24.2点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系
【知识与技能】
1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.
2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.
3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.
【过程与方法】
通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.
【情感态度】
形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.
【教学重点】
（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.
【教学难点】
点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法
一、情境导入，初步认识
射击是奥运会的一个正式体育项目，我国运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得了荣誉，如图所示是射击靶的示意图，它是由若干个同心圆组成的，射击成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗？
从数学的角度来看，这是平面上的点与圆的位置关系，我们今天这节课就来研究这一问题，引出课题.
【教学说明】随着现在经济科技的发展，奥运会越来越被人们所重视.本节通过学生熟悉的射击比赛成绩的算法，使学生在开拓知识视野的同时，感知点与圆的几种位置关系，体会数学在生活中应用.
二、思考探究，获取新知
1.点与圆的位置关系
我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关系.
学生交流，回答问题.
教师点评：点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
议一议如下图，⊙O的半径为4cm，OA=2cm，OB=4cm，OC=5cm，那么，点A、B、C与⊙O有怎样的位置关系？
解：∵OB=4cm，∴OB=r，∴点B在⊙O上.
∵OA=2cm＜4cm，∴点A在⊙O内.
∵OC=5cm＞4cm，∴点C在⊙O外.
【教学说明】由前面所学的“圆上的点到圆心的距离都等于半径”，反之“到圆心的距离都等于半径的点都在圆上”可知点B一定在⊙O上.然后引导学生看图形，初步体会并认识到点与圆的位置关系可以转化为数量关系.为下面得出结论作铺垫.
【归纳结论】点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d.
则有：点P在⊙O外d＞r
点P在⊙O上d=r
点P在⊙O内d＜r
注：①“”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左边结论.读作“等价于”.
②要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.
2.圆的确定
探究（1）如图（1），作经过已知点的圆，这样的圆你能作出多少个？
（2）如图（2），作经过已知点A、B的圆，这样的圆能作多少个？它们的圆心分布有什么特点？
学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.
解：（1）过已知点A画圆，可作无数个圆.这些圆的圆心分布于平面的任意一点，半径是任意长的线段（仅过点A，既不能确定圆心，也不能确定半径.）（2）过已知的两点A、B也可作无数个圆.这些圆的圆心分布在线段AB的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
（注：仅过点A、B，同样不能确定圆心，也不能确定半径.）
思考在平面上有不共线的三点A、B、C，过这三个点能画多少个圆？圆心在哪里？
解：经过A、B两点的圆，圆心在线段AB的垂直平分线上.经过A、C两点的圆，圆心在线段AC的垂直平分线上，那么这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA=OB=OC，于是以O为圆心，以OA为半径的圆，必过B、C两点，所以过不在同一直线上的A、B、C三点有且仅有一个圆.
【归纳结论】不在同一直线上的三点确定一个圆.
由此结论要延伸到：
经过三角形三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个，这个圆叫做三角形的外接
圆.三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心——三角形三边垂直平分线的交点.它到三角形三个顶点的距离相等.
【教学说明】这段中心问题是过已知点作圆，在帮助学生分析这一问题时，紧紧抓住圆心和半径来研究.在三点共圆的问题上，一定要强调“不共线的三点”.这里学生实际动手作图的内容很多，可以充分调动学生学习的主动性和积极性，通过学生的动手操作和动脑思考，增强学生对知识的理解和领悟.
议一议如果A、B、C三点在同一直线上，能画出经过这三点的圆吗？为什么？
解：如图，若过同一直线l上的三点A、B、C能作一个圆，圆心为P，则点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P是直线l1与直线l2的交点，由此可得:过直线l外一点P作直线l的垂线有两条l1和l2，这与以前学的“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴过同一直线上的三点不能作圆.
【教学说明】所有学生都会看出这问题一定不能作圆，但如何证明呢?这是一个事实，直接证明有些困难，于是引入了反证法.反证法是间接证明问题的一种方法.它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，从矛盾断定所作的假设不成立，从而得出原命题成立，这种方法叫做反证法.初中阶段接触的较为简单.
三、典例精析，掌握新知
例1⊙O的半径为10cm，根据点P到圆心的距离：（1）8cm，（2）10cm，（3）13cm，判断点P与⊙O的位置关系？并说明理由.
解：由题意可知：r=10cm.
(1)d=8cm＜10cm，d＜r点P在⊙O内；
(2)d=10cm，d=r点P在⊙O上；
(3)d=13cm＞10cm，d＞r点P在⊙O外.
例2 如图，在A地往北90m处的B处，有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房，变电设施，古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？
解：由题设可知：AB=90m，AC=120m，∠BAC=90°，由勾股定理可得：BC=2222
+=+=150（m）.
AB AC
90120
又∵D是BC的中点，∴AD=1/2BC=75（m）.
∴民房B，变电设施C，古建筑D到爆破中心的距离分别为：AB=90m，AC=120m，AD=75m.要使B、C、D三点不受到破坏，即B、C、D三点都在⊙A外，∴⊙A的半径要小于75m.
即：爆破影响的半径控制在小于75m的范围，民房、变电设施，古建筑才能不遭破坏.
【教学说明】例1可让学生独立思考，尝试写出过程；教师点评，并规范书写格式.例2是对本节知识的实际应用，教师引导学生分析问题，使学生学会将实际问题转化为数学问题，从而认识到问题的本质，也让学生体会到数学是与实际生活紧密相连的.
四、运用新知，深化理解
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D、E分别为AB、AC 的中点，现以点B为圆心，BC的长为半径作⊙B，试问A、C、D、E四点分别与⊙B 的位置关系？
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径.
3.如图，有一个三角形鱼塘，在它的3个顶点A、B、C三处均有一棵大白杨树，现设想把三角形鱼塘扩建成圆形养鱼场，但必须保持白杨树不动，请问能否实现这一设想？若能，请设计画出示意图；若不能，说明理由.
【教学说明】上述三道题，教师可先给出提示，再让学生自主探究，或分组讨论，最后加以评析.题1是有关点和圆的位置关系，意在帮助学生加深理解新知，题2是外接圆的知识，题3是确定圆的知识的实际应用.
【答案】1.解:连接EB.∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5.∵E、D分别为AC、AB的中点，∴DB=1/2AB=2.5，EC=1/2AC=2，EB=2213
+=.
EC BC
∵AB=5＞3，∴点A在⊙B外；∵CB=3，∴点C在⊙B上；∵DB=2.5＜3，∴点D在⊙B内；∵EB=13＞3，∴点E在⊙B外.
=，即A是BC的中点.故连接OB，OA，则OA⊥BC，
2.解:∵AB=AC，∴AB AC
设垂足为D.在Rt△ABD中，AD=2222
AB BD
-=-=5.设⊙O的半径为r，则在
1312
Rt△OBD中，r2=(r-5)2+122，解得r=16.9.
3.只要作△ABC的外接圆即可.
五、师生互动，课堂小结
本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.
【教学说明】学生自主发言，教师进行点评和补充，要向学生强调反证法和数形结合的数学思想.
1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.
本节课通过复习圆的定义入手，通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手的能力.
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