江苏高考数学模拟考试考前必做难题30题（解析版）
1. 已知PM 垂直直线42()y kx k k R =+-∈于M 点，若(2,0),(3,3)P N --，则线段MN 长度的最大值为_____.
【答案】4
2．若3,(0)m m m ->恰为函数sin()(0,0,0π)y A x A ω?ω?=+>><<两个相邻零点，则_____.?= 【答案】3π4
【解析】
π,3ππ()m k m k k Z ω?ω?+=-+=-+∈
3π4π4π()
0π1,.4
k k Z k ???∴=-+∈<<∴==
3．已知()|21|x
f x =- ，若方程2
()(23)()(12)0f x k f x k -+++= 有三个不同的实根，则实数k 取值范围为_____. 【答案】(0,)+∞
【解析】由题意得2
()(23)(12)0h t t k t k =-+++=必有两个实根12,,t t 且满足1201t t <<< 或
1201, 1.t t <<= 因此(0)0(1)0h h >??
023012
h h k k
>=??
∴>?+<
（
，）
的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且在
时
取得最大值2，若
，且
，则
的值为 .
【答案】24
25
-
【解析】函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，说明周期为2π，22,1π
πωω
==，在
时取得最
大值2，则sin(
)12,sin()1,23332k ππππ???π++=+=+=+，26k π?π=+， 02π?≤≤，取6π
?=，
则()sin()16f x x π=++，8()sin()165f παα=++= ，sin(α+3
)65
π= ，
54,,cos()3
62665
π
ππππααπα<<
∴<+<∴+=- ，3424
sin(2)sin 2()2sin()cos()2()36665525
ππππαααα+=+=++=??-=- .
5．如图，在
中，已知
为边
的中点.若
，垂足为，则
的
值为____________.
【答案】
6．若函数()2
ln 2f x x ax =+-在区间122?? ???
，
内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是 . 【答案】18??-+∞????
，
【解析】由题意得，()12f x ax x '=
+，
若()f x 在区间122?? ???，内存在单调递增区间，在()0f x '≥在122??
???
，有解，故212a x ??-
???≥的最小值，又()2
12g x x =-在122?? ???，上是单调递增函数，所以()1128g x g ??>=- ???
，所以实数a 的取值范围是1
8
a -
≥． 7.双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且
MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为 .
【答案】6
【解析】由于MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，则2c MN =
，设),4
(y c
N ，又)0,(1c F -，且1||||F Q QN =，则)2
,83(y c Q -,点N 、Q 在双曲线上满足方程，有14649,1162
2222222=-=-b y a c b y a c ，消去y 得：62=e ，则6=e .
8．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象
限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是 ．
【答案】1
(,)3
+∞
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为12,,c PF m PF n ==，()m n >，由于
12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若1||10PF =，即有10,2m n c ==，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线定义可得
22m n a -=，即由125,5,(5)a c a c c =+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c +>，可得52c >，既有552c <<，由离心率公式可得2122122
125251c c c e e a a c c =?==--，由于2
25
14c <<，则由
211
2531c
>-，则12e e 的取值范围是1(,)3+∞． 9．已知函数()[]()()21(02)12x x x f x x ?--
，，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．设*n ∈N ，定义函数
()n f x ：()()1f x f x =，()()()21f x f f x =，···，()()()()12n
n f x f f x n -=≥，则下列说法正确的有 个 ①y 的定义域为223??
????
，；
②设{}012A =，
，，()3{|}B x f x x x A ==∈，，则A B =； ③201620178813
999
f f ????+= ? ?????；
④若集合()[]12{|02}M x f x x x ==∈，，
，则M 中至少含有8个元素． 【答案】3
【解析】①()0x f x -≥，当01x <≤时，[]()()20213x f x x x x ==-?，≤≥，所以2
13
x <≤；当12x <≤时，
[]()11x f x x x ==-，≤成立，所以12x <≤；当2x =时，()12f x =≤成立，所以
2
13
x <≤；因此定义域为223??????
，；②
()()()100221
f f f ===，，∴1B
∈；()()()022110f f f ===，，，∴
()()()0211002B f f f ∈===；，，，∴2B
∈，
因
此
A B =；③因为8221414558
99
9999
99
f f f f ????????==== ? ? ? ?????????，，，，
即
5188499f f T ????
== ? ?????
，，
因
此
2016201720162017418882888810
999999999f f f f f f ????????????==?+=+= ? ? ? ? ? ?????????????，；④由上可知821450129999，，，，，，为M 中
元素，又22
33
f ??= ???，所以M 中至少含有8个元素．综上共有3个正确说法．
10.
已知函数.若函数
在区间内没有零点 ， 则的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】1cos 11
()cos 222
x f x x x x
ωωωω+=
+-=+sin()6x πω=+ ， 2,2,26
6
6
x x x π
π
π
ππωπωωπωπωωπ<<∴<<+
<+
<+
, 函数
在区间内没有零点
(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++?+∈，则26226x k k πωππωπππ?+≥????+≤+?? ，则126
512k k ωω?
≥-????≤+
?? ，取
0k = ，0,ω> 5
012
k ∴<≤
； （2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++?++∈，则26
2226k k πωππππωπππ
?+≥+????+≤+??
，解得：
526
1112
k k ωω?
≥+???
?≤+
?? ，取0k = ，511612k ∴≤≤ ； 综上可知：k 的取值范围是5511
(0,
][,]12612
?． 11．已知函数()()2,11{2,13x x f x f x x -<≤=-<<，函数()f x 在0x x =处的切线为l ，若011
65
x <<，则l 与()
f x 的图象的公共点个数为__________．
【答案】2或
3.
【点睛】本题主要考查直线与分段函数的零点个数问题，分类讨论思想的应用，属于难题，本题考查学生将交点个数转化成方程解的个数问题，当13x <<时，将直线直线l 代入到()f x 中，得到一元二次方程，利用求根公式将根表示出来，再由范围对根满足题意的个数进行讨论即可求解.
12．已知a ， b 均为正数，且20ab a b --=，则
2221
4a b a b
-+-的最小值为__________． 【答案】7
【解析】21201ab a b a b --=?
+= ，
所以212224222a a a b b b a b b a ????
+=++=+
+≥+= ???????
（当且仅当2a b = 时取等号）
而2
22
2842
a b a b ??
+ ???+≥= （当且仅当2a b = 时取等号）
，因此22218174a b a b +--≥-= （当且仅当2a b = 时取等号）
，即2221
4a b a b
-+-的最小值为7. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 13．已知函数(
)f x =
若关于x 的方程()()2
10f
x mf x m -+-=恰好有3个不相等的实根,则m
的取值范围是__________．
【答案】(){},12-∞?
【解析】当0x >时， (
)1
2
12x x f x e -==， ()
1'x f x e -==，当1
02x <<时， ()'0f x >，
()f x 递增，当1
2
x >时， ()'0f x <， ()f x 递减，当0x <时， (
)()1
2
11
2x x x f x e e ---==， (
)'0f x =
<，即()f x 递减，注意x →+∞时， ()0f x →且()0f x >，可作出函数()f x 的图象（简图）如图， ()00f =，
12f ??
=
???
由()()2
10f
x mf x m -+-=得()1f x =或()1f x m =-，从图象知()1f x =有三个不同的根，因此
11m -=或()1f x m =-无实根，即10m -<，所以1m <或2m =．
点睛：本题中方程()()2
10f
x mf x m -+-=中把()f x 作为一个整体，可直接解出()1f x =或
()1f x m =-，从而分别研究这两个方程即可，而这两个方程的解的个数可以看作函数()y f x =的图象
与直线1x =或1x m =-的交点个数，因此首先研究函数()f x 的性质：特别是单调性、极值，得出函数图象的变化趋势，作出简图，从图中可看出()1f x =已知有三个解，因此()1f x m =-无实数根或者就是方程()1f x =，利用导数研究函数的性质是解题的关键．
14．已知方程()2
ln 2||2x m x -=-，有且仅有四个解1234,,,x x x x ，则()1234m x x x x +++=__________． 【答案】
4
e
点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 15．已知ABC ?的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c b
b a
+的取值范围为__________． 【答案】()2,4 【解析】
2sin 2sin sin32sin sin cos2cos sin21
sin sin sin sin2sin cos c b C B B B B B B B b a B A B B B B
++=+=+=+
2211
cos22cos 4cos 1cos cos B B B B B
=++=+-.又()20,B π∈，且()30,A B B π+=∈，所以
0,3B π??
∈ ???
.
设1cos ,12B t ??=∈ ???，令()2
2141c b t f t b a t +=+-=，则()32218180t f t t t t -=-=>'，故()f t 在1,12?? ?
??
上单调递增，所以()24f t <<.
16．已知2
2
142(0,0)x y xy x y =+-<<，则2x y +的取值范围为__________．
【答案】[
)2,1--
【解析】由题意得()2
231x y y -+= ，令()()cos ,π,03
x y y ααα-==
∈- ，则
π
2cos 2sin 6x y ααα??+==+ ??? ，且cos 0x αα=< ，所以ππ,3α?
?∈-- ??
?， π5πππ1
,,1sin 66662αα??
?
?+∈---≤+<- ? ????
?，即[)22,1x y +∈--.
17．对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（*
,N m k ∈且m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t .
（Ⅰ）若数列{}n a 满足2,2,
{
25,3,
n n n a n n ≤=-≥判断数列{}n a 是否具有性质()2P ？是否具有性质()4P ？
（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质()0P ”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质()2P ，又具有性质()5P ，求证：存在整数N ，使得12,,,
,,
N N N N k a a a a +++是等差数列.
【答案】（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质()2P ；具有性质()4P ;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据新定义直接验证即可的结论（2）对于“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质()0P ”的必要不充分条件，先证不充分性对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,， {}1,0,1T =-是有限集，
但是由于21320,1a a a a -=-=，
所以不具有性质()0P ；再证必要性因为数列{}n a 具有性质()0P ，所以一定存在一组最小的*
,N m k ∈且
m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =，所以数列{}n a 中必然会以某个周期进行，所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项，从而得证（3）因为数列{}n a 具有性质()2P ，数列{}n a 具有性质()5P ，所以存在*','N M N ∈，使得''2M p M a a +-=， ''5N q N a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，
然后根据其性质列出相关等式可得结论，然后逐一分析取值讨论 试题解析：
（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质()2P ；具有性质()4P .
（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,
， {}1,0,1T =-是有限集，但是由于
21320,1a a a a -=-=，
所以不具有性质()0P ；
（必要性）因为数列{}n a 具有性质()0P ，
所以一定存在一组最小的*
,N m k ∈且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a = 由性质()0P 的含义可得11222112,,
,,,
m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====
所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律： 11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项，
所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项， 所以T 最多有2
1m C -个元素，即T 是有限集.
记{}max ','M M N =，则对于M a ，有2M p M a a +-=， 5M q M a a +-=，显然p q ≠， 由性质()()2,5P P 的含义可得N k ?∈， 2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=， 所以()()()()()
()1122M qp M M qp M p M M q p M q p M q p a a a a a a a a q ++++-+-+--=-+-+
+-=
()()()()()
()1125M qp M M pq M q M M p q M p q M p q a a a a a a a a p ++++-+-+--=-+-+
+-=
所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，
又,p q 是满足2M p M a a +-=， 5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，
252,5M M M M a a a a ++-=-=，
所以N k ?∈， 252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=， 所以N k ?∈， ()22122M k M M k a a a k ++-=+==+， ()55155M k M M k a a a k ++-=+=
=+，
取5N M =+，则N k ?∈，
所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+；
若k 是奇数，则()()()555555N k N N N N k a a a k a k a k ++++-==+-=++-=+， 所以N k ?∈， N k N a a k +=+ 所以12,,,
,,
N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.
18．已知数列{}n a 满足11a =， 214
2
n n n n a a a a λμ+++=
+，其中*N n ∈， λ， μ为非零常数.
（1）若3λ=， 8μ=，求证： {}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数λ， μ的值；
②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）1
231n n a -=?-（2）①1λ=， 4μ=， 21n a n =-.②{}14844,,,S S S S ， {}1122436,,,S S S S ，
{}142040,,,S S S S
【解析】试题分析：（1）利用等比数列定义证明，即寻找11n a ++与1n a +比例关系：利用2
1384
2
n n n n a a a a +++=+
代入化简可得()1131n n a a ++=+.最后说明各项非零.（2）①令1n =，2，3，根据等差数列性质得
2133242,2a a a a a a =+=+ ，列出关于λ， μ的二元一次方程组，解得λ， μ的值；再验证满足题意.
②先求数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，再讨论四项奇偶性：三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.
将奇偶性代入化简讨论，直至确定.
试题解析：解：（1）当3λ=， 8μ=时， 2
1384
2n n n n a a a a +++=+ ()()3222
n n n a a a ++=+ 32n
a =+，
()1131n n a a +∴+=+.
又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，
{}1n a ∴+为2为首项，3为公比的等比数列，
1123n n a -∴+=?， 1231n n a -∴=?-.
令1n =，2，3，解得， 1λ=， 4μ=， 2d =. 经检验，满足题意.
综上， 1λ=， 4μ=， 21n a n =-. ②由①知()
21212
n n n S n +-=
=.
设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.
1°若三个奇数一个偶数，设1S ， 21x S +， 21y S +， 2z S 是满足条件的四项， 则()2
121x +++ ()2
22142017y z ++=，
()
2222x x y y z ∴++++ 1007=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.
2°若一个奇数三个偶数，设1S ， 2x S ， 2y S ， 2z S 是满足条件的四项， 则2214x ++ 2
2
442017y z +=， 2
2
2
504x y z ∴++=.
由504为偶数知， x ， y ， z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.
1）若x ， y ， z 中一个偶数两个奇数，不妨设12x x =， 121y y =+， 121z z =+，
则()
2
22111112x y y z z ++++ 251=，这与251为奇数矛盾.
2）若x ， y ， z 均为偶数，不妨设12x x =， 12y y =， 12z z =，
则222
111126x y z ++=，继续奇偶分析知1x ， 1y ， 1z 中两奇数一个偶数， 不妨设122x x =， 1221y y =+， 1221z z =+，则22222x y y +++ 2
2231z z +=.
因为()221y y +， ()221z z +均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z ≤≤，
当21x =时， 222222y y z z +++ 30=， 2
2214y y +≤，检验得20y =， 25z =， 21x =， 当23x =时， 222222y y z z +++ 22=， 2
2210y y +≤，检验得21y =， 24z =， 23x =， 当25x =时， 222222y y z z +++ 6=， 2
222y y +≤，检验得20y =， 22z =， 25x =，
即1S ， 4S ， 8S ， 44S 或者1S ， 12S ， 24S ， 36S 或者1S ， 4S ， 20S ， 40S 满足条件， 综上所述， {}14844,,,S S S S ， {}1122436,,,S S S S ， {}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列.
19．已知函数，．
（Ⅰ）若直线
与曲线
和
分别交于
两点.设曲线
在点处的切线为，
在点处的切线为.
（ⅰ）当时，若
，求的值；
（ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．
若
，且
恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）（ⅰ）(ⅱ) （2）
【解析】 (Ⅰ) 函数
的定义域为
.
，
.
（ⅰ）当时，，
.
因为
，所以
. 即
.
解得
.