2 2
②当0 :: a ：1 时，a2x 1a x 2.
评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时, 通常将底数与1的大小关系作为分类标准.
指数对数比较大小练习题=
指数、对数比较大小 1．下图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =，（4）x y d =的图象，则a ， b ， c ， d 与1的大小关系是（ ） A ．1a b c d <<<< B ．1b a d c <<<< C ．1a b c d <<<< D ．1a b d c <<<< 2．图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取431 3,,, 3510 四个值，则相应于C 1， C 2，C 3，C 4的a 值依次为（ ） A ．101, 53,34,3 B ．53,101,34,3 C ．101,53,3,34 D ．5 3 ,101,3,34 3．已知()log a f x x =，()log b g x x =，()log c r x x =，()log d h x x =的图象如图所示则 a , b , c , d 的大小为（ ） A ．c d a b <<< B ．c d b a <<< C ．d c a b <<< D ．d c b a <<< 4．如果01a <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．113 2 (1)(1)a a -<- B ．1(1)1a a +-> C ．(1)log (1)0a a -+> D ．(1)log (1)0a a +-< 5．若log 2log 20n m >>时，则m 与n 的关系是（ ） y x 1O (4) (3) (2) (1)
A ．1m n >> B ．1n m >> C ．10m n >>> D ．10n m >>> 6．已知log 5log 50m n <<，则m ，n 满足的条件是（ ） A ．1m n >> B ．1n m >> C ．01n m <<< D ．01m n <<< 7．设5 .1348 .029.0121,8 ,4-? ? ? ??===y y y ，则（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> 8．以下四个数中的最大者是（ ） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C ． D ．ln 2 9．若a =2log π，b =7log 6，c =2log 0.8，则（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a 10．设323log ,log log a b c π=== ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >> 11．设3.02 13 1)2 1(,3log ,2log ===c b a ，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >> 12．设232555322555 a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>
《对数与对数运算》教学设计
2.2.1 对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ． 定义：一般地，如果 数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ； 是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？
指数式和对数式比较大小
指数式和对数式比较大 小 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-
指数式和对数式比较大小五法 方法一：利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读： 1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性. 2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性. 3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性. 例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3 （2）2log 0.8,2log 8.8 （3）0.30.3,0.33 [解]（1）利用函数0.3x y =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,<3,所以0.30.3>30.3. （2）利用函数2log y x =的单调性. 因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,<,所以2log 0.8<2log 8.8. （3）利用函数0.3y x =的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,<3,所以0.30.3<0.33. 方法二：中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小. （1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =) （2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题. 例2：比较下列各组数的大小 （1）0.41.9, 2.40.9 （2）124()5,139()10 [解]（1）取中间值1. 因为0.4 01.9 1.91>=, 2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>. （2）取中间值1 29()10 . 利用函数910 x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>1 24()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）
对数与对数运算第一课时教案
对数与对数运算第一课时教案
课题:2.2.1对数与对数运算 教学目标： （一）知识目标 （1）理解对数的概念； （2）了解自然对数和常用对数； （3）掌握对数式与指数式的互化； （4）对数的基本性质. （二）能力目标 （1）能用对数解决生活中的实际问题； （2）培养学生应用数学的能力、归纳能力. （三）情感目标 （1）激发学生学习数学的热情； （2）认识事物的相互联系和相互转化． 教学重点：对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化. 教学难点：对数概念的理解． 教学方法：讲解法，探究法，讨论法等． 教学准备(教具)：彩色粉笔. 课型：新授课. 教学过程 （一）引入课题 在2.1.2节例8中我们得到一个关系式13 1.01x y=?，其中x表示的是经过的年数，y表示的是那年的人口总数.我们可以看到利用这个关系式可以算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问哪一年的人口总数能达到18亿、20亿、30亿呢？ 上述问题实际上就是从18 1.01 13 x =， 20 1.01 13 x =， 30 1.01 13 x =，…中分别求出x，（即 已知底数和幂的值，求指数）那么x的值会是多少呢？是否有那么一种运算用底数和幂值来表示指数呢? 为了回答这个问题我们今天一起来学习本节课的新内容——对数与对数运算.
（二）讲授新课 1、对数定义 一般地，如果x a N = (01a a >≠且)，那么x 就叫做以a 为底N 的对数，记作 log a x N =， 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式. 从上述定义要知道对数的记法为：log a N ； 读作：以a 为底N 的对数. 例如：4 2log 16=，读作2是以4为底16的对数(或 以4为底16的对数是2). 41 log 22 =，读作12 是以4为底2的对数(或以4为底2的对数是12 ). 1.01 18log 13 x =，读作x 是以1.01为底1813 的对数(或以1.01 为底1813 的对数是x ). 12 5log a =，读作5是以 1 2为底a 的对数（或以12 为底a 的对数是5）. 1 4log 81 b =，读作4是以b 为底1 81的对数（或以b 为底 1 81 的对数是4）. 2、两种特殊的对数 常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，并把10log N 记作lg N ． 自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数叫自然对数，并把log N e 记作ln N ． 3、对数与指数间的关系 从某种意义上来说，对数就是一种记号，用底和幂表示对应的指数的记号，也就是指数式x a N =的另一种等价表示形式.即当01a a >≠且
教案对数的运算法则
教案 对数的运算法则 【教学目标】 知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则． 能力目标： 会运用对数的运算法则进行计算． 【教学重点】 对数的概念和对数的运算法则． 【教学难点】 对数的运算法则． 【教学过程】 一、课程导入 以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟） 问题1：2的多少次幂等于8？ 问题2：2的多少次幂等于9？ 显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数． 二、新课教学 1．新概念 法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化 例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z .
解 （1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ； （2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --； （3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）)34ln(75?； （2）18ln . 分析 关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解 （1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值： （1）lg2lg5+； （2）lg600lg2lg3--． 分析 逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算． 解 （1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==； （2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习 练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1） （2）lg xy z ； （3）2lg()y x ； （4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）ln 36； （2）ln 216； （3）ln12； （4）911ln(23)?． 答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容
《对数与对数运算(第一课时)》教学设计
教案：（作：数应3班向世威） 《对数与对数运算（第一课时）》教学设计 所用教材：数学必修（一） 目次：人民出版社，2007年1月,第2版第4次印刷 1教材分析 1.1内容与内容解析 《对数函数》是普通高中数学人教A版必修1第二章对数函数内容的第一课时，本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数的图像性质作准备。对数概念是在指数概念的基础上定义的，是继研究指数函数之后的另一种重要基本函数，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。 1.2地位与作用解析 通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 2学情分析 学生在前面的课程中已学习了函数的基本概念、图像及其基本性质，在第二章又进一步学习了指数函数及其运算、图像和性质，特别是指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 3教学目标 1.能初步判别具体函数是否为对数函数，了解对数的概念并能用语言刻画，以及对数与指数的关系；通过观察、分析掌握指数式与对数式的互化；
2．（经历观察、分析、猜想、验证、证明、概括等数学活动），通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过探究理解对数的性质。领悟从（）的思想方法 3.感知对数的重要性，从“发现”中体验成功，进一步提高学习和探索的兴趣。同时培养严谨的思维品质和探究意识； 4教学重难点 重点：对数函数概念的形成和初步应用，指数式与对数式的互化 难点：对数概念的理解，对数性质的理解 5教法学法 以引导发现法为主，结合直观教学法和讲授法，引导学生学会观察分析、思考探究、合作交流，提高学生分析、解决问题的能力。对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。 6教学媒体 多媒体，课件，黑板 7教学过程 环节（一）创设情境，引入课题 活动1 【教师】引例（3分钟） 1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺?
《对数与对数运算》教学设计
2.2.1对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设20XX 年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是20XX 年的2倍？ ()x %81+=2?x =? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对 数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数． b N N a a b =?=log 例如：1642= ? 216log 4=； 100102 =?2100log 10=； 242 1= ?2 12log 4= ； 01.0102 =-?201.0log 10-=． 探究：1。是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？ ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ） 2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ； ∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10 =a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式 如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ．
高中数学对数教学设计
篇一：高中数学对数与对数运算教案 《对数与对数运算》 教案 xx大学数学与统计学院 xxx 一、教学目标 1、知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转换；理解对数的运算性质，形成知识技能； 2、能力目标：通过实例让学生认识对数的模型，让学生有能力去解决今后有关于对数的问题，同时让学生学会观察和动手，通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一，锻炼学生的动手能力； 3、分析目标：通过让学生分组进行探究活动，在探究中分析各种思维的技巧，掌握对数运算的重要性质。 二、教学理念 为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，从学习中体会快乐。本节课我引导学生从实例出发，引发学生的思考，从中认识对数的模型，体会对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 三、教法学法分析 1、教法分析 新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教法：实例引入法、开放式探究法、启发式引导法。 2、学法分析 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：观察发现法、小组讨论法、归纳总结法。 四、教材分析 本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数做准备。这在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的定义； （2）指数式与对数式的相互转化及其条件。难点：（1）对数概念的理解； （2）对数运算性质的理解；（3）换底公式的应用。 六、课时安排：1个课时七、教学过程 （一）创设情境，引入课题 问题：我们能从关系y?13?1.01x中，算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口总数可达到18亿，20亿，30亿??”，该如何解决？ 抛出问题，让学生思考，这就引出这节课将要学习的问题，即对数与对数运算的问题，以及指数与对数如何相互转换的问题。 （二）讲授新课 1．对数的定义 x 一般地，如果a?n(a?0,且a?1),那么数x叫做以a为底n的对数，记
指数和对数比大小专题
指数和对数比大小问题专题 方法一：同步升（降）次法 例1.（2019?大连二模）设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则( ) A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b << 方法二：去常数再比 例2（2019?开福区）设3log 18a =，4log 24b =，34 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是() A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．c b a << 方法三：由x x x f ln )(= 引出的大小比较问题 例3：（2017?新课标Ⅰ）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则( ) A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 例4.利用函数的性质比较122，133，16 6 例5.（2019?洛阳三模）若m ，n ，(0,1)p ∈，且35log log m n lgp ==，则( ) A ．1113 5 10 m n p << B ．1113 5 10 n m p << C ．1111035p m n << D ．1113105 m p n << 【例6】下列四个命题：①ln55ln 2；②ln e ；③11；④3ln 242e ；其中真命题 的个数是（ ）
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 方法四：糖水不等式解决对数比大小 【例7】比较10log 9和11log 10大小. 【例8】利用对数函数的性质比较0.2 3、3log 2、5log 4的大小． 【例9】比较31log 4和π1 log 1.4 【例10】（1）比较2log 3和2 3 log 2的大小；（2）比较3log 2与20.log 30.． 强化训练 1.已知5445 58,138<<，设5813log 3,log 5,log 8a b c === A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 2.（2020?全国I 卷）若242log 42log a b a b +=+，则（ ） A. 2a b > B. 2a b < C. 2a b > D. 2a b < 3.（2020?全国II 卷）若2233x y x y ---<-，则（ ） A. ln(1)0y x -+> B. ln(1)0y x -+< C. ln ||0x y -> D. ln ||0x y -<
对数与对数运算教案
§2.2.1对数与对数运算（第一课时）
一、教学目标 （1）知识与技能目标 1、理解对数的概念； 2、能够进行指数式与对数式的互化； 3、理解对数恒等式并能运用于有关的对数计算； 4、能够初步运用对数的性质的运算法则解决相关问题； （2）过程与方法目标 1、通过对对数定义的探究，渗透转化的数学思想方法，体验辨证唯物主义教育. 2、通过探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确； 3、通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力． （3）情感态度与价值观目标 1、通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神； 2、感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程； 3、体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质． 二、教学重点、难点 教学重点 （1）对数的定义； （2）指数式与对数式的互化； （3）对数的运算法则及推导和应用； 教学难点 （1）对数概念的理解； （2）运算法则的探究与证明；
三、 教辅手段 运用多媒体辅助教学、板书、讲练结合； 四、 教学模式 采用引导发现模式——教师创设问题情境、启发讲授，引导学生思考并加以探索学习； 五、 教学过程 （一）温故知新 回顾上节课的指数的概念及运算性质， 根据指数的知识可以很容易得出22=4、52=32，但是当2=26x 时，此时的x 的值为多少呢？ 把这个用来引入的问题抛给学生，引起学生的学习兴趣，接着分析讲解问题之后引出对数的概念； 问题如下： 庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取4次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？ 分析如下： 1次 2次 3次 4次 … n 次 12 212?? ??? 312?? ??? 412?? ??? … 12n ?? ??? ∴（1）取第4次的长度为：4 12?? ??? ； （2）12x ?? ???=0.125，根据以往所学，可以求出x =3； （二） 引出概念 （1）多媒体展示出定义： 定义：一般地，如果 的x 次幂等于N , 就是 x a N = ，那么数x 叫做 a 为底 N 的对数，记作log a x N = ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 注：1）在定义中注意底数a 的取值 ； 2）在x a N =中，，有次可以知道负数和0,没有对数； ()1,0≠>a a a ()1,0≠>a a a
2018年必修一 《对数与对数运算》第二课时参考教案
2.2.1对数与对数运算 共三课时 教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用. 教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则 教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式 教学过程设计 第二课时 师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下． 生：m n m n a a a+ ?= (m,n∈Z)；()m n mn a a = (m,n∈Z)；()n n n ab a b =? (n∈Z)， 师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书） （1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即 log a （MN）=log a M+log a N． （请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．） 师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式． 师：（板书）设log a M=p，log a N=q，由对数的定义可以写成M=a p，N=a q．所以 M·N=a p·a q=a p+q， 所以log a （M·N）=p+q=log a M+log a N． 即log a （MN）=log a M+log a N． 师：这个法则的适用条件是什么？ 生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
指数与对数运算及大小比较教案
指数、对数及其运算 知识点： 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。 2．分数指数幂 规定： (1)零指数幂)0(10≠=a a (2)负整数指数幂()10,n n a a n N a -*=≠∈ (3)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (4)负分数指数幂()110,,,1m n m n m n a a m n N n a a -*==>∈> (5)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． （4） a a n n =)( （5） 当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 4. 无理指数幂 一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 5．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ） ，记作：N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 两个重要对数： ○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 6. 对数式与指数式的互化 x N a =log ? N a x = 对数式 ? 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 7. 对数的性质 （1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：b a N a b a N a ==log ,log ； （5）n a n a =log ． 8. 对数的运算性质
高中数学必修一《对数与对数运算》优秀教学设计
人教A版必修1 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运算 一、教材分析： 人教版普通高中数学课程标准实验教科书《必修①》中，本节课是在学生学习了指数函数及其性质之后学习的，其主要内容是对数概念及指对数互化、对数运算等。教材采用欧拉提出的指对运算关系，通过实际问题直接引入对数概念，简明扼要地指出“对数”研究的必要性，揭示了对数与指数之间的内在关系，同时也很好地保持了“基本初等函数”这一章节的系统性。本节学习内容蕴含转化化归数学思想，类比与对比等基本数学方法。对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后面学习对数函数的基础。 二、学情分析： 学生在§2.1学习了指数以及指数函数的主要性质，对指数相关知识已很清晰；另外，在第一章学习了函数及其性质，对学习本课已具备前提条件。尽管如此，对学生而言，“对数”毕竟是一种新的运算，它的表示及其运算规则都是之前所不熟悉的。因此，接受起来还是比较困难，且不能很好的领悟其中的“算理”。教材在“课后阅读与思考”中特别介绍了“对数的发明”，供学生了解对数的发展史。但从实施情况来看，大部分学生并未给予应有的关注，而教师常常因为课时的限制未能将之纳入到课堂之内。因此，对数这一在历史中近乎狂喜的发明也就被淹没了，学生体会不到其中的奥妙。 三、教学重难点： 重点：对数概念的理解；对数与指数的互化. 难点：对数概念的理解. 四、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下： （1）知识技能目标 ①理解对数的概念； ②熟练地进行指数式与对数式互换； ③掌握对数的运算性质，并应用运算性质解决相关问题； （2）过程与方法目标 ①经历对数发展历程，引出对数的定义与性质，掌握指数式与对数式互化方法. ②在得出对数运算性质的过程中通过证明强调数学的严谨同时体会转化化归思想. （3）情感态度与价值观 ①通过指数式与对数式的互化，使学生感受对数式是指数式的另一种表达形式，进一步体会运用指数式探求对数的基本思路及方法，发展学生的数学表达能力和严谨有序的思维品质. ②让学生探索、体会、感受对数概念的形成和发展过程；了解历史发展过程，数学家的奋斗精神；以此激发学生的学习兴趣，增强学生的成功感体验，帮助学生认识自我、建立自信.
对数与对数运算的教案
对数与对数运算的教案
《对数与对数运算》教案 授课教师：马吉艳课时：一个课时授课对象：高中一年级学生一．设计思想 本节课是数学必修1第二章基本初等函数（I）2.2.1对数与对数运算的内容，它是研究学习后续知识对数函数与性质的必备基础知识。通过与指数式的比较得出对数的定义与性质，让学生学会指数与对数的互化并能进行一些简单的 对数式求值。通过指数运算性质，根据对数定义，采用逆向思维对对数的乘法运算进行推导，从对数的积运算的推导过程中，用类似的方法得到其他运算性质。在学生基本掌握这些性质后，通过练习与引导推导出换底公式。运用观察、操作来领悟规律，能够使学生充分了解学习的方法和技巧，在交流中突破难点，打破传统教学的死记硬背，增强学生学习兴趣。 二．教学目标 1.知识与技能 （1）理解对数的概念，了解指数与对数的关系；（2）理解和掌握对数的性质，记住几个重要的公式；
（3）能灵活运用对数运算性质和换底公式进行计算。 2.过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质。 3.情感、态度、价值观 （1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳的能力； （2）通过对数运算性质的学习，培养学生举一反三、严谨的思维态度； （3）在学习过程中，让学生树立探究、创新的意识，培养分析问题、解决问题的能力。三．课程类型 新授课 四．教学重点与难点 （1）重点：对数式与指数式的互化以及对数的运算性质。 （2）难点：对数运算性质的推导与运用。五．教学方法 讲授法、讨论法、类比分析与发现。 六．教学过程
活动一 创设情景引入新知 教师活动学生活动教案设计说明复习引入： 1.老师带领学生复 习指数的定义。 2.复习2.1.2例题8 的解答方法，提问 “如果反过来求哪 一年的人口数可以 达到18亿，20亿， 30亿……”该怎样解 答呢？ 3.根据学生的回答， 老师口述：非常好， 我们要求x，其实就 是知道了底数和幂 的值，反过来求指 数。这就是我们今天 要学习的内容之一 对数。 4.老师讲解对数的 概念并板书： 一般地，如果 1.学生回答根指 数、分数指数幂、 有理数指数幂的 定义及表达式。 2.学生在草稿本 上写下计算表达 式分析，回答： 知道了某一个年 头的人口总数y， 实际就是要求x, 根据指数的定 义，可以求1.01 的几次方等于y， 即指数x。 3.学生记忆与理 解对数的定义。 4.学生回答：理 解了。 现代教育 心理学认为任 何新知识的学 习、新发现的创 造都得以现有 的认知水平和 经验为基础。因 此，设计旧知识 的复习是有必 要的，通过已学 知识，引导学生 运用所学探索 新问题的解决 方法，让学生有 一个清晰的思 路，这不仅巩固 了所学的知识， 也让学生学以 致用，更有利于 新课的开展。
专题08 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决大小比较问题
专题8 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决大小比较问题 一、选择题 1．【山东寿光现代中学2018届高三开学考】已知实数，那么它们的大小关系是（） A. B. C. D. 2．【安阳市第三十五中学2018届高三开学考】设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D. 3．【山东省寿光现代中学2018届高三开学考】若，则下列不等式错误的是（） A. B. C. D. 4．【南阳市一中2018届高三第一次考】设，则（） A. B. C. D. 5．【河北省正定中学2016-2017学年月考】已知，，，则（） A. B. C. D. 6．【安徽省亳州市2016—2017学年高一期中】如图①，②，③，④，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（） A. a＜b＜1＜c＜d B. b＜a＜1＜d＜c C. 1＜a＜b＜c＜d D. a＜b＜1＜d＜c 7．【甘肃省天水市一中2016-2017学年期末】已知a b＝0.3 2，0.2 0.3 c ，则a，b，c三者的大 小关系是（）
A . b >c >a B . b >a >c C . a >b >c D . c >b >a 8．【赣州市2016-2017 学年期末】设log a = 0.013b =， c =，则( ) A . c a b << B . a b c << C . a c b << D . b a c << 9．【宁夏石嘴山市三中2016-2017学年期末】已知ln x π=， 5log 2y =， 12 z e - =，则（ ） A z x y << B y z x << C z y x << D x y z << 10．【梅河口五中2016-2017学年期末】设0.1359 2,ln ,log 210 a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A . a b c >> B . a c b >> C . b a c >> D . b c a >> 11．【山东寿光现代中学2016-2017学年模块监测】下列关系式中，成立的是（ ）． A . 03131log 4log 105??>> ??? B . 0 1331log 10log 45?? >> ??? C . 03131log 4log 105??>> ??? D . 0 133 1log 10log 45?? >> ??? 12．【烟台市2016-2017学年期末】已知1a b >>， 01c <<，则下列不等式正确的是（ ） A . c c a b < B . a b c c > C . log log a b c c > D . log log c c a b > 13．【山东菏泽一中、单县一中2016-2017学年期末】若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ） A . c a b >> B . a b c >> C . b c a >> D . a c b >> 14．【山东省潍坊寿光市2016-2017学年期末】若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ） A . c a b >> B . a b c >> C . b c a >> D . a c b >> 15．【河南南阳一中2018届第一次考】已知1 3 2a -=， 2 1log 3b =， 12 1 log 3c =，则( ) A . a b c >> B . a c b >> C . c a b >> D . c b a >> 16．【甘肃省天水一中2016-2017 学年期末】已知a = 0.32b =， 0.20.3c =，则,,a b c 三者的大小 关系是（ ） A . b c a >> B . b a c >> C . a b c >> D . c b a >> 17．【四川省南充高级中学2016-2017 学年期末】设log a =， 0.01 3b =， ln 2 c =，则( )
对数的运算性质教案
2.2.1对数与对数运算性质（二） 教学目标 （1）知识与技能： 理解对数的运算性质． （2）过程与方法： 通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识． （3）情感、态态与价值观： 1、利用指、对数式关系启发学生研究对数性质及运算法则培养学生注意探索、研究、揭示事物的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力，培养学生大胆探索，实事求是的科学精神。 2、对数运算法则可以把乘、除、乘方、开方运算转化为加减乘除运算，加快了运算速度、简化了计算方法、显示了对数计算忧越性，体现了所学知识实践中的应用。 教学重点、难点 教学重点：对数运算性质及其推导过程. 教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明. 教学过程 （一）复习巩固，引入新课： （1）对数的定义 b N a =l o g ，掌握其中 a 与 N 的取值范围； （2）指数式与对数式的互化，及两个重要公式； （3）指数运算法则（积、商、幂、方根）。 设计意图：对数的概念和指数的运算性质是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备． 2、请同学判断以下几组数是否相等？ （1） 101lg 100lg +，)10 1100lg(?； （2）81 log 4log 2 2+，2 1 log 2 ； 提出问题：由（1）（2）结果出发，同学们能看出他们具有一个怎样的共同点？ 设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般，寻求规律。 新课讲解： 请同学们交流讨论得出结论，当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数。
《对数及其运算》教学设计
《对数及其运算》教学设计 【教学目标】 一、知识与能力： 1．理解对数的概念及对数的性质。 2．熟练的掌握对数式与指数式的相互转化。 二、过程和方法： 1．由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求对数式和指数式之间的关系。 2．培养学生自主、合作、探究的能力，通过讲练结合法与多媒体辅助教学法向学生渗透对比、类比的数学思想方法。 三、情感态度与价值观： 1．培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 2．体会事物之间互相转化的辨证思想。 【教学重点、难点】 1.重点：对数的概念及对数式与指数式的相互转化。 2.难点：对数概念的理解。 【学情分析】 由于前面几堂课我们学习了指数函数的相关性质，今天的内容通过相关的引导与练习，可以以找规律的形式带动学生的积极性，掌握本堂课的知识。 【教学手段】 多媒体教学辅助法 【教学时数】 一课时 【教学过程】
一、发散思维，导入新课 1、提出问题： 2000年我国国民经济生产总值为a亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。 假设经过x年，国民经济生产总值是2000年的2倍，依题意，有 2.8 +, 1(= %) a a x2 x. 即2 .1= 082 指数x取何值时满足这个等式呢？ 2、对数起源： 约翰·纳皮尔John Napier（1550～1617），苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。Napier出身贵族，于1550年在苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿（MerchistonCastle,Edinburgh,Scotland）出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有过正式的职业。 年轻时正值欧洲掀起宗教革命，他行旅其间，颇有感触。苏格兰转向新教，他也成了写文章攻击旧教（天主教）的急先锋（主要文章于1593年写成）。其时传出天主教的西班牙要派无敌舰队来攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、装甲马车、潜水艇等）准备与其拚命。虽然Napier的兵器还没制成，英国已把无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。 他一生研究数学，以发明对数运算而著称。那时候天文学家Tycho Brahe （第谷，1546～1601）等人做了很多的观察，需要很多的计算，而且要算几个数的连乘，因此苦不堪言。1594年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法。这让他在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他20年的工夫。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》（"Mirificilogarithmorum canonis descriptio"）中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数：Nap logX。1616年Briggs（亨利·布里格斯，1561 - 1630）去拜访纳皮尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜纳皮尔隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。 说明：通过介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性。激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神。 二、激发兴趣，自主学习 1．对数的概念:
