圆的知识点及基础训练
第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点：
1、圆的概念及点与圆的位置关系
2、三角形的外接圆
3、垂径定理
4、垂径定理的逆定理及其应用
5、圆心角的概念及其性质
6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】
1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆
5、点与圆的三种位置关系：
若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上
7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。 8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】
【题型一】证明多点共圆
例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上
【题型二】相关概念说法的正误判断
例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 例2、下列说法中，错误的是（ ）
A.直径是弦
B.半圆是弧
C.圆内最长的弦是直径
D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ）
A ．三角形的三个顶点在同一个圆上
B ．过圆心的线段叫做圆的直径
C ．大于劣弧的弧叫优弧
D ．圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径
例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的内部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个
7、圆周角定理 8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积
【题型三】点和圆的位置关系的判断
例1、⊙O的半径为5，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外
例2、已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是
【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用
如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点
例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为
【题型五】圆中角的求解
如右上图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数
温馨提醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。
巩固练习
1、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。
2、如果⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为
3、如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC，DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a，b，c的大小关系是
4、已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2-2x+d=0有实数根，则点P在⊙O的
5、如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心
6、若线段AB=6，则经过A、B两点的圆的半径r的取值范围是
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a、b是方程x2-7x+12=0的两根，则△ABC的外接圆面积为
8、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有条
【课本相关知识点】
1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。
2、圆是轴对称图形，都是它的对称轴
3、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分
4、分一条弧成的点，叫做这条弧的中点。
5、的距离叫做弦心距。
6、垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分
垂径定理的逆定理2：平分弧的直径
【典型例题】
【题型一】应用垂径定理计算与证明
例1、如图所示，直径CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圆的半径。
3m
第5题
C
O
A
B
M
N
B
O
A P
．
A
C
O
M N
B
例2、如图所示，已知线段AB交⊙O于C、D两点，OA、OB分别交⊙O于E、F两点，且OA=OB，求证：AC=BD
温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。
【题型二】垂径定理的实际应用
例1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm，水面至管道顶部距离为
10cm，问：修理人员应准备内径多大的管道？
温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。
例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则
这个小孔的直径AB是
【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用
M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=43cm。
例1、如图，已知M是⌒
AB的中点，过点
（1）求圆心O到弦MN的距离
（2）求∠ACM的度数
【题型四】应用垂径定理把弧2等份，4等份等
巩固练习
1、下列说法正确的是（）
A.每一条直径都是圆的对称轴
B.圆的对称轴是唯一的
C.圆的对称轴一定经过圆心
D.圆的对称轴与对称中心重合
2、下列命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直且平分弦的直线必定经
过圆心。其中正确的有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，
则满足条件的点P有（）个
A.2
B.3
C.4
D.5
4、半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两弦之间的距离为 cm
5、圆的半径等于23cm，圆内一条弦长23cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于
6、如图，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN的长为
F
E
D
C
B
A
O
60c m
10cm
第7题
第6题
O
P
M
N
第8题
第9题
7、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦。若AB=10cm ，CD=6cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为 8、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4）、N （0，-10），函数y=
k
x
（x<0）的图象过点P ，则k= 9、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 10、如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，则MN= 11、已知圆内接△ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为7cm ，求腰AB 的长 12、如图，已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，AE=4cm ，BE=8cm ，求弦CD 的长
13、如图，某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦AB 米，大棚顶点C 离地面的高度为2.3米.
⑴求该圆弧形所在圆的半径；
⑵若该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有多大？
14、⊙O 的半径为2，弦，A 为⌒
BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。求四边形ABCD 的面积。
【课本相关知识点】
1、中心对称图形：把一个图形绕着某一点 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的
2、过中心对称图形的 的任意一条直线可以平分其面积。
3、圆的旋转不变性：将圆周绕圆心O 旋转 ，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。
4、圆心角： 叫做圆心角。
5、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 （这就是圆心角定理）
6、n °的圆心角所对的弧就是 ，圆心角和 的度数相等。 注意：在题目中，若让你求⌒
AB ，那么所求的是弧长 7、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。（姑且称之为圆心角定理的逆定理）
注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。 【典型例题】
【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否
例1、下列说法：① 等弦所对的弧相等；② 等弧所对的弦相等；③ 圆心角相等，所对的弦相等；④ 弦相等，所对的圆心角相等；⑤ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等 例1、如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PO 平分∠APD 。求证：AB=CD
P
D
C
B
A
例2、如图⊙A 与⊙B 是两个等圆,直线CF ∥AB,分别交⊙A 于点C 、D ，交⊙B 于点E 、F 。求证：∠CAD=∠
EBF
例3、如图所示，AB 、CD 是⊙O 的直径，CE ∥AB 交⊙O 于点E ，那么⌒
AD 与⌒AE 相等吗？说明理由。
【题型三】计算弧的度数
例1、如图所示，C 是⊙O 的直径AB 上一点，过点C 作弦DE ，使CD=CO ，若⌒
AD 的度数为40°，求⌒BE 的度数
【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题
例1、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M 、N 的位置，现在要在河边（直径所在的位置）修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最小需要多少米的水管？（提示：将半圆补全，将军饮马问题）
巩 固 练 习
1、如果两个圆心角相等，那么（ ）
A.这两个圆心角所对的弦相等
B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D.以上说法都不对 2、下列命题中，正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等
B.相等的圆心角所对的弦相等
C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等
D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等 3、在半径为1的圆中，长为
2的弦所对的圆心角的度数是（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4、在⊙O 中，AD 是直径，AB 、AC 是它的两条弦，且AD 平分∠BAC ，那么：① AB=AC ；②⌒AB =⌒AC ；③ ⌒BD =⌒CD ； ④ AD ⊥BC 。以上结论中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5、如图所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 等于（ ） A.140° B.135° C.130° D.125°
E
F
C
D
A B
E
B
D
A
C
E
B
O A
C D N
M
O
O
A O
A
C
7、如图，在条件：①∠COA=∠AOD=60°；②AC=AD=OA ；③点E 分别是AO 、CD 的中点；④OA ⊥CD 且 ∠ACO=60°中，能推出四边形OCAD 是菱形的条件有 个。
8、如图所示，在⊙O 中，弦AB>CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，M 、N 为垂足，那么OM 、ON 的关系是（ ） A. OM>ON B. OM=ON C. OM 9、如图所示，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连续PA 、PB 。求证：PA=PB 10、如图所示，M 、N 为AB 、CD 的中点，且AB=CD 。求证：∠AMN ＝∠CNM 11、如图，MO ⊥NO ，过MN 的中点A 作AB ∥ON ，交⌒ MN 于点B ，试求⌒BN 的度数 【课本相关知识点】 1、顶点在 上，且两边 的角叫圆周角。 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 3、圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 4、拓展一下：圆内接四边形的对角 5、圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 【典型例题】 【题型一】圆周角定理的应用 例1、△ABC 为⊙O 的内接三角形，∠BOC=100°，求∠BAC 的度数。 【题型二】圆周角定理推论的应用 例1、如图所示，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD 的长。 例2、如图所示，A 、B 、C 三点在⊙O 上，CE 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D 。 （1）求证：∠ACD=∠BC E ；（2）延长CD 交⊙O 于点F ，连接AE 、BF ，求证：AE=BF 【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题 例1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上，点A 、B 的读数分别为 86°，30°，则∠ACB 的大小为 例2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）．请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤．（要求写出两种测量方案） 解法一：如图（1），把角尺顶点A 放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B ，另一边交于点C （若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C ），度量BC 长即为直径； 解法二：如图（2），把角尺当直尺用，量出AB 的长度，取AB 中点C ，然后把角尺顶点与C 点重合，有一边与CB 重合，让另一边与井盖边缘交于D 点，延长DC 交井盖边于E ，度量DE 长度即为直径； 巩 固 练 习 1、图中圆周角有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠DPC = . 3、如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合，将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠POF=x °，则x 的取值范围是（ ） A ．30°≤x ≤60° B ．30°≤x ≤90° C ．30°≤x ≤120° D ．60°≤x ≤120° 4、如图，PB 交⊙O 于点A 、B ，PD 交⊙O 于点C 、D ，已知⌒D Q 的度数为42°，⌒B Q 度数为38°，则∠P+∠Q= 5、如图，AB 是⊙O 的直径，C, D, E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2 = . 6、如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 D F B O C E A E A B D C 第1题 第3题 第4题 第5题 第2题 第6题 D E C B O A 第7题 第8题 图形1 图形2 答案： N M P C A O D P A O C 7、已知，如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°。给出下列四个结论：① ∠EBC=22.5°；② BD=DC ；③ ⌒ AE 是⌒DE 的2倍；④ AE=BC 。其中正确结论的序号是 8、如图，⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 2cm ，1cm ，则弦AC 、BD 所夹的锐角为 9、如图，AB, AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ．延长CA 到点D ．使AD=AC ， 连结DB 并延长,交⊙O 于点E ．求证：CE 是⊙O 的直径． 10、如图，在⊙O 中AB 是直径， CD 是弦，AB ⊥CD. (1)P 是CAD 上一点（不与C, D 重合）．求证：∠CPD=∠COB ； (2)点P ’在劣弧CD 上（不与C , D 重合）时，∠CP / D 与∠COD 有什么数量关系？请证明你的结论． 11、（1）如图（1）已知，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于D 、E ．求证：△ODE 是等边三角形； （2）如图（2）若∠A=60°，AB ≠AC ，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由． 12、如图所示，直径AB 、CD 互相垂直，P 是OC 的中点，过点P 的弦MN ∥AB ， 试判断∠MBC 与∠MBA 的大小关系。 13、如图，AB 为⊙O 的直径，弦DA 、BC 的延长线相交于点P ，且BC=PC ，求证： （1）AB=AP （2）BC CD A D O C P D B A C 0 【课本相关知识点】 1、弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l = 2、在弧长公式中，有3个变量： ，已知其中的任意两个，都可以求出第3个变量。我们只需要记住一个公式即可。（有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要） 3、扇形面积公式1：半径为R ，圆心角为n °的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 4、扇形面积公式2：半径为R ，弧长为l 的扇形面积为 5、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三补，四换 一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积的和或差；三补：用补形法拼凑成规则图形计算；四换：将图形等积变换后计算。 【典型例题】 【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算 【例1】、如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C 为圆心，CA 的长为半径的圆 交AB 于点D 。若AC=6，求AD 的长 【例2】、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 【题型二】求阴影部分的面积问题 【例1】、如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB=2，以B 为圆心，以BA 为半径作圆弧，交CB 的延长线于点E ，连接DE 。求图中阴影部分的面积。 【例2】、如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 【例3】、如上图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1B 1C 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ． 77 π338 - B ． 47 π338 + C ．π D ． 4 π33 + 【例4】、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.3cm ，求截面上有水部分的面积。 E D A C A H B O C 例2 例3 C D 【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题 【例1】、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接（不能转动），当杆AB 绕A 点转动90°时，雨刷CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm 、∠DBA=20°，端点C 、D 与点A 的距离分别为115cm 、35cm ．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD 扫过的面积为 cm 2 （π取3.14） 【例2】、如图是一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm ，当重物上升10cm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度约为 度．（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°） 巩 固 练 习 1、如果一条弧长等于 1 4 πr ，它的半径是r ，那么这条弧所对的圆心角度数为 2、如果一条弧长为l ，它的半径为R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加 3、扇形的弧长为20cm ，半径为5cm ，则其面积为 cm 2 4、一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2 ，那么扇形的圆心角是 5、图中4个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（ ） A.0 B.2 C.3 D.4 6、如图所示，扇形AOB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是 7、如图，AB=12，C 、D 是以AB 为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）（到了初中阶段，其实即使不说，结果也要保留π，这是一个基本常识） 第6题 第7题 第8题 9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 10、（2013年温州中考题）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作， 如图所示，若AB=4，AC=2， 4 2 1 π = -S S，则 4 3 S S-的值是（） A. 4 29π B. 4 23π C. 4 11π D. 4 5π 11、如图，⊙O的半径为R，AB与CD是⊙O的两条互相垂直的直径，以B为圆心，BC为半径为CD,交AB于点E，求圆中阴影部分的面积。 12、如图，已知矩形ABCD中，BC=2AB，以B为圆心，BC为半径的圆交AD于E，交BA的延长线于F ，设AB=1，求阴影部分的面积. 13、如图，在△ABC中，已知AB=4cm，∠B=30°，∠C=45°，若以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点E，交BC于点F。（1）求CE的长（2）求CF的长 【课本相关知识点】 1、圆锥可以看做是直角三角形绕旋转一周所成的图形。旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。另一条直角边旋转而成的面叫做。圆锥的和的和叫做圆锥的全面积（或表面积）。 2、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的 3、圆锥的侧面积：；圆锥的全面积： 4、圆锥的母线长l，高h，底面圆半径r 满足关系式 E F 第9题 第10题 A C B 5、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 6、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值范围为 【典型例题】 【题型一】与圆锥有关的计算（主要是算面积） 【例1】如图所示，在△ABC中，∠BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（） A. 2πa B. πab C. 3πa2+πab D. πa（2a+b） 【例2】如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A. 42cm B. 35 C. 26 D. 23 【例3】如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°（如图），则r与R之间的关系是 【题型二】与圆锥有关的方案设计题 【例1】在一个边长为a的正方形材料上截取一扇形，围成母线长为a的圆锥 （1）试设计两种不同的截法（要求每一种截法尽量减少浪费的材料），并把截法在图上表示出来 （2）分别求出（1）中两种不同截法所得的圆锥底面的半径和高 （3）（1）中哪一种截法所得的圆锥侧面积较大？ 【题型三】与圆锥有关的最短距离问题 【例1】如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径。 巩固练习 1、一个圆锥形零件的底面半径为4，母线长为12，那么这个零件侧面展开图的圆心角为 2、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角等于 3、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为 (1) D A B C(2) D A B C 例1例2 例3 4、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为 5、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm ，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离cm． 6、如图所示，有一直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为90°的最大扇形ABC （1）求被剪后阴影部分的面积 （2）用所得的扇形铁皮围成一个小圆锥，则该圆锥的底面半径是多少？ 第三章《圆的基本性质》的知识点及典型例题 知识框图 1、过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。过三点可作个圆。过四点可作个圆。 2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分 圆 概念 圆、圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距、等弧 圆心角、圆周角 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形 圆的基本性质 圆周角定理及2个推论 圆的相关计算 弧可分为劣弧、半圆、优弧 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧 点和圆的位置关系 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的轴对称性 垂径定理及其2个逆定理 圆的中心对称性和旋转不变性 圆心角定理及逆定理 求半径、弦长、弦心距 求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积 圆的相关证明 求不规则阴影部分的面积 证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系 证明弧度之间的数量关系； 证明多边形的形状；证明两线垂直 圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。 注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求⌒ AB，那么所求的是弧长 4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 圆周角定理推论2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等 5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为 6、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= 7、扇形面积公式1：半径为R，圆心角为n°的扇形面积为。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 扇形面积公式2：半径为R，弧长为l的扇形面积为 8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的 9、圆锥的侧面积：；圆锥的全面积： 10、圆锥的母线长l，高h，底面圆半径r满足关系式 11、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 12、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值范围为 考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号） 考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式 考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理 考点四、求圆心角、圆周角 考点五、求阴影部分的面积 考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状 考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题 考点八、方案设计题，求最大扇形面积 考点九、将圆锥展开，求最近距离 练习 一、选择题 1、下列命题中：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2、如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA AB BO --的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（） O A．B．C．D． G E D A C F O B 3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=30°，AC=2a ，BC=b ，以AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（ ） A. 2πa B. πab C. 3πa2+πab D. πa （2a+b ） 4、如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ） A. 42cm B. 35 C. 26 D. 23 5、如图所示，长方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于E 点。取BC 的中点为F ，过F 作一直线与AB 平行，且交于G 点。求∠AGF =（ ） (A) 110? (B) 120? (C) 135? (D) 150? 。 6、如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 7、如图，弧BD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周， P 为弧BD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP 周长的最大 值是（ ） A ． 15 B ． 20 C ．15+52 D ．15+55 8、如图，已知⊙O 的半径为5，点到弦 的距离为3，则⊙O 上到弦所在直线的距离为2的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE= y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是 A B C D 10、如图5，AB 是⊙O 的直径，且AB=10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离 分别为h 1，h 2，则|h 1－h 2| 等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 D E 第5题 第7题 C D A B P 第6题 第8题 A H B O C A C B 第4题 第3题 11、如上图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△ A 1B1C1 的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（） A． 77 π3 38 -B． 47 π3 38 +C．πD． 4 π3 3 + 12、（2013年温州中考题）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作， 如图所示，若AB=4，AC=2， 4 2 1 π = -S S，则 4 3 S S-的值是（） A. 4 29π B. 4 23π C. 4 11π D. 4 5π 二、填空题 1、如图，⊙O是等腰三角形的外接圆，，，为⊙O的直径，，连结，则 ，． 2、如图，为⊙O的直径，点在⊙O上，，则． 3、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BD、BC。 AB=5，AC=4，则BD= 4、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA=28，则∠ABD= °. 5、在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为 6、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数为__________________ 7、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为 8、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为 9、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离cm．10、如图，AB是O ⊙的直径，弦CD AB ∥．若65 ABD ∠=°，则ADC ∠=． 11、如图, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动. A C D E O 1 2 O B A C D （第10题） E D A C O B 第1题第2题第3题第4题 第7题 第8题 第9题 第11题 设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 12、、如图，是的直径，是上的点，则 13、以半圆O 的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D 。若AD=4，DB=6，那么AC 的长为 14、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 15、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接（不能转动），当杆AB 绕A 点转动90°时，雨刷CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm 、∠DBA=20°，端点C 、D 与点A 的距离分别为115cm 、35cm ．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD 扫过的面积为 cm 2 （π取3.14） 三、解答题 1、如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上。 （1）若∠AOD=52°，求∠DEB 的度数； （2）若OA=5，OC=3，求AB 的长 2、如图，在一个横截面为Rt △ABC 的物体中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅先将AB 边放在地面（直线l ）上。 （1）请直接写出AB ，AC 的长； （2）工人师傅要把此物体搬到墙边（如图），先按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置（BC 1在l 上），最后沿BC 1的方向平移到△A 2B 2C 2的位置，其平移的距离为线段AC 的长度（此时A 2C 2恰好靠在墙边），画出在搬动此物的整个过程A 点所经过的路径，并求出该路径的长度。 （3）若没有墙，像（2）那样翻转，将△ABC 按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置为第一次翻转，又将△A 1BC 1按顺时针方向绕点C 1翻转到△A 2B 1C1（A 2C 1在l 上）为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程点A 经过路径的长度． 3、如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A 、B 、C 。 （1）用尺规作图法，找出弧ABC 所在圆的圆心O （保留作图痕迹，不写作法）； （2）设△ABC 是等腰三角形，底边BC=8，AB=5，求圆片的半径R AB O ⊙C D E 、、O ⊙12∠+∠=D O A B C 第13题 第14题 第15题 4、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC ＝BC ，D 为⊙O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE ＝CD. （1）求证：AE ＝BD （2）若AC ⊥BC ，求证：AD+BD=2CD ． 5、已知一个圆锥的高h=3 3，侧面展开图是半圆，求： （1）圆锥的母线长与底面半径之比； （2）锥角的大小（锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角）； （3）圆锥的全面积． 6、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，且CD ⊥AB ，垂足为H （1）如果⊙O 的半径为4，CD=4 3，求AC 的长 （2）若点E 为为⌒ADB 的中点，连接OE 、CE ，求证：CE 平分∠OCD （3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC 的距离为3的点有多少个？并说明理由。 7、①、如下图所示，点P 在⊙O 外，过点P 作两射线，分别与⊙O 相交于点A 、B 、C 、D ，猜想AB 的度数、CD 的度数与∠P 之间 的数量关系，并进行证明。 ②、当点P 在圆内时，猜想AC 的度数、BD 的度数与∠APC 之间的数量关系，并进行证明。 P O D C B A 图（1） 图（2） C A O B D 1、如图，AD 是⊙O 的直径． (1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ； (2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2，∠B 3的度数； (3) 如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接 写出答案)． 2、如图9，在平面直角坐标系中，以点 为圆心，2为半径作圆，交 轴于 两点，开口向下的抛物线经过点 ， 且其顶点在⊙C 上． （1）求的大小； （2）写出 两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式； （4）在该抛物线上是否存在一点 ，使线段 与 互相平分？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． A O D B 1 B 2 C 1 C 2 图① O D A B 1 C 1 B 2 C 2 C 3 B 3 图② B A O B 1 B n -2 C 1 B 2 C 2 B 3 C 3 C n -2 B n -1 C n -1 C n …… 图③ 圆的知识的归纳总结与复习 【知识与方法归纳】 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。 （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。 （3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C π 2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的面积：S= 。 （2）已知圆的直径，求圆的面积：r= ，S= 或。 （3）已知圆的周长，求圆的面积：r=C 2 π，S= 或。 【经典例题】 A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 圆的知识点及基础训练 第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点： 1、圆的概念及点与圆的位置关系 2、三角形的外接圆 3、垂径定理 4、垂径定理的逆定理及其应用 5、圆心角的概念及其性质 6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】 1、圆的定义：在同一平面，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。 2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。 3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。 4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆 5、点与圆的三种位置关系： 若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 。 6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上 7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。 8、过 的三点确定一个圆。 9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】 【题型一】证明多点共圆 例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上 【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 例2、下列说法中，错误的是（ ） A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆最长的弦是直径 D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ） A ．三角形的三个顶点在同一个圆上 B ．过圆心的线段叫做圆的直径 C ．大于劣弧的弧叫优弧 D ．圆任一点到圆上任一点的距离都小于半径 例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 7、圆周角定理 8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积 一对一授课教案 学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心 角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题； 第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 3.1 圆（1） 在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做。 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d＜r 点P在圆； dr 点P在圆上； d＞r 点P在圆； 如图，在ABC中，∠BAC＝Rt∠，AO是BC边上的中线，BC 为O的直径. （1）点A是否在圆上？请说明理由. （2）写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区， 往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船 沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？ ====================================================================== 3.1圆（2） （1）经过一个 ．．已知点能作个圆； （2）经过两个已知点A,B能作个圆；过点A,B任意作一个圆, 圆心应该在怎样的一条直线上？ （3）不在同一条直线上的三个点一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的； 三角形的外心是的交点。 锐角三角形的外心在； 直角三角形的外心在； 钝角三角形的外心在。 作图：已知△ABC ，用直尺和圆规作出△ABC 的外接圆 3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形； 对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。 3.3垂 径定理（1） 圆是图形，它的对称轴是。 如图，直径CD 垂直于弦AB ， 根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD 是直径，CD ⊥AB ∴ 1、如图，射线OP 经过怎样的旋转，得到射线OQ ？ 3、如图，以点O 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段B A ''，并求直线B A ''与直线AB 所成的锐角的度数。 2、如图,以点O 为旋转中心,将△ABC 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形。 初三数学圆的基础知识 小练习 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 圆的基本知识 一、知识点 5、圆与圆的位置关系：（内含、相交、外离） 例3：已知⊙O 1的半径为6厘米，⊙O 2 的半径为8厘米，圆心距为d， 则：R+r=，R－r=； （1）当d=14厘米时，因为dR+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （2）当d=2厘米时，因为dR－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （3）当d=15厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （4）当d=7厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （5）当d=1厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： 6、切线性质： 例4：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO=度（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点， 则=，∠=∠； 7、圆中的有关计算 （1）弧长的计算公式： 例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少 解：因为扇形的弧长=() 180 所以l=() 180 =(答案保留π) （2）扇形的面积： 例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少 解：因为扇形的面积S= () 360 所以S= () 360 =(答案保留π) ②若扇形的弧长为12πcm ，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少 解：因为扇形的面积S= 所以S== （3）圆锥： 例7：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，则圆锥的侧面积是多少 解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积= 知识点 1、与圆有关的角——圆心角、圆周角 （1）图中的圆心角；圆周角； （2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB=度； （3）在上图中，若AB 是圆O 的直径，则∠AOB=度； 2、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为． （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，∵CD 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于E ∴=，= 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例1：已知圆的半径r 等于5厘米，点到圆心的距离为d ， （1）当d =2厘米时，有dr ，点在圆（2）当d =7厘米时，有dr ，点在圆 （3）当d =5厘米时，有dr ，点在圆 4、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点； 高中圆的知识点总结 椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。下面是圆的知识点总结。 一、教学内容： 椭圆的方程 高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质. 重点：椭圆的方程与几何性质. 难点：椭圆的方程与几何性质. 二、知识点： 1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质 定义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义： 平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0 标 准 方 程焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形焦点在x轴上 焦点在y轴上 性质焦点在x轴上 范围： 对称性：轴、轴、原点. 顶点：， . 离心率：e 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式： 范围： 2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a (2)余弦定理： + -2r1r2cos(3)面积： = r1r2 sin ?2c| y0 |(其中P( ) 三、基础训练： 1、椭圆的标准方程为 焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__; 3、两个焦点的坐标分别为 ___; 4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P 到另一个焦点 5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，，则椭圆的离心率为 6、方程 =10，化简的结果是 ; 满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成 一个正方形，则椭圆的离心率为 8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆上，则10、已知点F是椭圆的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则的最大值是 8 . 【典型例题】 例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程. (2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程. 解：设方程为 . 所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程 . 解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程. 解：设方程为 例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km). 圆 知识点一、圆的定义及有关概念 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 ' 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 例 P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；? 最长弦长为_______． 解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm. 知识点二、平面内点和圆的位置关系 平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 。 当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。 当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。 当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。 例 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________． 解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 % 练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系． 答案：点P 在圆O 上． 知识点三、圆的基本性质 1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 圆的基本性质 复习总标 1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。 2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。 3.会用垂径定理进行有关计算。 知识梳理 1.圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2.圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 90圆周角所对的弦是圆的直径。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角； （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3.圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 易错知识点 1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。 2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。 4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 中考规律盘点及预测 本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。旗本性质的应用 主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。 1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且 CD=， ，则AB 的长为…【 】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得 ，由勾股定理得HB=1 ，则()2 2 2 1R R =+-由此得2R=3 或由相交弦定理得 ()2 121R =?-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B 2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表 示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。一条弧所对的圆周角 等于它所对圆心角的一半。()?=?-?==∠2030702 1 21Q P PAQ 选B 3、（2008年海南） 如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段 OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 第9题图 《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－ r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2＋E 2－4F >0 时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的 圆； ②当 D 2＋ E 2－4 F ＝0 时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (三)直线与圆的位置关系 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4切 5含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝ 122x x + ，y ＝12 2 y y + . 考点一：有关圆的标准方程的求法 ()()()2 2 20x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径是 . 【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4，则实数a 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) 圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d ） 直线与圆相交。 d > r （r 第三章圆的基本性质复习 一、 点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d 第一讲 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0， 取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，1 2D 2＋E 2－4F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． （二）点与圆的位置关系 （1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 圆知识点总结及归纳 一、知识清单一级标题宋体四号加粗 （一）圆的定义及方程二级标题宋体小四加粗定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)正文宋体五号标准方程(x －a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：，半径： 1、圆的标准方程与一般方程的互化三级标题宋体五号加粗（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0、（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：(x＋)2＋(y＋)2＝①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形、 2、圆的一般方程的特征是：x2和 y2项的系数都为1 ，没有 xy 的二次项、3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 （二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r 2、（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r 2、（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2 《圆的基本性质》知识点总结 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径,以点O 为圆心的圆,记作☉O ，读作“圆O ” ２、与圆有关的概念 (1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段ＢC 叫做弦,经过圆心的弦AB 叫做直径) （2）弧和半圆(圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧，每一条弧都叫做半圆） （3）等圆(半径相等的两个圆叫做等圆） 3、点和圆的位置关系: 如果Ｐ是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径,则： （1)d<ｒ → 圆内 (2）ｄ=ｒ → 圆上 （3）d ＞r → 圆外 ４、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形。三角形的外心到各顶点距离相等。 一个三角形有且仅有一个外接圆,但一个圆有无数内接三角形。 5、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论:（1)平分弦(不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； (2)平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 ６、圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 7、圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半 。 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 直角,90°圆周角所对的弦是 直径 。 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 8、弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积 (1）弧长公式: 180 r n l π= 24.1《圆》教学设计 一、教学目标 知识技能: 1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质. 2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系. 数学思考: 1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系. 2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力. 问题解决: 1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题. 情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神. 二、重难点分析 教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论． 垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点． 对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件． 圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握． 教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明． 垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 三、学习者学习特征分析 圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 四、教学过程 （一）创设情境，引入新课 圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积. 早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.圆的知识点总结
圆的知识点总结史上最全的
《圆的基本性质》各节知识点
九年级圆基础知识点,(圆讲义)
圆知识点总结及归纳
圆的基本性质知识点整理
初三数学圆的基础知识小练习
高中圆的知识点总结
初中数学圆的知识点总结
圆的基本性质知识点
初三数学圆知识点复习专题经典
圆的知识点总结及典型例题.
圆知识点总结及归纳
圆的知识点归纳总结大全
浙教版九年级数学上 第3章圆的基本性质 复习提纲
圆知识点总结及归纳
圆知识点总结及归纳
圆的基本性质知识点总结
圆的基础知识
相关主题
文本预览