声学中波动方程的建立 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
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今天我介绍一下声学中波动方程的建立。我们首先介绍一下声学的基本概念。
声波是机械振动状态在介质中的传播。存在声波的空间称为声场。理论上描述声场需要引入一些物理量：声压、位移、振速、密度压缩量和相位等。通常采用上述各物理量的时空分布函数描述声场。下面对这些物理量作简要介绍。
1. 基本概念
1) 声压（标量）
声波为压缩波。描述“压缩”过程的一个物理量是压强。然而，声波是声扰动（如振动源）引起介质中的压强发生变化的部分。因此，我们引入声压的概念：
声压p 为介质压强的变化量：
0P P p -= (2-1)
其中，P 是压强，0P 是介质中的静态压强。
声压是描述波动的物理量。为使用方便，还由声压引入了瞬时声压p 、峰值声压0p 和有效声压e p 。
声场中某瞬时的声压称为瞬时声压。一定时间间隔内的最大瞬时声压称为峰值声压。瞬时声压在一定时间间隔内的均方根值称为有效声压，即
e p =对简谐声波，p 、0p 和e p 相互之间的关系和电压可作相同类比，即
0exp[]p p j t ω=
20p p e =。
一般仪器仪表测得是有效声压。
2) 位移和振速（矢量） 质点位移是指介质质点离开其平衡位置的距离。质点振速是介质质点瞬时振动的速度。两者均是有大小和方向的量，即矢量，相互关系为
u d dt ξ= (2-3)
对简谐振动，位移和振速都满足如下关系：
0exp[]j t ξξω=， (2-4a)
0exp[]u u j t ω=， (2-4b)
其中，0ξ和0u 分别为位移幅值和振速幅值。
需要注意的是区分质点振速和声传播速度。声传播速度是指振动状态在介质中传播的速度，而质点振速是指在给定时间和给定空间位置的某一质点的振动速度。
3) 密度和压缩量 密度的变化也是描述声波的一个物理量。这里引入压缩量的概念：
()0100ρρρρρ=-=s (2-5)
其中，ρ密度，0ρ为静态密度，01ρρρ-=为密度改变量。
压缩量s 的含义为介质密度的相对变化量。
4) 相位
为描写简谐振动而引入的物理量。它描述质点简谐振动的状态。质点振动的一个周期对应着相位0-2π。相位和质点振动状态有一一对应的关系。
声波是振动状态在介质中的传播，而相位描述的是质点简谐振动的状态。由此可见相位在声场描述中的重要性。
以上物理量并不是独立的，如根据位移由(2-3)式可以求出振速。实际应用时可根据需要选择使用哪些物理量来描述，如对简谐声波，只需要位移幅值和相位就可导出振速、加速度等基本物理量；更进一步，如果已知介质条件，只要知道位移幅值和相位的初值，就可计算声场的时空分布函数了。
2. 理想流体介质中的小振幅波
本节先建立描述声波的基本方程-波动方程，并讨论波动方程的线性特性；然后分别介绍波动方程在几种简单介质条件下的解-行波解、平面波解、球面波解和柱面波解，并对各种解中相关的物理量，如声场中的能量、介质特性阻抗和声阻抗率、相速度和群速度等概念，进行讨论，并重点分析在水声物理中应用较多的平面波在两种不同均匀介质界面上的反射和折射现象。
一、波动方程
建立波动方程
为更清楚地了解声波的物理本质，我们先对介质条件和声波做出一定的限制，而得到形式简洁的波动方程，并通过它认识声波的物理本质。在后续的学习和研究过程中，将不断引入更为复杂的介质条件和放宽对声波的限制，再进行研究。这也是物理中研究常用的方法之一。
假设条件：
? 介质静止、均匀、连续的；
? 介质是理想流体介质，即忽略粘滞性和热传导；
? 声波是小振幅波。
（1） 连续性方程
理论推导见教材。
连续性方程即质量守恒定律：介质流入体元的净质量等于密度变化引起的体元内质量的增加。 ()u t
ρρ?=-??? (2-6) 根据假设条件有： ()0u t
ρρ?=-??? (2-7) 事实上，当介质本身有流动时，u 中含有介质流动速度的影响，相关理论可参阅朗道着《连续介质力学》。考虑到假设介质是静止的，(2-6)式和(2-7)式中没有考虑介质流动速度的影响。
（2） 状态方程
在理想流体介质声传播过程中，还没有来得及进行热交换，声波传播（介质的压缩和膨胀）的力学过程已经完成，这一过程近似为绝热过程，即无热传导。
绝热过程中， 2s
P dP d c d ρρρ???=?= ???? (2-8) 其中，定义
2s
P c ρ???= ????， (2-9)
P 为压强，ρ为密度，下标s 表示绝热过程。本节后面讨论波动方程的解时，可知c 为声波在介质中的传播速度。
声速是介质固有的特性，是由介质的物理参数所确定的。下面由理想流体介质的绝热状态方程导出声速c 和介质参数的关系。
一定质量理想流体的绝热状态方程为
0P P γγρρ= (2-10)
其中，0P 和0ρ分别为平衡态下流体的压强和密度，γ为流体定压比热和定容比热之比。
(2-10)式表明，在绝热状态下，流体压强只是密度的函数。对(2-10)式微分得
1
00
dP d P γργρρ-= (2-11) 由(2-8)、(2-10)和 (2-11)式可推得
c = (2-12a) 更进一步，利用小振幅近似可以给出声速的近似表式。由(2-12a)式可知，c 只是密度ρ的函数。将2c 在0ρ附近展开得
2202, 0, 01()2s s s dP dP d P c d d d ρρρρρ??????==+-+ ? ? ???????，
忽略小量（0ρρ-）之后的项近似得
220, 0
s s dP dP c c d d ρρ????=== ? ????? 式中0c 是在平衡态时的声速。因此，
c =引入平衡态下的绝热压缩系数（单位压强变化引起的体积相对变化）
s dV VdP
β=-
， 利用质量不变表式 00V V ρρ=
和小振幅近似， 0s c c βρ== 以上几种声速表式，可根据使用方便选用。另外，以后除特殊说明，以后只用c 表示声速，而不用0c
（3） 运动方程
运动方程实质上连续流体介质中的牛顿第二定律。理论推导见教材。
()du u u u p dt t ρρ???=+??=-??????
(2-13) 式中，t u ?? 本地加速度、()u u ??迁移加速度。 对于小振幅波，迁移加速度项()u u ??为二阶小量，略去后再根据假设条件
有： p t
u -?=?? 0ρ (2-14) （4） 波动方程
对(2-14)求散度（两端同时左乘?），将(2-7)式两端对时间求偏导数，注意到时、空导数次序对调不变，消去振速项，再利用(2-8)式可得波动方程
2222
1t p c p ??=? (2-15) 其中，在直角坐标系中：22
22222
z y x ??+??+??=?
在球坐标系中：22
222222
sin 1sin sin 11?θθθθθ??+??? ??????+??? ??????=?r r r r r r 在柱坐标系中：22
2222
11z r r r r r ??+??+??? ??????=??。 引入速度势物理量
0p dt ρψ=?。 (2-16)
它表示单位介质质量具有的声扰动冲量。由(2-16)式可知，声压、质点振速与速度势的关系是：
ψ-?=u
(2-17) t p ??-=ψρ0。 (2-18) 将(2-17) 和(2-18)式分别代入连续性方程、状态方程和运动方程，作和(2-15)式类似的推导，可得关于速度势的波动方程： 2222
1t c ??=?ψψ。 (2-19) (2-15) 和(2-19)两式具有相同的形式，但却是不同物理量满足的声纳方程。实际使用时，两者边界条件和初始条件的表述不同，可根据解算的方便选择不同的物理量来描述声场，当然也就需要选择相应的波动方程了。速度式和声压、振速等物理量间的转换关系由(2-16)、(2-17)和(2-18)三式给出。
3. 物理法则
（1） 声压随空间时间变化的函数关系，称为声学波动方程。
（2）声波动作是一种宏观的物理现象必然满足以下三个基本物理定律：
牛顿第二定律
质量守恒定律
热力学定律
（3）运用以上定律，可以分别推导出媒质的运动方程、连续性方程和物态方程。
4.参考文献
1）《声学基础》杜功焕等南京大学出版社