学科教师辅导讲义
【知识梳理】
(1)两个向量平行的充要条件
a ∥
b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝O.（λ不等于0） (2)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.
课堂练习与讲解：
(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ，当x ＝ __时a r 与b r 共线且方向相同；
(2)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = ；
(3)已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b P ，则x 为___ _________．
(4)已知向量5,(1,2)a b ==r r
，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标是_ _ 或___ ____。
(5)若()
221,2,a b a b a ==-⊥r r r r r
，则b a ρρ与的夹角为____ _____。
(6)已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r
，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ）
A 、(5,10)--
B 、(4,8)--
C 、(3,6)--
D 、(2,4)-- (7)已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ ）
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
(8)已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r
∥b r ，则k = ． (9)已知平面向量a =,1x （） ，b =2
,x x （－）， 则向量+a b （ ）
A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y 轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
(10)已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
（11）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r ，则x ＝__ ____；
（12）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是 _____ __；
（13）已知(1,2)n =r 向量n m ⊥r u r ，且n m
=r u r ，则m u r 的坐标是 _ ___
(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r
，且A 、B 、C 三点共线，则 k=
(15)已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r
，则顶点D 的坐标为（ ）
A ．722?
? ???
，
B ．122??- ???
，
C ．(32)，
D ．(13)，
(16)已知向量(2,4)a =， (1,1)b =．若向量 ()b a b λ⊥+，则实数λ的值是 ．
(17)已知a,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是 ．
(18)（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93
-- (19)已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向
(20)已知点(1,2)A -,若向量AB u u u r 与(2,3)a =r
同向, ||AB u u u r =213,则点B 的坐标为
(21)已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==r r 且//a b r r
,则tan α=（ ）.
A ．
34 B. 34- C. 43 D. 43
- (22)若
，且
，则向量
与
的夹角为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150° (23)若平面向量a ，b 满足
1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a .
(24)设向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()a b c -⊥r r r ，a b ⊥r r
，若｜a r ｜=1,则 ｜a r ｜22||b +r +｜c r ｜2
的值是 .
(25)（本题12分）已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； ⑵若|b |=,2
5
且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ.
12.已知AD 、BE 分别为ABC V 的中线，若,AD a BE b ==u u u r u u u r r r ，则用,a b r
r 表示AB u u u r ,得AB =u u u r ________
13.已知向量()()1,2,3,OA OB m =-=u u u r u u u r
，若OA u u u r ⊥OB uuu r ，则m =___________
14.设()(),3,4,4x a y a ==+r r ，若x r ∥y r
，则a =_________
15.已知点()()2,0,3,0A B -，且4,3PA PB ==u u u r u u u r
,则P 点的坐标为____________
16.一人用绳拉车沿直线方向前进30米，若绳与行进方向的夹角为5
π
，人的拉力为50牛顿，则人对车所做的功为___________
17.物体自点A 出发运动点B ，又折向点C ，若,AB a BC b ==u u u r u u u r r r , 用,a b r
r 表示物体的实际移位，有
AC =u u u r
_____________
18.有以下6个结论：①a b a b =r r
r r g
g ②00a =r r g ③00a -=r r ④0BA AB -=u u u r u u u r r ⑤a b a b ≤r r r r g
g ⑥若,a b b c ⊥⊥r r r r ，则必有a r ∥c r
，其中成立的序号是_____________ 三、解答题
19.已知()4,3,,10a b a b =-⊥=r r r
r ，求b r 的坐标。
20.设4,10a b ==r r ，夹角为3π，求2a b -r
r 的值。
21如图所示，已知a r ，b r
，作2a b +r r 。
22.写出a r
，b r
两个向量的数量积的定义；已知()11,,a x y =r
()22,b x y =r
，求证：
1212a b x x y y =+r r g 。
高二数学向量知识点总结 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学向量知识点总结》的内容，具体内容：数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相... 数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相关资料，供您阅读。 (一) 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐
标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________.
答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ）
高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1
学业分层测评(七) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2016·广州高二检测)若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【解析】 由a·b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a·b ＝±|a ||b |.故a·b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件． 【答案】 A 2．如图2-2-7所示，已知三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC → ，则x ，y ，z 的值分别为( ) 图2-2-7 A ．x ＝13，y ＝13，z ＝1 3 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝1 6 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝1 3 D ．x ＝16，y ＝13，z ＝1 3
【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON → ＝? ????12－13OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 【答案】 D 3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( ) A.12 B ．14 C ．1 D ．2 【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝0. 又e 1⊥e 2，∴e 1·e 2＝0. ∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2， ∴4λ－8＝0，∴λ＝2. 【答案】 D 4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) 【导学号：32550026】 A. 2 B ． 3 C. 5 D ．7 【解析】 依题意得|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a·b ＝5＋4×? ????－12＝3，则|a ＋2b | ＝ 3. 【答案】 B
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC u u u u r 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r Ｂ．111AB DD D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｃ．111AD CC D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｄ．11111()2 AB CD AC ++u u u u r u u u u r u u u u r 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=u u u r u u u r u u u r ，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r ， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ
【步步高学案导学设计】高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1 课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行． 1．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l ∥m?___________?__________?______________． (2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?____________?________________________． (3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?____________?______________?________________． 2．空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m?____________?__________?________________________________． (2)线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?________?__________?__________________． (3)面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?__________?____________?________________________． 一、选择题 1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥α C．lα D．l与α斜交 2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( ) A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17) C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
高二数学向量知识点总结 高二数学向量知识点总结(一) 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是能够自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则实行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会实行平面向量积的运算，能使用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来协助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。因为向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析
几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难 度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的 要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向 量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函 数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入 向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就能够将“形” 和“数”紧密地结合在一起.所以，很多平面几何问题中较难解决的问题，都能够转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形 放到适当的坐标系中，赋予几何图形相关点与平面向量具体的坐标， 这样将相关平面几何问题转化为相对应的代数运算和向量运算，从而 使问题得到解决. 【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。 高二数学向量知识点总结(二) 平面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 13OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D -- M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,
高二数学平面向量知识点 平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、 没有方向的数量(标量)。平面向量用小写加粗的字母a，b，c表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 平面向量 1.基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2.加法与减法的代数运算： (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律：+=+(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 3.实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。 (1)||=||·||; (2)当a>0时，与a的方向相同;当a<0时，与a的方向相反;当 a=0时，a=0. 两个向量共线的充要条件： (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 得b=. (2)若=(),b=()则‖b. 平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+e2. 4.P分有向线段所成的比： 设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。 当点P在线段上时，>0;当点P在线段或的延长线上时，<0; 分点坐标公式：若=;的坐标分别为(),(),();则(≠-1)，中点坐 标公式：. 5.向量的数量积： (1).向量的夹角： 已知两个非零向量与b，作=,=b,则∠AOB=()叫做向量与b的夹角。 (2).两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则·b=||·|b|cos. 其中|b|cos称为向量b在方向上的投影. (3).向量的数量积的性质： 若=(),b=()则e·=·e=||cos(e为单位向量); ⊥b·b=0(，b为非零向量);||=;cos==. (4).向量的数量积的运算 律：·b=b·;()·b=(·b)=·(b);(+b)·c=·c+b·c. 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确 运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它
高二数学空间向量及其运算 课题：http:///空间向量及其运算(一) 教学目的： 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律 教学难点：用向量解决立几问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题 本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在
研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相 平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法 则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念 当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间 向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向 量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定 理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我 们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题 在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础 定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化 的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3 个不共面的基向量所确定空间-个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个 向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的 是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内 积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教 师的指导下，由学生自己证明 教学过程： 一、复习引入： 1向量的概念
高二数学（选修2-1 ）空间向量试题 宝鸡铁一中司婷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的 代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 60 分）． 1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（）A． 60°B． 90°C． 105°D．75° 2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A 1 B 1 ，则 BE1 4 与 DF1所成角的余弦值是（） A．15 B． 1 172 图 8 D．3 C． 2 17 3．如图， 1 1 1—是直三棱柱，∠=90°，点1、 1 分别是 1 1、 A B C ABC BCA D F A B A1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（） A．C． 301 10 B． 2 30图 15 15 D． 10 4．正四棱锥S ABCD 的高 SO 2 ，底边长AB 2 ，则异面直线BD 和 SC 之间的距离（） ．15．5C． 2 5 A5B55 5．已知ABC A1 B1 C1是各条棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧棱 CC1的中点．点 C1到平面 AB1 D 的距离（） A． 2 a B． 2 a 48A 1D． 5 C1 10B1 D A C B图
C．3 2 a D． 2 a 42 6．在棱长为 1 的正方体ABCD A1 B1C1D1中，则平面 AB1C 与平面 A1 C1 D 间的距离（） A．3B．3C．2 3 D．3 6332 7．在三棱锥－中，⊥，＝＝1，点、 D 分别是、的中点，⊥底 P ABC AB BC AB BC2PA O AC PC OP 面 ABC，则直线 OD与平面 PBC所成角的正弦值（） A．21B．8 3 C210 D ．210 636030 8．在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90，侧棱 AA1 2 ，D，E 分别是CC1与A1B的中点，点 E 在平面AB D 上的射影是ABD 的重心G．则A1B 与平面 AB D所成角的余弦值（） A． 2 B． 7 C． 3 D． 3 3327 9．正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为3，侧棱AA13 3 ，D是C B延长线上一点，2 且 BD BC ，则二面角B1AD B 的大小（） A． 3B． 6 C． 5 D． 2 63 10．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为 2 2 ，侧棱长为4， E，F 分别为棱AB，CD的中点，EF BD G ．则三棱锥B1EFD1的体积V（） A．6B．16 3C．16 D．16 633 11．有以下命题： ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a, b 的关系是不共线； ② O , A, B,C 为空间四点，且向量OA, OB, OC不构成空间的一个基底，则点 O, A, B,C 一定共面； ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向量 a b, a b, c 也是空间的一个基底。其中
高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并
能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示。在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．典例解析 题型1：空间向量的概念及性质 例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 题型2：空间向量的基本运算 例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若 AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的 向量是（ ） C1
()A 1122a b c - ++ ()B 11 22a b c ++ ()C 1122 a b c --+ ()D c b a +-21 21 例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,求y x ,的值. 例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.（三）强化巩固导练 1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值. 2、 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中 与B 1相等的向量是 ( )。A ．-2 1a ＋2 1b ＋c B ．2 1a ＋2 1b ＋c C ．2 1a -2 1b ＋c D ．-2 1a -2 1b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。 第二课时 空间向量的坐标运算 （一）、基础知识过关 （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标 例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3 C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 D.存在非零实数k ，使=k （2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）
高二数学测试题—空间向量（5） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、 B 、 C 一定共面的是 （ ） A ．OM ++= B ．OM --=2 C ．31 21++ = D ．3 1 3131++= 2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则 （ ） A ．-+ B ．+- C ．++- D ．-+- 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．n m // B ． n m ⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．设向量},,{是空间一个基底，则一定可以与向量-=+=,构成空间的另 一个基底的向量是 （ ） A ． B ． C ． D ．或 5．对空间任意两个向量//),(,≠的重要条件是 （ ） A ．= B ．-= C ．λ= D ．λ= 6．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=? 则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 8．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(-=+= （ ）
A ．21 , 51 B ．5，2 C ．2 1,51-- D ．-5，-2 9．已知的数量积等于与则 b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= （ ） A ．-15 B ．-5 C ．-3 D ．-1 10．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么 直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） A ．5 2 - B ． 5 2 C ． 5 3 D ． 10 10 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 . 13．已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||= -==的夹角为 . 14．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 . 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．如图，M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相 等，求)()2(;)1(MG NH EF GH EF +?的夹角与（12分）
§3.1. 3 空间向量基本定理 编写：陶美霞 审核：赵太田 一、知识要点 1.空间向量基本定理：如果三个向量123,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(,,)x y z ，使123p xe ye ze =++ 其中{} 123,,e e e 称为空间的一个基底，123,,e e e 叫做基向量。 2.正交基底：上面的123,,e e e 两两互相垂直时，{} 123,,e e e 这个基底就叫正交基底。 3.单位正交基底：若正交基底{} 123,,e e e 的三个基向量都是单位向量时，{} 123,,e e e 这个正交基底就叫单位正交基底。 4.通常用{} ,,i j k 表示单位正交基底 5.空间向量基本定理的推论：设O A B C 、、、是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(,,)x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 二、典型例题 例1.如图：在正方体__OADB CA D B '''中，点E 是AB 与OD 的交点，M 是OD '与CE 的交点，试分别用向量,,OA OB OC 表示向量OD '和OM 。 例2.在空间四边形OABC 中，已知E 是线段BC 的中点，G 在AE 上，且2AG GE =，试用向量,,OA OB OC 表示向量OG 。 三、巩固练习 1.已知空间四边形OABC 中，点,M N 分别是,OA BC 的中点，且,,OA OB OC ===a b c ，试用向量,,a b c 表示向量MN 。 2.如图，在平行六面体__ABCD A B C D ''''中，已知,,DA DC DD '===a b c ，点G 是侧面 B BC C ''的中心，试用向量,,a b c 表示下列向量：,,,DB BA CA DG '''。 3.已知P 是ABC ?所在平面外一点，M 是PC 中点，且BM xAB yAC z AP =++，求,,x y z 的值。 4.已知,,A B C 三点不共线，对于平面ABC 外的任意一点O ，分别根据下列条件，判断点M 是否与,,A B C 共面。⑴1112 3 6 OM OA OB OC =++；⑵3OM OA OB OC =--。 四、小结： 1.空间向量基本定理，任意123,,e e e 不共面； 2.进一步理解共面向量定理。 高二数学选修2-1 教学案28