《高等几何》练习题库
一、填空题
1．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、 、 、 等四个方面组成的。
2．绝对几何学的公理体系是由四组， ， 条公理构成的。
3．罗巴切夫斯基函数)(x πω=当平行矩x 时，其对应的平行角ω连续递减。
4．斜率为k 的直线上的无穷远点的齐次坐标是 。
5．两个射影点列成透视对应的充要条件是 。
6．欧氏平面上添加了 后，成为仿射平面。
7．共线4点D C B A ,,,，若满足 ，则称点对B A ,与点对D C ,互成调和共轭。
8．平面内两点)0,,1(),0,,1(i J i I -称为平面内的 。
9．罗巴切夫斯基函数)(x πω=当平行矩x 连续递增时，其对应的平行角ω 。
10．球面三角形的三角和常小于 而大于 。球面三角形中两角和减去第三角常小于 。
11．射影变换T 是对合的充要条件是 。
12．共线4点D C B A ,,,，若满足1),(-=CD AB ，则称点对B A ,与点对D C ,互成 。
13．平面内两点 、 称为平面内的圆点。
14．几何学公理法从开始到形成，大体经历了 阶段。
15．《几何原本》被认为是用 建立的几何学。
16．欧几里得第五公设叙述为：
17．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 。
18．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理叙述为
19．罗氏平面上三角形内角和 二直角。
20．布里安香定理叙述为 。
21．欧氏直线上添加了 后，成为仿射直线。
22．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是 。
23．通过圆点的任意虚直线称为 。
24．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 .
25． 叫做对偶运算。
26．在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形 .
27．笛沙格定理叙述为
28．不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成 个透视对应的积。
29．二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是 .
30．巴斯加定理叙述为
31．《 》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。
二、计算题
1．求4点（AB ，CD ）的交比，其中)5,5,1(),0,0,1(),1,1,1(),1,1,2(---D C B A 。
2．求射影对应式，使直线L 上的坐标是1，2，3的三点对应直线L '上的坐标为3,2,1--- 的三点。
3．求点)1,2,1(P 关于二阶曲线06422331212
1=+++X X X X X X 的极线方程。 4．求过点)0,,1(i 上的实直线。
5．求重叠一维基本形的射影变换066=+'+-'λλλλ自对应元素的参数。
6．求由两对对应元素1与2
1，0与2所决定的对合方程。 7．求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点032321=++u u u 的直线的坐标。
8．求点)7,2,5(P 关于二阶曲线04263231312123222
1=---++X X X X X X X X X 的极线方程。
9．求4直线1234(,)l l l l 的交比，其中1234,,,l l l l 分别为
03,0,02,0=-=+=+=-y x y x y x y x .
10．求射影对应式，使直线L 上的坐标是3,1,0-的三点对应直线L '上的坐标为6,2,0-的三点。
11．求直线04321=-+x x x 上无穷远点的齐次坐标。
12．设点2),(),1,0,1(),1,1,1(),1,1,1(=-CD AB C B A ，求点D 的坐标。
13．求连接)1,2,1(i i -+与)1,2,1(i i +-的直线方程。
14．求射影对应式，使直线L 上的坐标是1,2,0-的三点对应直线L '上的坐标为0,3,1-的
三点。
15．求点)1,1,2(P 关于二阶曲线03422212
1=-+X X X X 的极线方程。 三、证明题
1．求证：0322212
1=-+u u u u 决定的点在相互垂直的两条直线上。 2．已知共面三点形ABC 与C B A '''是透视的，求证六直线B C A C A B C B C A B A '''''',,,,,属于同一个二级曲线。
3．设四点)7,9(),4,6(),5,7(),1,3(2121Q Q P P ，求证：1),(2121-=Q Q P P 。
4．设B A ,在二阶曲线c 上，D C ,不在c 上，BD AC ,分别交c 于Q P ,；BC AD ,分别交c 于V U ,。求证：UV PQ CD ,,共点。
5．直线AB 和CD 交于U ，AC 和BD 交于V ，U 、V 分别交AD 、BC 于F 、G ，BF 交AC 于L 。求证：LG 、CF 、AU 交于一点。
6．设直线OX 与三点形ABC 三边AB CA BC ,,分别交于C B A ''',,，证明：
),(),(O C B A CX AB O '''=
7．设三点形ABC 与'''C B A 是透视的，'BC 与C B '，'CA 与A C '，'AB 与B A '分别交于
N M L ,,。证明MN C B BC ,'',三线共点。
四、综合题
1．作已知点P 关于二阶曲线C 的极线。
2．作出下图的对偶图形。
3．作出下图的对偶图形。
4．作图证明：给定直线p 上四个不同点D C B A ,,,，建立一个射影对应使得
),,,(),,,(B A D C p D C B A p ∧
5．已知P 点在二阶曲线上，求作点P 的极线。
P
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
（0464）《高等几何》复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试内容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格（Desargues）定理：应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标：线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试内容 1.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。 3.一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。。 4.二维射影变换 5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。 6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。 7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。 变换群与几何学 一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群论观点。 3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。 二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。 2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。 二次曲线的射影理论 一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。 4.了解二阶曲线的射影分类。 二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。 2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。 3.二阶曲线的射影分类。 二次曲线的仿射性质和度量性质 一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。
数学与应用数学专业《高等几何》试卷B 一、 填空题（2分?12=24分） 1、仿射变换的基本不变性与不变量有 同素性、结合性、简比不变、保持平行性 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E , D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,, E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ， B A ''属于同一条二级曲线（ C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是 （ ）。 5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。 6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是 （ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线 0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22 221x y a b += ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。 3、 求射影变换11 2233x x x x x x ρρρ?'=-?? '=?? '=?? 的不变元素。 4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。 6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。 7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '， (3,7)P '- 的仿射变换。 三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求 (,)AB CD 的值。 （8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条 二阶曲线。（9分）
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1.射影变换基本不变量是__________。 2.欧氏几何基本不变图形是__________。 3.直线2x-y+1=0上无穷远点的齐次坐标是__________。 4.原点的方程是__________。 5.自极三角形是__________。 6.二次曲线在无穷远点处的切线叫做__________。 7.共线四点A ，B ，C ，D 交比的定义是(AB ，CD )=__________。 8.两个射影点列成透视的充要条件是__________。 9.平面上两个圆点的齐次坐标是__________。 10.焦点的极线称为__________。 二、计算下列各题(每小题6分，共36分) 1.求仿射变换? ??-=+-=y 2x 4'y 4y x 3'x 的自对应点 2.一直线上取A=（5，-7，-1）为第一基点，B=（1，-2，1）为第二基点，C=（-1，1，1） 为单位点，建立射影坐标系。求点D=（1，1，-5）的齐次射影坐标。 3.设直线上三个点A ，B ，C 的齐次坐标依次为（2，1），（1，2）与（-1，1），求D 点坐标，使(AB ，CD )=2。 4.求点（5，1，7）关于二次曲线2x 12+3x 22+x 32-6x 1x 2-2x 1x 3-4x 2x 3=0的极线。 5.设一对合由非齐次坐标为3的二重点，以及非齐次坐标为1和4的一对对应点决定，求对合的表达式。 6.求二次曲线xy+y 2-x-3y-2=0的渐近线。 三、求作下列图形(写出作法，画出图形，每小题6分，共12分) 1．已知共点直线l 1，l 2，l 3，求作直线l 4，使l 1,l 2，l 3和l 4构成调和线束。 作法：
《高等几何》试题（１） 1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1） 的象为原点 .( 15 ) 2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 ) 3. 写出直线3x x x 轴,y10 2x +2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.() 1 4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 ) 6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12) 124 1 2 3 43 7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 ) 8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题（２） 1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 ) 2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使 c i la i mb i(i 1,2,3). (10) 4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ， x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2 l 2的方程.(15)，求 3 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应 . ( 10) 7. 求两对对应元素 , 其参数为1 1 ,02, 所确定对合的参数方2
浙江省2002年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1._______，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_______不变量. 3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______. 4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______. 5.u u 1222- =0代表点_______的方程. 6.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(CA ，BD)=_______. 7.对合由_______唯一决定. 8.二阶曲线就是_______的全体. 9.证明公理体系的和谐性常用_______法. 10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线. 二、计算题(每小题6分，共30分) 1.求直线x -2y+3=0上无穷远点的坐标。 2.求仿射变换 '=-+'=++??? x x y y x y 71424 的不变点. 3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x 1-λx 3=0与x 2-'λx 3=0 ('λ=λλ-+12 )所决定的. 5.求二次曲线2x 2+xy -3y 2+x -y=0的渐近线. 三、作图题(每小题6分，共18分) 1.给定点A 、B ，作出点C ，使(ABC)=4. 作法： 2.过定点P ，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法：
3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线 作法： 四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分) 1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线. 证明： 2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′. 证明： 3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。 证明(按以下程序作业)： 第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在? 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?
某高校《高等几何》期末考试试 卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程
063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得，
某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
； 系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设1P (1)，2P (-1)，3P (∞)为共线三点，则=)(321P P P 。 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为042 2 31=-x x x ，则其线坐标方程为是 。 二、 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形 2. 22 1122280u u u u +-=表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( ) A.4类 B.5类 C.6类 D.8类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标)1 ± ±表示两个相异的点。（） ,1 ,1 (± 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（） 5.配极变换是一种非奇线性对应。（）
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1
二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ' 'I AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0， 13x +2x -32x =0, 17x -2x =0，15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。（10分） 解：因为
《高等几何》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1） 的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点 P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2 - ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1 → ,0→2,所确定对合的参数方
某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1
11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
《高等几何》练习题 一 、判断题 （ ）1、两个三角形的面积之比是仿射不变量。 （ ）2、变换群越大，它所对应的几何内容越丰富。 （ ）3、无穷远直线与二阶曲线没有交点。 （ ）4、一点的极线是其所有调和共轭点的轨迹。 （ ）5、三角形的三中线共点是仿射性质。 （ ）6、一直线的齐次线坐标唯一。 （ ）7、仿射变换把单位向量仍变为单位向量。 （ ）8、交比是射影不变量。 （ ）9、透视对应必是射影对应。 （ ）10、平面内不共线三点可以确定一条二阶曲线。 （ ）11、渐近线是二次曲线的自共轭直径。 二、填空题 1、 梯形的仿射图形是 。 2、 等边三角形的仿射图形是 。 3、 “点”与“ ”叫做平面上的对偶元素。 4、 设)8,1(),2 1,21(),2,1(C B A ---为共线三点，则=)(ABC 。 5、 已知点)1,0,1(),1,1,1(),1,1,1(=-==D B A 且2),(=CD AB ，则=C _________。 6、 四点)1,0,1(),3,1,3(),1,1,1(),1,1,1(4321P P P P --在同一直线上，则 =),(4321P P P P _________。 7、 无穷远直线的齐次方程为________________________________。 8、 012=++y x 上的无穷远点的坐标是 。 9、 直线]1,2,[i i -上的实点坐标为 。 10、 一点),,(321x x x x ≡在一直线],,[321u u u u ≡上的充要条件是 _________________。 11、 已知点A 的坐标)1,1,2(-及点P 的方程032321=++u u u ，则直线AP 的方 程为 。 12、 设二直线]3,1,2[],1,1,1[交点为A ，点P 的线坐标方程为032321=++u u u ， 则直线AP 方程为 。
《高等几何》试题（A ） 一、 填空题（每题3分共15分） 1、 是仿射不变量， 是射影不变量 2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为 3、 过点（1,i,0）的实直线方程为 4、 二重元素参数为2与3的对合方程为 5、 二次曲线2 2 611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分） 1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ） 3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ） 4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ） 5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ） 三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1） 变为（-1，2） 四、（8分）求证:点(1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s 使 ,(1,2,3)i i i c ta sb i =+= 五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/ 32 4 x x x += +证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（10分） （1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222 123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线 （2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理 九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线 222 123420u u u +-=的直线 十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点， 如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求
《高等几何》考试试题A 卷（120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。
由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0, 17x -2x =0， 15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。 （10分） 解：因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴（2x =0）的交点顺次为 A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(51 ,0)， 所以 （1l 2l ,3l 4l ）=（AB ，CD ）= ) 2 151)(320() 3251)(210(+--+=21 五、求两对对应元素，其参数为12 1 →，0→2，所确定的对合方程。（10分）
一、填空题（每小题3分，共15分） 1 经过中心射影后图形的不变性质称作图形的 。 2 如果两直线有相同的无穷远点，则两直线 。 3 设p 是线段12,p p 的中点，则()12p p p = 。 4 以两条不同直线0α=，0β=的交点为顶点的线束中的任一直线的齐次坐标方程能够写作 。 5在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是 。 二、选择题（每小题3分，共15分） 1 仿射变换是射影变换。（ ） 2两共轭复直线的交点为一复点。（ ） 3 两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应。 （ ） 4 设四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，则第四点必唯一确定。（ ） 5射影平面上所有射影变换的集合构成群。（ ） 三、（10 分） 1 求点()3,4，()0,1，()2,0-，()0,0的齐次坐标。 2求直线310x y --=，123360x x x -+=上的无穷远点的齐次坐标。
四、（10分） 求对合的方程，这个对合的二重元素的参数为2与3。 五、（10分） 求射影变换 112 22 33 x x x x x x x ρ ρ ρ ?'=+ ? ?' = ? ?' = ?? 的不变点坐标.
六、（10分） 已知四点()13,1,2p -， ()21,3,1p ，() 32,2,3p --，()41,5,4p --，求 ()1234,p p p p
七、（15分） 证明圆上任一点与与圆内接正方形的四个顶点的连线组成调和线束。（即如图）求() EA EC EB ED=- ,1 E