浅谈函数周期性的推导及其应用
腾冲第八中学刘世庆
【摘要】：本文通过对一般函数的周期性进行推导及应用,进一步培养学生严谨的逻辑思维能力和应用函数思想研究问题、解决问题的能力.
【关键词】：周期函数周期性对称性图象
函数是中学数学的主体内容,函数的周期性是函数几个重要性质之一. 对函数周期性的探索及应用,是近年来高考的一个热点.函数的周期性是在《普通高中课程标准实验教科书数学4》研究三角函数的性质时给出的，对于一般函数的周期性没有作进一步的介绍，因此一般函数周期性的推导和应用成为了很多学生学习的难点.本文通过对一般函数的周期性进行推导及应用，进一步培养学生严谨的逻辑思维能力和应用函数思想研究问题、解决问题的能力.
一、周期函数的定义
对于函数)
f，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值
(x
时，都有)
+，那么函数)
(x
f就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个f=
x
(
(x
)
T
f
函数的周期.
周期函数的周期不止一个. 如果非零常数T是一个函数的周期，那么
nT且都是这个函数的周期. 如果在周期函数)
Z
n
∈n
(≠
)0
f的所有周期中存
(x
在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)
f的最小正周期.周期通常指的
(x
是最小正周期.
二、周期函数性判定的几个常见结论
2.
①若函数)
f-
x
=
(x
f是周期函数，周期T=a
+，则)
f
f满足)
(x
(
)
x
(a
a
其中0
a.
≠
x+替换后得
推导:将式子)
x
f-
=
+中的x用a
f
(
)
a
x
(a
2.
2
)
(
+,即)
(x
f=
+,所以周期T=a
=
x
a
f
+
a
x
)
(
)
f
(a
a
+
x
f-
a
同理可得: 若函数)
f-
x
=
f是周期函数，周期
a
(x
+，则)
f满足)
(
(x
)
(b
x
f
a+.
T=b
2.其中
②若函数)
=
f-
+,则)
(x
f是周期函数，周期T=a
x
)
a
(x
(
f满足)
(x
f
a.
≠
推导:将式子)()(x f a x f -=+中的x 用a x +替换后得
)()()2(x f a x f a x f =+-=+,所以周期T=a 2.
② 若函数)(x f 满足)(1)(x f a x f ±
=+,则)(x f 是周期函数，周期T=a 2. 其中0≠a .
推导:将式子)
(1)(x f a x f ±=+中的x 用a x +替换后得)()
(1)2(x f a x f a x f =+±=+,所以周期T=a 2. ④ 若函数)(x f 满足)(1)(1)(x f x f a x f +-=
+，则)(x f 是周期函数，周期T=a 2.其中0≠a .
推导:将式子)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+中的x 用a x +替换后得)()
(1)(11)(1)(11)(1)(1)2(x f x f x f x f x f a x f a x f a x f =+-++-
-=+++-=+,所以周期T=a 2. 同理可得: 若函数)(x f 满足)(1)(1)(x f x f a x f -+=
+，则)(x f 是周期函数，周期T=a 4.
⑤ 若函数)(x f 的图象分别关于直线b x a x ==,对称,则)(x f 是周期函数，周期T=b a -2.其中b a ≠.
推导:由条件得)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=,
于是得)2()2(x b f x a f -=-,
将上式中的x 用x b -2替换后得)()22(x f x b a f =+-，所以周期T=b a -2.
特别地，若函数)(x f 是偶函数且图象关于直线a x =对称，则)(x f 是周期函数，周期T=a 2.其中0≠a .
⑥ 若函数)(x f 的图象分别关于点)0,(),0,(b a 对称,则)(x f 是周期函数，周期T=b a -2.其中b a ≠.
推导:由条件得)2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=,
于是得)2()2(x b f x a f -=-,
将上式中的x 用x b -2替换后得)()22(x f x b a f =+-，所以周期T=b a -2.
⑦ 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和直线b x =对称,则)(x f 是周期函数，周期T=b a -4.其中b a ≠.
推导:由条件得)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=,
于是得)2()2(x b f x a f --=-,
将上式中的x 用x b -2替换后得)()22(x f x b a f -=+-，所以周期T=b a -4.
特别地，若函数)(x f 是奇函数且图象关于直线a x =对称，则)(x f 是周期函数，周期T=a 4.
对于第⑤⑥⑦三条结论，可以利用正弦函数或余弦函数图象来进行理解和记忆.
三. 函数周期性的应用举例
例1 设)(x f 是R 上的奇函数,满足),()2(x f x f -=+则()6(=f )
A .-1 B.0 C.1 D .2
解析: ),()2(x f x f -=+ ),()4(x f x f =+∴
)(x f ∴是以4为周期的周期函数
)2()42()6(f f f =+=∴
),()2(x f x f -=+且)(x f 是R 上的奇函数,
0)0()2(=-=∴f f ,故选答案B.
点评:此题是利用周期性求函数值的一个例子,解题的关键在于结合已知条件进行合理的变量替换求出周期.
例2 若函数)(x f 的最小正周期为4,而)2()2(x f x f -=+对于一切R x ∈成立,则)(x f ( )
A.是奇函数而非偶函数
B.是偶函数而非奇函数
C.是奇函数又是偶函数
D.不是奇函数也不是偶函数
解析:4=T 且))(2()2(R x x f x f ∈-=+
)()22()22()4()(x f x f x f x f x f -=--=++=+=∴
即)()(x f x f -=
)(x f ∴是偶函数,故选答案B
点评:此题是利用周期性判断函数的奇偶性的一个例子, 解题的关键在于周期性的定义式)()(x f T x f =+的应用.
例3已知偶函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称,且]4,3[∈x 时,,12)(-=x x f 则]15,14[∈x 时)(x f 的解析式为______.
解析:当]3,4[--∈x 时, ]4,3[∈-x ,
12)(--=-∴x x f
又)(x f 为偶函数, 12)(--=∴x x f
即]3,4[--∈x 时, 12)(--=x x f
由条件得)()(x f x f =-及)2()(x f x f -=,于是)2()(x f x f -=-
)2()(x f x f +=∴
∴)(x f 是以2为周期的周期函数
当]15,14[∈x 时,]3,4[18--∈-x
1)18(2)18(---=-∴x x f
又)()18(x f x f =-
]15,14[∈∴x 时,352)(+-=x x f
点评:此题是利用周期性求解析式的一个例子, 比较综合地考察了函数的奇偶性、对称性、周期性,解析式的求法.
例 4 定义在R 上的偶函数)(x f 满足)0)(()
(2)1(≠-=+x f x f x f ,且在区间(2013,2014)上单调递增,已知βα,是锐角三角形的两个内角,比较)(c o s ),(sin βαf f 大小的结果是( )
A. )(cos )(sin βαf f <
B. )(cos )(sin βαf f >
C. )(cos )(sin βαf f =
D. 以上情况均有可能 解析: 由)0)(()(2)1(≠-=+x f x f x f 得)()
1(2)2(x f x f x f =+-=+, ∴)(x f 是周期为2的周期函数.
∴)0()2014(),1()12014()2013
(f f f f f =-=-=, )(x f 在区间(2013,2014)上单调递增, ∴)(x f 在区间(-1,0)上单调递增. 又)(x f 是偶函数, ∴)(x f 在区间(0,1)上单调递减.
βα,是锐角三角形的两个内角, ∴2π
βα>+即220π
αβπ
<<-<, ∴0cos )2
sin(sin 1>=->>ββπ
α,从而)(cos )(sin βαf f <.故选答案A.
点评:此题是利用周期性比较大小的一个例子,首先根据周期性和对称性得到所需区间上的单调性,再利用单调性比较大小. 例 5 已知)(x f 对一切R x ∈都有)7()7(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+,且0=x 是方程0)(=x f 的一个根,求方程0)(=x f 在区间]1000,1000[-上至少有几个根.
解析:0)10()0()4(===f f f
∴在区间]10,0(上,方程0)(=x f 至少有两个根10,421==x x
又由函数的对称性及周期的关系知)(x f 是以10为周期的周期函数,且在每个周期上至少有两个根
∴ 方程0)(=x f 在区间]1000,1000
[-上至少有40110
1000221=??+个根 点评:此题是利用周期性确定方程根的情况的一个典例,解题关键在于根据条件确定一个周期内的解的情况,再由周期性下结论. 例6 已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足),()4(x f x f -=-且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在[-8,8]上有四个不同的根1x ,2x ,3x ,4x ,则1x +2x +3x +4x =____________.
解析: 由于)(x f 是R 上的奇函数且在区间[0,2]上是增函数,我们就得到了)(x f 在[-2,2]上的特征图象(0)0(=f ).根据)()4(x f x f -=-得)()4(x f x f =-,所以)(x f 的图象关于直线2=x 对称,因此得到)(x f 在[2,6]上的特征图象. ),()4(x f x f -=-∴)()4()8(x f x f x f =--=-,故)(x f 是以8为周期的周期函数.
根据周期性得到)(x f 在[-8,8]上的特征图象,如图所示:
根据图象不难看出方程)0()(>=m m x f 的其中两根关于直线6-=x 对称，另两根关于直线2=x 对称，不妨设1x <2x <3x <4x ,则
6221-=+x x ,6221-=+x x ,所以1x +2x +3x +4x =-12+4=-8.
点评:此题根据函数的对称性,周期性画出函数的大致图象,再根据图象特征解决相关问题,采用了数形结合法.
函数的周期性问题既综合又灵活,对学生的逻辑思维能力、想象力、函数知识灵活应用的能力要求很高.解决这类问题的关键是根据条件进行合理的变量替换,正确的求出周期,有时结合函数图象效果更好.
几种特殊性质的函数的周期： ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ) (1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ③若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数； ④y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数 y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；如：正弦函数 sin y x = ⑤若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数； ⑦正（余）弦型函数定义域为R ，周期为T ，那么，对于任意R m ∈，区间[)T m m +,内有且只有两个量21,x x ，满足()()21x f x f =。正切型函数则只有一个。 ⑧0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(() (1)(≠= +x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 例1．若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01， -上是增函数，且)()2(x f x f -=+，则 ①)(x f 关于 对称； ②)(x f 的周期为 ； ③)(x f 在（1，2）是 函数（增、减）； ④）时，，（若10∈ x )(x f =x 2，则=)(log 18 21f 。 例2．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间 [2，3]上 )(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 。 4．函数（图象）的对称性 1）证明一个函数图象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题
专题函数的周期性 一知识点精讲 1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集 2性质 ①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； 3?几种特殊的具有周期性的抽象函数: 函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数) (1) f x f:X a，则y f x的周期T a . (2) f x a f x，贝U f x的周期T2a . (3) f x a的周期T2a . ，贝U T x f x (4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a . (5) f(x a)1 f (x)，则f x 1 f(x)的周期 T2a . (6) f(x a) 1 f(x)，则f 1 f (x) x的周期T4a数. (7) f(x a) 1 f (x)，则f x 1 f(x) 的周期T4a . (8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为 T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a . (9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是 以2 b a为周期的周期函数. (10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数 f (x)是2 b a为周期的周期函数. (11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数 f (x)是以4 b a为周期的周期函数. (12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a. 二典例解析 1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( ) A.0.5 B. —0.5 C.1.5 D. —1.5 2. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( ) ②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为 2 2
函数的周期性及其应用解题方法 方法提炼 抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形： (1)若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期； (2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期； ! (3)若满足f(x＋a)＝1/f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1/f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期； (4)若函数满足f(x＋a)＝－1/f(x)，同理可得2a是函数的一个周期； (5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)； ②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象． 没有等价变形而致误 ' 【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性，并证明； (3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0. > (2)f(x)为偶函数，证明如下： 令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数． (3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 》 f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， 由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3， 得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)． 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴(3x＋1)(2x－6)≤64. 《 ∴－7/3≤x≤5. 分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1， 有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数，证明如下：
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结 篇一：函数周期性结论总结 函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a ②f(x+a)=±1T=2af(x) ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得 f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式 f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称 所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以 f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)
代换x=x+2a得： f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x)假设 a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 ⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞ b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称 =f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)]
精品文档 . 函数周期性结论总结 ① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±) (1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b ④f(x)为偶函数，且关于直线x=a 对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a 对称 所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a 对称，T=4a 证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a 证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得： f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称，T=2|a-b| 证明：f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x) 假设a ＞b (当然假设a ＜b 也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a ＞b) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x ) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x) 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称
高中数学函数的周期性练习 题型一：求周期问题 【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ） A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数 【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期 【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ??- ?? ?为奇函数．给出以下3个命题： ①函数()f x 的周期是6； ②函数()f x 的图象关于点302 ??- ???，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2 b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ． 2a b + B ．2()b a - C ．2 b a - D ．4()b a - 【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =?，且(0)0f ≠． ⑴求证：()f x 为偶函数； ⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）． 典例分析
【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2 x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=?，(1)0f a =>． ⑴求1()2f 及1()4 f ； ⑵证明()f x 是周期函数； 题型二：求值问题 【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304??- ??? ，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ??=-+ ?? ?，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12 x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x += ，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【例10】 (2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( ) (A )－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【例11】 （1996全国，15）设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当0≤x ≤1时，()f x x =， 则f （7.5）等于（ ） A .0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 【例12】 已知函数f (x )的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)若f (0)＝2004，求 f (2004)
函数的周期性 一、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性 动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现. 因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π. 2、y =sin （ωx ）的最小正周期 设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有 ω ωπ 2π2= ?=L L 例如 sin2x 的最小正周期为π2 π 2= sin 2 x 的最小正周期为π42 1π2= 3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性 对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ω π 2=L . 如?? ? ? ?+ =2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2. 于是，余弦函数??? ? ? --=??? ??-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是 2π. 二、复合函数的周期性 将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx
函数周期性分类解析 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足f(x+a)=() x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= () x f 1 -(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1() ()1() f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1() ()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.
8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= ) (1) (1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的 一个周期。 9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则 函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； 11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它 的一个周期。 13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2 T )=0.
一、选择题 1．(2016·广西中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12 D ．y ＝x 3 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ? ?? ?? 20152等于( ) A. 3＋1 B. 3－1 C ．－3－1 D ．－ 3＋1
3．(2016·模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ? ????13 函数的周期性 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性 的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 基本简介： 函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现假如函数f(x)=f(x +T)(或f(x +a)=f(x-b)其中|a-b|=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一 个周期. 主要说明： 1.概念的提出：将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随 角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个 值时，“函数值”有规律的重复出现。 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个不为零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，f（x T）=f（x）都成立，那么就把函数 y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数 函数周期性 函数周期性的周期。 “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的 表达. 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x T)=f(x) 概念的具体化： 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 T=2kπ(k∈Z且k≠0) 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) 展示正、余弦函数的图象。 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” 令(x T)2=x2,则x2 2xT T2=x2 所以2xT T2=0, 即T(2x T)=0 所以T=0或T=-2x 强调定义中的“非零”和“常数”。 例:三角函数sin(x T)=sinx cos(x T)=cosx中的T取2π 3. 最小正周期的概念： 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 由函数特征式判断函数的周期性及周期 李圣平 (宜昌市体育运动学校，湖北宜昌 443000) 摘要探讨利用函数的特征式研判函数的周期性和周期，让学生掌握研究和判断的方法很有必要，在此给出了用函数特征式研究和判断函数周期性及周期的一般方法，研究了几种具体情形供师生参考。 关键词函数；特征式；判断；周期函数；周期 函数的周期性是高中数学的一个重要知识点，用函数的特征式判断函数的周期性和周期具有抽象性，可以考察学生的抽象思维能力和想象能力，此类问题在高考题中多年涉及，学生掌握一些类型的研究方法及其结论十分必要，本文做出了一些相关探讨。 1 函数的周期性与周期 1. 1 周期函数及其周期的几何定义 从图象上看，函数的图象能够划分为无数段向左右两边无限重复延伸的全等图象段，分点若为函数图象上的点，则为相邻图象段的公共点，将每一段图象称为重复段，将任一重复段向左右无限重复延伸就得到整个函数的图象，这样的函数称为周期函数。周期函数的任一重复段夹在某两条直线x=a和x=b之间（a ＜b﹚，在左或右要么与直线相交，要么可以与直线无限趋近，将这个重复段向左平移b-a个单位或者向右平移b-a个单位得到与其左右紧邻的重复段，将b-a 称为该函数的一个正周期，a-b称为该函数的一个负周期，每一个重复段称为该函数的一个周期内的图象。如果重复段不能再划分为可重复的小重复段，则把周期b-a称为该函数的最小正周期。 1. 2 周期函数及其周期的代数定义 对于函数f（x），如果存在非零常数k，使f（x+k）=f（x）成立，称函数f （x）为周期函数，把k称为该函数的一个周期。如果k为正数，该函数不存在比k小的正周期，则把k称为该函数的最小正周期。把等式f（x+k）=f（x）称为函数f（x）的一个特征式。 2 用函数的特征式判断函数的周期性和周期 定理1 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，都有：f（x+a）=f（x+b）或f（a-x）=f（b-x），其中a、b是常数，且a≠b，则函数f（x）是周期函数，且a-b是f（x）的一个周期。 证明：若f（x+a）=f（x+b），（a≠b），则用此关系有：f（x）=f（（x-b）+b）=f（（x-b）+a）=f（x+（a-b）），根据周期函数的定义，函数f（x）是周期函数，且a-b是f（x）的一个周期。若f（a-x）=f（b-x），（a≠b），则用此关系有：f（x）=f（b-（b-x））=f（a-（b-x））=f（x+（a-b）），表明函数f（x）是周期函数，且a-b是函数f（x）的一个周期。 定理2 若函数f（x）对其定义域内的任何x的值，满足下列条件之一，则函数f（x）是周期函数，且2（a-b）是函数f（x）的一个周期，这里a≠b。 条件1：f（x+a）= -f（x+b）或 f（a-x）= -f（b-x）； 条件2：f（x+a）=1／f（x+b）或f（a-x）=1／f（b-x），（f（x）≠0）； 条件3：f（x+a）= -1／f（x+b）或 f（a-x）=- 1／f（b-x），（f（x）≠0）。 这里只对满足条件3的函数f（x）是周期为2（b-a）的周期函数作证明，其余的用类似的方法（变形法）证明。 函数周期性的应用 1．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，恒有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2017)＋f (2018)＝( ) (A)0 (B)e (C)e －1 (D)1－e 2.已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时， f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ? ????x ＋12＝f ? ?? ??x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 3.已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________． 4．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 5．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－3 D ．0 6．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－3) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 7．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >c >a D ．a >c >b 8．定义在R 上的偶函数满足f ? ????32＋x ＝f ? ?? ??32－x .且f (－1)＝1，f (0)＝－2， 周期函数的定义 1、对于函数f(x)，如果存在一个非零常数.T ,使得当x 取定义域内的每一个值.时，都有 f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。 ① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其 定义域必为至少一端无界的集合。 理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内，故周期函数定义域必是无界集。 例题：y sin x(0 x 10 )是周期函数吗？ ② 变的只能是x T 的变化只能发生在 x 上。例如f(x) sin(3x 8)是周期函数，则 f (x T) sin[3( x T) 8]，不能写成 f (x T) sin(3x T 8)。 ③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。 例如：f (x) x [x] ( 3 x 3 ) ([x]是取整函数，表示不超过 x 的 最大整数)，该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域 两端都有界，所以其必不为周期函数。 周期函数问题的相关题型及解答。 核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期 T ,即将题目里各种f(x)的等 式往f(x T) f (x)方向化简。 化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意f(x)本身的对称 性和奇偶性。 抽象函数的周期总结 周期函数 例题：sin - 2 3 sin -，那么2 3 是sin (为的周期吗? 3 1. f(x) f(x T)型：f(x)的周期为 T o 证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T) f (x)，贝y f (x)为周期函数，T 叫 函数f (x)的周期。 2. f (x a) f (x b)型：f(x)的周期为 |b a|。 证明：f (x a) f (x b) f (x) f (x b a)。 3. f (x a) f (x)型：f (x)的周期为 2a o 1 4. f (x a) 型：f (x)的周期为2a o f(x) 1 —f(x)。 f(x) 1 5. f (x a) —型：f (x)的周期为 2a 。 f(x) 6. f (x a) 1一型 型：f (x)的周期为4a 。 1 f(x) f(x) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] f (x a) [f(x)] f(x) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] 1 f(x a) 证明：f (x 2a) f [(x a) a] 1 f (x a) 1 1 f(x) f (x) o 证明：f (x 2a) 1 1 f (x a) 1 f (x) 1 1 f (x a) 1 1 f(x) 1 f (x) f(x)' f (x 4a) f [(x 2a) 2a] 1 f(x 2a) f (x) o 7. f (x a) 1 f (x) 1 f (x) y f(x)的周期为T 2a f [(x a) a] 1 1 f(x) 八、函数的周期性 ㈠ 主要知识： 1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()() 1 f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1() ()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1() ()1() f x f x a f x -+=- +，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1() ()1() f x f x a f x ++= -，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为 4T a =， 若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =. ⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数； ⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； ⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 3、图象的对称性 一个函数的对称性： 1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称 ()2(2)f x b f a x ?=--?b x a f x a f 2)()(=-++ 特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ? =--。 ② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-?。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ?关于点()0,a 对称。 ④ c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） 专题五 函数的周期性 一、定义 二、结论： 1． 若对f(x)定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立： ①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=)x (f 1 ③f(x+a)= －) x (f 1 ④f(x+a)= f(x －a) ⑤f(x+a)=11+－)x (f )x (f ⑥f(x+a)=)x (f )x (f +11－ 则f(x)是周期函数，____________是它的一个周期。 2．若f(x)同时关于直线x=a 与直线x=b 对称（a ＜b ）,则f(x)是周期函数，____________是它的一个周期，若f(x)关于直线x=a 对称同时关于点（b ，0）对称（b ≠a ），则f(x)是周期函数，____________是它的一个周期，若f(x)关于点（a ，0）对称同时关于点（b ，0）对称（b ≠a ），则f(x)是周期函数，____________是它的一个周期。 三、应用 例1．设函数f(x)(x ∈R)是以3为周期的奇函数，且f(1)＞1,f(2)=a ，则（ ） Ａ．a ＞2 Ｂ．a ＜－2 Ｃ．a ＞1 Ｄ．a ＜－1 例2．设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x+2)= －f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则 f(7.5)等于（ ） Ａ．0.5 Ｂ．－0.5 Ｃ．1.5 Ｄ．－1.5 例3．已知函数ｆ(x)满足：f(1)= 4 1，4f(x) .f(y)=f(x+y)+f(x －y) (x ，y ∈R)，则f （2014）=________。 例4．在数列{n a }中，1a =2 1，1+n a =1－n a 1，则2014a =________。 函数复习 内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一．常见函数（基本初等函数）： 1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx ax y 4．x y 1 = 5．幂函数：)(Q a x y a ∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x 且 7．对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且 8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc = 由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如：d cx bx ax y +++=23， x x y 2log 1sin + =，x x y 513 +=，试着分析以上函数的构成。 二．定义域： 1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。 2．求定义域： 例1求下列函数定义域：（1）23()lg(31)1x f x x x =++- （2）)25(log sin )(22 1x x x f -+= 例2设2()lg 2x f x x +=-，则2 ()()2x f f x +的定义域为__________ 变式练习：24)2(x x f -=-，求)(x f 的定义域。 三．值域： 1．①432+=x x y ②1 1 y 22+-=x x 2． ①1+=x x y ②1 1+-=x x y ③]5,1(,1 4522∈-+-=x x x x y ④1sin 10 sin 7sin 2+++=x x x y 3． ①2123y x x =++； ②2 2422 --=x x x y 4． ①12-+-=x x y ； ②12y x x =-- 5． ①)3)(cos 3(sin ++=x x y 函数的周期性 1．周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 问题1 ①若常数T （≠0）为f (x)周期，问nT( n ∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？ 2 常见函数的最小正周期 正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ωπ2 y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ω π 2 y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ω π y =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T= ωπ f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题 结论：有的周期函数没有有最小正周期 3抽象函数的周期总结 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) ()(x f c a x f =+ (C 为常数) ?)(x f y =的周期为a T 2= 5 )(1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 7、 1 )(1)(+-=+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 4= 8、)(1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6=函数的周期性
用函数的特征式判断函数的周期性及其周期
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