正弦定理）
a 2 3 3
b 2 2
2
又∵ 6 + 2 > 2.4 +1.4 = 3.8 ， 2 3 < 2?1.8 = 3.6
()b c
∴a＜c，即00＜A＜900,
∴A=600.
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：
【变式1】在?ABC中，已知b=3,c=4,A=1350.求B和C.
【答案】由余弦定理得：a2=32+42-2?3?4cos135o=25+122，∴a=25+122≈6.48
由正弦定理得：s in B=b sin A3sin135o
=≈0.327，a a
因为A=1350为钝角，则B为锐角，∴B=1907/.
∴C=1800-(A+B)=25053/.
【变式2】在?ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a=2，=22，=6-2，求角A和sin C
【答案】根据余弦定理可得：
b2+c2-a28+8-43-43
cos A===
2bc2?22?6-22
∵0 ∴由正弦定理得：sin C=c sin A a= ( 6-2 )sin30 ( 6-2 ) =. 24
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