1 / 4 北师大版八年级数学上册第二章实数测试题 一、选择题 1.在实数?1.414，√2，π， 3.1.4. ，2+√3，3.212212221…，3.14中，无理数的个数是( )个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.下列说法中 ①无限小数是无理数； ②无理数是无限小数； ③无理数的平方一定是无理数； 正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3.(?3)2的平方根是( ) A. ?3 B. 3 C. 3或?3 D. 9 4.若a 2=4，b 2=9，且ab >0，则a ?b 的值为( ) A. ±5 B. ±1 C. 5 D. ?1 5.64的立方根是( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 6.√83的算术平方根是( ) A. 2 B. ±2 C. √2 D. ±√2 7.估算√19的值是在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8.下列四个数：?3，?√3，?π，?1，其中最小的数是( ) A. ?π B. ?3 C. ?1 D. ?√3 9.用计算器依次按键，得到的结果最接近的是( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 10.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( )
最新八年级上册数学第二章实数测试题 一、选择题 1．下列各数：2π ， 0 0.23·， 227 ，27， 1010010001.6，1理数个数为（ ) A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 2．在实数03 2 -，｜－2｜中，最小的是（ ）． A ．－错误! B ． C ．0 D ．｜-2｜ 3．下列各数中是无理数的是（ ） A B C D 4．下列说法错误的是（ ） A ．±2 B 是无理数 C 是有理数 D 5．下列说法正确的是（ ） A ．0)2 (π是无理数 B ．3 3是有理数 C ．4是无理数 D ．38-是有理数 6．下列说法正确的是（ ） A ．a 一定是正数 B ．错误! 是有理数 C ．2，2是有理数 D ．平方根等于自身的数只有1 7．估计，20的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8． (－2)2的算术平方根是（ ） A ．2 B ． ±2 C ．－2 D ．2 9．下列各式中，正确的是（ ） A ．3- B ．3- C 3± D 3=± 10．下列说法正确的是（ ） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根 11．36的算术平方根是（ ） A ．±6 B ．6 C ．±，6 D ． ，6 12．下列计算正确的是（ ） 4=± Ｂ．1= 4= 2= 13．下列运算正确的是（ ）
A ．25=±5 B ．43－27=1 C ．18÷2=9 D ．24·错误!=6 14．下列计算正确的是（ ） A ．= B ．错误!＝错误!－错误!＝1 C ．(21-= D =15．如图：在数轴上表示实数，15的点可能是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 16．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 A ．2.5 B ．2，2 C ．，3 D ．，5 17．下列计算正确的是（ ）． A ．2234-＝4－3＝1 B ．)25()4(-?-＝4-2）×（－5）＝10 C ．22511+＝11＋5＝16 D ． 32＝3 6 18．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 19．2)9(-的平方根是x ， 64的立方根是y ，则x ＋y 的值为（ ） A ．3 B ．7 C ．3或7 D ．1或7 20．若||4x =9，且||x y x y -=-，则x y +的值为（ ） A ．5或13 B ．－5或13 C ．－5或－13 D ．5或－13 二、填空题 1．实数27的立方根是 2．若一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 ． 3．－，6的绝对值是___________． 4．估计，7的整数部分是 5．比较下列实数的大小（在 填上>、<或＝）
实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根 号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根. 64； 121 49 ； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49 100 ， 441， 196， 10－4
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是 （2）若 9.28,89.233==ab a ，则b 等 于 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 比较两个数的大小： 方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则a-b ＞0. 方法三：乘方法.如比较3362与的大小。 例：比较下列两数的大小 （1） 2 123-10与 （2）5325与 【实数】 定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。 （2）实数也可以分为正实数、0负实数。 实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=? ??<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大 于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。 实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算 顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的 （1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。 （2）数轴上的每个点都表示已个实数。
第二章：实数 知识梳理 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。 （3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2-、⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”， 读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例：（1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235= - （3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x 。
第二章实数 目录 第二章实数 (1) 第一课时：实数的认识 (1) 知识要点一：认识无理数 (1) 知识要点二：平方根 (1) 知识要点四：算术平方根 (2) 拓展：随机的n (3) 知识要点五：立方根 (3) 知识要点五：估算无理数的大小 (4) 知识要点六：实数的概念 (5) 知识要点七：实数的性质 (5) 知识要点八：实数与数轴 (6) 知识要点九：实数的比较大小 (8) 知识要点10：实数的运算 (9) 总练习题 (9) C 基础巩固 (9) B 能力提升 (10) A 拔尖训练 (11) 第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (12) 知识要点一：二次根式的概念 (12) 知识要点二：二次根式有意义的条件 (12) 知识要点三：二次根式的性质与化简 (13) 知识要点四：最简二次根式 (13) 知识要点五：分母有理化 (14) 知识要点六：二次根式的乘除法 (15) 知识要点七：同类二次根式 (16) 知识要点八：二次根式的加减法 (16) 知识要点九：二次根式的混合运算 (17) 知识要点十：二次根式的化简求值 (17) 知识要点十一：二次根式的应用 (18) 总练习题 (19) C 基础巩固 (19) B 能力提升 (19) A 拔尖训练 (20)
第一课时：实数的认识 知识要点一：认识无理数 伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数． 希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为 此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！ 定义1 无限不循环小数叫做无理数。 常见的无理数的类型： （1）有规律但不循环的小数； （2）有特定意义的符号，如π； （3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。 练习： （1）下列说法正确的是( ) A.无限小数是无理数 B.无理数是无限小数 C.两个无理数的和一定是无理数 D.两个无理数之和一定是有理数 （2）在0、1010010001.0/27-7 2241.331601.04-3、、、、、、 π （相邻两个1之 间0的个数逐次加1个）中，属于无理数的是 。 （3）在2017321 ，，，中共有 个无理数。 知识要点二：平方根 定义2 一般的，如果一个数x 的平方等于a.即a x =2，那么这 个数x 叫做a 的平方根；求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数。 记作:a x ±=。
北师大版八年级数学上册第二章实数测试题（1） 一、选择题 1．下列各数：2π, 0·, 227，27，Λ1010010001.6，1中无理数个数为（ ) A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 2．在实数03 2-，｜－2｜中，最小的是（ ）． A ．－23 B ． C ．0 D ．｜-2｜ 3．下列各数中是无理数的是（ ） A ． B C D ．4．下列说法错误的是（ ） A ．±2 B 是无理数 C D ． 2是分数 5．下列说法正确的是（ ） A ．0)2(π是无理数 B ．33是有理数 C ．4是无理数 D ．38-是有理数 6．下列说法正确的是（ ） A ．a 一定是正数 B ． 20163 是有理数 C ．22是有理数 D ．平方根等于自身的数只有1 7．估计20的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8． (－2)2的算术平方根是（ ） A ．2 B ． ±2 C ．－2 D ．2 9．下列各式中，正确的是（ ） A ．3- B ．3- C 3=± D 3=± 10．下列说法正确的是（ ） A ．5是25的算术平方根 B ．±4是16的算术平方根 C ．－6是（－6）2的算术平方根 D ．0.01是0.1的算术平方根 11．36的算术平方根是（ ） A ．±6 B ．6 C ．±6 D ． 6 12．下列计算正确的是（ ） 4=± Ｂ．1= 4= 2=
13．下列运算正确的是（ ） A ．25=±5 B ．43－27=1 C ．18÷2=9 D ．24· 32 =6 14．下列计算正确的是（ ） A ．822-= B ．27－123＝9－4＝1 C ．(25)(25)1-+= D ．62322 -= 15．如图：在数轴上表示实数15的点可能是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 16．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的 实数是 A ．2.5 B ．2 2 C ． 3 D ． 5 17．下列计算正确的是（ ）． A ．2234-＝4－3＝1 B ．)25()4(-?-＝4-×25-2）×（－5）＝10 C ．22511+＝11＋5＝16 D ．32＝3 6 18．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 19．2)9(-的平方根是x ， 64的立方根是y ，则x ＋y 的值为（ ） A ．3 B ．7 C ．3或7 D ．1或7 20．若||4x =29y =，且||x y x y -=-，则x y +的值为（ ） A ．5或13 B ．－5或13 C ．－5或－13 D ．5或－13 二、填空题 1．实数27的立方根是 2．若一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 ． 3．－6的绝对值是___________． 4．估计7的整数部分是
八 年 级 上 册 数 学 第二章 实数 单元测试卷（一卷） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列每小题都给出了四个答案，其中只有 一个答案是正确的，请把正确答案的代号填在该小题后的括号内。 1、若x 2=a ，则下列说法错误的是（ ） （A ）x 是a 的算术平方根 （B ）a 是x 的平方 （C ）x 是a 的平方根 （D ）x 的平方是a 2、下列各数中的无理数是（ ） （A ）16 （B ）3.14 （C ）113 （D ）0.01…（两个1之间的零的个数依次多1个） 3、下列说法正确的是（ ） （A ）任何一个实数都可以用分数表示 （B ）无理数化为小数形式后一定是无限小数 （C ）无理数与无理数的和是无理数 （D ）有理数与无理数的积是无理数 4、9=（ ） （A ）±3 （B ）3 （C ）±81 （D ）81 5、如果x 是0.01的算术平方根，则x=( ) （A ）0.0001 （B ）±0.0001 （C ）0.1 （D ）±0.1 6、面积为8的正方形的对角线的长是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）22 （D ）4 7、下列各式错误的是（ ） （A ）2)5(5= （B ）2)5(5-= （C ）2)5(5-=（D ）2)5(5-= 8、4的算术平方根是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）16 9、下列推理不正确的是（ ） （A ）a=b b a = （B ）a=b 33b a = （C ）b a = a=b （D ）33b a = a=b 10、如图（一），在方格纸中， 假设每个小正方形的面积为2， 则图中的四条线段中长度是 有理数的有（ ）条。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
初二数学-实数典型习题集
初二数学 实数典型习题集 一、选择题：（40分） 1、在实数70107.08 1221.03、、、、－ 。。 π中，其中无理数的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、16的算术平方根为（ ） A 、4 B 、4± C 、2 D 、2± 3、下列语句中，正确的是（ ） A 、无理数都是无限小数 B 、无限小数都是无理数 C 、带根号的数都是无理数 D 、不带根号的数都是无理数 4、若a 为实数，则下列式子中一定是负数的是（ ） A 、2a - B 、2)1(+-a C 、2a - D 、) 1(+--a 5、下列说法中，正确的个数是（ ） （1）－64的立方根是－4；（2）49的算术平方根是7±；（3） 271的立方根为31；（4）41是161的平方根。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、 6.估算728-的值在 A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间 7、下列说法中正确的是（ ） A 、若a 为实数，则0≥a B 、若a 为实数，则a 的倒数为a 1 C 、若y x 、为实数，且y x =，则y x = D 、若a 为实数，则02≥a
a b -，ab ，a b -中，是正数的有 个． 7.若3+x 是4的平方根，则=x ＿＿＿＿＿＿，若－8的立方根为1-y ，则y=________. 8、计算：2)4(3-+-ππ的结果是＿＿＿＿＿＿。 9.用“*”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a *21b b +=．那么5*3 = ；当m 为实数 时，m*（m*2）= ． 10.右图是小李发明的填图游戏，游戏规则是：把5，6，7，8四个数分别填入图中的空格内，使得网格中每行、每列的数字从左至右和从上到下都按从小到大的顺序排列．那么一共有 种不同的填法． 三、解答题 （40分） 1. 计算：2020071(1) 22-??-+-?-- ??? （8分） 2.实数b a 、在数轴上的位置如图所示，化简：2a b a --. （10分） 1 2 4 3 9 b a 0
第二章：实数 【无理数】 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个 条件。 2. 常见无理数的几种类型： （1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等； （2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 9等；无理数也不一定带根号，如：π） 3.有理数与无理数的区别： （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3 2 - 、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】： 1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根， 记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。 特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个
第一章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
《实数》精品教案 ●教学目标： 知识与技能目标： 1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类 2、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小. 3、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、 绝对值的意义完全一样. 过程与方法目标： 1、在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。 2、能够逐步培养分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。 情感态度与价值观目标： 1、在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律 类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。 2、了解数系扩展对人类认识发展的必要性 ●重点： 1、了解实数意义，能对实数进行分类； 2、在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律； 3、明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。 ●难点： 利用数轴上的点表示无理数 ●教学流程： 一、课前回顾 1．有理数是如何分类的？分几种情况？ （1）按定义可分为：正整数 整数零 负整数 有理数正分数 分数 负分数
（2）按数的性质可分为： 正整数 正有理数 正分数 有理数零 负整数 负有理数 负分数 任何有理数都可以化成有限小数和无限循环小数的形式 2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 无理数是无限不循环小数. 带根号的数不一定是无理数. 无理数一般有哪些形式? （1）开不尽方的数是无理数。 （ 2）π及含有π的数是无理数 （3）有一定的规律，但不循环的无限小数是无理数。 练一练 把下列各数分别填入相应的集合内： ， 1 4 ，π，﹣ 5 2 0, 0.3737737773……（相邻两个3之间的7的个数逐次加1） 有理数集合无理数集合 二、探究新知 1、实数的定义
实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0
北师大版八年级数学上册第二章实数计算题 一、算术平方根： 例1 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； （3） 64 49； （4）14． 答案：解：（1）因为302 =900，所以900的算术平方根是30，即30900=； （2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即11=； （3）因为64 49872 = ? ? ? ??，所以 64 49的算术平方根是 8 7， 即 8 764 49= ； （4）14的算术平方根是14． 反馈练习： 一、填空题： 1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ； 2．9的算术平方根是 ； 3．2)32 (的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则2)2(+m = ． 二、求下列各数的算术平方根： 36， 144 121，15，0.64，410-，225，0)6 5 (． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ 答案：一、1.7；2.3 ；3.3 2 ；4．16；二、6；12 11；15； 0.8；2 10 -；15；1； 三、解：由题意得 AC =5.5米，BC =4.5米，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得105 .45.52 22 2 =-=-= BC AC AB （米）．所以帐篷支撑竿的高是 10米． 识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。 二、平方根 例2 求下列各数的平方根: (1)64；(2) 49121 ；(3) 0.0004；(4)()2 25-；(5) 11 （1）解：()2 648=± ，648∴±的平方根是
第二章实数测试题 一、选择题(每题3分，共30分) 1．有一组数如下：－π，13，|－2|，4，7，3 9，0.808008…(相邻两个8之间0 的个数逐次加1)．其中无理数有( ) A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 2．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①－64的立方根是－4； ②49的算术平方根是±7； ③127的立方根是13； ④116的平方根是14 . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列各组数中，互为相反数的一组是( ) A ．－3与3 －27 B ．－3与（－3）2 C ．－3与－1 3 D .||－3与3 4．下列各式计算正确的是( ) A .2＋3＝ 5 B ．43－33＝1 C ．23×33＝6 3 D .27÷3＝3 5．下列各式中，无论x 为任何数都没有意义的是( ) A .－7x B .－1999x 3 C .－0.1x 2－1 D .3 －6x 2－5 6．若a ＝15，则实数a 在数轴上的对应点P 的大致位置是( )
图1 7．如图2是一数值转换机，若输出的结果为－32，则输入的x的值为( ) 图2 A．－4 B．4 C．±4 D．±5 8．若a，b均为正整数，且a>7，b>3 20，则a＋b的最小值是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 9．实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图3所示，且||a>||b，则化简a2－|| a＋b 的结果为( ) 图3 A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b 10．已知x＝2－3，则代数式(7＋4 3)x2＋(2＋3)x＋3的值是( ) A．2＋ 3 B．2－ 3 C．0 D．7＋4 3
第二章：实数 一、基础测试 1．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。 2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根． 特别提醒：负数没有平方根和算术平方根． 3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。 4、实数的分类 _________??????????????????????????????????????????????? ______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________ 5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应． 6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b
互为相反数，则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若 a ， b 互为倒数，则ab=________。 7.______(0)||______(0)a a a ≥?=? 二、专题讲解： 专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念 若a ≥0，则a 的平方根是 a a<0，则 a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 。 【例1 ______ 【例2】3 27 的平方根是_________ 【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A 【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是 （Ａ） 020= （Ｂ）331-=- 3= （Ｄ） = 【例5】（2010年四川省眉山市） A ．3 B ．3- C ．3±
1 实数单元测试题 填空题：（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1、()26-的算术平方根是__________。 2、 π π-+-43＝ _____________。 3、2的平方根是__________。 4、实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示 化简c b c b a a ---++ 2＝________________。 5、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________。 6、若2)2(1-+-n m ＝0，则m ＝________，n ＝_________。 7、若 a a -=2，则a______0。 8、12-的相反数是_________。 9、 38-＝________，3 8-＝_________。 10、绝对值小于π的整数有__________________________。 一、 选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11、代数式12 +x ，x ，y ,2)1(-m ,33 x 中一定是正数的有（ ）。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、若 73-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） 。 A 、x ＞37- B 、x ≥ 37- C 、x ＞37 D 、x ≥3 7 13、若x ，y 都是实数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值（ ）。 A 、0 B 、 21 C 、2 D 、不能确定 14、下列说法中，错误的是（ ）。 A 、4的算术平方根是2 B 、81的平方根是±3 C 、8的立方根是±2 Ｄ、立方根等于－１的实数是－１ 15、64的立方根是（ ）。 A 、±4 B 、4 C 、－4 D 、16 16、已知04)3(2 =-+-b a ，则b a 3 的值是（ ）。 A 、 41 B 、－ 41 C 、4 33 D 、43 17、计算 33 841627-+-+的值是（ ）。 A 、1 B 、±1 C 、2 D 、7 18、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。 A 、－1 B 、1 C 、0 D 、±1 19、下列命题中，正确的是（ ）。 A 、无理数包括正无理数、0和负无理数 B 、无理数不是实数 C 、无理数是带根号的数 D 、无理数是无限不循环小数 20、下列命题中，正确的是（ ）。 A 、两个无理数的和是无理数 B 、两个无理数的积是实数 C 、无理数是开方开不尽的数 D 、两个有理数的商有可能是无理数 三、解答题：（本题共6小题，每小题5分，共30分） 21、求9 7 2的平方根和算术平方根。 22、计算252826-+的值。 23、解方程x 3 －8＝0。 24、计算)5 15(5- 25、若0)13(12=-++-y x x ，求2 5y x +的值。 26、若 13223+-+-=x x y ，求3x ＋y 的值。 四、综合应用：（本题共10小题，每小题2分，共20分） 27、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ，求代数式 a c b -的值。 28、已知0525 22=-++-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。 0c b a
13.3实数（一） 教学课题 13.3实数（一） 年级学科 八年级（上）数学 教学 第1 课型 新授课 主备教师 使用教师 教学目标 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小； 教学重点与难点 重点：实数的意义和实数的分类 难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的 教学准备及手段 多媒体教学 探究式教学 教 学 过 程 动态修改部分 ㈠创设情景，导入新课 略 ㈡合作交流，解读探究 探究 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35- ，478 ，911 ，11 9 ，59 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-=- ，47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29 = ，5 0.59 = 归纳 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数 结论 有理数和无理数统称为实数 试一试 把实数分类 ???? ????? ?→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，3 3，π是正无理数，2-，33-，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
0??? ??? ? ???????? 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以 用数轴上的点来表示呢？ 探究 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 总结 1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数 当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数 1、 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总 比左边的点表示的实数大 讨论 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？ 总结 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 ㈢应用迁移，巩固提高 例1 把下列各数分别填入相应的集合里： 33 22 7 8,3, 3.141, , ,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7 378 π----- 正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ } 备选例题 下列实数中是无理数的为（ ） A. 0 B. 3.5- C.2 D.9 ㈣总结反思，拓展升华 ㈤课堂跟踪反馈 1、下列各数中，是无理数的是（ ） A. 1.732- B. 1.414 C. 3 D. 3.14 2、已知四个命题，正确的有（ ） ⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数 ⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 3、若实数a 满足 1a a =-，则（ ） A. 0a > B. 0a < C. 0a ≥ D. 0a ≤ 4、下列说法正确的有（ ） ⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数
八年级数学上册实数教案 平方根与算术平方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a 2，那么这个 x= 正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，4 22=，正数2是4的算术平方根。虽然4 )2 (2=，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根，（“”是算术平方根的符号） 2.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。就是说，如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根。例如，4 22 ，2是4的平方根，4 (2=，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。 )2 知识点概括 概括1：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 概括2：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 概括3：“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。 a的意义有两点： （1）被开方数a表示非负数，即a≥0； （2）a也表示非负数，即a≥0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a＜0时，a无意义。 概括4：平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
概括5：如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根，用±a来表示。 当a＞0时，a有两个平方根， 当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身； 当a＜0时，a没有平方根。 正数a有两个平方根(表示为a ±)，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为a。0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即0 0=。 平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同； ②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同：正数a的平方根表示为a , 正数a的算术平方根表示为a； ④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． ⑤0的平方根与算术平方根都是0． 立方根 立方根概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 表示法：用式子表示，就是，如果a 3，那么x叫做a的立方根。数a的立方 x= 根用符号“3a”表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数。(注意：根指数3不能省略)。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 立方根性质：(1)正数的立方根是正数(2)负数的立方根是负数 (3)0的立方根是0． 平方根与立方根的区别与联系 区别：（1）根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。