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2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
(1) 若集合 A={x| -2 ( D) {x|1 (2) 若复数(1- i) (a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 (A ) (-R, 1) ( B ) (-3- 1) (C ) (1, +3) ( D ) (- 1, +3) 输出的 s 值为 8 5 (D) 5 3 (4)若 x, y 满足 x< 3, 'x + y 》2,贝U x + 2y 的最大值为 y w x , (3)执行如图所示的程序框图, I 1 3 (A) 2 (B ) 2 ( C ) (6) 设m,n 为非零向量，则“存在负数 ，，使得m — n ”是“ m ? nvO ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 (A) 3-、2 (B) 2 3 (C) 2.2 (D) 2 (8) 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的 原子总数N 约为1O 80.则下列各数中与M 最接近的是 N (参考数据：Ig3沁0.4) (A) 1033 (B) 1053 (C) 1073 (D) 1093 第二部分(非选择题 共110分) :■、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 2 (9)若双曲线x 2-止=1的离心率为73，则实数 m= _____________________________ m (10)若等差数列 和等比数列 紅｝满足a 1=b 1 = -1, a 4=b 4=8,则鱼二 _________________ b 2 (11)在极坐标系中，点 A 在圆 少-2Tcosr-4鼻in^ *4=0上，点P 的坐标为(1,0), (5 )已知函数f(x) =3x 1 X -1 ，则 f (x) 3 (A)是奇函数， 且在 R 上是增函数 (B)是偶函数， 且在 R 上是增函数 (C)是奇函数， 且在 R 上是减函数 (D)是偶函数， 且在 R 上是减函数 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9 则|AP|的最小值为 ______________ . (12)在平面直角坐标系 xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称。若sin ：=—，贝U cos(： - -) = __________ 3 (13)能够说明"设 a, b, c是任意实数若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数 a, b，c的值依次为_______________________________________________ . (14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工 人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。 ①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i，Q2, Q3中最大的是 __________________ 。 ②记P i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i，P2，P3中最大的是 三、解答题共6小题，共80分?解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)(本小题13分) 3 在厶 ABC中，N A =60° c=— a. 7 (I)求sinC的值； (H)若a=7,求厶ABC的面积. (16)(本小题14分) 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面 PAD丄平面ABCD,点M在线段PB 上，PD//平面 MAC,PA=PD=,AB=4. (II)求二面角B-PD-A的大小； (III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。 (17)(本小题13分) 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“ * 表示服药者，“ +”表示为服药者. 6 0 B ! A * ? 欷*: ?::; !* + \, ++* ?/.? ? <> . * * +十2 * 卜? ?姬■ ? ―一一4 ___ __ _______ ___________________ ?* * ?? *?: ? ■ 1 O 1.7 (I)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率; 数，求°的分布列和数学期望 E ^ ); (n)从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记「为选出的两人中指标x的值大于1.7的人(川)试判断这100名患者中服药者指标 y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论) (18)(本小题14分) 21 已知抛物线C: y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线I与抛物线C交于不同的两点 M,N, 2 过点M作x轴的垂线分别与直线 OP、ON交于点A,B,其中0为原点. (I)求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (n)求证：A为线段BM的中点. (19)(本小题13分) 已知函数 f(x)=e cosx-x. (I)求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； ■JT (n)求函数f(x)在区间［0, —］上的最大值和最小值. (20)(本小题13分) 设｛a n｝和｛b n｝是两个等差数列，记 C n=max｛b i -a i n血力2n, -n n｝(n=1,2,3, ?厂) 其中max｛x i,x2, --x s｝表示x i,x2, ^x s这s个数中最大的数. (I)若a n= n, b n=2 n-1,求C i ,C2,C3的值，并证明｛c n｝是等差数列； (H)证明：或者对任意正数M，存在正整数 m,当n沏时，§. M ；或者存在正整数 n m,使得C m,C m+i,C m+2, ?是等差数列. 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）答案 、 （I ） A （2）B （5） A （6） A _ 、 （9） 2 （II ） 1 （13） _1, 一2,；（答案不唯一） 三、 （15）（共 13 分） 3 解：（I ）在厶 ABC 中，因为.A =60 , c =3a , 7 所以由正弦定理得sinC 二浊△ _!二工. a 7 2 14 （n ）因为 a =7，所以 c 7=3. 7 由余弦定理 a 2 ^b 2 c 2 -2bccosA 得 72 3^2b 3 -, 2 解得b =8或b = -5 (舍) （II ）取AD 的中点O ,连接OP , OE . (3) C (4) D ⑺ B (8) D (10) 1 (12) -1 9 (14) Q 1 P 2 所以△ ABC 的面积S =^bcsin A 2 (16) (共 14 分) 解：（I ）设AC, BD 交点为E ，连接ME ? 因为PD //平面MAC ，平面MAC 「|平面PBD =ME ，所以PD // ME . 因为ABCD 是正方形，所以 E 为BD 的中点，所以 M 为PB 的中点? 因为PA二PD，所以OP — AD . 又因为平面PAD _平面ABCD ，且0P 平面PAD ，所以0P _平面ABCD . 因为0E 平面ABCD ，所以OP _ 0E . 因为ABCD 是正方形，所以 OE_AD . 如图建立空间直角坐标系 O_xyz ，则P(0,0,、、2) , D(2,0,0) , B(_2,4,0), BD =(4, -4,0)，PD =(2,0, =2). 『T n BD = 0 4x 「4y 二 0 设平面BDP 的法向量为n = (x,y,z)，贝U ，即 _ . n PD=0 [2x —V 2z = 0 令 x=1，则 y =1 , z 「2.于是 n 二(1,1八2). TT 由题知—面角B -'PD -'A 为锐角，所以它的大小为 . 3 42 I (III )由题意知 M(-1,2, ) , D(2,4,0) , MC =(3,2, 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为 (17) (共 13 分) 解：(I)由图知，在服药的 50名患者中，指标 y 的值小于60的有15人， 15 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于60的概率为 0.3. 50 (n)由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以?的所有可能取值为 0,1,2. 平面PAD 的法向量为 p 二(0,1,0)，所以 cosv n , p > = n p I n || p | 设直线MC 与平面BDP 所成角为〉， 则 sin -■ =| cos | n || MC | 9 P( ?CM ，P( JrCCM ，P( SC C 4 6 C 4 3 C 4 所以'的分布列为 故'的期望E( ) =0 1 2 1. 6 3 6 (川)在这100名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差 (18) (共 14 分) 2 1 解：(I)由抛物线 C: y =2px 过点P (1, 1),得p=—. 2 所以抛物线C 的方程为y 2二x. 1 l 的方程为y=kx+— ( k 式0 ),1与抛物线C 的交点为M(X 1,yJ , 2 N(X 2,y 2). y = kx 2 2 由 2，得 4k 2x 2 (4k —4)x 1 二0. .y 2 =x xiX 2 2 4k 因为点P 的坐标为(1, 1),所以直线OP 的方程为y=x ，点A 的坐标为(x 1, y 1). 直线ON 的方程为，点B 的坐标为(刘,'2必). X 2 X 2 因为 .y 2 y 1 _ ym +y 2y 1 —2x 1X 2 y 1 2x 1 : X 2 X 2 2 2 X 2 抛物线C 的焦点坐标为 1 , 0),准线方程为 x=—1 4 4 (n)由题意，设直线 1 1 (kx1)x2 (kx2)x^2x1x2 (2k -2)x 1x2扣2 为) X2 所以％?纱=2X i. X2 故A为线段BM的中点. (19)(共 13 分) 解：(I)因为f (x)二e x cosx-x，所以f (x)二e X(cosx-si n x)-1, f (0) = 0 ? 又因为f(o)=1，所以曲线目二f (x)在点(0, f (0))处的切线方程为y =「 ( n ) 设h( = x x) e x ,-则 h (x) = e x(cos x -sin x - sin x - cosx) - -2e x sin x. 当x (0,扌)时，h (x) ：： 0 , 所以h(x)在区间［0,」］上单调递减. 2 n 所以对任意X (0,?］有h(x) :: h(0) =0，即f (x) :: 0 . n 所以函数f (x)在区间［0,—］上单调递减. 2 因此f(x)在区间［0,亍］上的最大值为f (0) -1，最小值为“亍)=一寺 (20)(共 13 分) 解：(I) G =bj -ai =1-1=0, c2二max{b -2a4,b2-2a2} = max{1-2 1,3-2 2} = -1 , c3 = max{ D -3a2,b3-3a3} = max{1 -3 1,3 -3 2,5 -3 3}--2. 当n 丄3时，(b k 1 —n a k 1) -(b k - n a k) = (b k 1 - bj - n(a k 1 - a k) = 2 - n ：： 0 , 所以b k -na k关于k三N *单X2 1 调递减. 所以c n = max{b1 -a1 n,b2-a2 n, |,b n-a n n}二dp n = 1 - n . 所以对任意n _ 1,C n =1 - n，于是C n彳-C n - -1 , 所以{C n}是等差数列. (n)设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2，贝U b k-na k=b (k -1)d2-[a (k T)d j]n = D Vn (d2-ndj(k -1). [b _an,当d2兰nd|时, ①当a 0时，取正整数m -，则当n - m时，nd j ? d?，因此c. = D -玄勺n . 此时，陥，陥1,C m』H是等差数列. ②当a =0时，对任意n 一1, C n二bi-a j n (n -1)max{d2,0} -a1 (n「1)(max{ d2,0}「a j. 此时，G,C2,C3,|l(,C n,|l(是等差数列. ③当d1 <0时， r do 当n -时，有nd j ::: d2. 所以C n 丿-卸(n-1)(d2-nd i)二n(_dj ?d i y d2 匕n n n "(-d1) dj 7 d2-I d -d21. 对任意正数M，取正整数m - max{ M——也——d2-1 ai——di———2, —2 V d1故当n _ m时，C n. M . n
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