2021年高中数学 第二章 2.1数列的概念与简单表示法（二）课时作业 新
人教A 版必修5
课时目标
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．
1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N *
(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．
3．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即a n ＋1 一、选择题 1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数项 D ．不能确定 答案 A 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N * ，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N * ，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N * ，n ≥2 答案 B 3．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1 2 n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.5 8 答案 B 4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2 ，则：a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案 C 解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22 ， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42， 则a 3＝32 22＝94，a 5＝52 42＝2516 . 故a 3＋a 5＝61 16 . 5．已知数列{a n }满足a n ＋1 ＝??? ? ? 2a n ? ????0≤a n <12， 2a n －1 ? ?? ??12≤a n <1. 若a 1＝6 7 ，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.17 答案 C 解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝6 7 ，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝3 7 . 6．已知a n ＝n －98 n －99 ，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9 C ．a 10，a 9 D ．a 10，a 30 答案 C 解析 ∵a n ＝n －99＋99－98 n －99 ＝ 99－98 n －99 ＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝ 99－98 x －99 ＋1的图象上， 在直角坐标系中作出函数y ＝ 99－98 x －99 ＋1的图象， 由图象易知 当x ∈(0，99)时，函数单调递减． ∴a 9 当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减， ∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9. 二、填空题 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________. 答案 3·21－n 8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N * )，则使a n >100的n 的最小值是________． 答案 12 9．若数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n (n ∈N * )，则当n ≥2时，a n ＝________. 答案 n n ＋1 2 解析 ∵a 1＝1，且 a n ＋1a n ＝n ＋2n (n ∈N * )． ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n －1a n －2·a n a n －1 ＝31·42·53·…n n －2·n ＋1n －1 ， 即a n ＝n n ＋12 . 10．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N * ，则实数λ的最小值是________． 答案 －3 解析 a n ≤a n ＋1?n 2＋λn ≤(n ＋1)2 ＋λ(n ＋1) ?λ≥－(2n ＋1)，n ∈N * ?λ≥－3. 三、解答题 11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1 (n ≥2，n ∈N * )． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 011. (1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－1 1－ 1 a n ＋1 ＝1－1 1－ 11－ 1a n ＝1－11－ a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1 －1a n －1 ＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n . (2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3， a 1＝1 2 ，a 2＝－1，a 3＝2. 又∵a 2 011＝a 3×670＋1＝a 1＝12，∴a 2 011＝1 2 . 12．已知a n ＝9n n ＋110 n (n ∈N * )，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由． 解 因为a n ＋1－a n ＝? ????910n ＋1·(n ＋2)－? ?? ??910n ·(n ＋1) ＝? ????910n ＋1·??????n ＋2－109n ＋1＝? ?? ??910n ＋1·8－n 9，则 当n ≤7时，? ?? ??910n ＋1· 8－n 9>0， 当n ＝8时，? ?? ??910n ＋1· 8－n 9＝0， 当n ≥9时，? ?? ??910n ＋1· 8－n 9<0， 所以a 1a 10>a 11>a 12>…， 故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝9 910 8. 能力提升 13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1 n n ＋1 ，n ∈N *，则通项公式a n ＝________. 答案 －1n 解析 ∵a n ＋1－a n ＝ 1 n n ＋1 ， ∴a 2－a 1＝1 1×2； a 3－a 2＝1 2×3； a 4－a 3＝1 3×4 ； … … a n －a n －1＝1 n －1n ； 以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1 n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n . ∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1 n . 14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2 n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________． 答案 1n 解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2 n ＋a n a n ＋1＝0， ∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一 a n ＋1a n ＝n n ＋1 . ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1 ＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a n a 1＝1n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1 n . 方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1 n . 函数与数列的联系与区别 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函 数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n>a n－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n}递增?a n＋1>a n对任意的n(n∈N*)都成立．类似地，有{a n}递减?a n＋1 20387 4FA3 侣 22535 5807 堇N25745 6491 撑32443 7EBB 纻35568 8AF0 諰27447 6B37 欷*]VTx;
相关主题
文本预览