山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2020-2021学年高一
上学期第一次月考（10月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有下列四个命题： ①{}0是空集；
②若a N ∈，则a N -?；
③集合2
{|210}A x R x x =∈-+=有两个元素； ④集合6
B x N
N x ??=∈∈????
是有限集． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知集合{}
()20A x x a a R =+∈，且1,2A A ?∈，则（ ） A ．4a >- B ．2a ≤- C ．42a -<<-
D ．42a -<≤-
3．已知101a <<，201a <<，记12M a a =，121N a a =+-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N <
B ．M N >
C ．M
N
D ．无法确定
4．设A ，B 是非空集合，定义(){
A B x x A B *=∈?且()}
x A B ??．已知
{}03A x x =≤≤，{}1B x x =≥，则A B *=（ ）．
A ．{}
13x x ≤< B ．{}
13x x ≤≤ C ．{01x x ≤<或}3x >
D ．{
01x x ≤≤或}3x ≥
5．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是（ ） A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．A ?B=C
D ．A ＝B ?C
6．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2
B ．－2 C ．m ≠±2 D ．1 7．已知命题p ：?x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13a a ? ? ∣ B ．103a a ??<≤???? ∣ C ．13a a ??≤???? ∣ D ．13a a ?? ≥??? ? ∣ 8．若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且不等式234 y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{}|14m m -<< B ．{|1m m <-或}4m > C ．{}|41m m -<< D ．{|0m m <或}3m > 9．设m 为给定的一个实常数，命题2 :,420p x R x x m ?∈-+≥，则“3m ≥”是“命题p 为真命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B ．“ac ＝bc”是“a ＝b”的必要条件 C ．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D ．“ac ＝bc”是“a ＝b”的充分条件 11．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A ． )02 a b a b +>>> B ．()2 2 20a b ab a b +>>> C ．)20ab a b a b <>>+ D ．)02a b a b +<>> 二、多选题 12．已知三个不等式：①0ab >，②c d a b >，③bc ad >.则下列结论正确的是 （ ） A ．①③?② B ．①②?③ C ．②③?① D ．B 选项错误 三、双空题 13．全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是_________这是_____命题(填“真”或“假”)． 14．已知一次函数1 12 y x =- +的图象分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点(),P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值是________，取得最大值时a 的值为________. 四、填空题 15．已知{}{}1,21,2,3,4,5A ??，则满足条件的集合A 的个数为________. 16．已知集合{}A x x a =>，{} 1B x x =>，若R A C B ≠?，则实数a 的取值范围 是________． 五、解答题 17．已知-1 18．已知集合{}|{|023}A x x B x a x a ≤≤≤≤＝，＝＋ ． （1）若( )R A B R ＝，求a 的取值范围； （2）是否存在a 使() R A B R ＝且A B ?＝∩？ 19．对于任意实数x ，不等式241x x m +->恒成立．求实数m 的取值范围． 20．某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说： “你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 21．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3米，AD ＝2米. （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值. 22．已知不等式2364ax x -+>的解集为{ 1x x <或}x b >． （1）求a ，b ； （2）解不等式2 ()0ax ac b x bc -++<． 参考答案 1．B 【分析】 ①{0}不是空集，可判断是否正确； ②若a N ∈，当0a =时，N a -∈，可判断是否正确；；③集合{}2 2101{|}A x R x x =∈-+==，只有1个元素，可判断是否正确；④集合 1,2{},3,6B =，是有限集，可判断是否正确． 【详解】 ①{}0不是空集，故①不正确； ②若a N ∈，当0a =时，N a -∈，故②不正确； ③集合{}2 2101{|}A x R x x =∈-+==，只有1个元素，故③不正确； ④集合{}6 1,2,3,6B x N N x ??=∈∈=???? ，是有限集，故④正确． 故选：B ． 【点睛】 本题考查了集合的概念，解题时要认真审题，仔细解答，注意熟练掌握集合的概念．属于基础题． 2．D 【详解】 因为1,2A A ?∈，所以20 40 a a +≤??+>?， 解得42a -<≤-. 故选：D. 3．B 【分析】 利用作差法可比较M 与N 的大小关系. 【详解】 ()()()11121212121111M N a a a a a a a a a a -=-+-=--+=--， 101a <<，201a <<，110a ∴-<，210a -<，则0M N ->，因此，M N >. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用作差法比较代数式的大小，考查计算能力，属于基础题. 4．C 【分析】 先由题意，求出A B 与A B ，再由题中条件，即可求出结果. 【详解】 因为{} 03A x x =≤≤，{} 1B x x =≥， 所以{} 0A B x x ?=≥，{} 13A B x x ?=≤≤， 则(){ A B x x A B *=∈?且()}x A B ??={ 01x x ≤<或}3x >. 故选C 【点睛】 本题主要考查新定义下的交集与并集的混合运算，熟记集合交集与并集的概念即可，属于常考题型. 5．B 【分析】 根据平行四边形、菱形、正方形的概念结合集合的包含关系即可得结果. 【详解】 邻边相等的平行四边形是菱形，所以菱形包含于平行四边形，即A C ?； 有一个角是直角的菱形是正方形，所以正方形包含于菱形，即B A ?； ∴B A C ??， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查菱形的定义，正方形的定义，及平行四边形、菱形、正方形的关系，以及子集的概念，属于基础题. 6．A 【分析】 由二次函数f (x )＝－x 2＋mx －1开口向下，又f (x )的函数值有正值，则图像与x 轴有两个交点， 即2 4(1)(1)0m ?=-?-?->，求解即可. 【详解】 解：因为f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值， 则2 4(1)(1)0m ?=-?-?->，整理得24m >， 解得m <－2或m >2， 故选A. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像，重点考查了函数的最值，属基础题. 7．C 【分析】 求得命题p 为真命题时a 的取值范围，由此求得命题p 为假命题时a 的取值范围. 【详解】 先求当命题p ：x R ?∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围 （1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ?∈不成立， （2）若a 不为0，则04120 a a >?? ?=- 3a >， ∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13a a ??>????∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13a a ? ?≤??? ? ∣. 故选：C 【点睛】 本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围. 8．B 【分析】 首先根据题意得到2 min 34y m m x ??->+ ???，利用基本不等式得到min 44y x ??+= ?? ?，再解不等式234m m ->即可. 【详解】 因为2 34 y m m x ->+ 有解，所以2 min 34y m m x ??->+ ???. 144224444y y y x x x x y x y ????+ =++=++≥= ???????， 当且仅当 44y x x y =，即3x =，6y =时取等号. 所以min 44y x ?? + = ?? ?. 故234m m ->，解得1m <-或4m >. 故选：B 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，同时考查不等式的有解情况，属于简单题. 9．A 【分析】 由2 :,420p x R x x m ?∈-+≥为真命题，可得0?≤，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】 命题2:,420p x R x x m ?∈-+≥，若命题p 为真命题， 则0?≤，即1680m -≤，解得2m ≥， 32m m ≥?≥，反之不成立， 所以“3m ≥”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】 本题考查了充分不必要条件、一元二次不等式恒成立，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 10．B 【详解】 因为根据不等式的性质可知，“ac ＝bc”是“a ＝b”的必要不充分条件，选项D 错误， 选项A 是不充分不必要条件，选项C 是不充分不必要条件,选B 11．D 【分析】 计算出CF 和OF ，由OF CF <可得出合适的选项. 【详解】 由图形可知，22AC BC a b OF ++= =，()022 a b a b OC AC OA a a b +-=-=-=>>， 由勾股定理可得CF === ， 在Rt OCF 中，由OF CF <可得)02a b a b +<>>. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题. 12．ABC 【分析】 利用不等式的基本性质可判断A 、B 、C 选项的正误，综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，当0ab >且c d a b >时，由不等式的性质可得c d ab ab a b ?>?，bc ad ∴>，A 选项正确； 对于B 选项，当0ab >且bc ad >时，由不等式的基本性质可得bc ad ab ab >，c d a b ∴>，B 选项正确； 对于C 选项，当c d a b >且bc ad >时，0c d bc ad a b ab --= >，可得0ab >，C 选项正确. 故D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】 本题考查利用不等式的性质判断命题的正误，考查推理能力，属于基础题. 13．存在一个素数不是奇数 真 【分析】 利用全程命题的否定变换形式以及命题真假判断即可求解. 【详解】 “所有的素数都是奇数”的否定是“存在一个素数不是奇数”， 2是素数，但不是奇数，故命题的否定是真命题. 故答案为：存在一个素数不是奇数；真 【点睛】 本题考查了含有一个量词的否定变换形式以及命题的真假判断，属于基础题. 14． 1 2 1 【分析】 首先根据题意得到22a b =-，从而得到()21ab b b =-?，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】 令0y =，得2x =，()2,0A ，令0x =，得1y =，()0,1B ， 因为(),P a b 在线段AB 上，所以1 12 b a =- +，即22a b =-，且01b ≤≤. 所以()()()2 11222124 2 b b ab b b b b -+???? =-?=-?≤?= ， 当且仅当1b b -=，即1 2 b =，1a =时取等号. 故答案为：1 2 ；1 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 15．8 【分析】 将集合A 分为包含2,3,4,5个元素四种情况，根据包含关系列举出满足条件的集合，从而得到结果. 【详解】 由{}{}1,21,2,3,4,5A ??知： 当集合A 中有2个元素时，有{}1,2满足题意，共1个 当集合A 中有3个元素时，有{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5满足题意，共3个 当集合A 中有4个元素时，有{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5满足题意，共3个 当集合A 中有5个元素时，有{}1,2,3,4,5满足题意，共1个 ∴满足条件的集合A 共有：13318+++=个 故答案为8 【点睛】 本题考查根据集合的包含关系求解集合，关键是能够明确子集的定义，确定所求集合中的元素的个数，属于基础题. 16．{} 1a a < 【分析】 由已知可求得R C B ，集合A 与集合R C B 有公共元素，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】 由集合{} 1B x x =>，可得{}|1R C B x x =≤， R A C B ≠?，可得集合A 与集合R C B 有公共元素，1a ∴<. 故答案为：{}|1a a <. 【点睛】 本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题. 17．-<2a+3b< 【解析】 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得 所以2a+3b=(a+b)-(a-b). 因为-1 所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1. 所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<. 18．（1）10a -≤≤；（2）不存在 【分析】 （1）由A 以及全集R ，求出A 的补集，根据A 补集与B 的并集为R ，即可求出a 的范围； （2）根据题意列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集，即可求出a 的范围． 【详解】 （1）{}02|A x x ≤≤＝ ， ∴|0{R A x x <＝或2}x > ． ∵( ) R A B R ＝， ∴0 32 a a ≤?? +≥? ∴10a -≤≤. （2）由（1）知( ) R A B R ＝时，10a -≤≤，所以233a ≤≤＋， 所以A B ?，这与A B ?＝∩矛盾． 即这样的a 不存在． 【点睛】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 19．(),5-∞- 【分析】 由题意可知，不等式2410x x m +-->对任意的x ∈R 恒成立，由?<0可解得实数m 的取值范围. 【详解】 由题意可知，不等式2410x x m +-->对任意的x ∈R 恒成立， 则()16414200m m ?=++=+<，解得5m <-. 因此，实数m 的取值范围是(),5-∞-. 【点睛】 本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题. 20．当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠. 【分析】 设该学校组织去学习的老师有n 人（n ∈+N ），全票价为x 元，坐甲车队的车需花1y 元，坐乙车队的车需花2y 元，根据两个车队的政策,分别求出坐甲车所需费用1y 元和坐乙车所需费用2y 元,再对1y 和2y 作差，并且判断作差的结果的符号,可得出结论. 【详解】 设该学校组织去学习的老师有n 人（n ∈+N ），全票价为x 元，坐甲车队的车需花1y 元，坐乙车队的车需花2y 元， 则()13131444y x x n x xn =+ -=+，24 5 y xn =， 所以12134111144542045n y y x xn xn x xn x ?? -= +-=-=- ??? . 当5n =时，12y y =； 当5n >时，12y y <； 当05n <<时，12y y >. 所以当去的老师人数为5时，两车队收费相同；当去的老师人数多于5时，选甲车队更优惠；当去的老师人数少于5时，选乙车队更优惠. 故得解. 【点睛】 本题主要考查运用不等式知识中的比较大小解决实际生活中的确定方案的问题，属于中档题．关键在于将生活实际中的量转化为数学的符号或相关的式子，运用数学方法解决问题． 21．（1）2 (0,)(6,)3 ?+∞；（2）当DN 的长度为2米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为24平方米. 【分析】 （1）设DN 的长为x (0x >)米，则|AN |＝(x ＋2)米,根据比值相等可得||AM ，再由矩形面积公式得矩形面积，然后解不等式可得结果； （2）利用基本不等式可求得最值. 【详解】 （1）设DN 的长为x (0x >)米，则|AN |＝(x ＋2)米. 因为||||||||DN DC AN AM =，所以3(2) ||x AM x +=， 所以矩形AMPN 的面积为||||AN AM ?2 3(2)x x +=, 由2 3(2)32x x +>，得2320120x x -+>，解得203x <<或6x >， 所以DN 的长的取值范围是2 (0,)(6,)3 ?+∞(单位：米)， （2）矩形花坛的面积为y ＝223(2)31212 x x x x x +++= 12312x x =++ 121224≥==，当且仅当123x x =，即2x =时，等号成立， 所以当DN 的长度为2米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为24平方米. 【点睛】 本题考查了基本不等式的实际应用，属于中档题. 22．（1）1a =，2b =；（2）答案见解析. 【分析】 （1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出a ，b 的值； （2）将a ，b 的值代入，并将不等式因式分解为(2)()0x x c --<，通过对c 与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集. 【详解】 （1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{ 1x x <或}x b >， 所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1． 由根与系数的关系，得3121b a b a ?+=??? ??= ?? ， 解得1 2a b =?? =? ； （2）原不等式化为： 2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<， ①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， ②当2c <时，不等式的解集为{ } 2x c x <<， ③当2c =时，不等式的解集为?． 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
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