21
，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)， 所以)1(1
)1(1)1(1c c b b a a -≥-≥-，
所以)
1(2
)1(2)1(1)1(1c c b b b b a a -≥-≥-+-，
所以只需证明)1(1
)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+-，
也就是证)
1)(1()1)(1(b a b b
a b a a b a ---≤---，
只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。所以命题成立。
3．综合法
例5 若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)。
证明:∵(a+b -c)+(b+c-a)=2b ＞0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c ＞0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a ＞0,
∴a+b -c,b+c-a,c+a-b 中至多有一个数非正.
(1)当a+b-c,b+c-a,c+a-b 中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立. (2)a+b-c,b+c-a,c+a-b 均为正时,则
()()()()2
a b c b c a a b c b c a b +-++-+-+-≤
=
同理
()()()(),,a b c a c b a b c a a c b c +-+-≤+-+-≤
三式相乘得abc ≥(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)
例6 已知△ABC 的外接圆半径R=1，S △ABC =，a,b,c 是△ABC 的三边长，
令S=，t=。求证：t>S 。
解：由三角形面积公式:1
sin 2
bc A .正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.
所以bc ac ab a
abc b abc c abc a b c 所以t>s 。
4．反证法
例7 设实数a 0, a 1,…,a n 满足a 0=a n =0，且a 0-2a 1+a 2≥0, a 1-2a 2+a 3≥0,…, a n-2-2a n-1+a n ≥0，求证a k ≤0(k=1, 2,…, n-1).
证明：假设a k (k=1, 2,…,n-1) 中至少有一个正数，不妨设a r 是a 1, a 2,…, a n-1中第一个出现的正数，
则a 1≤0, a 2≤0,…, a r-1≤0, a r >0. 于是a r -a r-1>0，依题设a k+1-a k ≥a k -a k-1(k=1, 2, …, n-1)。 所以从k=r 起有a n -a k-1≥a n-1-a n-2 ≥…≥a r -a r-1>0.
因为a n ≥a k-1≥…≥a r+1≥a r >0与a n =0矛盾。故命题获证。
5．数学归纳法
例8 对任意正整数n(≥3)，求证：n n+1>(n+1)n .
证明：1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。
2）设n=k 时有k k+1
>(k+1)k
，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2
>(k+2)k+1
，即1
2
)2()1(++++k k k k >1.
因为1)1(1>++k k k k ，所以只需证12)2()1(++++k k k k k
k k k )
1(1
+>+， 即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k 2+2k+1>k 2+2k. 显然成立。 所以由数学归纳法，命题成立。
6.分类讨论法
例9 已知x, y, z ∈R +，求证：
.0222222≥+-++-++-y
x x
z x z z y z y y x 证明：不妨设x ≥y, x ≥z.
ⅰ）x ≥y ≥z ，则
z
y z x y x +≤+≤+111，x 2≥y 2≥z 2，由排序原理可得 y
x x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++2
22222，原不等式成立。 ⅱ）x ≥z ≥y ，则z
y y x z x +≤+≤+1
11，x 2≥z 2≥y 2，由排序原理可得 y
x x x z z z y y y x z x z y z y x +++++≥+++++2
22222，原不等式成立。 7.放缩法（即要证A>B ，可证A>C 1, C 1≥C 2,…,C n-1≥C n , C n >B(n ∈N +).）
例10 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长，m>0，求证：.m
c c
m b b m a a +>+++ 证
明
：
m b a m m b a b a m b a b m b a a m b b m a a ++-=+++=+++++>+++1m
c c
m c m +=
+->1 （因为a+b>c ），得证。 8.引入参变量法
例11 已知
x, y ∈R +, l, a, b
为待定正数，求f(x, y)=23
23
y
b x a +的最小值。
解： 设k x y =，则k kl
y k l x +=
+=1,1，f(x,y)==???
?
??++2332
2)1(k b a l k 22
3332333332
11111l k a k b k b k b k a k a b a l ≥?
????
? ??+?+?+?++++444344421444344421(a 3+b 3+3a 2b+3ab 2)=
2
3
)(l b a +，
等号当且仅当y b
x a =时成立。所以f(x, y)min =.)(2
3l
b a + 例12 设x 1≥x 2≥x 3≥x 4≥2, x 2+x 3+x 4≥x 1，求证：(x 1+x 2+x 3+x 4)2≤4x 1x 2x 3x 4. 证明：设x 1=k(x 2+x 3+x 4)，依题设有
3
1
≤k ≤1, x 3x 4≥4， 原不等式等价于(1+k)2(x 2+x 3+x 4)2≤4kx 2x 3x 4(x 2+x 3+x 4)，即k
k 4)
1(2
+(x 2+x 3+x 4) ≤x 2x 3x 4，
因为f(k)=k+
k 1在??
?
???1,31上递减， 所以k k 4)1(2+(x 2+x 3+x 4)=)21(41++k
k (x 2+x 3+x 4)≤
4
2313++
·3x 2=4x 2≤x 2x 3x 4. 所以原不等式成立。
9.局部不等式
例13 已知x, y, z ∈R +，且x 2+y 2+z 2=1，求证：2
22111z
z y y x x -+-+-.233≥ 证明：先证
.23312
2
x x
x ≥- 因为x(1-x 2)=3
323221)1(22
1
3
222=??? ???≤-?x x , 所以.233332)
1(12
22
22x x x x x x x =≥-=- 同理2
2
2331y y
y ≥-，222331z z z ≥-， 所以
.233)(2331112
222
22=++≥-+-+-z y x z z y y x x 例14 已知0≤a, b, c ≤1，求证：1
11++
+++ab c
ca b bc a ≤2。 证明：先证.21c
b a a
bc a ++≤+ ①
即a+b+c ≤2bc+2.
即证(b-1)(c-1)+1+bc ≥a.
因为0≤a, b, c ≤1，所以①式成立。 同理
.21,21c
b a c
ab c c b a b ca b ++≤+++≤+ 三个不等式相加即得原不等式成立。
10.利用函数的思想
例15 已知非负实数a, b, c 满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=
a c c
b b a ++
+++1
11的最小值。 解：当a, b, c 中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=25，以下证明f(a, b, c) ≥2
5
.
不妨设a ≥b ≥c ，则0≤c ≤33, f(a, b, c)=.1
11222
b a
c b a c c ++++++ 因为1=(a+b)c+ab ≤4
)(2
b a ++(a+b)
c ，
解关于a+b 的不等式得a+b ≥2(12+c -c). 考虑函数g(t)=
t
c t 112
++, g(t)在[+∞+,12
c ）上单调递增。
又因为0≤c ≤
3
3
，所以3c 2≤1. 所以c 2+a ≥4c 2. 所以2)1(2c c -+≥.12+c 所以f(a, b, c)=b a c b a c c ++++++111222≥)
1(21
1)1(2122222c c c c c c c -+++-+++ =11122
22+++++c c
c c c =21321112222+-+???? ??+++c c c c ≥23142c c ++-
下证≥++-c c )11(320 ① ?+≥+?1332c c c 2+6c+9≥9c 2+9??
?
??-?c c 43≥0 .4
3
≤?c
因为4333<≤
c ，所以①式成立。所以f(a, b, c) ≥25，所以f(a, b, c)min =.2
5 11.构造法
例16 证明：≤。
提示：构造出（x ，0）到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第
三边且三点共线时取最大值，从而结论得证。
12.运用着名不等式
（1）平均值不等式：
设a 1, a 2,…,a n ∈R +，记H n =
n
a a a n
11121+++Λ, G n =n n a a a Λ21, A n =
12,n
a a a n
+++L
222
12n
n a a a Q n
+++=
L 则H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为a 1=a 2=…=a n .
当n=2时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值
不等式的特例
证明：由柯西不等式得A n ≤Q n ，再由G n ≤A n 可得H n ≤G n ，以下仅证G n ≤A n .
1）当n=2时，显然成立；
2）设n=k 时有G k ≤A k ，当n=k+1时，记k k k a a a a ++1121Λ=G k+1.
因为a 1+a 2+…+a k +a k+1+(k-1)G k+1≥k k k k k k G a k a a a k 1
1121-++?+Λ
≥==+-++k k
k k k k k G k G a a a k 22121
112122Λ2kG k+1,
所以a 1+a 2+…+a k+1≥(k+1)G k+1，即A k+1≥G k+1.
所以由数学归纳法，结论成立。
例17 利用基本不等式证明.2
22ca bc ab c b a ++≥++ 【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法. 【略解】ca a c bc c b ab b a 2,2,22
23222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证. 【评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
如n n x x x x x x x x x +++≥+++ΛΛ211
232
2
221，可在不等式两边同时加上
.132x x x x n ++++Λ
再如证)0,,(256)())(1)(1(3
2233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基
本不等式.
（2）基本不等式有各种变式 如2
)2(2
22b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.
例18 已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8
1
4
4
≥
+b a 【思路分析】不等式左边是a 、b 的4次式，右边为常数8
1
，如何也转化为a 、b 的4次式呢.
【略解】要证,814
4
≥
+b a 即证.)(8
1
444b a b a +≥+ （2）柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则
等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i Λ=时成立.
证明：不妨设),,2,1(n i a i Λ=不全为0，i b 也不全为0（因为i a 或i b 全为0时，不等式
显然成立）.
记A=2
2
22
1n a a a +++Λ，B=2
2
22
1n b b b +++Λ. 且
令
),,,2,1(,n i B
b
y A a x i i i i Λ===
则
.
1,12
222122221=+++=+++n n y y y x x x ΛΛ原不等式化为
.12211≤+++n n y x y x y x Λ
即≤+++)(22211n n y x y x y x Λ2
222122221n n y y y x x x +++++++ΛΛ. 它等价于.0)()()(2
222211≥-++-+-n n y x y x y x Λ
其中等号成立的充要条件是).,,2,1(n i y x i i Λ== 从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是).(B
A k ka b i i =
= 变式1：若a i ∈R , b i ∈R , i=1, 2, …, n ，则.)()()(
2
12112∑∑∑===≥n
i i n
i i n
i i
i
b a b a 等号成立条件为a i =λb i ,(i=1,
2, …, n)。
变式2：设a i , b i 同号且不为0(i=1, 2, …, n)，则
.)(1
2
1
1∑∑∑===≥n
i i
i n
i i n
i i
i
b
a a
b a 等号成立当且仅当
b 1=b 2=…=b n .
例19 设+
∈R x x x n ,,,21Λ，求证：.211
221
32
2221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-ΛΛ
【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.
【详解】 ∵0,,,21>n x x x Λ，故由柯西不等式，得
2
1
113
232
12)(x x x x x x x x x x x x n n
n n ?
+?
++?
+?
≥-Λ2121)(n n x x x x ++++=-Λ，
∴.211
221
32
2221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-ΛΛ 【评述】这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函
数法等来证之.
（3）排序不等式：（又称排序原理）设有两个有序数组n a a a ≤≤≤Λ21及.21n b b b ≤≤≤Λ 则n n b a b a b a +++Λ2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211（乱序和）
1121b a b a b a n n n +++≥-Λ（逆序和）
其中n j j j ,,,21Λ是1，2，…，n 的任一排列.
当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时等号（对任一排列
n j j j ,,,21Λ）成立.
证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项
),(n k b a n k ≠
则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+ ① 事实上，左－右
=,0))((≥--n j n k n b b a a
由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++=ΛΛ11（n j n ≠）中
n b 与n j 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和
n n b a b a b a +++Λ2211jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211 ②
这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时②中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在n j 及k ，使n b .,k n j a a b n >>这时①中不等号成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.
例20 .222,,,3
33222222ab
c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤
++∈+
求证 【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
【略解】不妨设a
b c c b a c b a 1
11,
,2
2
2
≥≥≥≥≥≥则， 则b c a b c a 111222?+?+?（乱序和）c c b b a a 111222?+?+?≥（逆序和）， 同理b c a b c a 111222?+?+?（乱序和）c
c b b a a 111222?+?+?≥（逆序和） 两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组
ab
ac bc c b a 1
11333≥
≥≥≥及
， 仿上可证第二个不等式.
例21 设*
21,,,N a a a n ∈Λ，且各不相同，求证：.321312112
23221n a a a a n n ++++≤++++
ΛΛ 【思路分析】不等式右边各项
2
21i a i a i i ?=；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. 【略解】设n n a a a b b b ,,,,,,2121ΛΛ是的重新排列，满足n b b b <<<Λ21，又
.1
31211222n
>>>>
Λ 所以2
23
221232213232n
b b b b n a a a a n n ++++≥++++
ΛΛ.由于n b b b Λ,,21是互不相同
的正整数，
故.,,2,121n b b b n ≥≥≥Λ从而n n b b b b n 1
211322
23221+
++≥++++
ΛΛ，原式得证. 【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,2
2
a b b a b a ?+?≥+ 例22 在△ABC 中，试证：
.2
3
π
π
<++++≤
c b a cC bB aA
【思路分析】 可构造△ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.
【详解】 不妨设c b a ≤≤，于是.C B A ≤≤由排序不等式，得
相加，得
)())(()(3c b a C B A c b a cC bB aA ++=++++≥++π，得
3
π
≥++++c b a cC bB aA ①
又由,0,0,0b c a c b a a c b -+<-+<-+<
有).
(2)()3()2()2()()()()()()(0cC bB aA c b a C c B b A a C B A c B C A b A C B a b c a B c b a C a c b A ++-++=-+-+-=-++-++-+=-++-++-+<ππππ
得
.2
π
<++++c b a cC bB aA ②
由①、②得原不等式成立.
例23 设n b b b ,,,21Λ是正数n a a a ,,,21Λ的一个排列，求证
.22
11n b a b a b a n
n ≥+++Λ 【思路分析】 应注意到),,2,1(11
n i a a i
i Λ==?
【略证】 不妨设n a a a ≥≥≥Λ21，因为n a a a ,,,21Λ都大于0. 所以有n
a a a 11121≤≤≤Λ，
又
n
n a a a b b b 1
,,1,11,,1,12121ΛΛ是的任意一个排列，于是得到 例24 设正数c b a ,,的乘积1=abc ，试证：.1)1
1)(11)(1
1(≤+-+-+-a
c c b b a
【略解】 设x
z
c z y b y x a ===
,,，这里z y x ,,都是正数， 则
原
需
证
明
的
不
等
式
化
为
y x z x z y z y x xyz y x z x z y z y x -+-+-+≤-+-+-+,,,))()((显然 中最多只
有一个非负数.若y x z x z y z y x -+-+-+,,中恰有一个非正数，则此时结论显然成
立.若y x z x z y z y x -+-+-+,,均为正数，则z y x ,,是某三角形的三边长. 容
易
验
证
)].
()()([(3
1
))()((222z y x z y x z y x z y x y x z x z y z y x -++-++-+≤-+-+-+
故得.))()((xyz y x z x z y z y x ≤-+-+-+
【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a 、b 、c 的乘积,1=abc
证明
.2
3
)(1)(1)(1222≥+++++b a c a c b c b a
证明：设1,1
,1,1====
xyz z
c y b x a 则，且所需证明的不等式可化为2
3
222≥+++++y x z x z y z y x ， 现不妨设z y x ≥≥，则
y
x z
x z y z y x +≥+≥+， 据排序不等式 得y x z x z y z y x +++++222y
x z
y x z y x z y x z +?++?++?≥
及y x z x z y z y x +++++222y
x z
x x z y z z y x y +?++?++?≥
两式相加并化简可得)(
22
22y
x z x z y z y x +++++.333=≥++≥xyz z y x （4）切比雪夫不等式：
若
n
a a a ≤≤≤Λ21，
n
b b b ≤≤≤Λ21 ，则
.21212211n
b b b n a a a n b a b a b a n
n n n +++?+++≥+++ΛΛΛ
证明：由题设和排序不等式，有n n b a b a b a +++Λ2211=n n b a b a b a +++Λ2211，
132212211b a b a b a b a b a b a n n n +++≥+++ΛΛ，……
将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式.
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>?>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +，
高中数学竞赛专题精讲27同余(含答案)
27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数,能被7整除； )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则0≥k 153261616+++++k k k
历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++
概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公
比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
高中数学竞赛训练题(0530)
数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10<x f ； （3）对任意的实数x 、y 均有()()()()y f x f y x f y x f -=--+12。则=??? ??31f _______。 6、已知x 、y 满足条件484322=+y x ，则542442222++-+++-+y x y x x y x 的最 大值为_______。 7、对正整数n ，设n x 是关于x 的方程nx 3 +2x-n=0的实数根，记()[]()11>+=n x n a n n （符号表示不超过x 的最大整数），则()=++++20114321005 1a a a a _______。 8、在平面直角坐标系中，已知点集I={（x ，y ）|x 、y 为整数，且0≤x ≤5，0≤y ≤5}，则以 集合I 中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为_______。 9、若函数()x x x x f 2cos 24sin sin 42+?? ? ??+=π。 （1）设常数0>w ，若函数()wx f y =在区间??????- 32,2ππ上是增函数，求w 的取值范围； （2）集合??????≤≤=326ππx x A ，(){} 2<-=m x f x B ，若B B A =?，求实数m 的取值范围。
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB高中数学竞赛解题方法篇不等式
高中数学竞赛解题方法篇 不等式 The pony was revised in January 2021
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++
高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版
第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a).
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的
顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线
【数学竞赛各阶段书籍推荐】
金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》 《数学选修4-5：不等式选讲》 《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）
2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 （9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》
历年全国高中数学联赛试题及答案
1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1π 3 ； 命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则 A ．甲是乙的充分条件但不必要 B ．甲是乙的必要条件但不充分 C ．甲是乙的充分必要条件 D ．A 、B 、C 都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠?． ⑶ M ≠?． ⑷ P ≠?中，正确的表达式的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： 1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3 a 2－a 1= ． 2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ． 3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DE BC = ． 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ． 三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1 b =1，试证：对每一个n ∈N *， (a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．
数学竞赛历年的不等式题
（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ． 112x << B ．1 , 12 x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为2 0,1210 x x x x >≠?? +->?，解得 1 ,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ?+-> 32 01 22 x x x x <? ? +->? 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1 , 12x x >≠且. 1．（05）使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A 解 ： 令 6, y x =≤≤ 则 2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤- (6)] 6.x +- =0y k ∴<≤实数 D 。 （2004年全国）3．不等式2log 21 1log 32 12++ -x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4） 解：原不等式等价于2 2331log 0222 log 10 x x ++>?-≥? 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ． （2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数 u =244 x -+2 99y -的最小值是D (A) 58 (B)11 24 (C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}2 5 133215| {-<<-<<-x x x 或； （2003年全国）13已知 52 3 ≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x
高中数学竞赛试题附详细答案
高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于
高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版
第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9
3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,
高中数学竞赛培优——不等式
不等式 例1. 已知122016,,,x x x ??? 均为正实数，则 3201621112122015122016 4x x x x x x x x x x x x x + ++???++?????? 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c M b a ++= - 的最小值为 ____________ 例3. 记223 (,)()(),03x F x y x y y y =-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________ 例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103 a b a b ≤+ ++< 例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=???约定11,n x x += 证明：() () 2 12 2 1 11 .2 11n k k k k x x x +=++ ≥ ++∑ 证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=???令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ?? =∈=??????? 约定 11, n θθ+= () () 2 44 112 2 11 =cos sin 11k k k k k x x x θθ++++ +++() 2 222211 cos sin 2 2 k k k k θθ+++≥ = 所以() () 2 22112 2 11 11 =.2211n n k k k k k k k x x x ++==++ ≥++∑ ∑ 例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1 .23n n n ?????< ()ln 1n n <- 例7. 已知* ,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n --≤. 【证明】原不等式等价于2 ((1))x n n x n x n e n -≤-?. 当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,
