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电子科技大学微电子与固体电子学钢教授著
数字信号处理课后答案
1.2 教材第一章习题解答
1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解：
()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)
x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-
2. 给定信号：25,41
()6,040,n n x n n +-≤≤-??
=≤≤???
其它
（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；
（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解：
（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）
()3(4)(3)(2)3(1)6()
6(1)6(2)6(3)6(4)
x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-
（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n
m y n x m ==∑。
解：
（1）令：输入为0()x n n -，输出为
'000'
0000()()2(1)3(2)
()()2(1)3(2)()
y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=
故该系统是时不变系统。
12121212()[()()]
()()2((1)(1))3((2)(2))
y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-
1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+
故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为1()x n n -，输出为'10()()y n x n n n =--，因为
'110()()()y n n x n n n y n -=--=
故延时器是一个时不变系统。又因为
12102012[()()]()()[()][()]T ax n bx n ax n n bx n n aT x n bT x n +=-+-=+
故延时器是线性系统。
（5） 2()()y n x n = 令：输入为0()x n n -，输出为'20()()y n x n n =-，因为
2'00()()()y n n x n n y n -=-=
故系统是时不变系统。又因为
2
12121222
12[()()](()()) [()][()] ()()
T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+
因此系统是非线性系统。
（7） 0()()n
m y n x m ==∑
令：输入为0()x n n -，输出为'
00
()()n
m y n x m n ==-∑，因为
0'
00
()()()n n m y n n x m y n -=-=
≠∑
故该系统是时变系统。又因为
1212120[()()](()())[()][()]n
m T ax n bx n ax m bx m aT x n bT x n =+=+=+∑
故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）1
1
()()N k y n x n k N
-==
-∑；
（3）0
()()n n k n n y n x k +=-=
∑
；
（5）()()x n y n e =。 解：
（1）只要1N ≥，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果()x n M ≤，则()y n M ≤，因此系统是稳定系统。
（3）如果()x n M ≤，0
0()()21n n k n n y n x k n M +=-≤
≤+∑
，因此系统是稳定的。
系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.
（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果()x n M ≤，则()()()x n x n M y n e e e =≤≤，因此系统是稳定的。 7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n 和输入序列()x n 如题7图所示，要求画出输出输出()y n 的波形。 解：
解法（1）:采用图解法
0()()()()()m y n x n h n x m h n m ∞
==*=-∑
图解法的过程如题7解图所示。
解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:
()(2)(1)2(3)1
()2()(1)(2)
2
x n n n n h n n n n δδδδδδ=-++-+-=+-+-
因为
()*()()
()*()()
x n n x n x n A n k Ax n k δδ=-=-
所以 1
()()*[2()(1)(2)]
2
1
2()(1)(2)
2
y n x n n n n x n x n x n δδδ=+-+-=+-+-
将x(n)的表达式代入上式，得到
()2(2)(1)0.5()2(1)(2) 4.5(3)2(4)(5)
y n n n n n n n n n δδδδδδδδ=-+-+-+-+-+-+-+-
8. 设线性时不变系统的单位取样响应()h n 和输入()x n 分别有以下三种情况，分别求出输出()y n 。 （1）45()(),()()h n R n x n R n ==； （2）4()2(),()()(2)h n R n x n n n δδ==--； （3）5()0.5(),()n n h n u n x R n ==。 解：
（1） 4
5
()()*()()()m y n x n h n R m R n m ∞
=-∞
==
-∑
先确定求和域，由4()R m 和5()R n m -确定对于m 的非零区间如下：
03,4m n m n ≤≤-≤≤
根据非零区间，将n 分成四种情况求解： ①0,()0n y n <=
②003,()11n
m n y n n =≤≤==+∑
③3
4
47,()18m n n y n n =-≤≤==-∑
④7,()0n y n <= 最后结果为
0, 0,7()1, 038, 47n n y n n n n n <>??
=+≤≤??-≤≤?
y(n)的波形如题8解图（一）所示。 （2）
444()2()*[()(2)]2()2(2) 2[()(1)(4)(5)]
y n R n n n R n R n n n n n δδδδδδ=--=--=+-----
y(n)的波形如题8解图（二）所示. （3）
55()()*() ()0.5
()0.5
()0.5()
n m
n
m m m y n x n h n R m u n m R m u n m ∞
∞
--=-∞=-∞
==
-=-∑
∑
y(n)对于m 的非零区间为04,m m n ≤≤≤。 ①0,()0n y n <= ②111
10.504,()0.50.5
0.5(10.5)0.520.510.5
n n
n
m
n n n n m n y n ------=-≤≤===--=--∑ ③5410
10.55,()0.5
0.5
0.5310.510.5
n m
n n m n y n ---=-≤===?-∑ 最后写成统一表达式：
5()(20.5)()310.5(5)n n y n R n u n =-+?-
11. 设系统由下面差分方程描述：
11
()(1)()(1)22
y n y n x n x n =
-++-；