《平面向量》测试题
一、选择题
1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ）
A.x=-1
B.x=3
C.x=29
D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）
A.（-5k,4k ） B .(-k 5,-k 4
) C.(-10,2) D.(5k,4k)
3.若点P 分AB 所成的比为43
，则A 分BP 所成的比是（ ） A.73B. 37C.-37D.-73
4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ）
A.60°
B.-60°
C.120°
D.-120°
5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103C.102D.10
6．()已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝()
A.? ????
79，73 B.? ?
???－73，－79C.? ????73，79 D.? ?
???
－79，－73
7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A.323B.233
C.2
D.-52
8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（
）
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-21
)
9.设四边形ABCD 中，有DC =21
，且||=||，则这个四边形是（ ）
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ）
A.y=x+10
B.y=x-6
C.y=x+6
D.y=x-10
11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（ ）
A.(2,-1)
B.(-2,1)
C.(-2,-1)
D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ）
A.(2a,b)
B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a)
D.(a-b,b-a)
二、填空题
13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b=。
14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ=。
15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b=。
16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）=。
三、解答题
17.如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 、AB 的中
点，已知AB =a,AD =b,试用a 、b 分别表示DC 、BC 、MN 。
18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，
(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值；(2)求c 在a 方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .
19.设e 1与e 2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e 1+e 2,b=-3e 1+2e 2的夹角θ。
20.以原点O 和A （4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，求点B 的坐标和AB 。
21.已知||2a =||3b =,a b 与的夹角为60o , 53c a b =+, 3d a kb =+,当当实数k 为何值时，⑴c ∥d
⑵c d ⊥
22.已知△ABC 顶点A （0，0），B （4，8），C （6，-4），点M 内分AB 所成的比为3，N 是AC 边上的一点，且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半，求N 点的坐标。
文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题
1．(全国Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 、满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
A ．150
B ．120°
C ．60°
D ．30°
2．(四川高考)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( ) A ．(7,3) B ．(7,7)C ．(1,7) D ．(1,3)
3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )
A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14
b 4．()已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量
c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )
A.? ????79，73
B.? ????－73
，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－73 5．(启东)已知向量p ＝(2，x －1)，q ＝(x ，－3)，且p ⊥q ，若由x 的值构成的集合A 满足A ?{x |ax ＝2}，则实数a 构成的集合是( )
A ．{0}
B ．{23}
C ．?
D ．{0，23
} 6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32
，则b 等于( )
A.1＋32B ．1＋3C.2＋32
D ．2＋ 3 7．(银川模拟)已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( )
A ．2a km
B ．a kmC.3a km D.2a km
8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
9．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( )
A.32
B. 3
C.158
D.157
10．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，在△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA →＋BP →＋CP →＝0，设|PA →||PD →|
＝λ，则λ的值为()
A ．1B.12C ．2D.14
二、填空题
11．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ________.
12．(皖南八校联考)已知向量a 与b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则|a ||b |
＝________. 13．已知向量a ＝(tan α，1)，b ＝(3，1)，α∈(0，π)，且a ∥b ，则α的值为________．
14．(烟台模拟)轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h 、15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
15．(江苏高考)满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．
三、解答题
16．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，
(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值；
(2)求c 在a 方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .
17．如图，已知A (2,3)，B (0,1)，C (3,0)，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，且DE 平分△ABC 的面积，求点D 的坐标．
18．(厦门模拟)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，α∈? ????π2，32π. (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；
(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α
的值．
19．(南充模拟)在△ABC 中，已知内角A ＝π3
，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y . (1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域；
(2)求y 的最大值及取得最大值时△ABC 的形状．
20．(福建高考)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m ·n ＝1，且A 为锐角．
(1)求角A 的大小；
(2)求函数f (x )＝cos2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．
21．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C .
(1)若a ＝3，b ＝4，求|CA →＋CB →|的值；
(2)若C ＝π3，△ABC 的面积是3，求AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值．
《平面向量》测试题
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.A
6.D
7.D
8.A
9.C 10.B 11.A 12.C
13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0
17.[解] 连结AC
=21
=21
a,……AC =AD +DC = b+21
a,……
=-= b+21a-a= b-21
a,……
NM =ND +DM =NA +AD +DM = b-41
a,……
MN =-NM =41
a-b 。……
18．【解析】 (1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线．
又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－2
10.
(2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－
7
2＝－7
2 2.
(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，
∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)， ∴??? 4λ2－λ1＝5
λ1＋3λ2＝－2，解得?????
λ1
＝－
237λ2＝37.
19.[解]∵a=2e 1+e 2,∴|a|2=a 2=(2e 1+e 2)2=4e 12+4e 1·e 2+e 22=7,∴|a|=7。
同理得|b|=7。又a ·b==（2e 1+e 2）·(-3e 1+2e 2,)=-6e 12+ e 1·e 2+2e 22=-27
，
∴cosθ=
|
|·|
|
·
b
a
b
a
=
7
7
2
7
?
-
=-
2
1
,∴θ=120°.
20.[解] 如图8，设B(x,y),
则OB=(x,y), AB=(x-4,y-2)。
∵∠B=90°，∴OB⊥AB，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。①
设OA的中点为C，则C(2,1), OC=（2，1），CB=(x-2,y-1)
∵△ABO为等腰直角三角形，∴OC⊥CB，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。②
解得①、②得
?
?
?
=
=
3
1
1
1
y
x
或
?
?
?
-
=
=
1
3
2
2
y
x
∴B(1,3)或B(3,-1)，从而AB=(-3,1)或AB=（-1,-3）
21. ⑴若c∥d得
5
9
=
k⑵若d
c⊥得
14
29
-
=
k
22.[解] 如图10，
ABC
AMN
S
S
△
△=
BAC
BAC
∠
∠
sin
·|
|·|
|
2
1
sin
·|
|·|
|
2
1
。
∵M分AB的比为3
|
|AB
=
4
3
，则由题设条件得
2
1
=
3
4
=
3
2
=2。