解分式方程专项练习200题（有答案）
（1）=1﹣；
（2）+=1．
（3）+=1；
（4）+2=．
（5）+=
（6）+=﹣3．
（7）
（8）．
（9）
（10）﹣=0．
（11）
（12）．（13）+3=
（14）+=．
（15）=；
（16）．
（17）
（18）．
（19）﹣=1
（20）=+1．
（21）；
（22）．（23）=1；
（24）．（25）；
（26）．（27）；（28）．
（29）=；
（30）﹣=1．
（31）；
（32）．（33）；
（34）．（35）=
（36）=．（37）
（38）
（39）
（40）
（41）；
（42）．
（43）
=
（44）．
（45）
（46）=1﹣．（47）；（48）．（49）
（50）．（51）=；
（52）=1﹣．
（53）
（54）．（55）．（56）；（57）．（58）=；
（59）．
（60）﹣1=
（61）+=．（62）
（63）．（64）
（65）．（66）．（67）﹣=．（68）；（69）．（70）
（71）．（72）
（73）．（74）；（75）．（76）
（77）．（78）．（79）
（80）．（81）
（82）．（83）
（84）．（85）
（86）．（87）；（88）．（89）﹣1=；（90）﹣=．
（91）﹣=1；
（92）﹣1=．（93）；
（94）．
（95）﹣=1；
（96）+=1．
（97）
．（98）
．
（99）
．
（100）
+=．
（101）
．（102）
．
（103）
+2=．
（104）
．
（105）
（106）
﹣=．
（107）+=1．
（108）=+3．
（109）
（110）﹣=1
（111）（112）．（113）=1．（114）
（115）=﹣．
（116）．
（117）．
（118）．
（119）．
（120）．
（121）；
（122）．（123）
（124）
（125）．
（126）
（127）+=
（128）
（129）；
（130）．
（131）
（132）
（133）
（134）
（135）
（136）．
（137）+2=
（138）=﹣．（139）．（140）．（141）．（142）．（143）．（144）
（145）．（146）
（147）
（148）﹣=1﹣．（149）
（150）．（151）；（152）．（153）
（154）
（155）．（156）
（157）．
（158）；
（159）；
（160）；（161）．（162）；
（163）．（164）；
（165）．（166）；
（167）．（168）+=+．（169）﹣=﹣．（170）
（171）．（172）；
（173）=0．（174）
（175）．
（176）
（177）．
（178）
（179）．
（180）
（181）．（182）
．（183）=；
（184）．（185）=；
（186）=．（187）；6yue28 （188）；（189）；
（190）．
（191）=；（192）
．（193）
=1；（194）
．（195）
+=
（196）=1；
（197）
（198）﹣=；
（199）﹣=0（m≠n）．
（200）
+=0；
（201）+=﹣2．
参考答案：
（1）去分母得：2x=x﹣2+1，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解；（2）去分母得：x2﹣4x+4+4=x2﹣4，
解得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解3．解方程：
（3）去分母得：x﹣5=2x﹣5，
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
（4）去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解（5）去分母得：x﹣1+2x+2=4，
移项合并得：3x=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，原分式方程无解；（6）去分母得：1﹣x+1=﹣3x+6，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，原分式方程无解（7）由原方程，得
1﹣x﹣6+3x=﹣1，即2x=4，
解得x=2．
经检验x=2是增根．
所以，原方程无解．
（8）由原方程，得
7（x﹣1）+（x+1）=6x，即2x=6，
解得x=3．
经检验x=3是原方程的根．
所以，原方程的解为：x=3
（9）方程两边同乘（x﹣2）（x+2），得x（x+2）+2=（x﹣2）（x+2），
解得x=﹣3，检验：当x=﹣3时，（x﹣2）（x+2）≠0，
所以x=﹣3是原分式方程的解；
（10）方程两边同乘x（x﹣1），得
3x﹣（x+2）=0，
解得x=1，
检验：当x=1时，x（x﹣1）=0，x=1是原分式方程的增根．
所以，原方程无解
（11）去分母额：x+1﹣2（x﹣1）=4，
去括号得：x+1﹣2x+2=4，
移项合并得：﹣x=1，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是增根，分式方程无解；（12）去分母得：3+x（x﹣2）=（x﹣1）（x ﹣2），
整理得：﹣2x+3x=2﹣3，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解
（13）去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
（14）去分母得：2x﹣2+3x+3=6，
移项合并得：5x=5，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解
（15）去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解；
（16）去分母得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，
去括号得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
移项合并得：2x=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解
（17）去分母得：3（x﹣5）=2x，
去括号得：3x﹣15=2x，
移项得：3x﹣2x=15，
解得：x=15，
检验：当x=15时，3（x﹣5）≠0，
则原分式方程的解为x=15；
（18）去分母得：3（5x﹣4）+3（x﹣2）=4x+10，去括号得：15x﹣12+3x﹣6﹣4x=10，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
检验：当x=2时，3（x﹣2）=0，
则原分式方程无解
（19）去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4，即x2+2x﹣1=x2﹣4，
移项合并得：2x=﹣3，
解得：x=﹣，
经检验是分式方程的解；
（20）去分母得：2x=4+x﹣2，
移项合并得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解
（21）去分母得：6x﹣15﹣4x2﹣10x+4x2﹣25=0，
移项合并得：﹣4x=40，
解得：x=﹣10，
经检验x=﹣10是分式方程的解；
（22）去分母得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，
整理得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
移项合并得：2x=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解
（23）去分母得：x（x+2）+6（x﹣2）=x2﹣4，
去括号得：x2+2x+6x﹣12=x2﹣4，
移项合并得：8x=8，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
（24）去分母得：4x﹣4+5x+5=10，
移项合并得：9x=9，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解
（25）方程两边都乘以x﹣2得：x﹣1+2（x﹣2）=1，
解方程得：x=2，
∵经检验x=2是原方程的增根，
∴原方程无解；
（26）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣16=（x+1）2，
解得：x=﹣4，
∵经检验x=﹣4是原方程的解，
∴原方程的解是x=﹣4
（27）解：两边同乘x﹣2，得：3+x=﹣2（x﹣2），
去括号得：3+x=﹣2x+4，
移项合并得：3x=1，
解得：x=，
经检验，x=是原方程的解；
（28）两边同乘（x﹣1）（x+1），得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，
去括号得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
移项合并得：2x=2，
解得：x=1，经检验，x=1是原方程的增根，
则原方程无解
（29）去分母得：2（x+1）=3x，
去括号得：2x+2=3x，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解；
（30）去分母得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，
去括号得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
解得：x=1，
经检验：x=1 是原方程的增根，原方程无解
（31）去分母得：2（x﹣9）+6=x﹣5，
去括号得：2x﹣18+6=x﹣5，
解得：x=7；
（32）去分母得：3x+15+4x﹣20=2，
移项合并得：7x=7，
解得：x=1
（33）去分母得：2x﹣18+6=x﹣5，
移项合并得：x=7；
（34）去分母得：5（x+2）﹣4（x﹣2）=3x，去括号得：5x+10﹣4x+8=3x，
移项合并得：2x=18，
解得：x=9
（35）去分母得：6x=3x+3﹣x，
移项合并得：4x=3，
解得：x=，
经检验x=是原方程的根；
（36）去分母得：6x+x（x+1）=（x+4）（x+1），去括号得：6x+x2+x=x2+5x+4，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是原方程的根
（37）方程两边同乘（x﹣1）（x+1），
得：2（x﹣1）﹣x=0，
整理解得x=2．
经检验x=2是原方程的解．
（38）方程两边同乘（x﹣3）（x+3），
得：3（x+3）=12，
整理解得x=1．
经检验x=1是原方程的解
（39）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），
得：（x+1）2﹣4=（x+1）（x﹣1），
整理解得x=1．
检验x=1是原方程的增根．
故原方程无解．
（40）方程两边同乘x﹣5，
得：3+x+2=3（x﹣5），
解得x=10．
经检验：x=10是原方程的解（41）方程两边同乘（x﹣3），
得：2﹣x﹣1=x﹣3，
整理解得x=2，
经检验x=2是原方程的解；
（42）方程两边同乘2（x﹣1），得：3﹣2=6x ﹣6，
解得x=，
经检验x=是方程的根
（43）原方程变形得2x=x﹣1，
解得x=﹣1，
经检验x=﹣1是原方程的根．
∴原方程的解为x=﹣1．
（44）两边同时乘以（x2﹣4），得，x（x﹣2）﹣（x+2）2=8，
解得x=﹣2．
经检验x=﹣2是原方程的增根．
∴原分式方程无解
（45）方程两边同乘（x﹣2），
得：x﹣1﹣3（x﹣2）=1，
整理解得x=2．
经检验x=2是原方程的增根．
∴原方程无解；
（46）方程两边同乘（3x﹣8），
得：6=3x﹣8+4x﹣7，
解得x=3．
经检验x=3是方程的根
（47）方程两边同乘以（x﹣2），得
1﹣x+2（x﹣2）=1，
解得x=4，
将x=4代入x﹣2=2≠0，所以原方程的解为：x=4；
（48）方程两边同乘以（2x+3）（2x﹣3），得﹣2x﹣3+2x﹣3=4x，
解得x=﹣，
将x=﹣代入（2x+3）（2x﹣3）=0，是增根．所以原方程的解为无解
（49）方程两边同乘以（x﹣1）（x+1）得，2（x﹣1）﹣（x+1）=0，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
所以原方程的解为x=3；
（50）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得，（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）=16，
解得x=﹣2，
经检验x=﹣2是原方程的增根，
所以原方程无解
（51）方程两边同乘x（x+1），得5x+2=3x，
解得：x=﹣1．
检验：将x=﹣1代入x（x+1）=0，所以x=﹣1是原方程的增根，
故原方程无解；
（52）方程两边同乘（2x﹣5），得
x=2x﹣5+5，
解得：x=0．
检验：将x=0代入（2x﹣5）≠0，
故x=0是原方程的解
（53）方程两边同乘以（x﹣3）（x+3），得x﹣3+2（x+3）=12，
解得x=3．
检验：当x=3时，（x﹣3）（x+3）=0．
∴原方程无解；
（54）方程的两边同乘（x﹣2），得
1﹣2x=2（x﹣2），
解得x=．
检验：当x=时，（x﹣2）=﹣≠0．
∴原方程的解为：x=
（55）．
（55）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得1﹣3x+3（x2﹣1）=﹣（x+1），
3x2﹣2x﹣1=0，（4分）
解得：．
经检验，x1=1是原方程的增根，是原方程的解．
∴原方程的解为x2=﹣．
（56）；
（57）．
（56）方程两边同乘2（x﹣2 ），
得：3﹣2x=x﹣2，
解得x=．
检验：当x=时，2（x﹣2）=﹣≠0，
故原方程的解为x=；
（57）方程两边同乘3（x﹣2），
得：3（5x﹣4）=4x+10﹣3（x﹣2），
解得x=2．
检验：当x=2时，3（x﹣2）=0，
所以x=2是原方程的增根;
（58）=；
（59）．
（58）方程两边同乘以（2x+3）（x﹣1），得5（x﹣1）=3（2x+3）
解得：x=﹣14，
检验：当x=﹣14时，（2x+3）（x﹣1）≠0 所以，x=﹣14是原方程的解；
（59）方程两边同乘以2（x﹣1），得2x=3﹣4（x﹣1）
解得：，
检验：当时，2（x﹣1）≠0
∴是原方程的解
（60）方程两边都乘以2（3x﹣1）得：4﹣2（3x﹣1）=3，
解这个方程得：x=，
检验：∵把x=代入2（3x﹣1）≠0，
∴x=是原方程的解；
（61）原方程化为﹣=，
方程两边都乘以（x+3）（x﹣3）得：12﹣2（x+3）=x﹣3
解这个方程得：x=3，
检验：∵把x=3代入（x+3）（x﹣3））=0，∴x=3是原方程的增根，
即原方程无解
（62）方程的两边同乘（x﹣3），得
2﹣x﹣1=x﹣3，
解得x=2．
检验：把x=2代入（x﹣3）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=2．
（63）方程的两边同乘6（x﹣2），得
3（x﹣4）=2（2x+5）﹣3（x﹣2），
解得x=14．
检验：把x=14代入6（x﹣2）=72≠0．
∴原方程的解为：x=14
（64）方程的两边同乘2（3x﹣1），得﹣2﹣3（3x﹣1）=4，
解得x=﹣．
检验：把x=﹣代入2（3x﹣1）=﹣4≠0．∴原方程的解为：x=﹣；
（65）方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）﹣（x+2）2=8，
x2﹣2x﹣x2﹣4x﹣4=8，
解得x=﹣2，
将x=﹣2代入（x+2）（x﹣2）=0，
所以原方程无解
（66）方程两边同乘以（x﹣2）得：1+（1﹣x）=﹣3（x﹣2），
解得：x=2，
检验：把x=2代入（x﹣2）=0，即x=2不是原分式方程的解，
则原分式方程的解为：x=2；（67）解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）﹣2（x﹣1）=1
解得：x=2，
检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）≠0，即x=2是原分式方程的解，
则原分式方程的解为：x=2
（68）方程的两边同乘2（x﹣2），得：1+（x﹣2）=﹣6，
解得：x=﹣5．
检验：把x=﹣5代入2（x﹣2）=﹣14≠0，即x=﹣5是原分式方程的解，
则原方程的解为：x=﹣5．
（69）方程的两边同乘x（x﹣1），得：x﹣1+2x=2，
解得：x=1．
检验：把x=1代入x（x﹣1）=0，即x=1不是原分式方程的解；
则原方程无解
（70）方程的两边同乘（2x+1）（2x﹣1），得：2（2x+1）=4，
解得x=．
检验：把x=代入（2x+1）（2x﹣1）=0，即x=不是原分式方程的解．
则原分式方程无解．
（71）方程的两边同乘（2x+5）（2x﹣5），得：2x（2x+5）﹣2（2x﹣5）=（2x+5）（2x ﹣5），
解得x=﹣．
检验：把x=﹣代入（2x+5）（2x﹣5）≠0．则原方程的解为：x=﹣
（72）原式两边同时乘（x+2）（x﹣2），得2x（x﹣2）﹣3（x+2）=2（x+2）（x﹣2），2x2﹣4x﹣3x﹣6=2x2﹣8，
﹣7x=﹣2，
x=．
经检验x=是原方程的根．
（73）原式两边同时乘（x2﹣x），得
3（x﹣1）+6x=7，
3x﹣3+6x=7，
9x=10，
x=．
经检验x=是原方程的根
（74）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得，3（x+1）﹣（x+3）=0，解得x=0，
检验：当x=0时，（x+1）（x﹣1）=（0+1）（0﹣1）=﹣1≠0，
所以，原分式方程的解是x=0；
（75）方程两边都乘以2（x﹣2）得，
3﹣2x=x﹣2，
解得x=，
检验：当x=时，2（x﹣2）=2（﹣2）≠0，所以，原分式方程的解是x=
（76）最简公分母为x（x﹣1），
去分母得：3x﹣（x+2）=0，
去括号合并得：2x=2，
解得：x=1，
将x=1代入得：x（x﹣1）=0，
则x=1为增根，原分式方程无解；
（77）方程变形为﹣=1，
最简公分母为x﹣3，
去分母得：2﹣x﹣1=x﹣3，
解得：x=2，
将x=2代入得：x﹣3=2﹣3=﹣1≠0，
则分式方程的解为x=2
（78）去分母得：1﹣x=﹣1﹣2（x﹣2），
去括号得：1﹣x=﹣1﹣2x+4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，原分式方程无解（79）去分母得：x2﹣6=x2﹣2x，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解；
（80）去分母得：x﹣6=2x﹣5，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解
（81）去分母得：x=3x﹣6，
移项合并得：2x=6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解；
（82）去分母得：（x﹣2）2﹣x2+4=16，整理得：﹣4x+4+4=16，
移项合并得：﹣4x=8，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，原分式方程无解（83）方程两边同时乘以y（y﹣1）得，2y2+y（y﹣1）=（3y﹣1）（y﹣1），
解得y=．
检验：将y=代入y（y﹣1）得，
（﹣1）=﹣符合要求，
故y=是原方程的根；（84）方程两边同时乘以x2﹣4得，（x﹣2）2﹣（x+2）2=16，解得x=﹣2，
检验：将x=2代入x2﹣4得，4﹣4=0．
故x=2是原方程的增根，原方程无解（85）去分母得：x﹣3+x﹣2=﹣3，
整理得：2x=2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
（86）去分母得：x（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）+2（x+3），
去括号得：x2﹣x=x2﹣x+3x﹣3+2x+6，
移项合并得：﹣5x=3，
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是分式方程的解
（87）原方程可化为：，方程的两边同乘（2x﹣4），得
1+x﹣2=﹣6，
解得x=﹣5．
检验：把x=﹣5代入（2x﹣4）=﹣14≠0．∴原方程的解为：x=﹣5．
（88）原方程可化为：
，
方程的两边同乘（x2﹣1），得
2（x﹣1）+3（x+1）=6，
解得x=1．
检验：把x=1代入（x2﹣1）=0．
∴x=1不是原方程的解，
∴原方程无解．
（89）去分母得：x（x+1）﹣x2+1=2，
去括号得：x2+x﹣x2+1=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解；（90）去分母得：（x﹣2）2﹣16=（x+2）2，去括号得：x2﹣4x+4﹣16=x2+4x+4，
移项合并得：8x=﹣8，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解
（91）去分母得：x（x+1）﹣2（x﹣1）=x2﹣1，
去括号得：x2+x﹣2x+2=x2﹣1，
解得：x=3，
经检验x=是分式方程的解；
（92）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）=3，
去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，原方程无解
（93）去分母得：3﹣2=6x﹣6，解得：x=，
经检验是分式方程的解；
（94）去分母得：15x﹣12=4x+10﹣3x+6，移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解
（95）去分母得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，
去括号得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
移项合并得：2x=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解；（96）去分母得：x﹣5=2x﹣5，
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解
（97）解：方程的两边同乘（x+2）（x﹣2），得
x+2+x﹣2=3，
解得x=．
检验：把x=代入（x+2）（x﹣2）=﹣≠0．∴原方程的解为：x=
（98）去分母两边同时乘以x（x﹣2），得：4+（x﹣2）=3x，
去括号得：4+x﹣2=3x，
移项得：x﹣3x=2﹣4，
合并同类项得：﹣2x=﹣2，
系数化为1得：x=1．
把x=1代入x（x﹣2）=﹣1≠0，
∴原方程的解是：x=1
（99）去分母得：x2﹣9=x2+3x﹣3，
移项合并得：3x=﹣6，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解
（100）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得6x+x（x+1）=（x+4）（x﹣1），
解得x=﹣1．
检验：把x=﹣1代入（x+1）（x﹣1）=0．∴原方程无解
（101）方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得，3﹣x（x+2）+（x+2）（x﹣1）=0，
解得x=1，
检验：当x=1时，（x﹣1）（x+2）=0，
所以，x=1是原方程的增根，
故原方程无解
（102方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）﹣3（x+2）（x﹣2）=8，
整理，得x2+x﹣2=0，
∴x1=﹣2，x2=1．
经检验x1=﹣2是增根，x2=1是原方程的解，∴原方程的解为x2=1 （103）方程两边都乘以x（x+1）
去分母得：1+2x2+2x=2x2+x，
解得x=﹣1，
检验：当x=﹣1时，x（x+1）=﹣1×（﹣1+1）=0，
所以，x=﹣1不是原方程的解，
所以，原分式方程无解
（104）原方程可化为：﹣=1，方程的两边同乘（2x﹣5），得
x﹣6=2x﹣5，
解得x=﹣1．
检验：把x=﹣1代入（2x﹣5）=﹣7≠0．
∴原方程的解为：x=﹣1
（105）方程两边同乘（x﹣1）（x+2），
得：x（x+2）=（x﹣1）（x+2）+3
化简得2x=x﹣2+3，
解得x=1．
经检验x=1时，（x﹣1）（x+2）=0，1不是原方程的解，
∴原分式方程无解
（106）去分母得：x﹣1+2（x+1）=1，
去括号得：x﹣1+2x+2=1，
移项合并得：3x=0，
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解
（107）解：去分母得：x2+5x+2=x2﹣x，
移项合并得：6x=﹣2，
解得：x=﹣，
经检验是分式方程的解
（108）解：去分母得：x﹣1=3﹣x+3x+6，解得：x=﹣10，
经检验x=﹣10是分式方程的解
（109）解：
去分母得：2（x+1）﹣4=5（x﹣1），
2x+2﹣4﹣5x+5=0，
﹣3x=﹣3，
∴x=1，
经检验x=1是增根舍去，
所以原方程无解
（110）解：﹣=1 ﹣=1（4分）
=1，
∴a=2．
经检验a=2是原方程的解，故此方程的根为：a=2
（111）解：原方程可化为：
=1+，
方程的两边同乘（2x﹣1），得
x﹣1=2x﹣1+2，解得x=﹣2．
检验：把x=﹣2代入（2x﹣1）=﹣5≠0．
∴原方程的解为x=﹣2
（112）解：
．
=，
=，（x﹣1）2+9=3（x+2）
x2﹣5x+4=0，
x1=4，x2=1
检验：把x1=4分别代入（x+2）（x﹣1）=18≠0，∴x1=4是原方程的解；
把x2=1分别代入（x+2）（x﹣1）=0，
∴x2=1不是原方程的解，
∴x=4是原方程的解
（113）解：原方程可化为：﹣
=1，
方程的两边同乘（a﹣1）2，得
（a﹣1）（a+1）﹣a2=（a﹣1）2，
﹣1=（a﹣1）2，
因为（a﹣1）2是非负数，
故原方程的无解
（114）解：原方程化为：+=﹣，
去分母，得5（x+3）+5（x﹣3）=﹣4（x+3）（x﹣3），
去括号，整理，得2x2+5x﹣18=0，即（2x+9）（x﹣2）=0，
解得x1=﹣，x2=2，
经检验，当x=﹣或2时，5（x+3）（x﹣3）≠0，
所以，原方程的解为x1=﹣，x2=2（115）解：方程的两边同乘15（m2﹣3+7m），得
15（m﹣9）=﹣7（m2﹣3+7m），
整理，得7m2+64m﹣156=0，
解得m1=2，m2=﹣．
检验：把m1=2代入15（m2﹣3+7m）≠0，则m1=2是原方程的根；
把m2=﹣代入15（m2﹣3+7m）≠0，则
m2=﹣是原方程的根．
故原方程的解为：m1=2，m2=﹣
（116）解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣12=（x+1）（x﹣1），
x2+2x+1﹣12=x2﹣1x2+2x﹣11﹣x2+1=0，
2x﹣10=0
2x=10
x=5，
经检验：x=5是原分式方程的解，所以原方程的解为x=5
（117）解：原方程可化为：﹣
+=0，
方程的两边同乘x2﹣4得：﹣6+2（x+2 ）=0，
解得x=1．
检验：把x=1代入x2﹣4=﹣3≠0，方程成立，∴原方程的解为：x=1
（118）方程两边同乘最简公分母x（x﹣1），得
x+4=3x，
解得x=2，
检验：当x=2时，x（x﹣1）=2×（2﹣1）=2≠0，∴x=2是原方程的根，
故原分式方程的解为x=2
（119）方程两边都乘以（x﹣1）（x+1）得，（x﹣2）（x+1）+3（x﹣1）=（x﹣1）（x+1），x2﹣x﹣2+3x﹣3=x2﹣1，
2x=4，
x=2，
检验：当x=2时，（x﹣1）（x+1）≠0，
所以，原分式方程的解x=2
（120）方程的两边同乘2（x﹣2）（x+2），得
3（x+2）﹣2x（x﹣2）=（x﹣2）（x+2），
3x+6﹣2x2+4x=x2﹣4，
3x2﹣7x﹣10=0，
解得x1=﹣1，x2=．
经检验：x1=﹣1，x2=是原方程的解（121）去分母得：x﹣3+2（x+3）=12，
去括号得：x﹣3+2x+6=12，
移项合并得：3x=9，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解；（122）去分母得：x（x+2）﹣x﹣14=2x（x ﹣2）﹣x2+4，
去括号得：x2+2x﹣x﹣14=2x2﹣4x﹣x2+4，移项合并得：5x=18，
解得：x=3.6，
经检验x=3.6是分式方程的解
（123）解：方程两边同乘3（x﹣3）
得2x+9=3（4x﹣7）+6（x﹣3）
解得x=3
经检验x=3是原方程增根，
∴原方程无解
（124）方程两边同乘6（x﹣2），
得3（5x﹣4）+3（x﹣2）=2（2x+5），
整理得：15x﹣12+3x﹣6=4x+10，
解得：x=2．
检验：将x=2代入6（x﹣2）=6（2﹣2）=0．∴可得x=2是增根，原方程无解．（125）方程化为：
=+1，
方程两边都乘以（x+3）（x﹣1）得：
x+3=4+（x+3）（x﹣1），
整理得：x2+x﹣2=0，
（x+2）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣2，x2=1，
检验：当x=1时，（x+3）（x﹣1）=0，即x=1是增根；
当x=﹣2时（x+3）（x﹣1）≠0，即x=﹣2是方程的根，
即原方程的解是x=﹣2．
（126）方程两边同乘以x（x﹣1）得
3（x﹣1）+2x=x+5，
3x﹣3+2x=x+5，
4x=8，x=2，
经检验知：x=2是原方程的解（127）．+=
x2+2x+5（x+1）=（x+4）（x﹣1）
4x=﹣9
x=﹣
检验：x=﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x=﹣是原分式方程的解
（128）解：原方程变形为
，
，
，
，
∴x2﹣13x+42=x2﹣9x+20，
∴x=，
检验知x=是方程的根
（129）方程的两边同乘x（x+1），得
x2+x（x+1）=（2x+2）（x+1），
解得x=﹣．
检验：把x=﹣代入x（x+1）=﹣≠0．
∴原方程的解为：x=﹣；
（130）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+3（x+1）=﹣5，
解得x=﹣．
检验：把x=﹣代入（x+1）（x﹣1）=≠0．∴原方程的解为：x=﹣
（131）方程的两边同乘2（x﹣3），得
2（x﹣2）=x﹣3+2，
解得x=3．
检验：把x=3代入2（x﹣3）=0．
x=3是原方程的增根，
∴原方程无解．（132）方程的两边同乘（x﹣4），得
5﹣x﹣1=x﹣4，
解得x=4．
检验：把x=4代入（x﹣4）=0．
x=4是原方程的增根，
∴原方程无解．
（133）方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+3（x+1）=6，
解得x=1．
检验：把x=1代入（x+1）（x﹣1）=0．
x=1是原方程的增根，
∴原方程无解．
（134）方程的两边同乘（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）2﹣16=（x+2）2，
解得x=﹣2．
检验：把x=﹣2代入（x+2）（x﹣2）=0．x=﹣2是原方程的增根，
∴原方程无解．
（135）方程的两边同乘x（x﹣1），得
6x+3（x﹣1）=x+5，
解得x=1．
检验：把x=1代入x（x﹣1）=0．
x=1是原方程的增根，
∴原方程无解．
（136）方程的两边同乘x（x﹣1），得
【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分 母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲 分式方程》知识点和典型例习题 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘 记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （ 1） x 4 x 4 4 ； （ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3
【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题 练习： 1．解下列方程： （ 1） x 1 2x 0 ； （2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ； （4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程： （ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法 例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1
中考《分式及分式方程》计算题、答案一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1． 5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：． 7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：． 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：．
（2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°；（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1 27．（2009?南昌）解方程：
29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：． 答案与评分标准 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：方程两边都乘以最简公分母y（y﹣1），得到关于y的一元一方程，然后求出方程的解，再把y的值代入最简公分母进行检验． 解答：解：方程两边都乘以y（y﹣1），得 2y2+y（y﹣1）=（y﹣1）（3y﹣1）， 2y2+y2﹣y=3y2﹣4y+1， 3y=1， 解得y=， 检验：当y=时，y（y﹣1）=×（﹣1）=﹣≠0， ∴y=是原方程的解， ∴原方程的解为y=． 点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣1），得 x（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）+2（x+3）， 整理，得5x+3=0， 解得x=﹣． 检验：把x=﹣代入（x+3）（x﹣1）≠0． ∴原方程的解为：x=﹣．
分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；
【关键字】精品 分式方程的几种特殊解法 白云中学：孙权兵 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程：。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式，则可以通过在方程两边都加上分式，就将原方程化简成，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上，则可得： 去分母，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。 例2：解方程：。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得： 去分母并化简得：，即 解得： 经检验，是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程：。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原
方程化简后再求解。 解：由等比性质可得：。 化简得： 经检验，是原分式方程的解。 四、分组化简法。 例4、解方程：。 分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。 解：原方程可化为： 分别通分并化简，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 五、倒数法。 例5、解方程：。 分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。 解：原方程两边取倒数，得： 移项化简，得： 方程两边取倒数，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 六、列项变形法。 例6、解方程：。 分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。。
2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．（2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程 中正确的是（） A．B．C．D． 解答：解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时， 根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×， 根据题意得出=×，故选：A． 2．（2011?齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（） A．0和3 B．1C．1和﹣2 D．3 考点：分式方程的增根；解一元一次方程． 专题：计算题． 分析：根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．D 二．填空题（共15小题） 3．计算的结果是． 4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3 分析： 分别将去分母，然后将所得两式相加，求出yz+xz+xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz 代入即可求出k的值．也可用两式相加求出xyz的倒数之和，再求解会更简单． 点评：此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出yz+xz+xy=3xyz．5．（2003?武汉）已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b= 109． 解答： 解：10+=102×中，根据规律可得a=10，b=102﹣1=99，∴a+b=109． 6．（1998?河北）计算（x+y）?=x+y．
分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊
分式方程的解法及应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题。 重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量 关系． ● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 学习策略： ● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培 养数学的应用意识。 二、学习与应用 （一）什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程． 使方程两边相等的 的值，叫做方程的解． （二）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为0），所得的结果仍是等式。 （四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5； （2）5 2221+-=--y y y 知识点一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是 ；②含有 ；③分母里含 有 。 （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （不是一般 的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是 方程，如：关于x 的方程 x x =-21和12723+=-x x 都是 方程，而关于x 的方程x x a =-21和d c b x =+1都是 方程。 知识点二：分式方程的解法 （一）解分式方程的基本思想 把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分 母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二）解分式方程的一般方法和步骤 （1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 （2）解这个 方程。 （3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是 原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。 注：分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程， 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#233542
特殊分式方程的几种特殊解法 解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程， 但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加 大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法, 会简化解题过程。 一 ?比例法 x 1 a b 例1.解方程 (b 0) x 1 a b A D 分式：观察方程，形如： 的形式，可根据比例"两外项之积等于两内项之积” B C 而直接求解。 解：原方程化为 (x 1)(a b) (a b)(x 1) 2a a x b 2 3x 3 2x 3x 1 2x 2 解：原方程化为 (2 3x)(2x 2) (3 2x)(3x 整理得13x 7， 7 x 13 经检验x —是原方程的根。 13 二.换元法 y 3 4y 8 例3.解方程 y 2 y 3 分析：本题若移项，形如— D ，如果用比例法则去分母后方程变为 B C 2 3y 24y 7 0，对一元二次方程我们还不能求解。因此，经观察发现 8 4 匚2，其中匚2与丄虫互为倒数关系，可利用换元法简便求解。 y 3 y 3 y 3 y 2 解：设'一3 A ，则原方程变形为 y 2 整理得2bx b 0， 例2.解方程: 1)
4 A 0 A 整理得A 2 4 A 2 y 3 当A 2时， 2，解得y i 7 ; y 2 当A 2时，乂卫 2，解得y y 3 3 1 、 经检验，y 1 7, y 2 都是原方程的解。 3 例4.解方程组 3 2 5 (1) x y x y 1 4 4 ⑵ y x x y 分析：方程(1),( 2)中都含有 --------------- x y 1 i 设 a , b x y x y 则方程组变形为 3b 2a 5 b 4a 4 解这个二元一次方程组， 1 1 求出a 、b 的值，代入 禾口 中，即可解出x , y 的值。 x y x y 三.倒数法 关系，可有下面解法。 解: x - 2，或x 1 4 4 因此可运用换元法, 例5.已知：x - x 分析：已知条件中, 1 ~2 x , 1 —互为倒数2- 2 21，求 x 2 2 1 ......... x , x 2 -，其中 2 2, 1 —互为倒数关系，利用此 2 1 ~~2 x 例6. 解方程: 2x 3x 2 17 分析: 3x 2 方程的左边两项为倒数之和, 2x 1 4 因此可用倒数法简化求解,
分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=
当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。
分式方程的解法及应用（提高） 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题． 学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为 ，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念 分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含 有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一 般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有 未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
分式方程的特殊解法 分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。 一、 分组通分法： 例1、 解方程 3 2411423---=---x x x x 分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。 略解：方程两边分别通分，相减得 ) 3)(4(5)1)(2(5---=---x x x x x x 当05≠-x 时，)3)(4()1)(2(--=--x x x x ，解得2 51= x 当05=-x 时，解得52=x 经检验，2 51= x 52=x 都是原方程的解 二、 分离分式法： 例2、解方程43325421+++++=+++++x x x x x x x x 分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解 略解：原方程可变形为 4 11311511211+-++-=+-++-x x x x 整理得 )4)(3(72)5)(2(72+++=+++x x x x x x 当072=+x 时，解得2 7- =x 当072≠+x 时，方程无解 经检验2 7- =x 是原方程的解 练习：② 6 5327621+++++=+++++x x x x x x x x 解：29-=x 三、 巧添常数 例3、解方程 33224411+-++-=+-++-x x x x x x x x 解析：同样若整体通分，次数增高，运算复杂，求解困难，而方程中每个分式的分子和分母都是相同两数的差与和，可在每个分式中添加常数“1”，会使问题柳暗花明，迅捷可解，可谓别有洞天． )133()122()144()111(++-+++-=++-+++-x x x x x x x x ，即：3 2224212+++=+++x x x x x x x x
分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和 都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D． 举一反三：
分式方程意义及解法 一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 检验根的方法： （1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 （2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．
用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答． 注意： （1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 （2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。
分式方程的概念，解法及应用 目标认知 学习目标： 1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一 次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未 知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系； 5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程； 重点： 分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系． 难点： 检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 知识要点梳理
要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程和 都是分式方程，而关于
的方程和 都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。
分式方程的几种特殊解法 白云中学：孙权兵 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程； （2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程：2017 2018112017201811222++-=++-+x x x x x 。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式 2017 201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：11 2=+x 去分母，得：12+=x 解得：1=x 经检验，1=x 是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。
例2：解方程：7 81222++=++x x x x 。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得：7 7-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 7 1112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （ 解得：23-==x x 或 经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程：1 3242344++=++x x x x 。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。 解：由等比性质可得： 1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。 ∴ 13242++= x x 化简得： 02=x ∴ 0=x 经检验，0=x 是原分式方程的解。
分式方程 1．分式方程2x =3的解是________；分式方程5231x x =-的解是________． 2．已知公式 1221P P V V =，用P 1、P 2、V 2表示V 1=________． 3．已知y=46mx n x -，则x=________． 4．一项工程，甲单独做需m 小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ） A ．2020m m -小时 B ．2020m m +小时 C ．2020m m -小时 D ．2020m m +小时 5．（数学与生产）我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，?恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，?余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x ，下面所列方程错误的是（ ） A ． 2x +3x x +=1 B ．2x =33 x + C ．（1x +13x +）×2+13x +（x-2）=1 D ．1x +3x x +=1 6．（综合题）物理学中，并联电路中总电阻R 和各支路电阻R 1、R 2满足关系 1R =11R +21R ，若R 1=10，R 2=15，求总电阻R ． 7．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程________． 8．某河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，船往返一次所用的时间为（ ） A ．2s a b + B ．2s a b - C ．s a +s b D ．s a b ++s a b - 拓展创新题 9．（数学与生产）用35克盐配制成含盐量为28%的盐水溶液，则需要加水多少克？ 10．（数学与生产）某车间有甲、乙两个小组，?甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此，甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800?个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？
分式方程及应用 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（ ）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数） 类型二、解分式方程 2、 解分式方程（1） 10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-． 举一反三： 【变式】解方程：21233x x x -=---． ． 类型三、分式方程的增根 3、m 为何值时，关于x 的方程 223242 mx x x x +=--+会产生增根？ 举一反三： 【变式】如果方程11322x x x -+=--有增根，那么增根是________． （二）分式方程的特殊解法 一、交叉相乘法 例1．解方程：231+= x x 二、化归法 例2．解方程： 01 2112=---x x 三、左边通分法
例3：解方程： 87178=----x x x 四、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法 例5．解方程： 417425254=-+-x x x x 六、分离常数法 例6．解方程： 87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法 例7．解方程：4 1315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法 例1．若分式方程 x m x x -=--221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程 11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例3．若关于x 分式方程 432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4．若关于x 的方程 1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。 ． 类型四、分式方程的应用 例、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲 班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两 班每小时各种多少棵树? 举一反三：
分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解 一、分式 1、分式的概念 一般地,用A 、B 表示两个整式，A ÷Ｂ就可以表示成B A 的形式,如果B 中含有字母,式子B A 就叫做分式。其中,Ａ叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 (1）分式的基本性质: 分式的分子和分母都乘以(或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算法则 ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? );()(为整数n b a b a n n n = ;c b a c b c a ±=± bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是: (１)去分母,方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 (3）验根：将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根，应该舍去；若不等于零,就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值 【例1】(２0１5·黑龙江绥化）若代数式6 265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=___＿_____. 【点睛】分式6 265x 2-+-x x 的值为零则有ｘ2-5x ＋6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】 1.要使分式x 1x 2 +-有意义,则x 的取值应满足( ) A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=- ２.（2０15·湖南常德)若分式211 x x -+的值为０，则x ＝ 考点典例二、分式的化简 【例2】化简：2x x x 1x 1 ---=（ ） Ａ、0 B 、1 C 、x Ｄ、 1 x x - 【点睛】观察所给式子,能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果. 【举一反三】 1．化简22 a b ab b a --结果正确的是【 】 2.若241()w 1a 42a +?=--，则w ＝（ ）
分式练习题 1、（1）当x 为何值时，分式21 22---x x x 有意义？ （2）当x 为何值时，分式2 1 22---x x x 的值为零？ 2、计算： （1）()212242-?-÷+-a a a a （2）222---x x x （3）x x x x x x 2421212 -+÷?? ? ??-+-+ （4）x y x y x x y x y x x -÷????????? ??--++-3232 （5）4 214121111x x x x ++++++- 3、计算（1）已知211222-=-x x ，求?? ? ??+-÷??? ??+--x x x x x 111112 的值。 （2）当()00 130sin 4--=x 、060tan =y 时，求y x y xy x y x x 3322122++-÷??? ? ??+-22 2y x xy x -++ 的值。 （3）已知0232 2=-+y xy x （x ≠0，y ≠0），求xy y x x y y x 22+--的值。 （4）已知0132 =+-a a ，求1 42 +a a 的值。 4、已知a 、b 、c 为实数，且满足 ()() 02)3(4 32222=---+-+-c b c b a ，求 c b b a -+ -1 1的值。
5、解下列分式方程： （1）x x x x --= -+22 2； （2）41)1(31122=+++++x x x x （3）1131222=??? ??+-??? ? ? +x x x x （4）3124122=---x x x x 6、解方程组：???? ???==-92113111y x y x 7、已知方程 1 1 122-+ =---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。 8、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒 按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售 价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 9、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本， 并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批 发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按 定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两 次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若 赚钱，赚多少？ 10、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色 完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话: