圆的基本概念和性质教学设计
教学设计思想
圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。
数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。
教学目标
圆的基本概念和性质总目标：
1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系；
2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用；
3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。
第一课时教学目标
知识与技能：
1、经历圆的形成过程，理解圆的概念，
2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；
3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
过程与方法：
1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；
2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；
情感态度价值观：
经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。
教学重难点
重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。
难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。
学情分析
学生在小学已经学过圆的一些知识，对于圆已经有初步的了解，并会利用圆规画园，经
历了在操作活动中探索圆的性质的过程。初步了解圆所具有的一些性质，并会用自己的语言加以简单描述，初步具有了有条理地思考与表达的能力，为本章的深入学习奠定了基础。
当然105班的学生基础普遍偏差，接受能力较弱，而本课时概念较多，容易混淆，因此在教学中也不能盲目，必须一步一个脚印的走，务必让学生实实在在的理清概念，这样才可能为后面内容的学习打好基础。
教学方法
启发式教学
教学媒体
电子白板，课件，圆规，直尺，半透明纸。
课时安排
1课时
教学过程设计
第一课时
活动一、观察与思考
课件展示：第一章幻灯片生活中的圆；第二章幻灯片自行车和皮带转动轮。
教师提问：车轮是什么形状的？
学生回答：圆形（问题简单，一起回答）
设计意图：通过实际情景，展现生活中圆的存在、应用及价值，从而引起学生的兴趣。
教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角形、四边形等？”
学生回答：“不能！”“它们无法滚动！”
课件展示：小人骑不同轮子小车。
教师追问1：那我们这样吧，把轮子作成椭圆的，可不可以，同时在黑板上画一椭圆。
学生回答：不行，这样一来，车子前进时，就会一忽儿高，一忽儿低。
教师追问2：为什么做成圆形就不会一下高，一下低呢？
学生思考，同桌讨论，并回答：因为车轮上的任何一点到轴心的距离都相等的。
设计意图：通过对车轮的观察及认识，感知圆的定义及特性。
活动二、概念探索
教师启发：同学们知道怎样画出一个圆么？你都有哪些方法？
师生活动：学生畅所欲言，然后教师课件演示动画画圆的过程，之后学生自己动手画圆。
设计意图：学生知道怎么画圆，让学生亲身体会圆的形成过程，为定义的顺利产生做好铺垫。
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
以O为圆心的圆，记做⊙O，读作：圆O，确定圆的两个要素：圆心和半径。
有关圆的几个概念：
1、弦和直径：
利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段。指出：连结圆上任意两点的线段叫做弦。如线段CD，AB，EF，DF都叫做⊙O的弦（如图2）。
进一步指出：图中弦AB经过圆心O，我们把经过圆心的弦叫做直径。最后让学生观察，得出：直径等于半径的2倍，并且强调直接是最长的弦。
2、弧：
继续引导学生观察图2，发现，连结圆上任意两个点可以得到一条弦。同时，这两个点还将圆分成两部分，我们把每一部分叫做圆弧，即：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称
弧。用符号“⌒”表示，如以C、D为端点的弧，记做。
继续引导学生观察会进一步发现，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧我们把它叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的弧、等，小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的，等。
3、等圆：
能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。（此处用课件演示圆重合的过程，图3）
4、等弧：
课件演示两段弧重合的过程，指出：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
概念辨析：
（1）、直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？（学生口答并说明理由）
教师强调：直径是弦，但在一般情况下弦不是直径，只有在弦经过圆心时，这弦才叫做直径，是最长的弦。
（2）、半圆是弧吗？弧是不是半圆？（学生口答，并说明理由）
教师强调：半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆。
（3)、长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？（学生口答）
教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧，此处师用两根长度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，此难点很容易被突破。
设计意图：通过课件的动画效果以及实物教具，可以让学生获得更加直观的知识，同时对本节繁多的系列概念认识更清晰，掌握更牢。
活动三、实践操作，探究结论
教师提出问题：
1、让学生在一张半透明的纸上以O 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？
2、将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？
学生活动：动手操作，探索圆的对称性。
设计意图：培养学生观察、动手能力，能不能发现结论的能力。
学生归纳结论（教师做必要的补充）：圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
活动四、课堂练习
1、课件练习；
2、教材P81 练习1，2，3
设计说明：通过不同形式的练习，从不同角度帮助学生进一步加深对圆的定义及相关概念的认识，形成初步的技能。
活动五、课堂小结
这节课我们学习了哪些主要概念？知道了圆的什么性质？（主要总结本节课的主要内容）
在学生回答的基础上，教师强调：
本节课学习了圆的有关概念。在这些概念中，要特别注意“直径和弦”、“弧和半圆”，以及“同圆、等圆和同心圆”这些概念的区别和联系。
另外还要注意，等圆和等弧的概念，是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据。
六、板书设计
圆的基本概念
一、圆的有关概念二、圆的对称性三、练习
圆弦
半径直径
………………
活动二、概念探索
教师启发：同学们知道怎样画出一个圆么？你都有哪些方法？
师生活动：学生畅所欲言，然后教师课件演示动画画圆的过程，之后学生自己动手画圆。设计意图：学生知道怎么画圆，让学生亲身体会圆的形成过程，为定义的顺利产生做好铺垫。圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
以O为圆心的圆，记做⊙O，读作：圆O，确定圆的两个要素：圆心和半径。
有关圆的几个概念：
1、弦和直径：
利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段。指出：连结圆上任意两点的线段叫做弦。如线段CD，AB，EF，DF都叫做⊙O的弦（如图2）。
进一步指出：图中弦AB经过圆心O，我们把经过圆心的弦叫做直径。最后让学生观察，得出：直径等于半径的2倍，并且强调直接是最长的弦。
2、弧：
继续引导学生观察图2，发现，连结圆上任意两个点可以得到一条弦。同时，这两个点还将圆分成两部分，我们把每一部分叫做圆弧，即：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。用符号“⌒”表示，如以C、D为端点的弧，记做。
继续引导学生观察会进一步发现，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧我们把它叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的弧、等，小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的，等。
3、等圆：
能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。（此处用课件演示圆重合的过程，图3）
4、等弧：
课件演示两段弧重合的过程，指出：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
概念辨析：
（1）、直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？（学生口答并说明理由）
教师强调：直径是弦，但在一般情况下弦不是直径，只有在弦经过圆心时，这弦才叫做直径，是最长的弦。
（2）、半圆是弧吗？弧是不是半圆？（学生口答，并说明理由）
教师强调：半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆。
（3)、长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？（学生口答）
教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧，此处师用两根长度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，此难点很容易被突破。
设计意图：通过课件的动画效果以及实物教具，可以让学生获得更加直观的知识，同时对本节繁多的系列概念认识更清晰，掌握更牢。
活动三、实践操作，探究结论
教师提出问题：
1、让学生在一张半透明的纸上以O 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O的直线对折，你发现了什么？
2、将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？
学生活动：动手操作，探索圆的对称性。
设计意图：培养学生观察、动手能力，能不能发现结论的能力。
学生归纳结论（教师做必要的补充）：圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
活动四、课堂练习
1、课件练习；
2、教材P81 练习1，2，3
设计说明：通过不同形式的练习，从不同角度帮助学生进一步加深对圆的定义及相关概念的认识，形成初步的技能。
活动五、课堂小结
这节课我们学习了哪些主要概念？知道了圆的什么性质？（主要总结本节课的主要内容）在学生回答的基础上，教师强调：
本节课学习了圆的有关概念。在这些概念中，要特别注意“直径和弦”、“弧和半圆”，以及“同圆、等圆和同心圆”这些概念的区别和联系。
另外还要注意，等圆和等弧的概念，是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据。
六、板书设计
圆的基本概念和性质（一）
一、圆的有关概念二、圆的对称性三、练习
圆
弦半径直径
弧半圆优弧劣弧
等弧（同弧）等圆（同圆）
第二课时
一、引入新课
上节课我们一起认识了圆及圆的有关概念，我们做如下练习。
指出图中所有的弦和弧：
这节课我们继续认识圆中的弦与弧，探究它们之间的关系。
二、观察与思考
让学生做如下操作：
在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1，⊙O2及相等的两条弦AB，CD，，把两张纸叠放在一起，使⊙O1与⊙O2重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当角度，使弦AB和弦CD重合。
回答：与是什么关系？
思考：（1）在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？
（2）在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？
由此你能得出什么结论？
学生通过动手发现弦、弧之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等。
三、一起探究
（1）在纸上画出一个圆，并画出任意一条直径及与该直径垂直的一条弦；
（2）将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？由此你得出什么结论？
学生活动：分成小组动手操作，总结得出的结论，并尽力证明
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
四、大家谈谈
如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）与点E，AE=BE。
1。你认为CD与AB垂直吗？为什么？
2。你认为分别具有什么样的关系？和同学说说你的结论和理由。
学生活动：小组讨论，总结性质。
结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
五、巩固练习
教材P6练习1，2
六、小结
这节课你的收获什么？你对弦与弧都有了哪些认识？
七、板书设计
圆心角和圆周角教学设计
教学设计思想
本节在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，渗透了分类讨论的思想。在探究活动中，学生体会分类讨论点必要性和方法。本节课遵循“以教师为主导，以学生为主体”的教学原则，以“发展学生的思维”为主线。教学过程中，通过设问进行师生之间，学生之间的交流，根据学生反馈的信息，教师对出现的问题及时加以校正。最后通过练习及时反馈学生对知识掌握的情况，通过小结进一步使学生明确本节课的教学目标。
教学目标
知识与技能：
1。能说出圆心角、圆周角的概念；
2。明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。
过程与方法：
通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关系，体验探索过程。
情感态度价值观：
体会从“特殊到一般”的数学思想方法，及在解决问题中体会与他人合作交流的重要性，养成合作学习的习惯。
教学重难点
重点：圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系
难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程
教学方法
1。采用引导探究法，体现“教为主导，学为主体”的教学原则。
2。学法指导：通过教师的“教”导出学生动脑、动口、动手的“学”，使学生由“学会”向“会学”过渡，力争体现“教是为了不教“的原则。
教学媒体
多媒体
课时安排
2课时
教学过程设计
第一课时
一、创设情境，引入新课
通过上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图(如有条件可电脑闪动显示图形。)
在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上。
在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
再进一步观察，是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是
所对的弦。这节课我们就来研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系。
二、一起探究
1。请同学们自己画一个圆心角∠AOB，再在同一圆中画出与∠AOB相等的另一个圆心角∠COD，再作出它们所对的弦AB，CD。
（1）请大家大胆猜想，∠AOB=∠COD，其余两组量，弦AB与CD大小关系如何？
学生很容易猜出：，AB=CD。
教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？
学生最容易想到的是证全等的方法可以得出AB=CD，那么怎样证明弧相等呢？
学生思考并回忆弧与弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等。所以由AB=CD可得。
（2）如果AB=CD（或），那么∠AOB等于∠COD吗？
学生积极思考，同样利用三角形全等可推理证明∠AOB=∠COD。
2。刚才我们探究的是同一圆中圆心角与弦、弧的关系，下面我们如果画两个相等的圆
⊙O1与⊙O2，∠AO1B=∠CO2D，那么AB与CD，分别相等吗？反过来，如果AB=CD （或），那么∠AO1B等于∠CO2D吗？为什么？
学生小组交流，推理证明，老师规范学生的书写格式。
通过探究我们可以知道什么性质？
学生总结，老师补充，板书定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等，相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等。
三、巩固练习
课本P9练习1，2
四、课堂小结
这节课你的收获是什么？
五、作业
课本P9习题1，2，3
六、板书设计
第二课时
一、类比联想，引入新课
1。显示实际生活中的图形，感受圆周角。
2。电脑显示圆心角，如图1。
将圆心角的顶点进行移动。（如图2）
教师边演示角的顶点运动的情况，边讲解：
（1）当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB；（2）角的顶点运动到圆内，如∠ADB；
（3）角的顶点运动到圆外，如∠AFB；
（4）当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？
学生会马上猜出：圆周角。教师给予鼓励，并引出课题。
3。引导学生探索与讨论。
什么样的角是圆周角呢？鼓励学生尝试自己给圆周角下定义。
估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角。
是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示图3。
学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：（1）顶点在圆周上；（2）两边都与圆相交，最后让学生给圆周角下一个准确定义：
顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角。
教师进一步提问：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意两边“两边都与圆相交”这一条件。
练习1，判断题：下列命题是否正确？
（1）圆周角的顶点一定在圆上；（2）点在圆上的角是圆周角；
（3）圆周角的两边都和圆相交；（4）两边都和圆相交的角是圆周角。
设计意图：通过学生自己去发现圆周角定义，加深学生对概念的理解。
二、做一做
某艺术团到基层进行慰问演出，演出现场为一圆形广场，其中为一临时搭建的圆弧形舞台，在圆上的点P和点Q处分别安放一台摄像机。
（1）你认为这两台摄像机相对于舞台的张角∠APB与∠AQB的大小具有什么关系？把你的判断和同学进行交流。
（2）请用量角器量出这两个角的大小，验证你的判断。
（3）请画一个圆，在这个圆上任意截取一段弧，并画出所对的任3个圆周角，用量角器量出这些角的大小关系。
学生首先凭直觉猜想两个角相等，然后用测量或其他方法验证猜想的正确性，最后画图进一步验证：同弧所对的任意圆周角都是相等的。
三、观察猜想，寻找规律
1。圆周角和圆心角是圆中不同的角，有着不同的性质。观察图2，∠ACB与∠AOB对着同一条弧，它们之间有关系吗？
提出问题，让学生思考。教师可以引导学生从特例看起。
学生和教师一起画图，如图：图（1）、图（2）中，圆心角∠AOB分别等于多少度？
学生很快答出：∠AOB分别等于180°，90°。
让学生进一步观察，所对的圆周角∠ACB又分别等于多少度？
学生通过观察，会得出所对的圆周角∠ACB分别为90°，45°。
2。通过特例，你发现了什么？大胆的猜想一下。
学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
设计意图：圆周角和圆心角联系的桥梁是它们所共同对着的那条弧，在特殊情况下，较
易发现它们之间的关系，符合从特殊到一般的认识规律。
四、一起探究
猜想是否正确，还有待证明。教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证。
但是，学生画出的图形往往只是一种情况。先分小组交流画出的图形，议一议：所画图
形是否相同，如果不同，有何区别？教师可在教室巡视，把学生画出的不同情况的图形拿出来，利用实物投影在全班交流。若三种位置关系都出现，让学生观察、比较，叙述特征，提问：还有没有其它可能？学生议论后，利用电脑演示同一条弧所对的圆周角的顶点在圆周上
运动的过程，加以验证。若只出现两种位置关系，电脑先演示同一条弧所对的圆周角的顶点
在圆周上运动的过程，让学生思考：所画图形是否全面？通过自己观察、分析，交流得出同
一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系。进而得到圆心角的顶点（圆心）在圆周角的“一边上”、“内部”、“外部”三种情况，如图5所示。
观察以上三个图形，三种情况中哪一种最特殊，最容易证明呢？
经思考学生会发现，从情形（1）入手最容易证明，只要利用“等边对等角”和“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”就可以证明结论。
再研究情形（2）。如果点O在∠ACB的内部时，还能象情形（1）那样证明吗？
学生观察、思考后会回答：不能。
那么我们能否想办法将情形（2）转化成特殊情况呢？
在教师的启发下，学生会发现只要过点C作直径CD，问题就解决了。
有了情形（2）的经验，对于情形（3）：点O在∠ACB的外部时，怎样转化，可完全交给学生自己解决。
最后由学生口述，教师规范板书一种证明过程，其余两种由学生书写，教师作个别指导。
待师生共同完成证明过程后，将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”。
通过此定理的证明，要使学生明确，要不要分不同情况来证明，主要看各种情况的证明方法是否相同，相同者不需分，不相同者必须对各种不同情况逐个加以证明。
设计意图：学生动手实践，再观察，比较，分析，交流，体现了学生的主体作用。计算机辅助教学，突破难点。教师板书，培养学生良好的书写习惯。
练习2：如图
在下列各图中∠а1= ，∠а2= ，
∠а3= ，∠а4= 。
五、小结
利用提问形式，从以下三方面进行小结。
（1）本节课所学习的主要内容是什么？
（2）本节课涉及的数学思想方法主要有哪些？
电脑屏幕显示下图：
六、作业
课本P 12 1，2，3
七、板书设计
圆的基本性质复习课 教学活动 一、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且OD//AC 。 求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC ，OD AC // C O D A C O B O D A ∠=∠∠=∠∴, O C OA = ∴ACO A ∠=∠DOB CO D ∠=∠∴ BD CD =∴ 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD ，OD AC // ， OA=OD ∠=∠∴CAD OAD ODA ∠= ∴弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的 弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证 弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 （边总结，边在黑板上抽离基本图形） 师：还有其他方法吗？ 组三：连接BC ， AB 是直径 090=∠∴ACB AC//OD OD BC ⊥∴ 由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：这就利用了垂径定理的基本图形。（同时在黑板上画 出这个基本图形） 垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的 关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。垂径定理及逆定理体现的是圆的 轴对称性。 而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角； 而0 90的圆周角所对的弦是直径。（同时在黑板上抽离这个基本图
复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？
∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） A.40cm B.30cm C.20 cm D.50cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE ⌒ ⌒ C.OE=BE D.BD=BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 B
圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 情感态度价值观： 经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。 难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析
24.1.3 弧、弦、圆心角 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中,?相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,?那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等． 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB,如图所示,作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形． 老师点评：绕O 点旋转,O 点就是固定点,旋转30°,就是旋转角∠BOB ′=30°． 二、探索新知 如图所示,∠AOB 的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中,分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角∠ AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置,你能发现哪些等量关系？为什么？ AB =''A B ,AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合,且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合,点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合,弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ,AB=A ′B ′ 因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等． 在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作． （学生活动）老师点评：如图1,在⊙O 和⊙O ′中,?分别作相等的圆心 角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2,滚动一个圆,使O 与O ′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA 与O ′A ′重合． B A O B '
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
课题：1、断面图的基本概念 2、断面图的分类 3、剖切位置与标注 课堂类型：讲授 教学目的：1、介绍断面图的概念和分类 2、讲解断面图的概念和分类 教学要求：1、理解断面图的概念和分类 2、掌握断面图的画法和标注方法 教学重点：移出断面图的画法 教学难点：断面图的标注 教具：挂图：“轴的断面图” 教学方法：讲课时需讲清三个问题： （1）举例说明断面与剖视的区别，防止学生将这两个概念混为一谈，避免把断面画成剖视； （2）指出断面图的作用和优点；（3）定性地指出断面图的适用范围。 教学过程： 一、复习旧课 总结各种剖视图的画法、应用场合和标注，巩固剖视一节的内容，为学习断面图打下基础。 二、引入新课题 在上一节，我们重点学习了用剖视图来表达零件的内部结构。但对于某些零件，如种类，断面图的有关知识。 三、教学内容 国家标准GB/T17452—1998和GB/T4458.6—2002规定了断面图。 （一）断面图的基本概念 1、概念 假想用剖切平面将机件在某处切断，只画出切断面形状的投影并画上规定的剖面符号的图形，称为断面图，简称为断面。如图6—21所示。
（a）（b） （c） 图6—21 断面图的画法 2、断面图与剖视图的区别 断面图仅画出机件断面的图形，而剖视图则要画出剖切平面以后的所有部分的投影，如图6—21（c）所示。 （二）断面图的分类 断面图分为移出断面图和重合断面图两种。 1、移出断面图 （1）概念 画在视图轮廓之外的断面图称为移出断面图。 （2）举例 如图6—21（b）所示断面即为移出断面。 （3）画法要点 1）移出断面的轮廓线用粗实线画出，断面上画出剖面符号。移出断面应尽量配置在剖切平面的延长线上，必要时也可以画在图纸的适当位置。
圆的基本性质教学设计 教材分析 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 知识与技能： 1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。 过程与方法： 1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。 情感态度价值观： 体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 教学重难点 重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。 难点：垂径定理探索及其应用。 教学方法 启发式教学 教学过程设计 第一课时 一、观察与思考 观察汽车和皮带转动轮的视频或图片 提问：车轮是什么形状的？ 生：圆形（问题简单，一起回答） 教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？” 生：“不能！”“它们无法滚动！”
第七单元圆 第28课时圆的有关性质 教学目标 【考试目标】 1.理解圆、弧、圆心角、圆周角的概念，了解等弧、等圆的概念； 2.掌握垂径定理； 3.了解圆周角定理及其推论：圆周角及圆心角及其所对弧的关系、直径所对圆周角的特征,圆内接四边形的对角互补. 【教学重点】 1.掌握圆的有关概念. 2.掌握垂径定理及其推论. 3.掌握圆心角定理及圆周角定理. 4.掌握圆的内接四边形的相关知识. 教学过程 一、体系图引入，引发思考 二、引入真题、归纳考点 【例1】（2016年永州）如图，在⊙O中， A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直 径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 35 度.
【解析】∵OA=OB=OC ， ∴∠OAB=∠B ，∠C=∠OAC. ∵∠AOB=40°， ∴∠B=∠OAB=70°. ∵CD ∥AB ， ∴∠BAC=∠C ， ∴∠OAC=∠BAC=0.5∠OAB=35°. 【例2】（2016年兰州）如图，在⊙O 中，点C 是 的中点，∠A=50°，则∠BOC= （A ） A.40° B.45° C.50° D.60° 【解析】(1)∵OA=OB ，∠A=50°， ∴∠B=50°， ∴∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-50°-50°=80°. ∵点C 是 的中点， ∴∠BOC=∠AOC=0.5∠AOB =40°. 【例3】（2016年义乌）如图1，小敏利用课余时间 制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的 脸盆及架子的交点为A ，B ，AB=40cm ，脸盆的最低 点C 到AB 的距离为10cm ，则该脸盆的半径为 cm. 【解析】如图，设圆的圆心为O ，连接OA ，OC ，OC 及AB 交于点D ， 设⊙O 半径为R ， ∵OC ⊥AB ，∴AD=DB=0.5AB=20， ∠ADO=90°，在Rt △AOD 中， ∵OA2 =OD2 +AD2 ， ∴R2=202+(R ﹣10)2， ∴R=25． 故答案为25． 【例4】（2015年江西）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上， CO 的延长线交AB 于点D ，∠A=50°,∠B=30°， 则∠ADC 的度数为 110° . 【解析】∵∠A=50°， 根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=100°， 而∠BOC 是△BO D 的一个外角， AB AB
《圆的基本性质复习课》教案 潮阳区华阳初级中学陈朝鸿 复习目标 1、使学生理解圆及其有关概念，圆的性质； 2、使学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3、使学生理解圆的对称性（轴对称和中心对称）； 复习重点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3、圆周角的定理及其推论； 4、与性质相关的计算。 复习难点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质； 3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 4、与性质相关的综合计算 目标分析 新课程标准的总体目标，即：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三位一体的目标，它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 （一）课前反馈用多媒体小试卷的形式： 展示自主学习案习题：1.在一个平面内，线段OA绕的一个端 点O旋转一周，所形成的图形叫做圆，固定的叫做， 线段叫做。 2.连接圆上任意两点的线段叫；经过圆心的弦叫 ; 圆上任意两点间的部分叫 ;大于半圆的弧叫 ;小于 半圆的弧叫。 3.外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点，叫三角形的外 心，锐角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在 三角形的，直角三角形的外心在三角形。 4. 圆是一个特殊的图形，它既是一个对称图形，又是一个对 称图形。 5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两 条弧； 6.推论：（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧；（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 参与习 题的解 答。 使学生 对所学的 圆的性质 有一个较 系统的回 顾。
《圆的有关概念》教学设计 一、教材分析： 本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册第二十四章圆第一节内 容，圆的定义和有关概念，是圆的第一节第一课时。因为学生在小学中已经学过圆的一些 知识，对圆已有初步的了解，本课时的内容也较为简单。这节课概念较多，是今后进一步 学习圆的相关内容的基础，因此在教材的处理上，不能盲目忽略这一节，结合小学中学习 的内容、生活中的实例来学习这一节。根据《数学课程标准》的要求，结合以上分析从而 确定教学目标。 二、教法分析： 新的课程标准指出，数学课程不仅要考虑到数学自身的特点，更应遵循学生学习数学 的心理规律，从学生已有的生活经验出发，通过自主探索与合作交流的形式，使学生乐于 投入到数学活动中去。为此我联系学生生活实际创设问题情境引入新课，使大多数学生在 问题情境中自然的进入新课，引起学生学习的兴趣；通过教师问题的设置，抓住学生已有 的知识点，在学生主动参与，教师引导下，使学生更好掌握新知识，培养学生的探索精神； 经过学生合作学习，共同探究新知识，培养学生与他人合作的意识。结合我校的“学——讲——练”教学模式学习圆的有关概念，最后利用新的知识解决问题。采用直观教具和多媒体 演示，使学生获得直观印象便于学生理解新知。 三、学情分析 学生在小学中学过圆的一些知识，对于圆已经有进步的了解，并会利用圆规画面，经历 了在操作活动中探索圆的性质的过程。初步了解圆所具有的一些性质，并会用自己的语言 加以简单描述，初步具有了有条理地思考与表达的能力，为本章的深入学习奠基了基础圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。学生通过观察体会现实生活中 圆形物体所具有的性质。获得了初步的数学活动体验。因此，圆这部分知识得以从小学到 初中的顺利过渡，并以积极的态度投入到初中数学的学习，具有了一定的主动参与、合作 意识和初步的观察、分析抽象概括的能力。通过一系列不同问题，采用自主学习与合作学
圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成
两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O
《圆的基本性质复习》教案 教学目标: 熟悉本章所有的定理。 教学重点：圆中有关的定理 教学难点: 圆中有关的定理的应用 教学方法：谈话法 教学辅助：多媒体 教学过程： A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O 3、篮球是圆吗？ –圆必须在一个平面内 ?以3cm为半径画圆，能画多少个？ ?以点O为圆心画圆，能画多少个？ ?由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ –半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 ?圆是“圆周”还是“圆面”？ –圆是一条封闭曲线 ?圆周上的点与圆心有什么关系？ 4、点与圆的位置关系 ?圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 ?圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 ?圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 ?由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 5、圆的有关性质 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。 7、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ? 如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 8、（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 圆的两条平行弦所夹的弧相等 9、圆的性质 ? 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 ? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ? 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。 10、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角. 11、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ? 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 ? 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ ? 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ ? 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 12、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 13、思考： （1）、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ （2）、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 14、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 15如果用字母S 表示扇形的面积，n 表示所求面积的扇形的圆心角的度数，r 表示圆的半径，那么 弧长L 公式是------------- 扇形的面积计算公式是 ---------------- 圆锥的侧面积和全面积:S 侧= 16、小结和同步作业 P B O
24.1圆的有关性质 24．1.1圆 教学目标 1．理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念． 2．能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算． 教学重点 圆的有关概念． 教学难点 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景明确目标 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象． 请你举出生活中一些圆的例子．从本节课开始，我们将会更清楚地了解圆以及一些相关的概念和性质． 二、自主学习指向目标 1．自学教材第79至80页． 2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究达成目标 探究点一圆的定义及表示 活动一：圆的定义． 图1 (1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周__，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__． 【展示点评】①在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，__圆心__确定位置，__半径__确定大小． ②以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作__⊙A__，读作__圆A__． (2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有__到定点O的距离等于定长r__的点的集合． 【小组讨论】圆和圆面有何不同？如何证明几个点在同一个圆上？ 【反思小结】线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________．
一、 第三章圆的基本性质复习点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d
圆的有关性质 一、引言 与圆有关的知识，初中我们学习了圆心角、圆周角等有关角的概念及性质，掌握了垂径定理等有关结论，会判断点与圆的位置关系，但对于直线和圆、圆与圆的位置关系及有关性质很少涉及，本讲将补充圆的有关重要性质，为后续学习作准备。 二、回顾梳理 1.圆心角及有关性质： 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距相等。 推论：同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦或弦心距中有一组量相等，则其余各组量分别对应相等。 2.圆周角及有关性质： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 推论： （1） 同弧或等弧所对的圆周角相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 （2） 半圆或直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 （3） 圆的内接四边形对角互补。 3.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 （1） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3） 弦长公式：2 22:1-11d r l l d r -=的关系和弦长，弦心距，圆的半径如图 （4） 若圆心为O ，半径为R ，则点P 与圆O 的位置关系的判断： R 。 |OP|P R;|OP|P R; |OP|P >?=?
三、衔接拓展 1. 圆内外角、圆外角和弦切角及性质： （1）圆内角：如果角的顶点在圆内，.2 1 2 -11）（，如图COD AOB APB ∠+∠=∠ （2）圆外角：如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交， .-2 13-11）（即为圆外角，且，如图AOB COD APB APB ∠∠=∠∠ （3）弦切角：顶点在圆上，角的一边与圆相交，另一边与圆相切， .2 1 4-11AOT TBA PTA PTA ∠=∠=∠∠即为弦切角，且，如图 2. 直线和圆的位置关系： . ;;1R d O l R d O l R d O l d l O O R l >?=?
计算机网络基本概念教学设计 一、教学目的与要求： 1、了解计算机网络的定义。 2、了解并掌握计算机网络的基本功能与计算机网络的分类方法。 3、理解并能画出不同网络拓扑结构图。 4、了解常用的网络硬件与软件。 二、教学重点、难点： 了解并掌握计算机网络的基本功能，画出不同网络拓扑结构图。 三、教学方法：演示法、讲授法、练习法。 四、课堂练习、作业： 1、什么是计算机网络？ 2、计算机网络根据网络覆盖的地理范围和规模分类，可分为哪几种？ 3、画出几种网络拓扑结构图。 五、课后小结： 了解网络的基本概念对以后掌握网络的相关应用有很大的帮助，因此它是非常重要的教学内容。但是由于概念性的内容比较枯燥乏味，教学上很难激起学生的学习兴趣。 六、教学过程： （一）导入：因特网是20世纪最伟大的发明之一，因特网已经深深地影响和改变了人们的工作、生活方式,并正以极快的速度在不
断发展和更新，掌握因特网的应用是时代和工作的需要，本节我们先来学习因特网的基础知识----计算机网络基本概念。 （二）授课内容 1、计算机网络 以能够相互共享资源的方式互连起来的自治计算机系统的集合。 二、数据通信 数据通信是指在两个计算机或终端之间以二进制的形式进行信息交换和传输数据。 3、计算机网络的分类 计算机网络分类标准有很多种，根据网络覆盖的地理范围和规模分类是最普遍采用的分类方法。依据这种分类标准，可以将计算机网络分为如下三种。 （1）局域网（LAN） 局域网是一种在有限区域内使用的网络，在这个区域内的各种计算机、终端与外部设备互连成网，其传送距离一般在几公里之内，最大距离不超过10公里，因此适用于一个部门或一个单位组建的网络。 （2）城域网（MAN） 城域网是介于广域网与局域网之间的一种高速网络，它的设计目标是满足几十公里范围内的大量企业、学校、公司的多个局域网的互连需求，以实现大量用户之间的信息传输。 （3）广域网（WAN） 广域网又称远程网，所覆盖的地理范围要比局域网大得多，从
圆的基本性质 3.1 圆 1．圆的定义： 在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。 以点O 为圆心的圆作：“⊙O ”，读作：“圆O ”。 圆指的是封闭的曲线，而不是圆面。 ２、点与圆的位置关系： 设⊙Ｏ的半径为r ，则点P 与⊙O 的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r （２）点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r （３）点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＞r 例题分析： 1、画图：已知Rt △ABC ，∠B=90°，试以点B 为圆心，BA 为半径画圆。 2、根据图形回答下列问题： （1）看图想一想， Rt △ABC 的各个顶点与⊙B 在位置上有什么关系？ （2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？ ３、证明几个点在同一个圆上的方法。 要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。 4.确定唯一的一个圆的条件： （1）经过一个已知点能作无数个圆！ 经过一个已知点并确定圆的半径同样也能作无数个圆，这些圆的圆心构成一个圆。 （2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上。 经过两个已知点A 、B 并确定圆的半径，能作几个圆呢？ （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （过三个已知点作圆时要考虑圆的存在性和唯一性） （4）外接圆，外心的概念。 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点 （5）对于不同的三角形，三角形外心的位置也不同。 锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点上， 钝角三角形的外心在三角形的外部。 A
初三数学总复习教案－圆的有关性质 教学目标 : 知识目标： （1）理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系； （2）掌握垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理并会用它们进行计算； （3）掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。 （4）会用尺规作三角形的外接圆；了解三角形的外心的概念. 能力目标： 通过知识点和典型题的讲练，使学生熟练掌握本节课的知识点，再用题图变形与题组训练来培养学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性。 情感目标： 通过题图变形与题组训练来激发学生学习数学的兴趣；同时将课本的题目与中考题结合在教学当中以进一步向学生强调“依纲靠本”的复习指导思想，强化学生的中考意识。知识结构 圆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - ? ? ? 圆周角定理 的弧的概念 距的关系 圆心角、弦、弧、弦心 旋转不变性 垂径定理 轴对称 性质 点的轨迹 不在同一直线上的三点 定义 ο 1 圆内接四边形及性质 重点、热点 垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题. 【典型例析】 例1.（1）[2002.广西] 如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，若OE=OF，则（只需写出一个正确的结论）. （2）[2002. 广西] 如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD= .
[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题. [解答]（1）AB=CD 或 AB=CD 或AD ＝BC, 直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. （2）由三角形的中位线定理知OD=21BC [拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用. 例2.（1）[2002.大连市]下列命题中真命题是（ ）. A. 平分弦的直径垂直于弦 B.圆的半径垂直于圆的切线 C.到圆心的距离大于半径的点在圆内 D.等弧所对的圆心角相等 （2）[2002.河北] 如图7.1-3.AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 弦，若AB=10cm,CD=8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）. A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm (3)[2002.武汉市] 已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100ο，则圆周角∠BAC 的度数是（ ）. A. 50ο B.100ο C.130ο D.200ο [特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价. [解答] （1） D （考查对基本性质的理解）. (2) D (过O 作OM ⊥CD ，连结OC ，由垂径定理得CM= 2 1CD=4，由勾股定理得OM=3，而AB 两点到CD 的距离和等于OM 的2倍) (3) A (由圆周角定理可得) [拓展] 第（2）题中，涉及圆的弦一般作弦心距. 例3.[2002.广西南宁市]圆内接四边形ABCD ，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是 . [特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算. [解答]设A=x ，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180ο， ∴x+3x=180ο， ∴ x=45ο. ∴∠A=45ο， ∠ B=90ο， ∠C=135ο， ∠ D=90ο.
D B 圆的基本性质 基础知识回放 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ??BC BD =??AC AD =
B 圆心角定理 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：
B A B A O 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对 的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜 边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切 线