平面向量与三角函数的综合习题
三角函数与平面向量综合题
题型一：三角函数与平面向量平行(共线) 的综合
【例1】已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)
→与向量q ＝(cosA－sinA ，1＋sinA) 是共线向量.
C －3B 2（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin B ＋cos . 2
题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合
【例2】3π→→→→已知向量a ＝(3sinα,cosα)，b ＝(2sinα，5sinα－
4cosα)，α∈(2π)，且a ⊥b ． 2
απ（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值． 23
题型三. 三角函数与平面向量的模的综合
→→→→2【例3】已知向量a ＝(cosα,sinα)，b ＝(cosβ,sinβ)，|a －b |＝5.(Ⅰ) 求cos(α－β)的值；5
ππ5(Ⅱ) 若－β＜0＜α＜sinβ＝－sinα的值. 2213
题型四三角函数与平面向量数量积的综合
【例3】π→→→→设函数f(x)＝a ·b . 其中向量a ＝(m，cosx) ，b ＝(1＋
sinx ，1) ，x ∈R ，且f(2
＝2. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例5】（山东卷）在?A B C 中，角A , B , C 的对边分别为a
, b , c ，tan C =．
5（1）求cos C ；（2）若C B ?C A =，且a +b =9，求c ． 2
题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例6】（2019年高考陕西卷）f (x ) =a ?b ，其中向量a =(m , cos 2x ) ，
πb =(1+sin 2x ,1) ，x ∈R ，且函数y =f (x ) 的图象经过点(, 2) ． 4
（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数y =f (x ) 的最小值及此时x 值的集合。
题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例7】设向量a =(sinx , c os x ), b =(cosx , cos x ), x ∈R ，函数f (x )
=a ?(a +b ) .
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f (x ) ≥
题型八：三角函数平移与向量平移的综合
π→【例8】把函数y ＝sin2x 的图象按向量a ＝(－3) 平移后，得到函数y ＝
Asin(ωx6
π＋?)(A＞0，ω＞0，|?|＝) 的图象，则?和B 的值依次为 2
32成立的x 的取值集. （）
A ．π3 12π
B ．3 3π
C ．，－3 3π
D ．－，3 12题型九：结合向量的数量积, 考查三角函数的化简或求值
ππ【例9】已知0
2 β2cos α+sin 2(α+β) 的值． a =(tan(α+), -1), b =(cosα, 2), a ?b =m ，求4cos α-sin α
题型十：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例10】如图，函数y =2sin(πx +?), x ∈R （其中0≤?≤（0，1）。
（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。π2）的图像与y 轴交于点
平面向量与三角函数综合练习 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是 一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后，得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象，贝U 和B的值依次为 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查 例2 已知A、B、C为三个锐角，且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —；—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.
已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , （I ）求tan a 的值； a （n ）求 cos （ +）的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法： （1） 先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解； （2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标 运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ，且 sin 3=— ，求 sin a 的值. 2 13 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式： （1）三角函数与向量的积直接联系； （2）利用三角函数与向量的夹 角交汇，达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求 实数m 的值；（n ）求函数f （x ）的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标， 要求 根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = （— cos ；, sin'）, n = 妖（牛,2 n ，且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3）的值；（n ）若一- l " —= .(I )求 cos(
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
三角函数、平面向量、解三角形 一、选择题(每小题5分，共50分) 1.化简cos15cos45cos75sin45??-??的值为（ ） A. 12- B. C.12 D. -2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ?+=, 则a 与b 的夹角是（ ） A ．ο30 B ．ο60 C ．ο90 D ．ο120 3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ，且5 4cos -=α，则m 的值为（ ） A 21 B 2 1- C 23- D 23 4.设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ =+-+∈，则函数()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 5.已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)-- 6.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4 πα-等于（ ） A.17 - B.7- C.71 D.7 7.函数2tan 2tan 12x y x =-的最小正周期为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ． 2 π 8.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 （A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 49 （ ）
专题二 三角函数与平面向量的综合应用 （时间：45分钟 满分：100分） 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知sin(2π－α)＝45，α∈????3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α 等于( ) A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 2．如图，D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF → ＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0 3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ， sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D .π3，π3 5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向 量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0，π4 B.??? ?π4，512π C.????512π，π2 D.??? ?π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______． 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点，当?PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为 ________．
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围
1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则·的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A 21 B ．1 C 2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．）
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04 πα<<，β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值． 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期，故βπ=．因为a b m ?= ， 又cos tan()24a b βαα?=?+- ，故cos tan()24 m βαα?+=+． 由于04 π α<< ，所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤） 的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . （II ）由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像，得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=，故,P M P N <>= 15arccos 17 .
三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C
第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．
1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q
4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 （经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称）
11. 周期函数：()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx
14. 函数性质： （注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 （左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。 注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。
锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。 （2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=， 得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。 说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值，求角 例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。
必修4三角函数和平面向量综合检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．下列命题中的真命题是（ ）． A ．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C ．终边在第一象限的角是锐角 D ．终边在第二象限的角是钝角 2．cos(2640)sin1665-+=o o （ ）． A ．122+ B ．122+- C ．132+ D ．13 2 +- 3．已知角α的终边过点(43)P m m -，，(0)m ≠，则ααcos sin 2+的值是（ ） ． A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或5 2- D ．－1或52 4．已知向量(cos 75,sin 75),(cos15,sin15)a b ==o o o o r r ，则a b -r r 的值为（ ）． A ． 1 2 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数3sin( 3)3cos(3)44 y x x ππ =-+-的最小正周期为（ ） ． A ．23π B ．3 π C ．8 D ．4 6．函数sin()(0,0)y A x A ???=+>>的部分图象如图所示， 则(1)(2)(3)(11)f f f f ++++=…（ ）． A ．2 B ．22+ C ．222+ D ．222-- 7．设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ）． A ．B A I 中有3个元素 B ．B A I 中有1个元素 C ．B A I 中有2个元素 D ．B A Y R = 8．判断函数2()lg(sin 1sin )f x x x =+的奇偶性为（ ）． A ．非奇非偶函数 B ．奇函数 C ．偶函数 D ．既奇又偶函数 9．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3 x π =对称；③在[,]63 ππ - 上是增 函数”的一个函数是（ ）． A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=- D ．cos(2)6 y x π =- 10．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的
三角函数专项复习 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对 边 C
7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做 坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。 :i h l =h l α
专题03 三角函数与平面向量综合问题 （答题指导） 【题型解读】 ??题型一：三角函数的图象和性质 1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2 ＋b 2 ? ?? ?? a a 2＋ b 2 ·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ? ????π6＝0. (1)求ω； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π 4 个 单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在??????－π4 ，3π4上的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin
A B C D F 向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则OP ·OQ 的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t b t a u b a ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则|u |的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B ．3 C ．3 D ．23 6．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量(2cos ,2sin )CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值范围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(2cos ,2sin )a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A ．21- B ．1 C ．2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．） （ ）