n n -1 n +1 n n
等差数列
1. 定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为a n - a n -1 = d （d 为常数）（ n ≥ 2 ）；
2. 等差数列通项公式：
（1） a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *
) （首项: a ，公差:d ，末项: a ）
n
1
1
1
n
（2） a n
= a m + (n - m )d ． 从 而 d =
a n - a m
；
n - m
3. 等差中项
（1）如果a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项．即： A =
a + b
2
或2 A = a + b
（ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 ? 2a n +1 = a n + a n +2
{a n }是 等 差 数 列
? 2a n = a n -1 + a n +1 (n ≥ 2)
4. 等差数列的前 n 项和公式： s n
=
n (a 1 + a n )
2
= na 1 +
n (n -1) d
2
= d n 2 + (a - 1
d )n
2 1
2
= An 2 + Bn
（其中A 、B 是常数） （当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
5. 等差数列的证明方法
（1） 定义法：若a - a = d 或a - a = d (常数n ∈ N *
) ? {a }是等差数 列．
（ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列
? 2a n +1 = a n + a n +2 ．
{a n }是 等 差 数 列 ? 2a n = a n -1 + a n +1 (n ≥ 2)
（3） 数列{a n }是等差数列? a n = kn + b （其中k , b 是常数）。 （4） 数列
{a n }是等差数列? S n = An 2 + Bn ,（其中A 、B 是常数）。
注：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a 1 、 d 、 n 、 a n 及 S n ， 其中 a 1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。
（ 2 ） 为减少运算量， 要注意设元的技巧， 如奇数个数成等差， 可设为… ，
a - 2d , a - d , a , a + d , a + 2d … （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 … ， a - 3d , a - d , a + d , a + 3d ,…（公差为 2 d ）
7.等差数列的性质：
（1） 当公差d ≠ 0 时，等差数列的通项公式a n = a 1 + (n -1)d = dn + a 1 - d 是关于n 的
一次函数，且斜率为公差d ；前n 和S = na + n (n -1) d = d n 2 + (a - d )n 是 n 1
2 2 1 2
关于n 的二次函数且常数项为 0. （2） 若公差d > 0 ，则为递增等差数列，若公差d < 0 ，则为递减等差数列，若公差d = 0 ，则为常数列。
（3） 当 m + n = p + q 时,则有 a m + a n = a p + a q ，特别地，当 m + n = 2 p 时，则有
a m + a n = 2a p .
+a n
注
： a 1
+ a
n
= a
2
+ a
n -1
=
，图示：
a 1,
a 2 ,,
, a n -2
, a n
-1, a n
a 2 +a n -1
(4) 若{ a n }是等差数列，则S n , S 2n - S n , S 3n - S 2n ，…也成等差数列
S 3 m
图示： a 1
+
a
3
+ a m
+
a +
+ a 2m + a 2m +1
+ +a 3m
S m
S 2 m -S m
S 3 m -S 2 m
（ 5 ） 若等差数列 {a }、 {b }的前 n 和分别为 A 、 B ， 且 A n = f (n ) ， 则 n n n n n
a n = (2n -1)a n = A 2n -1 = f (2n -1) .
b n (2
n -1)b n B 2n -1 （6） 若{a n } 、{b n } 为等差数列，则{a n ± b n } 为等差数列
练习：
B
1.等差数列{a n }中，a2 = 1, S11 = 33 ，求{a n }的通项公式。
2.等差数列{a n }前n 项和记为S n ，已知a10 = 30 ，a20 = 50.
（1）求通项a n ；（2）若S n = 242 ，求n.
3.若a6 +a9 +a12 +a15 = 20 求S20
4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？