《二次根式》教材分析1
一、本章地位与作用
本章内容属于“数与代数”的基础内容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三类重要代数式，也是“实数”之后对“数”的认识的深化．本章内容具有极强的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前，意在为解二次方程做好准备；本学期安排本章在“勾股定理”之前，能为解任意直角三角形的三边数值扫清障碍．
二、知识网络归纳
三、课标及中考要求
【课标要求】
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．（不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如
，
等．） 【中考要求】
1
参考了之前几次同题教材分析稿，例题也大多沿用之。
四、课时安排建议
21．1 二次根式 约2课时 21．2 二次根式的乘除 约2课时 21．3 二次根式的加减 约3～4课时 数学活动与小结 约2课时
五、全章教学建议
1． 注意本章内容的“工具性”．二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、二次方程的学习打基础，
因此应重点落实二次根式的性质、化简和计算（特别是实数的化简和计算）的准确性，提高学生的计算能力．尽管课本中的例题相对简单，但不要忽视它们在学生建立知识结构的过程所起的过渡作用．
非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容（如分母有理化等），相应地，学探诊测试6第6题及之后的题目可不作为基本教学要求．
2． 从提出二次根式的概念开始，就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这一观念．避免教
材第7页小贴士“在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数”给学生带来的误解和误导．总有为数不少的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”条件，可能与此有关．
3． 注意对“实数”一章知识的复习，体现“数式通性”的原则；注意与“整式”、“分式”相关知识
的联系，相关结论可以类比记忆．
4． 注意教材和学探诊中，有些题目需要用到勾股定理，可先回避．
六、各小节教学建议 21．1 二次根式
（1）实例引入，注意复习开平方、算术平方根的概念和符号表示． （2）二次根式的形式定义：
建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．
作为单独一个数应属于单项式，非二次根式．
学探诊92页第6题：下列各式中，一定是二次根式的是：（A B C D 答案B ．本人认为题干应该改为“下列各二次根式一定有意义的是”．
总之，真正该提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）． （3）二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；
（4）教材要求掌握的公式：2 (0)a a =≥ (0)a a ≥，
建议授课时提高要求，理解并掌握??
?<-≥==)
0()
0(2a a a a a a ．
2a 与2)(a 的对比：
① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根； ② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数； ③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =??
?<-≥=)
0()
0(||a a a a a ．
（5）代数式的概念：建议适当补充一些代数式的书写规范（如果之前没有讲过）． 例1 ：当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1 （2 （3
（4 答案：（1）1x ≥； （2）1x ≤； （3）1x >； （4）0x ≥且1x ≠．
提高题：求下列函数解析式中自变量x 的取值范围：
（1）y x 23-； （2）y 1
1
x +；
（3）y =
（4）y ．
答案：（1）322x -≤≤
；（2）0x ≤且1x ≠-；（3）1
2
x ≥且2x ≠；（4）全体实数． 例2 ：若x 、y 为实数，且y ＝2-x ＋x -2＋3．求y x 的值． （y x =9） 例3 ：判断下列等式是否成立：
(1)219
(
)= (2)219
()=-
19
(
)= (4)2
(
)a b
=-
(
)a b =- (6)0)
().a a =≤
答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．
例4 ：已知c b a ,,为三角形的三边，则2
22)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=
． （a b c ++）
21．2 二次根式的乘除
（10,0)a b ≥≥
理解二次根式乘除运算法则的合理性：可与()n n n a b ab =做形式上的类比；
***
可以利用算术平方根的定义进行推理证明：
∵
2
2
2
ab =?= 且0≥≥，∴．
从公式的适用范围看，包括了某些字母取0的情况；
为降低难度，如果遇到纯二次根式化简问题，可以默认为字母都表示正数； 当涉及字母的取值范围问题时，不能认为字母都是正数．
（2）公式的逆用：)0,0(≥≥?=
b a b a ab ；．
能利用这条性质对二次根式进行化简．注意学生不易理解“开得尽方的因数或因式”的含义， 教
材在第8页小贴士的解释：可以开方后移到根号外的因数或因式．在这里，不妨多举一些例子，让学生明确在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．
初步总结乘法运算的结果应满足以下两个要求：
①结果是一个二次根式，或单项式乘以二次根式；也可能没有根号，只是单项式；②根号下不再有 “开得尽的因数或因式”．
（30,0)a b
=≥>，)0,0(>≥=b a b
a b a
注意0b >的条件；
可以通过归纳、或证明、或类比n
n n a a b b ??
= ???
得出此公式；
对于二次根式的除法运算和二次根式的化简，应让学生一题多解，一方面是熟悉二次根式性质、
运算法则和方法，另一方面，通过一题多解，总结做题经验，使运算更灵活、更简洁． 如
515515555353532==??==
； 515
)5(155553532
==??=． a a a a a
a a a
224222828
==
??=
；a a
a
a a a a a 22222228=
?==?=． 又如 222
22
2212212212
=?=???=?=； 22
)2(2122122
==?=；22142122122=?=?=． 如果学生觉得不易灵活运用，也可总结为更易操作的“算法”：
=
再化简． 用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式的方法技巧．如：当被开方数较大时，
可用分解因数的办法将被开方数尽可能写成完全平方数的乘积形式．至此学生应能对
……等常见数值进行化简．
总之，学生在化简运算的简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中先要求学生观察
二次根式的特点，根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，每步运算的根据的什么，培养学生的分析能力和观察能力，以及计算的目的性和条理性．
（4）最简二次根式的概念：不要求学生背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断，让学生在练习中熟悉这个概念，同时明确二次根式的运算结果应化为最简二次根式．
例5 ：计算：（1 （2； （3 （4
例6 ：化简：（1 （2 （3 （4
（5 （6 （7 （8
（9 （10）
例7 ：计算： （1； （2 （3； （4；
（5 （6）3 （7 （8 （9
例8 ：计算：（1）12322??； （2）)126(75?÷．
例9 1.4143个有效数字）． 21．3 二次根式的加减
（1）教材采用了“被开方数相同的最简二次根式”的说法；为简洁明了，建议还是类比同类项的概念给出“同类二次根式”的概念，能通过实例判断几个二次根式是不是同类二次根式，注意强调先化简的重要性．例如，分成几个小问题：
① 把被开方数都是整数的放在一个小题中， ② 把被开方数都是分数的放在一个小题中， ③ 把被开方数带有简单字母的放在一个小题中， ④ 把字母次数略高于2的放在一个小题中，……
使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，最终再给出类似a
（2）明确二次根式的加减法运算的实质就是合并同类二次根式，这与整式加减的实质类似．加减法的练习也同样可细分成几个层次进行教学．例如：
① 不需要化简能直接进行相加减的， ② 需要化简但被开方数都是简单整数的， ③ 被开方数都是有理数但既有整数又有分数的， ④ 被开方数含有字母的，等等． 加减运算中常出现的错误类型有：
① 或类似的式子；
② 运算过程中有3294+=+或
34
143=或类似的问题； ③ 运算过程中有532=+或23
22311=-或类似的问题． （4）二次根式的混合运算．
教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算的联系:
第14页: “在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍成立”； 第17页: “在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用”． 分析式子结构，明确运算顺序； 关注乘法公式和运算律的应用；
计算少跳步，避免类似(5516=，之类的典型错误．
例10
计算：（1
（2）2484554+-+
（3）324
1
182182-+
； （4）48327
1
4
122
+-；
（5()3
122
--?
（6）0
(π1)+-
（7)
1
+
（8）68
13222124--+-
例11
计算：
（1）3)154276485(÷+- （2）x x
x x 3)1
246
(÷- （3） )65153(105
1
-?
（4）2
13
6233÷-
（5）2)32()122)(488(---+ （6）)2332)(2332(-+ （7）2)534(+
（8）)3225)(65(-+
（9） 1515)103()103(-+ （10） (11)
)13(1
312+?+÷
（12）
a
b
b a ab b 3
)23(235÷-?
（13）)93()24(3ab a b
a b a a b a b +-+ （14）2
2
1122??-+-+ ????
（15）((((2
2
2
2
1111
（16）ab －b a ―a
b
＋2++a b b a （a ＞0，b ＞0）
例12
一个长方体的长为，宽为cm 3，高为
cm 2，则它的表面积为 2cm ，体积为
3
cm ． （8+
例13
若8a ，小数部分是b ，则2
2ab b -= ．（5）
★ 章节复习及综合 （1）条件求值类题目： 例14
甲、乙两人对题目“求值：
2
112
2
-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答，
甲的解答：
1111249
5a a a a a a a ==+-=-=， 乙的解答：
5111)1(121122
2
==-+=-+=-++a a a a a a a a a
a ， 谁的解答是错误的？为什么？ 例15
（1）如果524-+=+b a b a ，那么b a 2+=_____．
（2）若实数x y ，满足033222=+-++y y x ，则xy 的值是 ． ．
例16
① 已知: 101=+
a a ， 求221
a a +的值． （6） ② 已知: ()572
1+=
x ， ()5721-=y ， 求x 2
- xy + y 2
的值． （11
2
）
（2） 寻找规律、现场学习类： 例17
已知下列等式：
10=100，1000，······， ① 根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性；
② 观察上述等式的规律，请你写出第n 个等式． （允许写成9
9999n
个的形式） 例18 观察下列等式：
1
2)12)(12(12121-=-+-=
+；
2
3)
23)(23(2
32
31-=-+-=
+；
34)
34)(34(3
43
41
-=-+-=
+；
……
回答下列问题：
①
；
② ......
（9）
例19
m 和n ，使2
2m
n a +=
且mn =
a ±2
2
2m n mn +±，即变成2()m n ±
5±
32++
222++，
=
=
请仿照上例解下列问题：（1
； （2
七、***拓展专题
（1）分母有理化： 例20
)a b ≠ 例21
计算：)12008)(2007
20081
...3
412
311
21(
+++
+++
++
+
（2）二次根式比较大小： 例22
比较大小：
（1）3与22（平方法） （2
）－
（被开方数）
（3）
571-与3
51
-（分母有理化）
（4）2002－2001与2001－2000（倒数法/分子有理化） 例23
观察下列各式的特点：
2312->-，3223->-，2532->-，……
(1) 请根据以上规律填空
20072007- >
(2) 请根据以上规律写出第)1(≥n n 个不等式，并证明你的结论． (3) 计算下列算式：
.....+
9）
（3）化简和运算技巧（注意隐含条件：字母的取值范围）： 例24
（1）已知a <0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）． A
A ．ab a --
B ．ab a -
C ．ab a
D ．ab a -
（2）把m
m 1
-
根号外的因式移到根号内，得（ ）． C A ．m B ．m - C ．m -- D ．m -
例25 （1）已知x+y=6，xy=6，求：
x
y
y x +的值；
（2）已知x ＋y=－8，xy=8，求的值．（-
例26 计算
)
311)(37(6117)
75)(53(7523+++++
++++
例27 （1）化简
b
a b a b a b ab a b a a b
a b +-÷
++-?-+
-2； （a b
a b +-）
（2）化简
1
1111
1112222-++--++
--+-++a a a a a a a a .（1a >）． （
例28
（1）已知x ＝232
3-+， y ＝2
32
3+-， 求3
22342
32y x y x y x xy x ++-的值；） （2）已知3
21+=a ， 求a a a a a a a -+---+-2221
2121的值． （3）
课题 二次根式与带有二次根式的方程 一、知识回顾 1、 例题 二次根式的混合运算 例1、计算与化简：113(184)18(32)2332 -+÷-÷+- 思维训练 1、计算（1）1211 2632122 3336 ---- （2）2 3 7(83)(4)(0)b a ab a b a b a a b a ---> （3）()ab ab a ab a b a ab --÷ -+（其中a>0,b>0，a ≠b ） 化简求值 化简求值时，一般是要把原式化简到最简，然后再代入求值 例2、已知223 a =+，求222168816 44a a a a a a a -+-+- -- 思维训练2、（1）已知，求2232421 x x x x --+- （2）11,5353 a b = =-+，求2 ()a b +的值。
（3）如果11123 a b -=+，32a b -=-，那么a 、b 两数有什么关系？为什么？ 0的形式 一般情况下a （0a ≥）当一个式子中含有a a +-或a a --时，则a=0， 例3、若x 、y 为实数，已知22448 2 x x y x ---+=-，求3x y - 思维训练3、（1）若x 、y 为实数，且1 12214 y x x =-+-+ ，求；2x y + （2）已知a 、b 是实数，且，解关于x 的方程 （3）已知3 303 x y -+-=，求22 311y x y x x +-++的值。 2()a b c +的形式，（其中a 、b 、c 为常数） 当 里面含有二次根式时，一般考虑把根号里的被开方数化成完全平方的形式。 例4、化简423+ 思维训练4、化简（1）526+ （2）743-
2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 二次根式 ◆知识讲解 1．二次根式 a≥0）叫做二次根式． 2．最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 3．同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 4．二次根式的性质 2=a（a≥0）； │a│= (0) 0(0) (0) a a a a a > ? ? = ? ?-< ? ； （a≥0，b≥0）； =b≥0，a>0）． 5．分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，?若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． 6．二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
◆例题解析 例1 填空题： （1-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． （2 x 的取值范围是_______． （3）实数a ，b ，c a －b │． o 【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)． （2）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7． （3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │ －a ，－│a －b │=a －b a － b │． 例2 选择题： （1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A B C （2）在根式1) ，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) （3）已知a>b>0，的值为（ ） A ．2 B ．2 C D ．1 2 【解答】（1A 错．
二次根式易错题集 一、二次根式的概念： 二次根式的性质： 1.()0≥a a 是一个非负数。 2.()02≥=a a a 3.()()???-≥==002 a a a a a a 错题： 1.=25 5 2.()=-23 －（－3）=3 3.()=--2 1255－1=4 4.() =2 63()5469632 2 =?=?或()=2 63()()5454632 2 2 ==? 5.() =-- 2 666-=-- 6.= -2 5 5151512 2=?? ? ??= 7.根据条件，请你解答下列问题：（1）已知n -20是整数，求自然数n 的值； 解：首先二次根式有意义，则满足,020≥-n 所以,20≤n 又因为n -20是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即n -20必定可化为()0,202≥=-a a a n 且为整数这种形式，即 ()0,202≥=-a a a n 且为整数。所以满足条件的平方数2a 有0，1，4，9，16。所以.4,11,16,19,20=n （2）已知n 20是整数，求正整数n 的最小值 解：因为n 20是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即n 20必定可化为()为整数a a n 220=这种形式，即()为整数a a n 220=，而()为整数a a n 25420??=，4可以开平方，剩下不能开平方的数5，所以正整数n 的最小值就是5，因2555=?能被开平方。所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能 开平方的数。 7-2.(2)已知n -12是正整数，求实数n 的最大值； 解：因为n -20是正整数，所以满足,012 n -所以,12 n 所以根号内的数一定是一个平方数，即 n -20必定可化为()0,202 a a a n 且为整数=-这种形式，即()0,202 a a a n 且为整数=-。所以满足条件的平方数2a 有1，4，9。所以.3,8,11=n 最大值为11. 易错点：1.在计算或求值时，容易疏忽()0≥a a 是一个非负数。 2.在开方时，易出现()02 a a a =的错误。 3.二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、运算的重要依据。它们的结构相似，极易混淆，因此同学们必须弄清它们之间的区别与联系
五年级下册第一单元《观察物体（三）》教材分析 一、教材分析 在本单元的主要学习内容之前，学生已学习了从不同角度观察实物和单个立体图形以及几何组合体，在此基础上，本单元将进一步学习从一个或多个方向观察到的图形拼搭出相应的几何组合体，即根据平面图形还原立体图形，包括从给出的一个或三个方向观察到的图形拼搭出相应的几何组合体。 根据儿童已有的经验及心理发展规律，按从易到难、螺旋上升的编排原则，小学阶段观察物体分三个阶段进行编排。首先，帮助学生从直观观察立体图形，头脑中建立表象，能够根据直观立体图形进行想象；进而，分辨不同方向观察立体图形得到的形状图；进一步，由建立的几何直观进行空间想象，通过逆向推理，根据观察到的形状图还原立体图形。这样按梯度编排，循序渐进地促进学生空间观念的发展，提高学生的空间想象能力。 二、《观察物体（三）》课标要求 《义务教育数学课程标准（2011版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”。《义务教育数学课程标准（2011版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”。 三、课标解读 “空间观念”作为《义务教育数学课程标准（2011版）》内容的核心概念，是“图形与几何”学习的核心目标之一。“观察物体”属于“图形与几何”的相关知识。因此，在实施具体教学时，应始终将学生空间观念的培养作为教学的重点。在此认识的基础上，细读上述课标内容要求，教师在教学中应该把握好以下几点： （一）整体把握教材结构，循序渐进的落实教学目标 在小学阶段，《义务教育数学课程标准（2011版）》对观察与认识在不同的
二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2)(0a a a =≥）. 2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 知识点
类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13 ；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） 例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题
《二次根式》知识梳理 本章的知识结构框图： 一、二次根式的概念 1．代数式)0(≥a a 叫二次根式，a m 也是。 2．二次根式有意义的条件：0≥a 3．训练题型 设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）x 231- （2）x 2- （3）122+-x x （4）4 1--x x 二、二次根式的性质 1．性质 性质1 ?? ???-==).0(),0(0),0(2a ＜a a a ＞a a 性质2 ()()02≥=a a a 性质3 ()0,0≥≥?=b a b a ab
性质4 ()0,0?≥=b a b a b a 2．训练题型 利用二次根式的性质进行计算或化简，例： （1）72，41 （2）()0182≥x x （3）3a （4）()092 ?b a b （5）()23π- （6） () 3,122-=+-x x x 3、常见问题和解决技巧 （1）重要公式不理解 被开方数是字母或代数式时，总忘记添绝对值。 口诀化方法解决：去帽子，套棍子。 （2）化简二次根式不熟练 在教学中始终渗透分解因数4、9、25及其它们的组合。 强化训练48、50、72、75、108、125等数的开方。 化简顺序：从数字到字母。 （3）化去根号内的分母时结果错位 解决方法：由外到里、由里到外、公式兼用 再分母有理化 三、最简二次根式、同类二次根式 1．最简二次根式的定义 （1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母（根号内不含分母） （3）分母里不含根号。 “因式”包括字母和数字 2．同类二次根式的定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3．训练题型 ()???≤-≥==)0(02a a a a a a x x x x 222=x x x x x 22=x x x x x x 22222?=?=x x x =2=?=x 2x x 2x
一、选择题 1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12 B ．30 C ．8 D ． 12 2．下列计算正确的是（ ） A ．93=± B ．8220-= C ．532-= D ．2(5)5-=- 3．在函数y= 2 3 x x +-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2 4．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5 个数是（ ） 1232567 22 310 A ．210 B ．41 C ．52 D ．51 5．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，那么化简代数式2b -|a +b |+|a -c |-222c bc b -+的结果为（ ） A ．2c -b B ．2c -2a C ．-b D ．b 6．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ． 13 C 24 D 0.3 7．设0a >，0b >( 35a a b b a b =23ab a b ab ++的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 8．下列计算正确的是（ ） A 1233= B 235= C ．43331= D ．32252+= 9．给出下列化简①（2-）2=222-=（）2221214+=3
1 2 =，其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①② D ．③④ 10．下列运算一定正确的是( ) A a = B = C ．222()a b a b ?=? D ()0n a m = ≥ 二、填空题 11．已知x =( )21142221x x x x -??+?= ?-+-??_________ 12．若0a >化成最简二次根式为________． 13．若m m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____． 14．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果11 22 n x n -<+≤，则()f x n =z ． 如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ， 试解决下列问题： ①f =z __________；②f =z __________； + =__________． 15．3 =，且01x <<=______． 16．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 17．把 18．=== 据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 19．a ，小数部分是b b -=______. 20．1 =-=
《观察物体（二）》教材分析 在第一学段的基础上，第二学段安排了两次观察物体的教学，分别安排在四年级下册、五年级下册，使得本套修订教材观察物体的教学分为三个层次。分别安排的内容是： 从表中可以看出：本单元包含两个内容：例1教学从3个不同的位置观察同一个几何组合体，这一内容是从实验教材五年级上册移过来的;例2教学从3个位置观察3个不同的几何组合体，这是新编的内容。这些内容都是后续学习的基础，并且对于学生形成空间观念，培养学生的空间想象力和思维能力有重要的作用。 一、主要内容 本单元是在第一学段学习了从不同角度观察实物，几何体的基础上学习的。主要内容有辨认从不同的位置观察到的几何组合体的形状;从同一位置观察不同的几何组合体。这些内容都是进一步学习的基础，对于培养学生的空间想象力和推理能力有重要的作用。 具体安排如下： 二、教学目标 1.使学生能够辨认从不同位置观察到的几何组合体的形状。 2.认识到从同一位置观察不同的物体，看到的形状可能相同也可能不同。
3.通过观察、操作、想象、判断等活动，培养学生的空间想象力和推理能力。 三、教学建议 1.准备好必要的教具和学具，保障数学好活动的物质条件 本单元设计了丰富的观察和拼搭活动，除了准备必要的教具，还需要让学生准备相应的学具。比如，每个学生准备2～4个同样大小的正方体。课堂上，一方面，两人或四人合作用手中的正方体搭出几何组合体，就能生成多种观察资源，使学生从不同位置观察搭成的物体，另一方面，两人或四人合作根据从不同方向看到组合体的形状，用手中的正方体把它搭出来。学生手中有“物”，才能实实在在地参与操作和观察活动，通过亲历从三维图形到二维图形和从二维图形到说三维图形的转化过程，有效地培养和发展学生的空间概念。 2.注重学生的观察活动 首先要调动学生观察的兴趣，其次要选择大小适当的观察物体。同时，还要知道学生会正确地进行观察，将物体放在固定的位置不动，学生从各个方向进行观察。观察活动中，要重视学生对几何组合体的整体观察，让学生获得对组合体形状、大小的整体感知，在头脑中形成完整的表象;要引导学生注意对组合体形状特征的观察，切实将在每个方向观察到的形状储存在头脑中;引导学生将观察与想象结合起来，
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子 a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1、下列各式 1）222 11,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5；（2） 2 2)-(x
《二次根式》易错题集 易错题知识点 1．忽略二次根式有意义的条件，只有被开方数 a≥0时，式子a才是二次根式；若a<0，则 式子a 就不能叫二次根式，即 a 无意义。 2．易把 2 a与2) (a混淆。 3．二次根式的乘除法混合运算的顺序，一般从左到右依次进行或先把除法统一成乘法后，再用乘法运算法则计算。 4．对同类二次根式的定义理解不透。 5．二次根式的混合运算顺序不正确。 典型例题 选择题 1．当a＞0，b＞0时，n是正整数，计算的值是（） A．（b﹣a）B．（a n b3﹣a n+1b2）C．（b3﹣ab2）D．（a n b3+a n+1b2） 考点：二次根式的性质与化简。 分析：把被开方数分为指数为偶次方的因式的积，再开平方，合并被开方数相同的二次根式． 解答：解：原式=﹣ =a n b3﹣a n+1b2 =（a n b3﹣a n+1b2）． 故选B． 点评：本题考查的是二次根式的化简．最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数． 2．当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是（）A．29 B．16 C．13 D．3 考点：二次根式的性质与化简。 分析：将被开方数中16﹣x和x﹣13的取值范围进行讨论． 解答：解：=|16﹣x|+|x﹣13|， （1）当时，解得13＜x＜16，原式=16﹣x+x﹣13=3，为常数； （2）当时，解得x＜13，原式=16﹣x+13﹣x=29﹣2x，不是常数； （3）当时，解得x＞16；原式=x﹣16+x﹣13=2x﹣29，不是常数；
（4）当时，无解． 故选D 点评：解答此题，要弄清二次根式的性质：=|a|，分类讨论的思想． 3．当x＜﹣1时，|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1|的值为（） A．2 B．4x﹣6 C．4﹣4x D．4x+4 考点：二次根式的性质与化简。 分析：根据x＜﹣1，可知2﹣x＞0，x﹣1＜0，利用开平方和绝对值的性质计算． 解答：解：∵x＜﹣1 ∴2﹣x＞0，x﹣1＜0 ∴|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1| =|x﹣（2﹣x）﹣2|﹣2（1﹣x） =|2（x﹣2）|﹣2（1﹣x） =﹣2（x﹣2）﹣2（1﹣x） =2． 故选A． 点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，=a；a＜0时，=﹣a；a=0时，=0；解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算． 4．化简|2a+3|+（a＜﹣4）的结果是（） A．﹣3a B．3a﹣C．a+D．﹣3a 考点：二次根式的性质与化简；绝对值。 分析：本题应先讨论绝对值内的数的正负性再去绝对值，而根号内的数可先化简、配方，最后再开根号，将两式相加即可得出结论． 解答：解：∵a＜﹣4， ∴2a＜﹣8，a﹣4＜0， ∴2a+3＜﹣8+3＜0 原式=|2a+3|+ =|2a+3|+ =﹣2a﹣3+4﹣a=﹣3a． 故选D． 点评：本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，解此类题目时要充分考虑数的取值范围，再去绝对值，否则容易计算错误． 5．当x＜2y时，化简得（）
《观察物体》教学设计及反思 教材分析: 《观察物体》是本册第五单元的内容.《观察物体》是"空间和图形"领域的教学内容,要求学生从不同方位观察简单的物体.初步把立体图形与其视图联系起来.教材以学生观察恐龙玩具这一学生熟悉的事例入手,让学生体会到不同位置对同一物体进行观察会得到不同的结果,体会不同结果和不同位置之间的对应关系,培养学生的空间观念. 对教材的处理和教学设想: 第一层次:在不违背教材创设生活情境的情境激发兴趣的原则下,将玩具恐龙换成了玩具小狗,接着从前后左右四个位置对同一物体进行观察,了解物体的正面,背面,侧面,并简单渗透左,右侧面. 通过本位观察和换位观察,使学生自主发现:体会到不同位置对同一物体进行观察,看到的物体形状是不同的.初步体会不同结果和不同位置之间的对应关系.接着出现一些生活中的观察物体的现象:如观察恐龙,书本,汽车;进一步观察并验证,不同结果和不同位置之间的对应关系. 第二层次:出现观察茶壶图.增加了从物体上面和下面观察得到的影像,使观察提高一个层次. 第三层次:出现正方体组合,将对物体的观察引向对几何形体的观察,完成从具体到抽象的过渡,进一步提升空间观念. 这样的安排,从简易到难,逐步发展,以学生的生活经验为依托,逐步引导学生的空间想像,符合学生的认知规律,有利于发展学生的数学
思维. 教学目标: 1.通过实际的观察,比较,初步体会从不同位置观察物体所看到的形状是不同的. 2.在观察物体的过程中发展初步的空间观念,培养学习数学的积极情感. 教学重点:体验到不同的位置观察物体,看到的物体形状是不同的. 教学难点:辨认从不同位置观察到的物体形状. 教具,学具准备:课件,小狗玩具,茶壶,图片,边长为10厘米的正方体, 教学过程预设: 一,创设情境,激发兴趣 1,猜一猜:你能知道他是谁吗(课件依次出示男孩背面图,继而出示侧面-正面图) 学生回答,教师板书:正面背面侧面 从背面观察很难确定是谁,从侧面看到正面就知道是谁了. 2,你知道老师是站在小朋友的那边拍出这些照片的吗 3,揭题:站的位置不同,看到的样子就不同,这就是我们这节课要探讨研究的内容:从不同的方位观察物体. 板书课题:观察物体 二,实物探究,从四个方位观察小狗 1,确定方位:
《二次根式》全章测试卷 一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1.下列各式①y ; ②2+a ; ③52+x ; ④a 3;⑤962++y y ; ⑥3其中一定 是二次根式的有（ ） A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．()()225.25.2=- B. ()22a a = C. 1122-=+-x x x D.3392+?-= -x x x 3.式子2 1+-x x 的取值范围是（ ） A . x ≥1 且 X ≠-2 B.x>1且x ≠-2 C.x ≠-2 D. .x ≥1 4.化简6 151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 5.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.计算()()20092008227227-?+,正确的结果是（ ） A ．722- B. 227- C.1 D. 227+ 7.化简()2 232441--+-x x x 得（ ） A. 44x - B. 44x -+ C. 2- D. 2 8.已知0>b , 化简b a 3-的结果是( ) A ． ab a B. ab a - C. ab a -- D. ab a - 9.若5-a ·a -5=)5)(5(a a --,则a 的取值范围是( ) A.a=5 B.a ≥5 C.a ≤5 D.无论a 取何值,等式都无意义 10.设25,3223-=-=-=c ，b a ,则a 、、b、c 的大小关系是（ ） A.c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >> 二、耐心填一填（每小题3分，共24分） 11.同学们玩过“24点”游戏吗？现在给你一个无理数2，你再找3个有理数，使它经过
二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方 根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并
二次根式单元 易错题难题质量专项训练 一、选择题 1．下列计算正确的是( ) A ．235+= B ．3223-= C ．623÷= D ．(4)(2)22-?-= 2．下列式子为最简二次根式的是（ ） A ．22a b + B ．2a C ．12a D ．12 3．下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．4 B ．21x + C ．12 D ．40.5 4．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2- B ．2 C ．32 D ．8 5．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ） A ．()2b a b a +=+ B ．22222(b a b )a +=+ C ．22b a b a +=+ D ．2(b)a b a +=+ 6．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1﹣2a D ．2a ﹣1 7．下列根式中，最简二次根式是（ ） A ．13 B ．0.3 C ．3 D ．8 8．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12 B ．3 C ．0.01 D ．12 9．下列各式计算正确的是（ ） A ．6 232126()b a b a b a ---?= B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy C ．23a a a += D ．2x ?3x 5=6x 6 10．已知a 满足2018a -＋2019a -＝a ，则a －2 0182＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 018 D ．2 019 11．若a 、b 、c 为有理数，且等式 成立，则2a ＋999b ＋1001c 的
《观察物体》教材分析 在本单元的主要学习内容之前，学生已学习了从不同角度观察实物和单个立体图形以及几何组合体，在此基础上，本单元将进一步学习从一个或多个方向观察到的图形拼搭出相应的几何组合体，即根据平面图形还原立体图形，包括从给出的一个或三个方向观察到的图形拼搭出相应的几何组合体。 根据儿童已有的经验及心理发展规律，按从易到难、螺旋上升的编排原那么，小学阶段观察物体分三个阶段进行编排。首先，帮助学生从直观观察立体图形，头脑中建立表象，能够根据直观立体图形进行想象;进而，分辨不同方向观察立体图形得到的形状图;进一步，由建立的几何直观进行空间想象，通过逆向推理，根据观察到的形状图还原立体图形。这样按梯度编排，循序渐进地促进学生空间观念的发展，提高学生的空间想象能力。 【一】与实验教材(?义务教育课程标准实验教科书数学六年级?，下同)的主要区别 〝观察物体(三)〞是在原来习题的基础上新增的内容。由原习题新编，增加从看到的平面图形(形状图)还原几何组合体的逆向活动。 【二】教材例题分析 例1：根据给出的从一个方向看到的形状图，用给定数量的小正方体摆出相应的几何组合体 一方面，通过动手操作实现从平面图形到立体图形的转化;另一方面，让学生体会只根据一个方向看到的形状图，可以摆出不同的几何组合体。同时，在增加小正方体数量的摆法中，进一步体会并发现其中的规律，也就是保证从正面看有3个小正方形，为后面进一步学习进行铺垫。 例2：根据给出的从三个方向看到的形状图，用小正方体摆出相应的几何组合体 有了例1的活动经验，这里可放手让学生自主探索，学生可以有不同的尝试方法。如，根据从一个方向看到的图形进行摆放，再根据其他两个方向进行调整;也可以借助表象直接尝试摆出一个立体图形，再验证和调整。通过交流体会，最终的摆法都是一样的。
数学专题 第六讲：二次根式 【基础知识回顾】 一、 二次根式 式子a （ ）叫做二次根式 提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式 二、 二次根式的性质： ①（a ）2= （a ≥0） ③= （a ≥0 ,b ≥0） ④= (a ≥0, b ≥0) 提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和 可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小 三、最简二次根式： 最简二次根式必须同时满足条件： 1、被开方数的因数是 ，因式是整式 2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算： 1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同 2、二次根式的乘除： = （a ≥0 ,b ≥0） （a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算 提醒：1 、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 重点考点例析 考点一：二次根式有意义的条件 A ．x ≠3 B ．x ＜ 3 C ．x ＞3 D ．x ≥3 （a ≥o ） （a ＜o ）
思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 对应训练 A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠ 1 D．一切实数 考点二：二次根式的性质 A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 思路分析：现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a＜0，b＞0， 原式=-a-[-（a+b）]=-a+a+b=b．故选C． 点评：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练 解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， =|a+b|+a =-a-b+a =-b，故答案为：-b． 考点三：二次根式的混合运算
二次根式易错题集锦 1. 有意义的条件是 。 2. 当__________ 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：4 29__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤ 5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 11x = +成立的条件是 。 12. 若 1a b -+() 2005 _____________a b -=。 )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ）A. 24a + B. 22a + C. () 2 2 2a + D. () 2 24a +
17. 若1a ≤ ） A. (1a - B. (1a - C. (1a - D. (1a - 18. =成立的x 的取值范围是（ ）A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. （ ）A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） ( ) ( )()() 2312322 4==-= =∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ( )4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1 取值最小，并求出这个最小值。 23. 去掉下列各根式内的分母： ())10x () )21x 24. 已知2 3 10x x -+ = 25. 已知,a b ( 10b -=，求20052006 a b -的值。 二次根式的乘除1. 当0a ≤ ，0b __________=。 2. _____,______m n ==。 3. __________==。
观察物体（一）教学设计 教学目标： 1、知识目标：通过实际操作初步体会从不同角度观察物体所看到的形状是不同的，学会根据看到的形状正确判断观察者的位置。 2、能力目标：培养学生观察，比较，实践操作的能力，发展学生初步的空间观念，渗透数学来源于生活并运用于生活的辩证唯物主义思想。 3、情感目标：通过探究活动，激发学生学习的热情，培养主动的探究的能力。教学重点：能结合具体的事物辨认从不同位置看到的物体形状。 教学难点：体验从不同角度看物体，看到的形状是不同的。 教学方法：发现法、观察法、实践操作法、自主探究法。 教学用具：玩具熊猫、课件。 教学过程： 一、创设情境、生成问题 师：同学们，我们现在做个猜图游戏好吗？出示情境图：请猜一猜这张图片是什么？生：一个蓝色的球 出示第二幅：看看它的另背面生：原来是那个小兔子背了个大蘑菇出示第三幅图：再看它的上面呢？生：原来是个存钱罐师：有什么感受？ 生：观察物体时一定要全面观察。 （游戏既复习了方位，又让学生体会到站得角度不同，观察的物体不一样的，而且调动了学生的积极性，使学生立刻进入学习的的状态）二、探索交流，解决问题 1、指导观察 出示并介绍玩具熊猫（主要复习熊猫的前、后、左、右） 师：请同学们仔细的观察熊猫（师转动），现在请同学们闭上眼睛想一想熊猫是
什么样子（藏起熊猫）请同学们在你们的小组内互相的介绍一下熊猫。（初步的感知观察方法,并学会与人交流） 示范：下面我们一起来观察熊猫，请小朋友看看老师是怎样观察的。（边说边做示范从前面平视熊猫）请同学猜一猜老师看到了什么（生交流“眼睛、鼻子、嘴巴…..”只要抓住了某一特征就可以）同学们也很想看一看我们可爱的熊猫的前面（这时把熊猫转过来请同学们观察并全班交流）那么你们想想，这里有四幅照片哪一张是你们现在看到的呢？（生答） 师：我想请一位同学来观察熊猫的左边，也请一位同学来观察熊猫的右边（两位同学很快站好了），现在请你们想一想这两位同学观察的熊猫是一样的吗？可以在小组内交流一下。 全班交流：大部分同学认为是一样的，这时只要给他们时间，很快他们就能找出不同（朝向不同）这时让学生快速的找出左、右两幅图片。 师：把熊猫的后面朝向学生，请学生说说从后面我们可以看到熊猫的什么（生交流），并找出对应的图片。 （教给学生正确的观察方法，让学生找到自己看到熊猫的图片，有利于学生初步体会观察的位置与所看到的视图的对应关系，引导学生结合自己的生活经验，正确区分熊猫的左、右、侧面，使学生更好的体会观察的位置不同。） 2、运用观察方法观察物体 师：请同学们拿出你们的玩具放在小组中间，并说说你们站在玩具的哪一面？看到了什么？（生小组交流）现在请同学们转动你的玩具，请再说一说你们站在玩具的哪一面？看到了什么？（生小组交流） 师：哪一组愿意上来介绍你们的玩具吗？（此时应注意引导学生全面观察物体，介绍物体） 3、观察数学书。
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）；
【典型例题】 1、 概念与性质 例1、下列各式 1 ）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x -- +315；（2）2 2)-(x 例3、 在根式 1) ， 最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a人教版二次根式单元 易错题测试基础卷试题
人教版二次根式单元 易错题测试基础卷试题 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A = B ．2= C ．(2 6 = D == 2．若 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x > B ．3x ≥ C ．3x ≤ D ．x 是非负数 3．下列运算正确的是（ ） A = B ． 3 C ＝﹣2 D =4．下列根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 5．下列计算正确的是（ ） A = B ．2= C ．1= D = 6．下列运算中，正确的是( ) A =3 B ．=-1 C D ．3 7．当x =时，多项式() 2019 3419971994x x --的值为( ). A ．1 B ．1- C ．20022 D ．20012- 8．设1199++ S 的最大整数[S]等于( ) A ．98 B ．99 C ．100 D ．101 9．已知实数x ，y 满足（x y ）=2008，则3x 2-2y 2+3x -3y -2007 的值为（ ） A ．-2008 B ．2008 C ．-1 D ．1 10． 有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．下列运算中错误的是（ ） A = B = C 2÷= D ．2 (3=
12．下列运算错误的是（ ） A ．23=6? B ．2 = 2 2 C ．22+32=52 D ． () 2 1-212=- 二、填空题 13．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果11 22 n x n -<+≤，则()f x n =z ． 如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ， 试解决下列问题： ①(3)f =z __________；②2(33)f +=z __________； ③2 2 2 2 2 2 (11)(22) (22)(33) (33)(44) f f f f f f + + + +?++?++?+z z z z z z 2 2 (20172017)(20182018) f f + =+?+z z __________． 14．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列： 若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______． 15．36，3，2315，，则第100个数是_______． 16．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____． 17．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 181262_____． 19．化简(32)(322)+-的结果为_________. 20．下列各式：2521+n ③24 b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号） 三、解答题 21．先阅读下列解答过程，然后再解答： 2m n +,a b ，使a b m +=，ab n =，使得 22)a b m +=a b n =