圆锥曲线过焦点弦最短问题
武安一中：郅武强
直线与圆锥曲线位置关系是高考近几年解析几何命题的热点。弦长问题是我们常见问题，这里往往涉及到弦长最值。直线过圆锥曲线的焦点与圆锥曲线的相交弦何时最短，是学生比较困惑的地方。现对抛物线、椭圆、双曲线过焦点的弦何时最短证明如下： 1.抛物线： 已知抛物线的标准方程为22y px =，过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值.
①若直线AB 的斜率不存在，则
2AB p =
②若直线AB 的斜率存在不妨设为k ，则直线AB 的方
程为()2p
y k x =- 与抛物线联立方程组22()2
y px
p y k x ==-??? 消去y 得22
2
2
2
(2)04
k p k x k p p x -++= 设A 、B 的坐标分别是 11(,)x y ，22(,)x y 由焦点弦公式得：
1222212(1)2p AB x x p p p p p k k
=++=+
+=+> 故当直线AB 和x 轴垂直的时候AB 最小，即最小值为2p 。 2.椭圆
已知椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=，过椭圆右焦点F 的弦交椭圆于A 、B 两点，
求AB 的最小值。
解：如图所示： 设A 、B 点的坐标分别是11(,)A x y ,22(,)B x y
若直线AB 的斜率不存在则2
2b AB a
=
设直线AB 的斜率存在为k 则直线AB 的方程为
()y k x c =- 与椭圆联立方程组得：
22
22
()1y k x c x y a b =-+=????? 消去y 得
2
2
2
2
2
2
22
22
()20b a k x a ck x a c a b +-+-= 22
12222
2a ck x x b a k +=+ 由焦半径公式可得： 2222
122222
22
222()22c a ck ac k AB AF BF a e x x a a a b a k b a k =+=-+=-?=-++
222
222
2
22222ac ac b a a b a a a k =->-=+
故当斜率k 不存在时侯AB 最短2min 2b AB a
= 3.双曲线
已知双曲线的方程为22
221x y a b
-=，过双曲线的右焦点F 的直线与双曲线的右支交
与A 、B 两点，求AB 的弦长最小值。
解： ①若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为 x c =
2
2b a
AB 的斜率存在，不妨设斜率为k,则直线AB
()y k x c =-与双曲线联立方程可得
22
221
()x y a b y k x c -==-?????
消去y 得22222222222
()20b a k x a ck x a k c a b -+--= 1212
0x x x x ?>+>>??? b k a ?>
或b
k a
<- 由焦半径公式可得： 12()2AB e x x a =+-
22222222222222
22
222222222c a ck ac k ac c b a a a a b a a k b a k b a a a k
=?-=-=->-=--- 所以当直线AB 与x 轴垂直时AB 的长最小，即最小值为2
2b a
。
综上所述，过焦点的直线与圆锥曲线的相交弦，只有当斜率不存在时，即直线AB 与x 轴垂直时，AB 最短，即圆锥曲线通径。
梳理抛物线焦点弦的有关结论 知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(), ,11y x A ()22,y x B ，则（1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -=证明：如图， （1）若AB 的斜率不存在时， 依题意,221p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则? ? ?=2:k y AB .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211==Θ，,22142221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:p my x AB +=与px y 22=联立，得 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2） 设直线AB 证明：（1）由抛物线的定义知 （2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ??-=≠与设α联立，得 (),22221k k p x x +=+∴() 222112k k p p x x AB +=++=∴知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 证明：过点B A 、
,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则11=∠FB A 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明 知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点与x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠ 证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而11∠=∠BB K AA K AA 1?∴∽K BB 1? KB B KA A 11∠=∠∴ 知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则//BC 证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则 由知识点1知2 21p y y -= 2222y y p p y C =--=∴逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。 证明略 知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F ,,n BF m AF ==则 证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =
关于抛物线焦点弦的一个优美结论 江苏省兴化中学章庭远 在抛物线的教学过程中,不少老师应该遇到过这样一道关于抛物线的焦点弦的题目. 题目：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长度分别为则（） Ａ. B. C. D. 这道题目有一个快速而且准确的解法,就是我们在解选择题时常用的“特殊值法”或称“特例检验法”.我们可假设直线与轴垂直,则与相等,这里还有个特别注意的就是很多学生在解题的时候会犯的一个低级错误,认为抛物线的标准方程中对应的就是,其实这里我们要稍微转化一下,本题中与 对应的应该是,故本题答案是而不是 但是我们作为老师,不是解完这道题目就了了,我们还可以再仔细分析一下本题,这题很有意思,四个选择支全是常数,也就是说抛物线的焦点弦被焦点分成两部分的线段的长度的倒数和与焦点弦的倾斜程度好象没有关系,那么这样的猜想到底对还是错呢?若这个猜想是正确的,那么这样的倒数和到底是多少呢?下面我以焦点在轴正半轴的标准抛物线来研究这个问题 题目：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,且 试求的值. 探究：因为直线可以垂直于轴,故我们有必要先分类讨论.
(一).若直线垂直于轴.如图1,若轴,由易得 .则于是,有 到这里,我们可以猜测, 若为定值的话,那么这个值估计就是下面对一般情形进行分析. (二).如图2,令直线的倾斜角为
方法一令在轴上的射影分别为在准线上的射影分别为准 线与轴的交点为由抛物线的定义,有,又四边形为矩形,有则而.于是 ,解此关于的方程,得同理：则 为定值. 当然,在时,同理可以证明这个结论.结论成立,在证明此结论的过程中,还得到了一个副产品,即：由 .当时,最大,则最小,此时,称为通径. 在研究一般情形时,还可以采用下面一种方法,也是比较简便的.
有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1： p x x AB ++=21 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ 2 sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得 θ θθ2 2212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =? 结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x = =∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3） BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5） 2 121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 Θ11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴Θ又B AM
与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件
[很全]抛物线焦点弦的有关结论 知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则 （1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -= 证明：如图， （1）若AB 的斜率不存在时， 依题意,2 21p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则? ? ? =2:k y AB () 04222222 222 2=++-?=?? ? ??-p k px k x k px p x k .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211== ，,22142 221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2 :p my x AB + =与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知 ,2 ,221p x BF p x AF +=+= p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x = ==则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ? ? -=≠与设α联立，得
() 04222222 222 2 =++-?=??? ? ?-p k px k x k px p x k (),22221k k p x x +=+∴() 22211 2k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ， () α αα2 22sin 2tan tan 12p p AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r . 2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+== ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则0 1190=∠FB A 。 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明 知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠ 证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为11////BB KF AA B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1?∴∽K BB 1? KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴
抛物线焦点弦性质总结 30 条 基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切； p 2 2. x 1gx 2 ; 4 3. y 1gy 2 p 2 ; 4. AC ' B 90o ; 5. A' FB ' 90o ; 6. AB x 1 x 2 p 2( x 3 p 2 p ; ) sin 2 2 1 1 2 7. BF ; AF P 8. A 、 O 、 B ' 三点共线； 9. B 、 O 、 A ' 三点共线； 10. S V AOB P 2 ； 2sin 11. S V 2 AOB P 3 （定值）； AB ( ) 2 12. AF P ； BF P ； cos cos 1 1 13. BC ' 垂直平分 B ' F ； 14. AC ' 垂直平分 A 'F ； 15. C 'F AB ； 16. AB 2P ； 17. CC' 1 AB 1 ( AA' BB') ； 2 2 18. K AB = P ； y 3 19. tan = y 2 p ; x 2 - 2 2 20. A'B' 4 AF BF ;
21. C'F 1 A'B' . 2 切线方程 y 0 y m x 0 x 性质深究 一 ) 焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？ 结论 1：交点在准线上 先猜后证：当弦 AB x 轴时，则点 P 的坐标为 证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 p ,0 在准线上． 2 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点． 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、 AB 是抛物线 y 2 2 px （p ＞ 0）焦点弦， Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， AA 1 l ， BB 1 l ，过 A ， B 的 切线相交于 P ， PQ 与抛物线交于点 M ．则有 结论 6PA ⊥ PB ． 结论 7PF ⊥ AB ． 结论 8 平分 ． M PQ 结论 9 PA 平分∠ 1 ， 平分∠1． AAB PB B BA 结论 10 FA FB 2 PF 结论 11 S PAB min p 2 二 ) 非焦点弦与切线 思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时， 也有与上述结论类似结果：
有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：p x x AB ++=21 p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2 ()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2 sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= : 由弦长公式得θ θθ22212 sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =?
()8 sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 2 1 sin 21322 20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB = ∴=???=??=+?=??+??= +=????θθθθθ?θ 结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x = =∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 ： 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴= 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 - （5）2 1212 1 4M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 1 11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ?=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ?=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴ 又B AM ?=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2 212 1 AB B M AM =+ ()()()2 12 12 11 2 42MM MM BB AA BF AF ==+=+= ,
圆锥曲线焦点弦问题
θ2222 sin 2c a ab - 高考题：1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则 =FB AF 解:由公式：11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3， 4=则双曲线的离心率e= 解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-= λλθe 得：e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）,离心率23 =e ，过右焦点且 斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k=（ B ）
A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解：由公式：11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为 ，过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所 以 ，故选。 5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物 线交于 两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解 如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。
6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解易知均在右支上，因为，离心率，点准距 ，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。
抛物线焦点弦的性质 1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若 抛物线22y px =，(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若 抛物线22x py =，(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2= 4、焦点弦常用结论： 结论1：韦达定理?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y 和04 )2(2 2222=++-p k x p p k x k 221p y y -=?和4 21x x = 结论2：p x x AB ++=21 证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2π θ≠时, 则?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y ?????-==+?221212p y y k p y y θsin 24422221p p k p y y =+=-?θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=? 结论4： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =? 011sin sin 22 OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θ????=+=??+?? ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=?+=??=???22sin p θ=238OAB S P AB ?∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2221 11AB BF AF BB AA MM =+=+= 故结论得证 结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠ ∴∠=∠∴∠=∠∴=
@ （难度3星） 1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xxx 中，抛物线x 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2). （1）求抛物线x 的标准方程； （2）过点x (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线x :x =?1上任意一点.证明：直线xx、xx、xx 的斜率依次成等差数列. 【答案】（1）x 2=2x ；（2）证明见解析 【解析】 （1）因为抛物线x 关于x 轴对称,可设抛物线为x 2=2xx ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2x ×2，得x =1， ( 故抛物线方程为x 2=2x ； （2）设点x (?1,x )是直线x 上任意一点， 直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线xx 的斜率不等于0， 可设直线xx :x =xx +1交抛物线于x (x 1,x 1)、x (x 2,x 2)， 由{x =xx +1x 2=2x 可得：x 2?2xx ?2=0 从而有x 1+x 2=2x ,x 1x 2=?2, x xx =x 1?x x 1+1，x xx =x 2?x x 2+1，x xx =?x 2 且在直线上,所以有:x 1=xx 1+1,x 2=xx 2+1 —
x xx +x xx = x 1?x x 1+1+x 2?x x 2+1=2xx 1x 2+(2?xx )(x 1+x 2)?4x x 2x 1x 2+2x (x 1+x 2)+4 =?2xx 2?4x 2x 2+4=?x ， 而2x xx =?x ，即证x xx +x xx =2x xx . 得证直线xx ，xx ，xx 的斜率成等差数列. （难度2星） 2．（2020·河南高二期末（理））已知x 是抛物线x :x 2=2xx (x >0)的焦点，x (1,x )是抛物线上一点，且|xx |=2. 、 (1)求抛物线x 的方程； (2)直线x 与抛物线x 交于x ，x 两点，若xx ????????? ?xx ????????? =?4（x 为坐标原点），则直线x 是 否会过某个定点若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】(1)x 2=4x ；(2)是，x (2,0). 【解析】 （1）由抛物线的定义知|xx |=1+ x 2=2,∴x =2, ∴抛物线x 的方程为：x 2=4x （2）由题意知:可设xx 的方程为：x =xx +x , 代入x 2=4x 有x 2?4xx ?4x =0, ￥ 设x (x 1,x 1),x (x 2,x 2),
教学设计流程
教学过程 一、复习抛物线定义，焦半径公式，由焦半径公式推导的焦点弦式 问题：1、抛物线的定义内容是什么? 2、焦半径公式有哪些？ 3、利用焦半径公式推导的焦点弦弦长有哪些？ AB 为焦点弦.点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) y 2 = 2px （p ＞0）：|AB|＝ y 2 = -2px （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = 2py （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = -2py （p ＞0）：|AB|＝ 二、新课引入 问题1、利用焦点弦的两端点横坐标和可以求焦点弦的弦长，那么如果知道焦点弦所在直线的倾斜角或是斜率，有没有更简便的方法去直接求出弦长呢？我们来看一道例题。 例1、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 做倾斜角为 的直线 ,设 交抛物线于A,B 两点,求证： 问题2、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候弦长又是多少？我们一起来探究。 结论：若过抛物线焦点的直线的倾斜角为θ时,其焦点弦弦长为： 当焦点在x 轴上时, 焦点在y 轴上时, 问题3、焦点弦的两个端点的横坐标、纵坐标之间是否有关系呢？如果有关系，又是什么？ 例2、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 求证： 12 p x x ++12()p x x -+12 p y y ++12()p y y -+θ 2sin 2p AB = l θθ 2 sin 2P AB = θ 22COS P AB =22 21p y y -=
三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1 ） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=? 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2 ） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=? 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ= 恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件
结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。 结论二：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p + 。 结论三：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
证明结论二： 例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+ ，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。 则：2 12 121211()() ()2224 AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数 证明：结论四： 已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 切。 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结 AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB = +=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切 （2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN= 1 2 （∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1 2 MP NP FP MN ===， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB
圆锥曲线焦点弦的一个性质 浙江省台州市实验中学 张铭 由于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）有着统一的内在规律，因而它们的一些性质逐渐被人们揭示。本人在研究圆锥曲线焦点弦时，发现了一个统一性质，现叙述如下： 定理１：已知抛物线E:y 2＝2px (p>0)的焦点为F ，其准线为L: 2 p x =-,,过焦点F 的直线m 与抛物线交于A 、B 两点.则112||||AF BF p += 证明：若过点F 的直线m 的斜率存在为k(k ≠0)，则m 的方程为()2 p y k x =-. 设1122(,),(,)A x y B x y ，将()2p y k x =-代入抛物线方程可得22()22 p k x px -= 即22222 (2)04k p k x p k x -++= 22 12122(2),4p k p x x x x k +∴+=?= 1112||||,||||22 p p AF AA x BF BB x ==+==+又 221222 (2)2(1)||||p k p k AF BF x x p p k k ++∴+=++=+= (1) 2 1212122222222||||()()()2224(2)1424p p p p AF BF x x x x x x p p p k p k p k k ?=++=?+++++=+?+=? (2) (1) 除以（2）得 ||||22||||A F B F A F B F p p +=+=?11 ，即 |AF||BF| 若过F 点的直线m 的斜率不存在，此时直线m 的方程为：2p x = 则A.B 两点坐标为(,)(,)||||22p p p p AF BF p -∴==和 11112||||AF BF p p p ∴+=+= 命题也成立。 综上，定理得证。
与焦点弦相关的问题 8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1） 问题探究８ 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ,B 两点,是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣A Ｂ∣的最小值.(借用柯西不等式) 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点,过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ,B 两点和Ｃ，Ｄ两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ,使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求四边 形AB ＣＤ面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于Ａ，B 两点,AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ,使1AB F D λ=恒成立? 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长 轴于点D ,则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设双曲线焦点弦ＡB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ,则∣ＤF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件
（难度3星） 1．（2019·安徽高二期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2). （1）求抛物线C 的标准方程； （2）过点Q (1,0)的直线交抛物线于M 、N 两点，P 点是直线l :x =?1上任意一点.证明：直线PM 、PQ 、PN 的斜率依次成等差数列. 【答案】（1）y 2=2x ；（2）证明见解析 【解析】 （1）因为抛物线C 关于x 轴对称,可设抛物线为y 2=2px ，而点(2,2)在抛物线上， 从而有22=2p ×2，得p =1， 故抛物线方程为y 2=2x ； （2）设点P (?1,t )是直线l 上任意一点， 直线交抛物线于M 、N 两点,所以直线MN 的斜率不等于0， 可设直线MN :x =my +1交抛物线于M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)， 由{x =my +1y 2=2x 可得：y 2?2my ?2=0 从而有y 1+y 2=2m,y 1y 2=?2, k PM =y 1?t x 1+1，k PN =y 2?t x 2+1，k PQ =?t 2 且在直线上,所以有:x 1=my 1+1,x 2=my 2+1 k PM +k PN = y 1?t x 1+1+y 2?t x 2+1=2my 1y 2+(2?tm )(y 1+y 2)?4t m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4 =?2tm 2?4t 2m 2+4=?t ， 而2k PQ =?t ，即证k PM +k PN =2k PQ . 得证直线PM ，PQ ，PN 的斜率成等差数列. （难度2星） 2．（2020·河南高二期末（理））已知F 是抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点，M (1,t )是抛物线上一点，且|MF|=2. (1)求抛物线C 的方程；
椭圆中的“定” 二、与椭圆的焦点弦有关 4. 椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ 的中垂线交x 轴于R ，则 22PQ F R e =. 5.PQ 为过椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K +=. 6.（1）PQ 为过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆. （2）弦MN （异于长轴）过椭圆 122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N 交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为 直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2 F 关于准线的对称点 .
（3）弦MN 过椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交 椭圆的对称轴于点D ,则 22MDF NDF ∠=∠. （4）P 为椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切 线交椭圆的右准线于点N ，则 222ON PF b k k a =-. 7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦 点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的 对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的 圆必交于同一点2,0a c ?? ??? . 8. 弦AB （异于长轴）过椭圆122 22=+b y a x C ： ()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切 线交圆222x y a +=于,M M '两点，则 （1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形 MM BA '为梯形； （2）角APB ∠为锐角； （3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ?? ???时，APB ?的面积最小，其最小值为4 b ac .
基础回顾 1. 以AB 2. 2 124 p x x =3. 212y y p =-; 4. '90AC B ∠=; 5. ''90A FB ∠=; 6. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+ =; 7. 112AF BF P +=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、' A 三点共线； 10. 2 2sin AOB P S α =； 11. 23()2 AOB S P AB =（定值）； 12. 1cos P AF α= -；1cos P BF α=+； 13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB = =+； 18. AB 3 P K =y ； 19. 2 p 22 y tan =x -α;
20. 2A'B'4AF BF =?; 21. 1C'F A'B'2 =. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00 性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之 处？ 结论1：交点在准线上 先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为?? ? ?? -0,2p 在准线上． 证明: 从略 结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有 结论6P A ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ． 结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ． 结论2= 结论11PAB S ?2min p = 二)非焦点弦与切线 思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=，2 21y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ． 结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ 结论16 2 PF = 相关考题