高二上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，1-8为单选，9-12为多选，共60分）
1.从已经编号的名学生中抽取20人进行调查，采用系统抽样法若第1
组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是
A. 74
B. 83
C. 92
D. 9
2.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完若三人均
领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”即乙领取的钱数不少于丙、丁的概率是
A. B. C. D.
3.对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到样本的茎叶图，如图所示，
则下列判断错误的是
A. 甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63
B. 甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56
C. 甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数
D. 甲消费额的方差小于乙消费额的方差
4.抛物线C：的焦点为F，点M为C上第一象限内一点，，y轴上
一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5.已知，函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴
上的截距为
A. B. C. 2 D. 1
6.已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则
双曲线C的渐近线方程为
A. B. C. D.
7. 正方体
中，O 为底面ABCD 的中心，则直线与平面所
成角的正弦值为
A.
B.
C.
D.
8. 已知双曲线C ：，P 是双曲线C 上不同于顶点的动点，经过P 分别作曲
线C 的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB ，则四边形OAPB 的面积是
A. 2
B. 1
C.
D.
9．以下命题中，不正确的为（ ） A.是
共线的充要条件；
B.若，则存在唯一的实数λ，使
；
C.若，则；
D.若
为空间的一个基底，则
构成空间的另一个基底；
10．已知下列几个命题：其中结论正确的是
A.△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，周长为18，则C 点轨迹方程为19
252
2=+y x ；
B.“”是“”的必要不充分条件；
C.已知命题p:3≥3,q:3>4，则p ∨q 为真，p ∧q 为假，?p 为假；
D.双曲线116922-=-y x 的离心率为45
.
11．给出下列命题：其中结论正确的是
A 直线l 的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m 的方向向量=（2，1，﹣）， 则l 与m 垂直；
B 直线l 的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l ⊥α；
C 平面α、β的法向量分别为
=（0，1，3），
=（1，0，2），则α∥β；
D 平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0）， 向量=（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u+t=1．
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为棱A 1B 1的中点，点Q 在侧
面DCC 1D 1内运动，给出下列结论：其中结论正确的是 A 若BQ ⊥A 1C ，则动点Q 的轨迹是线段；
B 若|BQ |=，则动点Q 的轨迹是圆的一部分；
C 若∠QB
D 1=∠PBD 1，则动点Q 的轨迹是椭圆的一部分；
D若点Q到AB与DD1的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线的一部分．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数的图象在点处的切线斜率为______．
．
14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．
．
15.已知四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，底面ABCD，底面ABCD 为正方形，现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥的内部的概率为______．
16.椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的点，
，，则椭圆C的短轴长是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知p：，q：，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
18.某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：
车辆数x1018263640
用次卡消费的车辆
710171823数y
Ⅰ根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；的结果保留两位小数
Ⅱ试根据求出的线性回归方程，预测时，用次卡洗车的车辆数．
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；
其中，，
19.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
Ⅰ估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数、平均数；
Ⅱ采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？
Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，则第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？
20..（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为、
，左顶点为A，若，椭圆的离心率为．
Ⅰ求椭圆的标准方程．
Ⅱ若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围
21.如图所示的多面体中，四边形ABCD为菱形，，
，面ABCD，，，异面直
线AF，CD所成角的余弦值为．
Ⅰ求证：面面EDB；
Ⅱ求二面角的余弦值．
22.已知，，圆上的动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K．
Ⅰ求点K的轨迹C的方程；
Ⅱ经过点的斜率之积为的两条直线，分别与曲线C相交于M，N两点，试判断直线MN是否经过定点若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由．
高二上学期期末考试数学试题
一、选择题
1.B
2.A
3.D
4.C
5.D
6.B
7.A
8.B
9 ABC 10.CD 11.AD 12.AC
二、填空题
13.0 141516.
17.已知p：，q：，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】解：由得，即p：，
若q是p的必要条件，即，
即当时，恒成立，
即恒成立，
设，函数的导数，
当时，恒成立，即此时为增函数，
即当时，函数取得最小值为，
则，
即实数a的取值范围是．
18【答案】解：Ⅰ，．
，
．
．
．
则y关于x的线性回归方程为；
Ⅱ由Ⅰ的线性回归方程可得，当时，用次卡洗车的车辆数估计是
．
19【答案】解：Ⅰ年龄在，，的频率为，，，
，，
中位数为，
平均数的估计值为：．
Ⅱ第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，
三个组依次抽取的人数为2，4，2．
Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，
基本事件总数，
第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，第三组至少有1个人被抽到的概率．
20解：Ⅰ由题意，，椭圆的离心率为，
，，
，
椭圆的标准方程为
Ⅱ设，，，
，点在椭圆上，，，
，
由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴，当时，取最小值0，
当时，取最大值12．
的取值范围是．
21.【答案】证明：Ⅰ四边形ABCD是菱形，，
面ABCD，面ABCD，，
，面EBD，
面ACF，面面EDB．
解：Ⅱ四边形ABCD是菱形，，，
，，
，，，，
四边形EFOD是平行四边形，，
面ABCD，面ABCD，
以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，0，，设0，，
则，，
，，
解得，则0，，1，，
1，，，，，
设平面AFB的法向量y，，
则，取，得，
设平面AFE的法向量y，，
则，取，得0，，
设二面角的平面角为，由图形得为钝角，
则．
二面角的余弦值为．
22【答案】解：Ⅰ，点K的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，
点K的轨迹方程为：，
Ⅱ设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为，
联立可得，整理，可得，则，则，代入，可得，
，
同理可得，
当M，N的横坐标不相等时，直线MN的斜率，
故直线MN的方程为，
令，可得，
此时直线MN经过点，
当M，N的横坐标相等时，有，解得，
此时点M，N的横坐标为，
此时直线MN经过点，
综上所述直线MN经过点