【最新】高中数学《三角函数与解三角形》专题解析
一、选择题
1．已知函数()()πsin 06f x x ωω??
=-> ??
?，若()π02f f ??=- ???在π0,2??
??
?上有且仅有三个
零点，则ω= ( ) A ．
2
3
B ．2
C ．
143
D ．
263
【答案】C 【解析】
∵函数()()sin 06f x x πωω??
=-> ??
?
，()02f f π?
?
=-
???
∴1
sin()sin()6262
π
ππω-=--=- ∴
22
6
6
k π
π
π
ωπ-
=+
或
52,2
6
6
k k Z π
π
π
ωπ-
=+
∈ ∴2
43k ω=+
或42,k k ω=+∈Z ∵函数()f x 在0,2π??
??
?
上有且仅有三个零点 ∴(,
)6
626
x π
πωπ
π
ω-∈-- ∴232
6
ωπ
π
ππ<-
≤
∴
1319
33
ω<≤ ∴14
3
ω=
或6ω= 故选C.
2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
0AB BC ?>u ur u u r u u ，2
a =，则
b
c +的取值范围是( )
A ．31,2?? ???
B ．322??
?
???
C ．13,22??
???
D ．31,2
?? ???
【答案】B 【解析】 【分析】
利用余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，可得3A π=，由
|||cos()|0AB BC AB BC B π?=?->u u u u u u u u r u ur u r u r
，可得B
为钝角，由正弦定理可得
sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解
【详解】
由余弦定理有：222
cos 2b c a A bc
+-=，又222b c a bc +-=
故2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===
又A 为三角形的内角，故3
A π
=
又a
=sin sin sin(120)o
b c c B C B ==
- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π?=?->u u u u u u u u r u ur u r u r
故cos 0B B <∴为钝角
3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+
(90,120)o o B ∈Q ，可得
130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，
330))22
o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
3．函数()[]()
cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．
53
π B ．2π
C ．
76
π D ．π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.
【详解】
令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1
sin 2
x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-
或32x π=或6x π=或56
x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522
266
s π
πππ
π=-+
++=，故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
4．已知在锐角ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111
tan tan tan A B C
++的最小值为（ ） A
B
C
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴
()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+????22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B
B C B B +=-
=-=---，
∴21112tan 111
tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B
-++=++
27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ?中, tan 0B >,
∴
27tan 36tan B B +≥=
，当且
仅当tan 2
B =
时取等号，
∴min
111tan tan tan A B C ??++=
??? A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
5．在ABC ?中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ?是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】
∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4
∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，
∴由余弦定理：c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC ，所以cosC=
2222a b c ab
+-=222
4916223x x x x x +-??=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】
本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
6．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至
BC ，在旋转的过程中，记([0,])2
ABP x x π
∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区
域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π??
∈????
时，()
112y f x tanx ==??; 当,42x ππ??
∈
???
时，()11112y f x tanx ==-??; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.
7．已知函数()sin 26f x x π?
?
=-
??
?
，若方程()2
3
f x =
的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）
A ．
23
B ．
49
C 5
D 45
【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得2123
x x π
=
-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ?
??
?-=-
=-- ? ??
???
求解即可． 【详解】
因为0＜x π＜，∴112666
x π
ππ??
-∈- ???
，， 又因为方程()2
3
f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴
1223x x π+=，∴2123
x x π
=-，
∴()12112223
6sin x x sin x cos x ππ???
?-=-=-- ? ??
???
， 因为122123
x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π
＜，
∴12662x π
ππ??
-
∈- ???
，，
∴由()112263f x sin x π??
=-= ??
?，得1263cos x π??-= ??
?，
∴()123
sin x x -=-，故()21sin x x -故选C ． 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．
8．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）
A ．
B ．
C
D 【答案】B 【解析】 【分析】
由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】
()()
sin 2cos f x x x x ?=-=+Q ，其中tan 2?=- ()
max f x ∴sin 2cos θθ-=
又22sin cos 1θθ+= cos 5
θ∴=- 【点睛】
本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.
9．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πω?ω???
=+∈>>< ??
?
的图象（部分）如图所示，则ω，?分别为（ ）
A ．,3
π
ωπ?==
B ．2,3
π
ωπ?==
C ．,6
π
ωπ?==
D ．2,6
π
ωπ?==
【答案】C 【解析】 【分析】
由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23
f =确定?. 【详解】 由图可得，2A =，511
4632T =-=，所以22T πω
==，ωπ=，又1()23f =，
所以12sin()23π??+=，2,32k k Z ππ?π+=+∈，即2,6
k k Z π
?π=+∈， 又2
π
?<
，故6
π
=
?. 故选：C 【点睛】
本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中
档题.
10．已知函数()sin()f x x π?=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．
12
B ．
47
C 255
D 7
6565
【答案】B 【解析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =
，11,2AD DE ==
，3
tan 2CD CAD
AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3
(,1)2
A a +， 所以32
CD =
，1
1,2AD DE ==，
3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD
BAC CAD EAD CAD EAD
∠-∠∠=∠-∠=
+∠?∠
31422317122-==+?.
故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
11．已知ππ43π
sin()cos()0,322
ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）
A 5
B ．35
-
C ．
45
D ．
35
【答案】C 【解析】
首先根据等式化简，得到4sin 65πα??
+=- ?
?
?，再利用诱导公式化简2cos 3πα??
+ ??
?
求值. 【详解】
解析：∵ππsin cos 32αα???
?++-= ? ????
?
13sin sin sin 22ααααα+==
6πα??=+= ??
? ∴π4
sin 65
()α+=-.
又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35
)α+=. 故选：C 【点睛】
本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
12．在ABC ?中，若2
sin sin cos 2
C
A B =，则ABC ?是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
sin sin cos
2C
A B =，所以，1cos sin sin 2
C A B +=，即
2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。
13．若函数()sin()f x A x ω?=+（其中0A >，||)2
π
?<图象的一个对称中心为(
3
π
，
0)，其相邻一条对称轴方程为712
x π
=
，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )
A ．向右平移
6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度
C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出?的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】
根据已知函数()()sin f x A x ω?=+
(其中0A >，)2π
?<
的图象过点,03π?? ???，7,112π??
-
???
， 可得1A =，
1274123
πππω?=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23
π
?π?+=，
可得：3
π
?=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π??
=+
??
?
故把()sin 23f x x π?
?=+ ??
?的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos23
6y x x π
π?
?
=++
= ??
?
的图象， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查由函数()sin y A x ω?=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出?的值，函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
14．若,2παπ??∈ ???
，2cos2sin 4παα??
=- ???，则sin 2α的值为（ ）
A ．7
8-
B ．
78
C ．18
-
D ．
18
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4
αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2sin 4παα??
=-
???
所以(
)
22
2cos sin sin
cos cos
sin 4
4
π
π
αααα-=-
所以()(
))2cos sin cos sin cos sin αααααα-+=
- ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ???
Q ，
所以cos sin 4
αα+=
所以()2
1cos sin 8αα+=，即22
1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28
α+= 所以7sin 28
α=- 故选：A 【点睛】
本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
15．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++?
?=++<< ?+++-?
?的最小值为
（ ） A
B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++
2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ????
++ ? ?????=+=
+=????
++ ? ?????
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π?
?=
+<< ??
?， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+????=+=-+= ? ?????
. 令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ??
=
???
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >. 故(
)min 3f x f π??==
???
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
16．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab +≥=，
当且仅当a b =时等号成立，
此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>??，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
17．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin B ．cos
C ．tan
D ．cos2θ
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可． 【详解】
由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】
本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．
18．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．
1
2
B ．2
C ．2
D ．﹣2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2
θ222
26sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r
(sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ?=-u r r
因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2
θ2222
2626226
141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++?+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
19．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π??
=+ ??
?
；④tan 24y x π??
=- ??
?
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A 【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T π
π=
= ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为
1
22
ππ?= ； 函数cos 26y x π??
=+ ??
?
的最小正周期为22
T π
π=
= ； 函数tan 24y x π??
=-
??
?
的最小正周期为2
2
T π
π
=
=
；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
20．函数()4sin (0)3f x x πωω??
=+
> ??
?
的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π
个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4
x π
=
B ．3
x π
=
C ．56
x π=
D ．1912
x π
=
【答案】D 【解析】 【分析】
由三角函数的周期可得23
π
ω=
，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为2
44sin 39y x π??=+ ???
，再求其对称轴方程即可. 【详解】
解：函数()4sin (0)3f x x πωω?
?
=+
> ??
?
的最小正周期是3π，则函数2
()4sin 3
3f x x π??=+ ???，经过平移后得到函数解析式为
22
44sin 4sin 36339y x x πππ??????=++=+ ? ?
???
?????，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+
∈Z ，当1k =时，1912x π
=. 故选D. 【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；