第三节 函数、方程及其应用第一部分 五年高考荟萃
2009年高考题
1.（2009福建卷文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是
A. ()41f x x =-
B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x f x e =-
D. ()12f x In x ??=- ???
答案 A
解析 ()41f x x =-的零点为x=4
1
,()2(1)f x x =-的零点为x=1, ()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ??
=- ???
的零点为x=23.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)= -1,g(
21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 2
1
),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，
故选A 。
2.(2009山东卷文)若函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
答案 }1|{>a a
解析 设函数(0,x
y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是函数(0,x
y a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<a 时,因为函数(1)x
y a a =>的
图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009山东卷理)（本小题满分12分）
两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧
上选择一点C 建造
垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.
（1）将y 表示成x 的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知AC ⊥BC,2
2
400BC x =-,224(020)400k
y x x x
=+<<- 其中当102x =时，y=0.065,所以k=9 所以y 表示成x 的函数为2249
(020)400y x x x
=
+<<- （2）2249400y x x =+-,422
322322
89(2)188(400)'(400)(400)
x x x y x x x x ?---=--=--,令'0y =得422188(400)x x =-,所以2160x =,即410x =,当0410x <<时, 422188(400)x x <-,即'0y <所以函数为单调减函数,当4620x <<时, 422188(400)x x >-,即'0y >所以函数为单调增函数.所以当410x =时, 即当C 点到
城A 的距离为410时, 函数22
49
(020)400y x x x =+<<-有最小值. 解法二: （1）同上.
（2）设2
2
,400m x n x ==-, 则400m n +=,49
y m n
=
+,所以 494914911()[13()](1312)40040040016
m n n m y m n m n m n +=+=+=++≥+=当且仅当
49n m m n =即240160
n m =??=?时取”=”. 下面证明函数49
400y m m
=
+-在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0 4949()400400y y m m m m -= +-+-- 12124499 ( )()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400) m m m m m m m m --=+-- A B C x 21121249 ()[ ](400)(400) m m m m m m =----1212 2112124(400)(400)9() (400)(400) m m m m m m m m m m ---=---, 因为0 1212 12124(400)(400)90(400)(400) m m m m m m m m --->--, 所以1212 2112124(400)(400)9() 0(400)(400) m m m m m m m m m m ---->--即12y y >函数49400y m m =+ -在(0,160)上为减函数. 同理,函数49 400y m m = +-在(160,400)上为增函数,设160 4949()400400y y m m m m -= +-+--1212 2112124(400)(400)9() (400)(400) m m m m m m m m m m ---=--- 因为1600 1212 12124(400)(400)90(400)(400) m m m m m m m m ---<--, 所以1212 2112124(400)(400)9() 0(400)(400) m m m m m m m m m m ----<--即12y y <函数49400y m m =+ -在(160,400)上为增函数. 所以当m=160即410x =时取”=”,函数y 有最小值, 所以弧 上存在一点，当410x =时使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度 最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009湖南卷理)（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2)x x +万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。 （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式； （Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 （Ⅰ）设需要新建n 个桥墩，(1)1m n x m x +=-，即n= 所以 (2)m m x x x x x +y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+ 2562256.x m x m x =++- （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，2 33 2222561'()(512).22m m f x mx x x x =- +=- 令'()0f x =，得32 512x =，所以x =64 当0 当64640x <<时，'()f x >0. ()f x 在区间（64，640）内为增函数， 所以()f x 在x =64处取得最小值，此时，640 119.64 m n x =-=-= 故需新建9个桥墩才能使y 最小。 6.（2009年上海卷理）有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a x f x x x x ?+≤??-=?-?>?-? 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（* x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关。 （1）证明 当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为 (115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相 应的学科。 证明 （1）当0.4 7(1)()(3)(4) x f x f x x x ≥+-= --时， 而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)x x -->0……..3分 故(1)()f x f x +-单调递减 ∴当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降……………..6分 （2）由题意可知0.1+15ln 6 a a -=0.85……………….9分 整理得 0.056 a e a =- 解得0.05 0.05 620.506123.0,123.0(121,127]1 e a e =?=?=∈-…….13分 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 7.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满 分10分 .有时可用函数0.115ln ,6,() 4.4,64 a x a x f x x x ? +≤??-=?-?>?-? 描述学习某学科知识的掌握程度.其中x 表示某学科知识的学习次数（* x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关. （1）证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f （x+1）- f(x)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 证明 （1）当7x ≥时，0.4 (1)()(3)(4) f x f x x x +-= -- 而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)0x x --> 故函数(1)()f x f x +-单调递减 当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降 (2)有题意可知0.115ln 0.856 a a +=- 整理得 0.056 a e a =- 解得0.05 0.05 620.506123.0,123.0(121,127]1 e a e =?=?=∈-…….13分 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 2005—2008年高考题 一、选择题 1.（2008年全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是 （ ） 答案 A 2.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x) 的图象可能是 （ ） 答案 D 3.（07广东）客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是 （ ） A B C D 答案 C 4.某地一年内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃ .令C （t ）表示的时间段[0，t]的平均气温， C （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ） 答案 A 解析 由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C ；t=12时，C(t)=10，排除D ；t 在大于 s t O A ． s t O s t O s t O B ． C ． D ． 6 的某一段气温超于10，所以排除B ，故选A 。 二、填空题 5.（2006年上海春季2）方程1)12(log 3=-x 的解=x . 答案 2 6.（2007年上海4）方程 96370x x -?-=的解是 ． 答案 7log 3 7.（2006年北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时， 111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ????? ?????? --?????=+- ? ??????? ，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种 植点的坐标应为 ． 答案 （1，2）（3，402） 三、解答题 8.（2008年江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,CB=10km ， 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上 （含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个 污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长 为y km ． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x 的函数关系式． C B P O A D （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 解 本小题主要考查函数最值的应用． （Ⅰ）①设AB 中点为Q ，由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则 10cos cos AQ OA θθ= =, 故10 cos OB θ =，又OP ＝1010tan θ-， 所以1010 1010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++= ++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-= +04πθ? ?<< ?? ? ②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以OA=OB= () 2 22101020200x x x -+=-+ 所求函数关系式为()2 220200010y x x x x =+-+<< （Ⅱ）选择函数模型①，θ θθθθθ22cos ) 1sin 2(10cos )sin 1020(cos cos 10-=---= 'y 令0='y 得sin 12θ= ，因为04πθ<<，所以θ=6π.当0,6πθ?? ∈ ??? 时，0<'y ，y 是θ的减 函数；当,64ππθ?? ∈ ??? 时，0>'y ，y 是θ的增函数.所以当θ=6π时，)31010(+=iin y (km)。 这时点0位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 103 3 km 处。 9.（2008年湖北卷20）.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化.现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为 ???? ?≤<+--≤<+-+-=. 1210,.50)413)(10(4, 100,50)4014()(51 2t t t t e t t t V t （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第i 月份（1,2,,12i = ）,问一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e =计算）. 解 （1）①当0＜t ≤10时，V (t )=(-t 2 +14t -40),5050e 4 1 <+t 化简得t 2 -14t +40>0, 解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4. ②当10＜t ≤12时，V （t ）＝4（t -10）（3t -41）+50＜50, 化简得（t -10）（3t -41）＜0, 解得10＜t ＜ 3 41 ，又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综上得0 由V ′（t ）=),8)(2(e 4 1)42341(e 41 24 1-+-=++-t t t t t t 令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍 去). 当t 变化时，V ′(t ) 与V (t )的变化情况如下表： t (4,8) 8 (8,10) V ′(t ) + 0 - V (t ) 极大值 由上表，知V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2 +50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 第二部分 三年联考汇编 2009年联考题 一、选择题 1.（2009泉州市）函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 （ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,21 D.(1,2) 答案 C 2.（2009厦门二中）01 lg =- x x 有解的区域是 （ ） A ．(0,1] B ．(1,10] C ．(10,100] D ．(100,)+∞ 答案 B 3.（2009莆田一中）若函数3 ()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范 围是 （ ） A.()2,2- B. []2,2- C.(),1-∞- D.() 1,+∞ 答案 A 4.（沈阳市回民中学2008-2009学年度上学期高三第二次阶段测试文科）函数 x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ）w.. A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 答案 B 二、填空题 5.(北京市石景山区2009年4月高三一模理)已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图 象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. 答案 ①③④ 6.（2009龙岩一中）我市某旅行社组团参加香山文化一日游，预测每天游客人数在50至130 人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额y （元）之间近似地满足关系： 224010000y x x =-+-．那么游客的人均消费额最高为_________元． 答案 40 7.(安徽省合肥市2009届高三上学期第一次教学质量检测)函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为 A ．1[0,]8 B ．11[,]84 C ．11[,]42 D ．1[,1]2 答案 C 三、解答题 8.（2009福州八中）某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x 2-10x 3 （单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 （Ⅰ）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值成本） （Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （Ⅲ）求边际利润函数MP(x)单调递减时x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 解 （Ⅰ）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3240x-5000,(x ∈N * ,且1≤x ≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3275，(x ∈N * ,且1≤x ≤19) （Ⅱ）)9)(12(3032409030)(2+--=++-='x x x x x P . ∴当0＜x ＜12时)(x P '＞0,当x ＜12时，)(x P '＜0. ∴x=12，P （x ）有最大值. 即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大． （Ⅲ）∵MP （x ）=-30x 2+60x+3275=-30(x-1)2 +3305, 所以，当x ≥1时，MP （x ）单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且x ∈N * ()MP x 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少． 9.（2009福建省）已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5％,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5万元.据评估,当待岗员工人数x 不超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1- x 10081 )万元；当待岗员工人数x 超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润O.9595万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗? 解 设重组后,该企业年利润为y 万元. ∵2000×1%=20,∴当0 x 10081)-0.5x=-5(x+x 324 )+9000.81. ∵x ≤2000×5% ∴x ≤100,∴当20 ∴?? ??? ∈≤<+-∈≤<++ -=N).10020(,89199595.4N),200(,81.9000)324(5x x x x x x x y 且且 当0 y=-5(x+ x 324 )+9000.81≤-5×2324+9000.81=8820.81, 当且仅当x=x 324 ,即x=18时取等号,此时y 取得最大值. 当20 综上所述x=18时,y 有最大值8820.81万元. 即要使企业年利润最大,应安排18名员工待岗. 11月份更新 1.（2009枣庄一模）如果函数)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 且的图象经过第一、二、四象 限，不经过第三象限，那么一定有 （ ） A ．010>< C ．01<>b a 且 D ．01>>b a 且 答案 B 2.（2009韶关一模）已知函数()21log 3x f x x ?? =- ??? ，若实数0x 是方程()0f x =的解，且 100x x <<，则()1f x 的值为 A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值 D ．不大于0 答案 A 3.（2009上海十四校联考）已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都 有下列两式成立： )6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为 答案 1 4.（2009上海八校联考）某同学在研究函数()()1|| x f x x R x = ∈+ 时，分别给出下面几个 结论： ①等式()()0f x f x -+=对x R ∈恒成立； ②函数()f x 的值域为(1,1)-； ③若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； ④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点。 其中正确结论的序号有________________。（请将你认为正确的结论的序号都填上） 答案 ①②③ 5.（2009青岛一模）已知函数()32 3 31f x ax x a =-+- (R a ∈且0)a ≠,求函数)(x f 的极大值与极小值. 解：由题设知)2(363)(,02 a x ax x ax x f a -=-='≠ 令2()00,f x x x a '=== 得 或 当0a >时，随x 的变化，()' f x 与()f x 的变化如下： x (),0-∞ 0 20,a ?? ??? 2a 2,a ??+∞ ??? ()'f x + 0 - 0 + ()f x 极大 极小 ∴()()301f x f a ==- 极大，()22431f x f a a a ?? ==--+ ??? 极小 当0a <时，随x 的变化，()'f x 与()f x 的变化如下： x 2,a ??-∞ ??? 2 a 2,0a ?? ??? ()0,+∞ ()'f x - 0 + 0 - ()f x 极小 极大 ∴ ()()301f x f a ==- 极大，()22431f x f a a a ?? ==--+ ??? 极小 ∴ 总之，当0a >时，()()301f x f a ==-极大 ，()22431f x f a a a ?? ==--+ ??? 极小； 当0a <时，()()301f x f a ==- 极大，()22431f x f a a a ?? ==--+ ??? 极小 6.（2009上海闸北区）设x x a x f 2 12)(+-=，其中实常数1->a ． （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域和值域； （Ⅱ）试研究函数)(x f 的基本性质，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R 1 21121221)(+++-=++--=x x x a x f ， 当1->a 时，因为02>x ，所以112>+x ， 11 21 0+<++< a a x ，从而a x f <<-)(1， 所以函数)(x f 的值域为),1(a -． （Ⅱ）假设函数)(x f 是奇函数，则，对于任意的R x ∈，有)()(x f x f -=-成立， 即10)12)(1(2 12212=?=+-?+--=+---a a a a x x x x x ∴当1=a 时，函数)(x f 是奇函数．当1->a ，且1≠a 时，函数)(x f 是非奇非偶函数． 对于任意的R x x ∈21,，且21x x <， -)(1x f )(2x f 0) 21)(21() 12(2)1(2 1121>++-+=-x x x x x a ∴当1->a 时，函数)(x f 是递减函数． 7.（2009重点九校联考）已知指数函数)(x g y =满足：g(2)=4， 定义域为R 的函数m x g n x g x f ++-= )(2)()(是奇函数。 （1）确定)(x g y =的解析式； （2）求m ，n 的值； （3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围。 解：（1） x x g y 2)(== （2）由（1）知：m n x f x x ++-=+122)( 因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即 1021 =?=+-n m n ∴m x f x x +-=+1221)(， 又由f （1）= -f （-1）知 21 21 1421)(=?+- -=+-=m m m x f （3）由（2）知11211 ()22221 x x x f x +-==-+++， 易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数。 又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， 因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->- 即对一切t R ∈有：2 320t t k -->， 从而判别式1 4120.3 k k ?=+ 8.（2009日照一模）已知函数 32 ()f x x ax bx =++。 （I ）若函数()y f x =在2x =处有极值-6，求()y f x =的单调递减区间； 解： （I ）2 '()32f x x ax b =++ 依题意有'(2)0(2)6f f =?? =-? 即1240,842 6.a b a b ++=??++=-? 解得5,22a b ?=-? ??=-? 2'()352f x x x ∴=-- 由'()0f x <，得1 2 3x -<< ()y f x ∴=的单调递减区间是1 (,2) 3- （Ⅱ）由'(1)322,'(1)322,f a b f a b -=-+≤??=++≤? 得210, 210.a b a b --≥??++≤? 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示： 由210,210,a b a b --=??++=? 得210 210a b a b --≥??++≤? 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示： 由210,210,a b a b --=??++=? 得0, 1.a b =??=-? Q ∴点的坐标为（0，-1）． 设 , 1b z a = -则z 表示平面区域内的点（,a b ）与点 (1,0)P 连线斜率。 1, PQ K = 由图可知1z ≥或2z ≤-， 即(,2][1,) 1b a ∈-∞-+∞- 9.（2009枣庄一模）设函数.,),(2)(234R b a R x b x ax x x f ∈∈+++=其中 （1）当)(,3 10 x f a 讨论函数时- =的单调性； （2）若函数a x x f 求处有极值仅有,0)(=的取值范围； （3）若对于任意的]0,1[1)(],2,2[-≤-∈在不等式x f a 上恒成立，求b 的取值范围。 解：（1）).434(434)(223++=++='ax x x x ax x x f 当).2)(12(2)4104()(,3 10 2--=+-='- =x x x x x x x f a 时 令. 2,21 ,0,0)(321===='x x x x f 得 当)(),(,x f x f x '变化时的变化情况如下表： x )0,(-∞ 0 )2 1,0( 2 1 )2,2 1( 2 ),2(+∞ )(x f ' - + - + )(x f 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以),2()2 1,0()(+∞和在x f 上是增函数， 在区间)2,2 1()0,(和-∞上是减函数 （2）04340),434()(2 2 =++=++='ax x x ax x x x f 不是方程显然的根。 0)(=x x f 仅在 处有极值。 则方程04342 =++ax x 有两个相等的实根或无实根， .016492≤?-=?a 解此不等式，得,3 8 38≤≤- a 这时，b f =)0(是唯一极值。 因此满足条件的]3 8,38[-的取值范围是a 注：若未考虑.0492 ≤-=?a 进而得到]3 8,38[-的范围为a ，扣2分。 （3）由（2）知，当0434,]2,2[2>++-∈ax x a 时恒成立。 当]0,()(,0)(,0-∞<'<在区间时x f x f x 上是减函数， 因此函数).1(]0,1[)(--f x f 上的最大值是在 12分 又]0,1[1)(],2,2[-≤-∈在不等式对任意的x f a 上恒成立。 .13,1)1(≤+-≤-∴b a f 即 于是]2,2[2-∈-≤a a b 在上恒成立。 .4,22-≤--≤∴b b 即 因此满足条件的).4,(--∞的取值范围是b 2007—2008年联考题 一、选择题 1.(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零 点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为 （ ） A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 答案 C 解析 f(1.40625)=－0.054< 0，f(1.4375)=0.162> 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。 2.(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)如果二次方程x 2 -p x-q =0(p ,q ∈N * ) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 （ ） A ． 5个 B ． 6个 C ． 7个 D ． 8个 答案 C 3.（2008年全国百校月考） 用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(> x ，第二次应计算 . 以上横线上 应填的内容为 A ．（0，0.5），)25.0(f B ．（0，1），)25.0(f C ．（0.5，1），)75.0(f D ．（0，0.5），)125.0(f 答案 A 4.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是 ( ) A B C D 答案 C 解析 刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开始交易后，平均价格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B 、D 均错误. 二、解答题 5.（2007年岳阳市一中训练）某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量n (件)（n ∈N * ，且1≤n ≤98）的关系表如下： N 1 2 3 4 ┅ 98 P 2 99 149 297 148 ┅ 1 又知每生产一件正品盈利a 元，每生产一件次品损失 2 a 元（0a >）. (1)将该厂日盈利额T （元）表示为日产量n (件)的一种函数关系式； (2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(3 1.73)≈ 解 （1）由题意可知)N ,981(1002 *∈≤≤-= n n n P 日产量n 件中，正品（n-pn ）件，日盈利x x x x y y y y 额)N ,981)(1003(2)()(*∈≤≤--=- -=n n n n n a pn a pn n a n T . （2）4.683002103]100300 )100[(103)0(1003003)(≈-≤-+--=>--+=n n a n n a n T 当且仅当100-n= ,100300n -即n=100-,7.82310≈而*N ∈n ，且,) 83()82(a T a T < 故83n =时T a 取最大值，即T 取最大值. 6.（ 2008年高考数学各校月考试题）某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售数量将减少mx%，其中m 为正常数. （1）当2 1 = m 时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？ （2）如果涨价能使销售总金额增加，求m 的取值范围. 解（1）由题设，当价格上涨x%时，销售总金额为： （2）%)1(%)1(100010mx x y -?+??=（万元） 即1000)1(1002 +-+-=x m mx y 。 当],22500)50([2 1 ,212+--== x y m 时 当x=50时，11250m ax =y 万元. 即该吨产品每吨的价格上涨50%时，销售总最大. （2）由（1）)100 0(,00010)1(1002 m x x m mx y < <+-+-= 如果上涨价格能使销假售总金额增加， 则有0001100?>>y x 时 即x>0时，0001000010)1(1002 >+-+-x m mx ∴0)1(100>-+-m mx 注意到m>0 ∴ ,)1(100x m m >- ∴0) 1(100>-m m ∴,10< ∴m 的取值范围是（0，1） 7.(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)某机床厂今年年初用98万元购进一台 数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该机床；（Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由． 解 （1）依题得：.984029842)1(12502-+-=-?? ? ????-+ =x x x x x y （x ∈N *） （2）解不等式2240980,:10511051x x x -+->-<<+得 ∵x ∈N * ,∴3≤x ≤17，故从第3年开始盈利。 （3）（Ⅰ）9898 24040(2)40229812y x x x x x =-+-=-+≤-?= 当且仅当98 2x x =时，即x =7时等号成立． ∴到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元． （Ⅱ）y=-2x 2 +40x-98=-(x-10)2 +102，当x=10时，y max =102 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元 盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理． 8.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD 上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD 上，但不得越过文物保护区AEF ?的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积（ 其中AB=200 m ，BC=160 m ，AE=60 m ，AF=40 m.） 解 设CG=x ，矩形CGPH 面积为y ， 如图作EN ⊥PH 于点N ，则3 280 26014040-=?-=x EN x EN ∴HC=1603 276032802x x -=-- =? ? ? ??≤-?=-?=2 276061)2760(26132760x x x x y 372200 当19027602=?-=x x x （m ）即CG 长为190m 时，最大面积为3 72200（m 2 ）
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