专题23 抛物线(解析版）
易错点1：主观认为抛物线的顶点就是原点;
易错点2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论; 易错点3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标; 易错点4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论; 易错点5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题 必记结论
直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图：
（1）y 1y 2＝－p 2
,x 1x 2＝p 2
4
.
（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥122x x ＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p . （3）
1|AF |
＋
1|BF |
为定值2
p
.
（4）弦长AB ＝2p
sin 2
α
(α为AB 的倾斜角)． （5）以AB 为直径的圆与准线相切。 （6）以AF 为直径的圆与y 轴相切．
（7）焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°.
题组一：定义和标准方程
1．已知0p >,抛物线C ：28y px =的焦点为F ,C 与抛物线2
x py =在第一象限的交点为
M ,且4MF =,则p =________．
【解析】抛物线C ：2
8y px =的准线方程是2x p =-,焦点为F(2p,0),
由228,2y px x p x py
ì=?=í=??解得,所以()224MF p p =--=,解得1p =
2.设抛物线)0(22
≥=p px y 的焦点为F ,点M 在C 上,｜MF ｜＝5,若以MF 为直径的圆过点（0,2）,则C 的方程为（ ）
A.x y 42
= 或x y 82
= B.x y 22
= 或x y 82
= C.x y 42
= 或x y 162
= D.x y 22
= 或x y 162
= 【解析】设点M 的坐标为(x 0,y 0),由抛物线的定义,得|MF |＝x 0＋2
p
＝5, 则x 0＝5－
2p .又点F 的坐标为,02p ??
???
,所以以MF 为直径的圆的方程为
(x －x 0)2p x ??
-
???
＋(y －y 0)y ＝0. 将x ＝0,y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0,即2
02
y －4y 0＋8＝0,所以y 0＝4.
由2
0y ＝2px 0,得16252p p ??=- ??
?,解之得p ＝2,或p ＝8.
所以C 的方程为y 2
＝4x 或y 2
＝16x .故选C.
小结：P 为抛物线2
2(0)y px p =>的任意一点,F 为焦点,以PF 为直径的圆与y 轴相切．
3.(2012)设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A C ∈,已知以F 为圆
心,FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；若0
90=∠BFD ,ABD ?的面积为24；则p 的值为________.
【解析】由对称性知：BFD ?是等腰直角?,斜边2BD p =
点A 到准线l 的距离2d FA FB p ===
1
424222
ABD S BD d p ?=???=?=
4.(20192)若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点是椭圆22
13x y p p
+=的一个焦点,则p=( ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
【解析】由题意可得：2
32p p p ??-= ???
,解得8p =．故选D ．
5.已知A 、B 是抛物线()022
>=p px y 上的两点,直线AB 垂直于x 轴,F 为抛物线的焦点,
射线BF 交抛物线的准线于点C,且AFC AF AB ?=
,5
5
4的面积为252+,则p 的值为____.
【解析】法1：设A 点的坐标为(m,n),且点A 在第一象限内, 则B(m,-n),所以2
2n pm =①,由,0,22
p
p
F x 骣琪=-琪桫
准线方程为 所以22,222
p n p
AB n AF m p ==+=
+ 因为45,5AB AF =
所以4522
p
n m 骣琪=+琪桫② 因为AFC Δ的面积为252+,又,ACB ABF AFC S S S D D D -=
所以11
2n m+2n m 2522222
p p 骣骣琪琪??=+琪琪
桫桫 所以252np =+③,联立①②③解得p=2.
法2：如图,过A 作AH 垂直准线于H,作CG 垂直AB 于G,
根据抛物线的定义,|AH|=|A|F,CE//AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|, 由11,,22
ACB ABF AFC ACB ABF S S S S AB CG S AB DF AD EF D D D D D -==??? `
(
)
AFC S AD CG
AD DF
AD CG DF AD EF
D =??-=?
)
,1,
2DE AF EF DF AD DF ==
=又则
2
,EF =2AFC AFC S S D D 可得又，所以
因为|EF|正好是焦点到准线的距离,即p=2.
题组二：抛物线的简单几何性质及其应用
6．（2011新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两
点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ?的面积为 A ．18 B ．24 C ．36 D ．48
【解析】设抛物线的方程为2
2y px =,易知||212AB p ==,即6p =,
∵点P 在准线上,∴P 到AB 的距离为6p =,所以ABP ?面积为36,故选C ．
7.已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个
交点,若4FP FQ =u u u r u u u r
,则||QF =_______.
【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q ',因为4PF FQ =u u u r u u u r
,所以||:||3:4PQ PF =,又焦点
F 到准线l 的距离为4,所以||||3QF QQ '==．故选C ．
8.(20181)设抛物线C ：2
4=y x 的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为
2
3
的直线与C 交于M ,N 两点,则?u u u u r u u u r
FM FN =( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 【解析】通解 过点(2,0)-且斜率为
23的直线的方程为2
(2)3
=+y x , 由22(2)3
4?
=+???=?y x y x
,得2
540-+=x x ,解得1=x 或4=x ,所以12=??=?x y ,或44=??=?x y ,不妨设(1,2)M ,(4,4)N ,易知(1,0)F ,所以(0,2)=u u u u r FM ,(3,4)=u u u r
FN ,所以8?=u u u u r u u u r
FM FN ．故选D ．
9.(20161)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB
|=
则C 的焦点到准线的距离为_______.
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解析】由题意,不妨设抛物线方程为2
2(0)y px p =>,
由||AB =
,
||DE =
可取4(A p
,(2p
D -,设O 为坐标原点,
由||||OA OD =,得2
216854
p p +=
+,得4p =,所以选B ．
10.（2017新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：2
8y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y
轴于点N ．若M 为FN 的中点,则FN = ． 【解析】如图所示,不妨设点M 位于第一象限,设抛物线的准线与x 轴交于点F',作MB l
⊥与点B ,NA l ⊥与点A ,由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则
2,4AN FF'==,在直角梯形ANFF'中,中位线
'32
AN FF BM +==,由抛物线的定义有：
3MF MB ==,结合题意,有3MN MF ==,
故336FN FM NM =+=+=．
题组三：焦点弦问题
11.（20182）设抛物线C:y 2
=4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A,B 两点,|AB|=8．则l 的方程是______________.
【解析】由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ,
由2
(1),
4y k x y x
=-??
=?得2222
(24)0k x k x k -++=．
2
16160k ?=+>,故1222
24
k
x k x ++=． 所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．
由题设知
22
44
8k k +=,解得1k =-（舍去）,1k =． 因此l 的方程为1y x =-．
12.（20191）已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ,斜率为
3
2
的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P ,||||4AF BF +=,则l 的方程是_______________.
【解析】由题意得3(,0)4F ,l 的方程为3
2
y x m =
+．设1221(,),(,)A y x y x B , 由焦半径公式知121235||||4,=22
AF BF x x x x 所以+=++
=+
由23x+m,23y y x ?=???=?
得229(1212)40x m x m --+=． ()22
112121440,2
m m m 所以?=--><,故1222
24k x k x ++=． 所以12121257
,928x m x 解得m=--+=-=．
所以l 的方程是37
28
y x =-,即12870x y --=.
13．（20183）已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2
=4x,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B
两点．若∠AMB=900
,则k=________．
【解析】法1: 由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为
(1)y k x =-(0)k ≠,由2
(1)4y k x y x
=-??=?,消去y 得22
(1)4k x x -=, 即2222
(24)0k x k x k -++=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,
则212224k x x k ++=,121x x =．由2
(1)4y k x y x =-??=?,消去x 得2
14(1)y y k =+, 即2
440y y k --=,则124y y k
+=,124y y =-,
由90AMB ∠=o
,得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ?=+-?+-u u u r u u u r 1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=,
将212224k x x k ++=,121x x =与12
4
y y k
+=,124y y =-代入,得2k =． 法2: 设抛物线的焦点为F ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,则211
222
44y x y x ?=?=?,
所以22
12124()y y x x -=-,则121212
4y y k x x y y -==-+,
取AB 的中点00(,)M x y ',分别过点A ,B 做准线1x =-的垂线,垂足分别为A ',B ',
又90MB ∠=o
,点M 在准线1x =-上,
所以111
||||(||||)(||||)222
MM AB AF BF AA BB '''=
=+=+． 又M '为AB 的中点,所以MM '平行于x 轴,且01y =,所以122y y +=, 所以2k =．
14.（20142）设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则ABO ?的面积为______. 【解析】法1：易知抛物线中32p =
,焦点3
(,0)4
F ,直线AB
的斜率k =故直线AB 的
方程为3)4y x =-,代人抛物线方程23y x =,整理得2219
0216
x x -+=．
设1122(,),(,)A x y B x y ,则1221
2
x x +=
,由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=,结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028
p d =
=o , 所以OAB ?的面积19
||24
S AB d =
?=． 法2：秒杀公式的应用2
20392
2sin 2sin 304
OAB
p S θ???
???=== 小结：设F 为抛物线C:y2=4x 的焦点,过F 且倾斜角为θ的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,2
1sin 22sin OAB
p S OF AB θθ
?=??=.
题组四：抛物线中的最值问题
15.（20171）已知F 为抛物线2
:4C y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线12,l l ,直线1l
与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10
【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意,所以1l 的斜率存在设为1k ,2l 的斜率为2k ,由题
意有121k k ?=-,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)D x y ,44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-,
取方程214(1)
y x y k x ?=?=-?,得2222
111240k x k x x k --+=,
∴21122124k x x k --+=-212
1
24
k k += 同理得 22342
2
24
k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++ 22
12222222
121212
24244416482816k k k k k k k k ++=++=+++=≥ 当且仅当121k k =-=（或1-）时,取得等号．
16.已知抛物线的方程为x 2
=8y ,F 是焦点,点 A (-2,4),P 为抛物线上一点,当|PF |+|PA |的值
最小时,点P 的坐标为_______
【解析】过A 作准线的垂线,交抛物线于P,
由抛物线定义可知,P 点为使|PF |+|PA |为最小值的点, 此时|PF |+|PA |=6
17.已知点()
22,0Q 及抛物线2
4
x y =上的动点(),P x y ,则
y PQ +的最小值是___.
【解析】动点P 到准线的距离为1y +, 所以1PF y =+,又