《当代中学生报》2014年高考泄露天机
数学
一、选择题 5.函数sin ln sin x x y x x -??
=
?+??
的图象大致是( )
5.A 因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ??----+-????
-====
? ? ?-+---+??????
，
所以函数()y f x =是偶函数,其图象关y 于轴对称应排除B 、D ； 又因为当0,2x π?
?
∈ ??
?
时,0sin x x << ,sin 01sin x x x x -<
<+,sin ln 0sin x x
x x
-<+ ，
所以选A.
6.设函数()3)cos(2)f x x x ??=+++(||)2
π
?<，且其图象关于直线0x =对称，
则( ).
（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为减函数
（C ）()y f x =的最小正周期为
2π，且在(0,)4π
上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4
π
上为减函数
6.B ()3)cos(2)f x x x ??=+++2sin(2)6
x π
?=++
，∵函数的图象关于直线
0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3
π
?=
，∴()2cos 2f x x =，∴22
T π
π=
=， ∵02
x π
<<
，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,
)2
π
上为减函数.
7. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43
π
的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )
(A)36 (B)312 (C) 318 (D) 324
7.C 此三棱柱为正三棱柱，体积为
43
π
的球体的半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形中心到三角形各边的距离均为1，故可得到三角形的高是3
，三角形边长是
，所以三棱柱的表面积为(
2
2324
??+?=.
8.已知直线⊥l 平面α，直线m ?平面β，给出下列命题,其中正确的是( ). ①m l ⊥?βα// ②m l //?⊥βα ③βα⊥?m l // ④βα//?⊥m l
（A ）①③ （B ） ②③④ （C ） ②④ （D ） ①②③ 8.A .
11. 如图，已知(,)P x y 为△ABC 内部（包括边界）的动点，若目标函数y kx z +=仅在点
B 处取得最大值，则实数k 的取值范围是（ ）
（A ）)43,2(- （B ）)2
1,2(-
（C ）),21()2,(+∞--∞Y （D ）),4
3()2,(+∞--∞Y 11.B
12.设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则
sin sin B
A
的取值范围是（ ） （A ）(0,)+∞ （B ）
? ??
（C ）
11,22??-
? ??? （D ）
1,2??
+∞ ? ???
12. C 根据,,a b c 成等比数列,有ac b =2
,则
b
c
a b A B ==sin sin , 根据三角形三边关系a c b a c +>>-,有2
2
2
()()a c b a c +>>-,
所以2
2
2
2a c ac b +-<,即2
2
2
30a c b +-<,消掉a 得2222
()30b c b c
+-<,
)
4,
化简得：4
22
4
30c b c b -+<，两边同时除以4
b ，可得22
222()310c c b b
-+<，
解得22353522c b -+<<.则5151
22
c b -+<<. 13. 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的
端点在圆周上．若双曲线以A B 、为焦点，且过C D 、两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为( ).
（A ）3＋1 （B ）23＋2 （C ）3－1 （D ）23－2
14.若在区间[]1,5和[]2,6内各取一个数，分别记为a 和b ，则方程()22
221x y a b a b
-=<表示
离心率小于5的双曲线的概率为( ).
（A ）
12 （B ）1523 （C ）1732 （D ）31
32
14.B
15.函数()2sin()(0,)2
2
f x x π
π
ω?ω?=+>-
<<
的图象如图所示,则AB u u u r ·BD =u u u r
( ).
（A ）8 （B ） －8 （C
（D ）288π-+ 15.Ｃ
16..△ABC 中，角,,A B C
成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的( ). （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
16.A 若,,A B C 成等差数列，则+=2A C B ，∴=60B ?.
若sin sin )cos C A A B =+，
则sin()cos sin cos A B A B A B +=+，
即sin cos cos sin cos sin cos A B A B A B A B +=+，
∴cos sin cos A B A B ， ∴cosA 0=
或tanB ==90?或=60B ?. 17.对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足
20'()
x
f x -≤，则必有( ). （A ）)2(2)3()1(f f f <+ （B ）)2(2)3()1(f f f ≤+ （C ）)2(2)3()1(f f f >+ （D ）)2(2)3()1(f f f ≥+
0≤，∴当2x <时，'()0f x <，则函数)(x f 在(),2-∞上单调递减，当2x >时，'()0f x >，则函数)(x f 在()2,+∞上单调递增，即函数)(x f 在2x =处取得最
小值(2)f ，∴(1)(2)f f >，(3)(2)f f >，则将两式相加得)2(2)3()1(f f f >+．
18.已知点A
B C 、、
三点不共线，且有AB ?u u u r u ( ).
18.B 设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
由AB ?u u u r u
得
cos cos (2cos ac B C bc A =
=-，又由正
弦
定理
得
，
3
tan tan ,tan (23)tan C B A B =
=-+,所以在△ABC 中，有
tan tan 0,tan 0B C A >><，所以A B C >>，所以BC CA AB <<.
19.（理科）设n
x
x )15(-
的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）
（A ）150- （B ）150 （C ）300 （D ）300- 19.B
20.若定义在区间[]2015,2015-上的函数)(x f 满足：对于任意的[]12,2015,2015x x ∈-，都有1212()()()2014f x x f x f x +=+-，且0>x 时，有()2014f x >，)(x f 的最大值、最小值分别为N M ,，则N M +的值为( ).
（A ）2014 （B ）2015 （C ）4028 （D ）4030
20.C 令120x x ==，得(0)2014f =，再令120x x +=，将(0)2014f =代入可得
()()4028f x f x +-=.
设12x x <，[]12,2015,2015x x ∈-，则2121210,()()()2014x x f x x f x f x ->-=+--，所以21()()20142014f x f x +-->.又因为11()4028()f x f x -=-，所以可得
21()()f x f x >，所以函数()f x 是递增的，所以max min ()(2015),()(2015)f x f f x f ==-.
又因为(2015)(2015)4028f f +-=，所以N M +的值为4028.
二、填空题
23.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD DC ==，P 是线段BC 上
一动点，Q 是线段DC 上一动点，,(1)DQ DC CP CB λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AP AQ ?u u u r u u u r
的取值范围
是 ．
23.[]0,2 建立平面直角坐标系如图所示，则()()()()0,0,2,0,1,1,0,1A B C D ．
因为,(1)DQ DC CP CB λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
，所以()()2,,,1P Q λλλ-，
所以()()2,,,1AP AQ λλλ=-=u u u r u u u r
，
()()2
2
39,12,324AP AQ λλλλλλ???=?-=-+=--+ ??
?u u u r u u u r ()01λ≤≤,
所以02AP AQ ≤?≤u u u r u u u r
.
24.已知直线x t =交抛物线2
4y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得AC BC ⊥，则t 的取值范围为_________.
24.[4,)+∞ 由题意(,2),(,2)A t t B t t -(,2)(0)C m m m ≥由AC BC ⊥得
2220,()(22)(22)(42)40AC BC m t m t m t m t m t t ?=∴-+-+=+-+-=u u u r u u u r
，
解得m t =(舍)或4m t =-,由40m t =-≥得t 的取值范围为[4,)+∞. 25.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足bc a c b
=-+222
，
0AB BC ?>u u u r u u u r ,3a =则22b c +的取值范围是 .
25.35(,)44
26.在数列{}n a 中，11
3
a =
，n S 为数列{}n a 的前项和且(21)n n S n n a =-，则 ________.n S =
26.
21
n
n + 27.一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、
11B C 的中点.
下列结论中正确的是_________.（填上所有正确项的序号） ①
线MN 与1AC 相交；②MN BC ⊥；③MN //平面
11ACC A ； ④三棱锥1N A BC -的体积为 27.②③④ 取11A B 的中点D ，连结DM 、DN .由于M 、N 分别是所在棱的中点，所以可得11//,DN A C DN ?平面11A AC C ,11A C ?平面11A AC C ,所以//DN 平面11A AC C .同理可证//DM 平面11A AC C .又DM DN D =I ,所以平面DMN //平面11A AC C ,所以直
线MN 与1AC 相交不成立，①错误；由三视图可得11
A C ⊥平面11BCC
B .所以DN ⊥平面11BC
C B ，所以DN BC ⊥，又易知DM BC ⊥，所以BC ⊥平面DMN ，所以BC ⊥MN ，
②正确； ③正确；
所以④正确.综上，②③④正确.
28.若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ?∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .
28.2[,)3e +∞ 由3ln 1mx x -≥得3ln 1mx x -≥或3ln 1mx x -≤-，即3
ln 1mx x ≥+或
3ln 1mx x ≤-.又(]0,1x ∈，所以3ln 1x m x +≥或3ln 1x m x
-≤.因为不等式3ln 1
mx x -≥对(]0,1x ?∈恒成立，所以3max ln 1x m x ??+≥
???或3min
ln 1x m x ??-≤ ?
??
.
A 1
左视图
俯视图
(1)令3ln 1()x f x x
+=，则326
1(ln 1)3()x x x x f x x ?-+?'=2632(1ln )
2x x x -+=. 令()0f x '=得23
1x e -=<，当23
0x e -
<<时，()0f x '>；当23
1e
x -
<≤时，()0f x '<，
所以()f x 在2
3(0,)e
-上是增函数，在23
(,1]e -是减函数，
所以223
3
max
22
323
21
l ()()(n 133)e f x e e e e f -----++====，所以23e m ≥. (2)令3ln 1()x g x x
-=，则32
61(ln 1)3g ()x x x x x x ?--?'=22
6
43ln x x x x -=，因为(]0,1x ∈，所以ln 0x ≤，所以g ()0x '>，所以g()x 在(]0,1上是增函数.易知当0x →时，
g()x →-∞，故g()x 在(]0,1上无最小值，所以3ln 1x m x
-≤在(]0,1上不能恒成立.
综上所述，23e m ≥，即实数m 的取值范围是2
[,)3
e +∞.
29.设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ?∈，存在唯一的y D ∈，使
()()
2
f x f y C +=（C 为常数）成立。则称函数()f x 在D 上的“均值”为C .已知四个函数：
①3
()y x x R =∈；②1
()2
x
y =()x R ∈；③ln ((0,))y x x =∈+∞；④2sin 1().y x x R =+∈
上述四个函数中，满足在定义域上的“均值”为１的函数是 ．（填上所有满足条件函数的序号）
29.①③ ①对于函数3
y x = ，定义域为R ，设x R ∈ ，由3312
x y += ，得33
2y x =- ，
所以y R =，所以函数3
y x =是定义域上“均值”为1的函数；
②对于函数12x y ??= ???
，定义域为R ，设x R ∈ ,由
11221,2x y
????
+ ? ?????=得
11222y x ????=- ? ????? ，当2x =-时 ，2
1222-??
-=- ??? ，不存在实数y 的值，使
122y
??
=- ???
，所以该函数不是定义域上“均值”为1的函数；
③对于函数ln y x = ，定义域是()0,+∞ ，设
ln ln 12
x y
+= ，得ln 2ln y x =- ，则()2ln 0,x y e -=∈+∞ ，所以该函数是定义域上“均值”为1的函数；
④对于函数2sin 1y x =+ ，定义域为R ，设x R ∈ ,由
2sin 12sin 1
12
x y +++= ，得
sin sin y x =- ，因为sin [1,1]x -∈-，所以存在实数y ，使得 sin sin y x =-成立，但
这时y 的取值不唯一，所以函数2sin 1y x =+不是定义域上“均值”为1的函数.
30. 已知点0(00),(01),(67),n O A A ，
，，点121,,,(,2)n A A A n N n -∈≥L 是线段0n A A 的n 等分点，则011n n OA OA OA OA -++++u u u u r u u u r u u u u u r u u u u r
L = ．
30.5(1)n + 由题设，知
166,1A n n ??+ ??? ，226
26,1A n
n ????+ ??? ，
33636,1A n n ????+ ??? ，…，6
6,1k k k A n n ????+ ??? ，… ，()()11616,1n n n A n n --?-???+ ??? , 所以166,1OA n n ??=+ ???u u u r ，22626,1OA n n ????=+ ???u u u u r ， 33636,1OA n n ????
=+ ???u u u u r ，…，
66,1k k k OA n n ????=+ ???u u u u r ，… ，()()11616,1n n n OA n n --?-???=+
???
u u u r , ()6,7n OA =u u u u r , ()()011616116616
60,10n n n n n n OA OA OA OA n n n n n n n ---????++++=++++++++++ ?
?
?u u u u r u u u r u u u u u r u u u u r L L L =12126,16n n n n n ++++++?
?
?
++? ???
L L =()()()31,41n n ++ ,
()01151n n OA OA OA OA n -++++==+u u u u r u u u r u u u u u r u u u u r L
三、解答题
33.已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2n n S a =-.在等差数列{}n b 中，
14b =，且21b -是11b -与41b -的等比中项.
(1)求n a 和n b ， (2)记n
n n
b c a =
，求{}n c 的前n 项和n T .
33.解： 1
21-?
?
?
??=∴n n a .当0=d 时，4=n b ；当3=d 时，13+=n b n .
(2)当4=n b 时，11
422n n n n n b c a -+==?=，()422
12142-=--=∴+n n n T ； 当13+=n b n 时，()1213-?+==
n n
n
n n a b C ，()n n n T 2232?-+=∴． 综上，当4=n b 时，42
2
-=+n n T ；当13+=n b n 时，()n n n T 2232?-+=． 35.（理）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，△ABE 为等边
三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．
（1）求证：AB ⊥DE ；
（2）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；
（3）在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由．
解：（1）证明如下：取AB 的中点O ，连结OD,OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ^.
因为四边形ABCD 是直角梯形，1
2
DC AB =，AB //CD ， 所以四边形OBCD 是平行四边形，OD //BC . 又AB BC ^，所以AB OD ^.
又因为OD OE O =I ,所以AB ^平面ODE ， 所以AB DE ^.
（2)因为平面ABCD ⊥平面ABE ， AB OE ^，所以OE ^平面ABCD ， 所以OE OD ⊥.
如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系.
A
B
E
C D
P
·
则(100)A ,,，(100)B ,,-，(001)D ,,，(101)C ,,-
，(00)E ，
所以 =(101)AD ,,-uuu r
,=(01)DE -u u u r
，
设平面ADE 的一个法向量为1n 111=()x ,y ,z ，则
110
0DE AD
ì???í?????uuu r uuu r n
n 11110
z x z ì?-=??í
?-+=??， 令11z =，则11x =
,1y =
所以1
n =(11). 同理可求得平面BCE 的一个法向量为2
n =(10),-，设平面ADE 与平面BCE 所成的
锐二面角为θ，则
cos θ12
12
×=
n n n
n 7=，
所以平面ADE 与平面BCE
. （3）设22(0)Q x ,y ,
，因为11()22
P -
，
所以2211
()222
PQ x ,y ,=+--uu u r ，=(100)CD ,,u u u r
,=(01)DE -uu u r . 依题意得00PQ CD PQ DE
ì???í?????uu u r uu u r
uu u r uuu r ，，
即2
21021022x ,y ,ì??+=???í??-+=????
解得 21
2
x =-
，2y =
符合点Q 在△ABE 内的条件.
所以存在点1(0)2Q -
，使PQ ^平面CDE
，此时PQ =. 36.某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，
且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的
钢管和其中一个座位的总费用为2k ?+???
元．
假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元．
（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 36.解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n =
，即k
n x
=，
21082k k y k k k x x x ??=++=+ ? ????
， 定义域为0,2k k x x Z x ??
<≤
∈????
. （2）当100k =
时，100010020y x ??
=+ ???
.
令1000
()f x x
=
+
则21000()f x x '=-
+32
210005120x
x -+==，
∴32
12564x =
，2
3
125256416x ??== ???
. 当25(0,
)16x ∈时，()0f x '<，即()f x 在25
(0,)16x ∈上单调递减， 当25(,50)16x ∈时，()0f x '>，即()f x 在25
(,50)16x ∈上单调递增，
∴在2516
x =时，y 取到最小值，此时座位个数为100
642516
=个．
37.已知,A B 是抛物线2
:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为
(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.
（1）求k 的取值范围；
（2）设C 为W 上的一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.
解：（1）抛物线2
y x =的焦点为1
(0,)4
.由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-，
令0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -.因为抛物线W 的焦点在直线
AB 的下方，所以114k ->
，解得3
4k <，因为0k >，所以304
k <<.
（2）结论：四边形ABDC 不可能为梯形.理由如下：
假设四边形ABDC 为梯形.依题意，设2
11(,)B x x ，2
22(,)C x x ，33(,)D x y ，
联立方程2
1(1),,
y k x y x -=-??=?消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以11x k =-.
同理，得21
1x k
=-
-.对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为22
22x k
=--.
由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD . 若//AB CD ，则2
2k k
=--，即2220k k ++=，因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. 若//AC BD ，则1
22k k
-
=-，即22210k k -+=，因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行，所以四边形ABDC 不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可
能为梯形.
38. 数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +?=+1（0≠t ）．设
1+=n n S b ，n n b b b k c ++++=Λ21（k +∈R ）．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）当1=t 时，若对任意*
N ∈n ，||||3b b n ≥恒成立，求a 的取值范围；
（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．
38.解：（1）因为a S t S n n +?=+1①， 当2≥n 时，a S t S n n +?=-1②，
①-②得，n n a t a ?=+1（2≥n ）， 又由a S t S +?=12，得2a t a =?，
所以}{n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以1
-?=n n t a a （*N ∈n ）．
（2）当1=t 时，a a n =，na S n =，1+=na b n ，