三角形的有关概念与性质
课时目标
1. 了解三角形的有关概念及三角形的分类；
2. 理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质；
3. 掌握三角形的内角和定理以及外角的性质.
知识精要
1. 三角形的主要概念
（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
（2）三角形的边、角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，每两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角.
（3）三角形的表示方法：三角形用符号“?”表示，三角形ABC可记作“?ABC”
或“?BCA”或“?ACB”.
（4）三角形的外角：三角形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.一个三角形的每个顶点上各有两个外角，这两个外角是对顶角.
2. 三角形的分类
（1）按角来分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；
（2）按边来分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形）；
注：等边三角形（正三角形）是特殊的等腰三角形.
3. 三角形中的主要线段
（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个
角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （2）三角形的中线：联结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形
的中线.
（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶
点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
（4）一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高.
注意：①三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而高线可以在内部（锐角三 角形），可以在外部（钝角三角形），也可以在三角形的边上（直角三角形）. ②三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，三条中线交于三角形内部 一点，三条高线所在直线交于一点.
③三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
④三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形.
4. 三角形的基本要素及基本性质
三角形有三个顶点、三个角、三条边共九个要素. （1）三角形边与边的关系：
①三角形中任意两边之和大于第三边； ②三角形中任意两边之差小于第三边； ③直角三角形中，斜边大于直角边. （2）三角形角与角的关系：
①三角形内角关系：三角形的内角和等于?180 ②三角形的外角性质： 三角形的外角和等于?360
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
热身练习
1. 如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是 （ A ） A ． 5米 B ．10米 C ． 15米
D ．20米
2. 在一个三角形中，下列说法中错误的是（ B ） A ．至少有两个锐角 B ． 最多能有两个钝角 C ．至多有一个直角 D ． 最多能有三个锐角
3. 在△ABC 中，?=∠?=∠50,90A C ，则=∠B 40° .
4. 在三角形ABC 中，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则=∠+∠B A 90° .
5. 三角形的三边为1，a -1，9，则a 的取值范围是 －7< a <－9 . 6．一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为 9 厘米
7. 建造房屋时，屋顶的支架通常为三角形，这是利用了三角形的 稳定 性. 8. 已知等腰三角形的一条边长为4，周长为10，那么它的底边长是 2 或 4 . 9. 已知等腰三角形一边长为20 cm ，另一边长为10cm ，则这个三角形的周长为 50cm .
10. 若三角形边分别是3，4，5，8，用其中的三条线段组成三角形，可以有 2 种 不同选择.
11. ∠ACD 是△ABC 的外角，则图中x 的值为 60° .
C'
B'
C
（11题图) （13题图)
12. △ABC 的BC 边上的高把∠A 分成两个角分别为30°，50°，则∠B ，∠C 的度数分别为 60°，40°
13. 在△ABC 中，∠B=∠C=45°，将△ABC 以A 为旋转中心顺时针旋转25°至
AB C ''V ，则B C ''与AB 、BC 的夹角BEB '∠= 70 度，CDC '∠= 25 度. 14. 若一个三角形的一个内角为120°，那么另两个角的外角和为 300° .
15. 在R t △ABC 中，AB=AC ，∠BAD=20°，AD=AE ， ∠CDE= 25 度·
E
D C
B A
F
E D
C
B
A
（15题图) （16题图)
16. ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360° .
17. 已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．
精解名题
例1 如图，∠A=70°，P 为△ABC 角平分线的交点，求∠BPC. 解：∠BPC=125°
E
G
H
E
D
C B
A
G
F E
D
C B
A
例2如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF相交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，求∠A的度数.
解：∵∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=80°
∴∠GBD+∠GCD=80°－40°=40°
∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，
∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°
∴∠ABC+∠ACB=80°+40°=120°
∴∠A=60°
例3 求图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.
解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
（提示：三角形外角的性质）
例4纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，求∠2的度数.
解：∠B＝80°
例5 如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，若∠1+∠2=80O ，求∠B 的度数. 解：∠B ＝40°
巩固练习
1. 已知在△ABC 中，C B A ∠=∠=
∠2
1
21，则=∠B 72° . 2. 已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边为整数，那么第三边长为 2 . 3. 在ABC ?中，AB=3，BC=7，则AC 的取值范围是 4 < AC < 7 . 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1=30°，∠2=50°，则∠3= 20°．
1
F
E B
A
C
D
C
B
A
（4题图） （6题图） （7题图）
5. 已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ B ）
A ．b L a 33>>
B ．a L b a 2)(2>>+
C ．a b L b a +>>+262
D ．b a L b a 23+>>-
6. 如图，在△ABC 中，90C ∠=。，EF//AB ，150∠=。，则B ∠的度数为 （ D ）
A ．50° B. 60° C.30° D. 40°
7. 如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD 等于 （ C ）
A. 100°
B. 120°
C. 130°
D. 150°
8. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的底角为（D ）
A．32.5°B．57.5°C．65°或57.5°D．32.5°或57.5°
9. 已知ABC
△的一个外角为50°，则ABC
△一定是（ B ）A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形
10. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（D ）
A．1cm，2cm，3. 5cm B．4cm，5cm，9cm
C．5cm，8cm，15cm D．6cm，8cm，9cm
11.如图，Rt ABC
△中，90
ACB
∠=°，DE 过点C，
且DE AB
∥，若55
ACD
∠=°，则∠B的度数是（ A ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
12．已知：如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．解：∠C＝30°
13. 如图，已知ACB
CD
BC
DE∠
是
,
//的平分线，?
=
∠
?
=
∠50
70ACB
B，，求EDC
∠和BDC
∠的度数.
解：EDC
∠=25°
BDC
∠=85°
A
D E
C
B
A
C
B D (4)
D C B
A
自我测试
1.在△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则∠A= 45° ，∠B= 45° ，∠C= 90° .
2. 在△ABC 中，已知∠B －∠C=15°，∠A=75°，则∠B= 60 度.
3. 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=36°，则∠C 的外角= 116 度.
4. 如图，已知ACB ABC ∠∠和的平分线BD 、CE 相交于点?=∠50,A O ，则 =∠BOC 115°
. 5. 三组已知长度的线段①8、4和6 ②7、4和3 ③6、4和3 ，其中不能组成三角形的是 ② .
6．在三角形的三个外角中，钝角最多有 3 个.
7. 如果△ABC 的一个外角等于1500，且∠B ＝∠C ，则∠A ＝ 30°或120°. 8. 如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝40°，则∠ABD ＝ 100°．
(8) 9.
已知：如图，BE
与CF 相交于A 点，试确定∠B ＋∠C 与∠E ＋∠F 之间的
大小关系，并说明你的理由． 解： ∠B ＋∠C=∠E ＋∠F
10. (1) 若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．
解：3 (2) 若三边分别为2，x－1，3，求x的范围． 解：∵1 ∴2 11.已知：如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°， 在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB． 解：∠ACB=35° 12.有一个五角星ABCDE，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？ 解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =∠A+∠D+∠B+∠C+∠E =∠BFG+∠B+∠C+∠E =∠CGE+∠C+∠E =180° E D C G F D E C B A 13. 等腰△ABC 中，一腰AC 上的中线BE 把三角形周长分成12CM 和15CM 两部分，求△ABC 各边长. 解：设腰长为x ，底边为y ???????=+=152 11223 y x x 或 ?????? ?=+=122 1152 3 y x x 则：???==118 y x 或 ?? ?==7 10 y x ∴AB=AC=8cm ∴AB=AC=10cm BC=11cm BC=7cm 14. BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE ，∠A=m ，用含m 的代数式表示∠D. 解： m ABD D ABD m +∠=∠+∠+2 1 2 ∴∠D=错误!未找到引用源。
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