数列通项公式的求法
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,2
55a S =.求
数列{}n a 的通项公式.
解:设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列,∴9123a a a =,即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12
=?
∵0≠d , ∴d a =1………………………………①
∵2
55a S = ∴211)4(2
4
55d a d a +=??+
…………② 由①②得:531=a ,53=d ∴n n a n 5
3
53)1(53=?-+=】
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式
???≥???????-=????????????????=-2
111n S S n S a n n n 求解。
例2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n .求数列{}n a 的通项公式。
解:由1121111=?-==a a S a
当2≥n 时,有
,)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-
,)1(22221----?+=n n n a a ……,.2212-=a a
11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-L
].)1(2[3
2
3
]
)2(1[2)
1(2
)]2()2()2[()1(21211
211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n Λ
经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3
212
---+=
n n n a 点评:利用公式???≥???????-=????????????????=-2
1
1n S S n S a n n n n 求解时,要注意对n 分类讨论,但若能合
写时一定要合并.
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+
解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。
已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k
k k a a +=+,其中1,2,3,k =……,求数列
{}n a 的通项公式。
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ,n
n a a n n ++=+211
,求n a 。 解:由条件知:1
1
1)1(1121+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n
分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即
)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-=
所以n a a n 111-=- 211=a Θ, n
n a n 1
231121-=-+=∴
类型2 (1)递推公式为n n a n f a )(1=+
解法:把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 已知数列{a n },满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1(n ≥2),则{a n }的通项 1
___n a ?=?
? 12
n n =≥ 例4. 已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 1
1+=+,求n a 。 解:由条件知1
1+=+n n
a a n n ,分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累乘之,即
1342312-??????????n n a a a a a a a a n
n 1
433221-??????????=n a a n 11=? 又321=
a Θ, n
a n 32
=∴
(2).由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得:
所以1)1(--=n n a n f a , 21)2(---=n n a n f a ,???,12)1(a f a =依次向前代入,得
1)1()2()1(a f n f n f a n ???--=,
简记为111
))((a k f a n k n -=∏= )1)(,1(0
1
=∏≥=k f n k ,这就是叠(迭)代法的基本模式。
(3)递推式:()n f pa a n n +=+1
解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异.
例5.设数列{}n a :)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ,求n a .
解:设B An b a B ,An a b n n n n --=++=则,将1,-n n a a 代入递推式,得
[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
??????+-=-=∴1332
3A B B A A ?
??==11B A
1++=∴n a b n n 取…(1)则13-=n n b b ,又61=b ,故n
n n b 32361?=?=-代入(1)得132--?=n a n
n
说明:(1)若)(n f 为n 的二次式,则可设C Bn An a b n n +++=2
;(2)本题也可由
1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n (3≥n )两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.
例6.已知31=a ,n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ,求n a 。 解:12
31
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=
3437526
331348531n n n n n --=
????=---L 。
类型3 递推公式为q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )
。 解法:转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中p
q
t -=
1,再利用换元法转化为等比数列求解。 数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则通项n a = 例7. 已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .
解:设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ,则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项,2为公比的等比数列,则1
1224+-=?=n n n b , 所以
321-=+n n a .
类型4 递推公式为n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (或1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数)
(本小题满分12分) 设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=-?+,1,2,3,n =g g g (Ⅰ)求首项1a 与通项n a ;
解法:该类型较类型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以1
+n q
,得:
q q a q p q
a n n n n 1
1
1+?=++ 引入辅助数列{}n b (其中n
n n q a b =),得:q b q p b n
n 1
1+=+再应用类型3的方法解决。 例8. 已知数列{}n a 中,651=a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ,求n a 。 解:在11
)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得:1)2(3
2
211+?=?++n n n n a a
令n n
n a b ?=2,则1321+=
+n n b b ,应用例7解法得:n n b )3
2(23-= 所以n
n n
n n b a )31(2)21(32
-== 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法:先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ,t 满足??
?-==+q
st p
t s ,再应用前面类型3的方法求解。
(本小题满分14分) 已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈
(I )求数列{}n a 的通项公式;
例9. 已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++,求n a 。 解:由n n n a a a 3
1
3212+=
++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 即n n n sta a t s a -+=++12
)(???
????
-==+?313
2st t s ?????-==?311t s 或????
?=-=131t s 这里不妨选用???
??-==311
t s (当然也可选用
?????
=-
=1
31t s ,大家可以试一试),则)(31112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ,
公比为31
-的等比数列,所以1
1)3
1(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法,分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得
)1(-n 个等式累加之,即2101)3
1()31()31(--+??????+-+-=-n n a a 3
11)31(11
+--=
-n 又11=a Θ,所以1
)3
1(4347---=n n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)
解法:利用??
?≥???????-=????????????????=-)
2()
1(11n S S n S a n n n 进行求解。
(本小题满分12分)已知正项数列{a n },其前n 项和S n 满足
10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列,求数列{a n }的通项a n
例10.数列{}n a 前n 项和22
1
4---=n n n a S .(1)求1+n a 与n a 的关系;(2)求通项公式n a .
解:(1)由2214---=n n n a S 得:11121
4-++--=n n n a S ,于是
)2
121()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 21
211+=?+.
(2)应用类型4的方法,上式两边同乘以12+n 得:22211
+=++n n n n a a
由12
1412
1111=?-
-==-a a S a .于是数列{}n n
a 2是以2为首项,2为公差的等差数列,所以n n a n n
2)1(222=-+=12
-=?n n n a
类型7 双数列型
解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
◆例
11. 已知数列{}n a 中,11=a ;数列{}n b 中,01=b 。当2≥n 时,
)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3
1
11--+=n n n b a b ,求n a ,n b .
解:因=+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3
1
11--+n n b a 11--+=n n b a
所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=???=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a (1)
又因为=
-n n b a -+--)2(3111n n b a )2(3
111--+n n b a )(31
11---=n n b a
所以=-n n b a )(3
111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111
b a n -=-
1)31(-=n .即=-n n b a 1)3
1
(-=n ………………………(2) 由(1)、(2)得:])31(1[211-+=n n a , ])3
1(1[211
--=n n b
四、待定系数法(构造法)
求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k }的形式求解。一般地,形如a 1+n =p a n +q (p ≠1,pq ≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法:设a 1+n +k=p (a n +k )与原式比较系数可得pk -k =q ,即k=
1
-p q
,从而得等比数列{a n +k }。
例12、数列{a n }满足a 1=1,a n =
2
1
a 1-n +1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式。 解:由a n =21a 1-n +1(n ≥2)得a n -2=2
1
(a 1-n -2),而a 1-2=1-2=-1,
∴数列{ a n -2}是以21
为公比,-1为首项的等比数列
∴a n -2=-(21)1-n ∴a n =2-(2
1
)1-n
说明:通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a n -2},从而达到解决问题的目的。
例13、数列{a n }满足a 1=1,0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。
解:由0731=-++n n a a 得3
7
3
11+-=+n n a a 设a )(311k a k n n +-=++,比较系数得373=--k k 解得47
-=k
∴{47-n a }是以31
-为公比,以43471471-=-=-a 为首项的等比数列
∴1)3
1(4347--?-=-n n a 1
)31(4347--?-=?n n a
例14.已知数列{}n a 满足11=a ,且132n n a a +=+,求n a .
解:设)(31t a t a n n +=++,则1231=?+=+t t a a n n ,?+=++)1(311n n a a {}1+n a 是
以
)1(1+a 为首项,以3为公比的等比数列
???=?+=+--111323)1(1n n n a a 1321-?=-n n a
点评:求递推式形如q pa a n n +=+1(p 、q 为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11p
q
a p p q a n n -+=-+
+来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得很多的一种题型.
例15.已知数列{}n a 满足11=a ,123-+=n n
n a a )2(≥n ,求n a .
解:将123-+=n n n a a 两边同除n
3,得
n n n n a a 32131-+=?1
1
3
3213--+=n n n n a a 设n n n a b 3
=,则1321-+=n n b b .令)(321t b t b n n -=--?t b b n n 31
321+=-
?3=t .
条件可化成)3(3
231-=--n n b b ,数列{}3-n b 是以38
33311-=-=-a b 为首项, 32为公比的等比数列.1
)32(383-?-=-n n b .因n n n a b 3
=,
)3)3
2
(38(331+?-==∴-n n n n n b a ?2123++-=n n n a .
点评:递推式为11+++=n n n q pa a (p 、q 为常数)时,可同除1
+n q ,得 111+?=++n n n n q a q p q a ,令n
n
n q
a b =从而化归为q pa a n n +=+1(p 、q 为常数)型.
2、通过分解系数,可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。这种方法适用于
n n n qa pa a +=++12型的递推式,通过对系数p 的分解,可得等比数列}{1--n n a a :设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++,比较系数得q hk p k h =-=+,,可解得k h ,。
(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
(I )证明:数列{}1n n a a +-是等比数列; (II )求数列{}n a 的通项公式;
例16、数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0,求数列{a n }的通项公式。 分析:递推式02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2,适当组合,可发现一个等比数列}{1--n n a a 。 解:由02312=+-++n n n a a a 得0)(2112=---+++n n n n a a a a 即)n n n n a a a a -=-+++112(2,且32512=-=-a a ∴}{1n n a a -+ 是以2为公比,3为首项的等比数列
∴1123-+?=-n n n a a
利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++Λ =223232
3021
+?++?+?--Λn n =2)1222(321+++++?--Λn n
=22
1213+--?
n
=123-?n ∴1231-?=-n n a 例17、数列{}n a 中,n n n a a a a a +===++122123,2,1,求数列{}n a 的通项公式。
解:由n n n a a a +=++1223得,3
1
3212n n n a a a +=
++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得31
32=-=+kh h k ,,解得31,1-==h k 或1,31=-=h k 若取3
1,1-==h k ,则有)(31
112n n n n a a a a --=-+++
∴}{1n n a a -+是以31
-为公比,以11212=-=-a a 为首项的等比数列
∴1
1)3
1(-+-=-n n n a a
由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ
=11)3
1
()31()31()
3
1(232
++-+-++-+---Λn n
=1311)31
(11
++---n =11)31(43471)31(143---?-=+??????--n n
说明:若本题中取1,31=-=h k ,则有n n n n a a a a 3131112+=++++即得}3
1
{1n n a a ++
为常数列,n n a a 311++ 131-+=n n a a 1231a a +==Λ3
7
312=+=故可转化为例13。
例18.已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++求n a .
解:设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++?
n n n sta a t s a -+=++12)(???????
-==+?313
2st t s ?????-==?311t s 或????
?=-=131t s 则条件可以化为)(3
1
112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ,公比为
3
1-的等比数列,所以11)31
(-+-=-n n n a a .问题转化为利用累加法求数列的通项的问题,解
得1
)3
1(4347---=n n a .
点评:递推式为n n n qa pa a +=++12(p 、q 为常数)时,可以设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++,其待定常数s 、t 由p t s =+,q st -=求出,从而化
归为上述已知题型.
五、特征根法
◆1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项
公式。作出一个方程,d cx x +=则当10a x =时,n a 为常数列,即
0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当,其中}{n b 是以c 为公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-.
◆例19.已知数列}{n a 满足:,4,N ,23
111=∈--=+a n a a n n 求.n a
解:作方程.23,2310-=--
=x x x 则 当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3
1
-为公比的等比数列.
于是.N ,)3
1(2112323,)31(211)31(1
111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n
2、对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程
02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,
数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1
211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组);当21x x =时,数列{}n a 的通项为1
1)(-+=n n x Bn A a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1
1)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A 、B 的方程组)。
例20:已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列
{}n a 的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法) 由025312=+-++n n n a a a ,得
)(3
2
112n n n n a a a a -=-+++,且a b a a -=-12。 则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,3
2
为公比的等比数列,于是
11)32
)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入,得
a b a a -=-12,
)32
()(23?-=-a b a a ,
234)3
2
()(?-=-a b a a ,
???
21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。
把以上各式相加,得
])3
2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=
-。 a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。
解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b
a a a ==21,
的特征方程是:02532
=+-x x 。 3
2,121=
=x x Θ, ∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-?+=n B A 。
又由b a a a ==21,,于是
???-=-=???
?
?
?+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 3、如果数列}{n a 满足下列条件:已知1a 的值且对于N ∈n ,都有h
ra q
pa a n n n ++=+1(其中p 、
q 、r 、h 均为常数,且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,),那么,可作特征方程h
rx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ?
?
?
?-??
是等差数列;当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时,
则12n n a x a x ??
-?
?-??
是等比数列。
(本小题满分12分)
数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足求数列}{n a 的通项公式. 解:由已知,得125168n n n a a a ++=
-,其特征方程为25168x x x +=-,解之,得15
24
x x ==或
116()122168n n n a a a +-∴-=-,15
12()544168n n n
a a a +-∴-=- 111112255244n n n n a a a a ++-
-∴=--,11111
1422()552244n n n n a a a a ---∴=?=--- 125
24
n n n a -+=+。
例21、已知数列}{n a 满足性质:对于,3
24
,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.
解: 数列}{n a 的特征方程为,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有
.
N ,)2
21211(2313)(1
1212111∈?-?-?+-=--?--=
--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴
.N ,)5
1(521
∈-=
-n c n n ∴.N ,1)5
1(521
)51
(52211112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a n
n n 例22.已知数列}{n a 满足:对于,N ∈n 都有.3
25
131+-=
+n n n a a a
(1)若,51=a 求;n a (2)若,31=a 求;n a (3)若,61=a 求;n a ◆(4)当1a 取哪些值时,无穷数列}{n a 不存在?
解:作特征方程.3
25
13+-=
x x x 变形得,025102=+-x x
特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第(1)部分解答.
(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p r n a b n --+-=
)1(11 5
1131
)1(531?-?-+-=n ,8
121-+-
=n 令0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在, 当n ≤4,N ∈n 时,5
17
51--=+=
n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8
1
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=
λλ
令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743
558
1111
∈++=+-+
=+=
n n n n b a n
n λ (4)、显然当31-=a 时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,
51=a 时,数列}{n a 是存在的,当51=≠λa 时,则有 .N ,8151)1(111∈-+-=--+-=
n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 得N ,1
13
51∈--=n n n a 且
n ≥2.
∴当1
13
51--=
n n a (其中N ∈n 且N ≥2)时,数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知:当1a 在集合3{-或,:1
13
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无穷数列}{n a 都不存
在.
说明:形如:)(11b a k ma a n n n +=
--递推式,考虑函数倒数关系有
)1
1(11m
a k a n n +=-? m k a k a n n +?=-111令n
n a b 1
=则{}n b 可归为q pa a n n +=+1型。(取倒数法)
例23:1,1
3111
=+?=
--a a a a n n n
解:取倒数:
1
1113131---+=+?=n n n n a a a a ?
?????∴n a 1是等差数列,3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231
-=?n a n 六、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联
想出一种适当的辅助模型,如某种数量关系,某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法.
例24: 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,对于任意正整数n ,都有等式:
n n n S a a 422
=+成立,求{}n a 的通项an.
解:n n n S a a 422
=+?112
142---=+n n n S a a ,
∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(422112
12=-=-+----
0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,∵01≠+-n n a a ,∴21=--n n a a .
即{}n a 是以2为公差的等差数列,且2421112
1=?=+a a a a .
∴n n a n 2)1(22=-+=
例25: 数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2,求数列的通项公式n a .
解:∵121111=?-==a a S a 当n ≥2时,
[]12
1
2)1(221111+=
?++-=----=-=----n n n n n n n n n a a a a a n a n S S a )2(2121-=-?-n n a a 令2-=n n a b ,则12
1
-=n n b b ,且1211-=-=b
{}n b 是以2
1为公比的等比数列,11)21()21(1---=?-=n n n b ∴1)21(2--=n n a .
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可 求得这一数列的通项公式.
例26: 设{}n a 是首项为1的正项数列,且012
12=-----n n n n na na a a ,(n ∈N*),
求数列的通项公式an.
解:由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n . ∵0>n a ,01>-n a ,∴01>+-n n a a . ∴n a a n n =--1
2
)
1(321)()()(123121+=
++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n ΛΛ 例27: 数列{}n a 中,3,121==a a ,且n n n a n a n a )2()3(12+-+=++,(n ∈N*),求通
项公式n a .
解:Θ=-++12n n a a =-++))(2(1n n a a n ))(1)(2(1--++n n a a n n
)1)(2(++==n n Λ)!2()(3412+=-?n a a Λ
∴!!3!21)()()(123121n a a a a a a a a n n n ΛΛ+++=-++-+-+=-(n ∈N*)
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例28: 数列{}n a 中,2
11=
a ,前n 项的和n n a n S 2
=,求1+n a . 解:12
21221)1()1()1(----=-?--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a 1
1
1+-=?
-n n a a n n , ∴112211a a a a a a a a n n n n n ??=
---Λ)
1(12131211+=?-?+-=n n n n n n Λ ∴)
2)(1(1
1++=+n n a n
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.
例29: 设正项数列{}n a 满足11=a ,2
12-=n n a a (n ≥2).求数列{}n a 的通项公式.
解:两边取对数得:122log 21log -+=n n a a ,)1(log 21log 122+=+-n n a a ,设1log 2+=n a
n b ,
则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列,11log 1
21=+=b .
1
1
2
2
1--=?=n n n b ,1
2
2
1log -=+n a n
,12
log
1
2
-=-n a n , ∴1
212--=n n a
例30: 已知数列{}n a 中,21=a ,n ≥2时1
33
711+-=--n n n a a a ,求通项公式.
解:∵1344111+-=---n n n a a a ,两边取倒数得
4
3
11111+-=--n n a a .
可化为等差数列关系式.
4
1
3)1(4311111+=-+-=-n n a a n ∴1
35
3++=n n a n
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.
归纳总结:若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数),则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列,并利用对应项相等求λ的值,求通项公式。
数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法,题型繁杂,方法琐碎,笔者结合近几年的高考情况,对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求,则用累加法求n a 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中,1a =1,11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ,求{n a }的通项公式。 解:∵111n a ==时, 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得:112...n a a -=+++(n-1)=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2.在数列{n a }中,1a =1,12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。 解:n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -,故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。 二、累乘法 形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……),且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求,则用累乘法求n a 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例3.在数列{n a }中,1a =1,1n n a na +=,求n a 。
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
【关键字】方法、关键、关系、满足 1,数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222 n n n n a a ++-= ,故数列{}2n n a 是以122 2 a 1 1==为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:因为112(1)53n n n a n a a +=+?=,,所以0n a ≠,则 1 2(1)5n n n a n a +=+,故
常见数列通项公式的求法 公式: 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习:数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. (1) 当()f n d =为常数时,{}n a 为等差数列,则()11n a a n d =+-; (2) 当()f n 为n 的函数时,用累加法. 方法如下:由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时,() 11n n a a f n --=-, () 122n n a a f n ---=-, ()322a a f -=, () 211a a f -=, 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ (3)已知1a ,()n f a a n n =-+1,其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若()f n 可以是关于n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若()f n 可以是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若()f n 可以是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
求数列通项公式的常用方法 类型1、()n n S f a = 解法:利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且*1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项公式? 1n n S a =-,∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-,∴ 112n n a a +=,又112a =,12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中,3 1 1= a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式 变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1,其中{}b n 是首项为1,公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式; 变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()n n a S n +=∈N .求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式; 变式6. 已知在正整数数列}{n a 中,前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S (1)求证:}{n a 是等差数列 (2)若n b 3021 -=n a ,求}{n b 的前n 项 和的最小值
1,数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222 n n n n a a ++-= ,故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式的方法 教案例题习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
求数列的通项公式的方法 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列, 255a S =.求数列{}n a 的通项公式. 解:设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列,∴9123 a a a =, 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d , ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得:531=a ,5 3=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+= 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 练一练:已知数列 ,32 19,1617,815,413试写出其一个通项公式:__________; 2.公式法:已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法:{11,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。
例2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式。 解:由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时,有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……,.2212-=a a 经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评:利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时,要注意对n 分类讨论,但若能 合写时一定要合并. 练一练:①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+,求n a ; ②数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=,求n a ; 3.作商法:已知12()n a a a f n =求n a ,用作商法:(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 如数列}{n a 中,,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ,则=+53a a ______ ; 4.累加法: 若1()n n a a f n +-=求n a :11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3. 已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。
用放缩法处理数列和不等问题(教师版) 一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理) 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2n n a 是 以1222 a 1 1==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 几种常见的数列的通项公式的求法 一、观察法 1、根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1) ,5 4,43,32,21-- (2) ,5 2,21,32,1 (3)9,99,999,9999,… 二、叠加法:对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中,31=a ,n a a n n +=+1,求通项n a 。 三、叠乘法:对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中,3 11= a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。 四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式,求}{n a 的通项公式。 (1)13-+=n n S n 。 (2)12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。 六、倒数法 8、已知数列{n a }中11=a 且11+=+n n n a a a (N n ∈),,求数列的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的首项11a =,且13(2)n n a a n -=+≥,则n a = 3n-2 . 2.已知数列{}n a 的首项11a =,且123(2)n n a a n -=+≥,则n a 1433n -?-. 3.已知数列{}n a 的11a =,22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥,则1lim n x n a a →∞+= 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1- 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈,求数列{}n a的通 项公式. (二).累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比 数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥, 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈ A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121 常见数列通项公式的求 法(超好) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 常见数列通项公式的求法 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列, 2 55a S =.求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法:已知n S (即12()n a a a f n ++ +=)求n a ,用作差法:{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2:已知数列}{n a 的前n 项和s n ,12-=n s n 求}{n a 的通项公式。 解:(1)当n=1时,011 ==s a ,当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习:数列{a n }满足a n =5S n -3,求a n 。 答案:a n =34 (-14 )n-1 3.累加法: 若1()n n a a f n +-=求n a :11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3:(1)数列{a n }满足a 1=1且a n =a n -1+3n -2(n ≥2),求a n 。 (2)数列{a n }满足a 1=1且a n =a n -1+1 2n (n ≥2),求a n 。 解:(1)由a n =a n -1+3n -2知a n -a n -1=3n -2,记f (n )=3n -2= a n -a n -1 则a n = (a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+(a n -2-a n -3)+…(a 2-a 1)+a 1 =f (n )+ f (n -1)+ f (n -2)+…f (2)+ a 1 =(3n -2)+[3(n -1)-2]+ [3(n -2)-2]+ …+(3×2-2)+1 =3[n+(n -1)+(n -2)+…+2]-2(n -1)+1 =3×(n+2)(n -1)2 -2n+3=3n 2-n 2 (2)由a n =a n -1+12n 知a n -a n -1=12n ,记f (n )=1 2n = a n -a n -1 则a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+(a n -2-a n -3)+…(a 2-a 1)+a 1 =f (n )+ f (n -1)+ f (n -2)+…f (2)+ a 1 =12n +12n -1 +12 n -2 +…+122 +1=12 -12n 练习:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+211 ,求n a 。答案:n a n 1-23= 4.累乘法:已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 例4:在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式。 解:由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n , 高中数学《数列》专题练习 1.n S 与n a 的关系:1 1(1)(1)n n n S n a S S n -=??=? ->?? ,已知n S 求n a ,应分1=n 时1a =1S ; 2≥n 时,n a =1--n n S S 两步,最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2.等差等比数列 3.数列通项公式求法:(1)定义法(利用等差、等比数列的定义);(2)累加法;(3)累乘法( n n n c a a =+1 型);(4)利用公式1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=?->??;(5)构造法(b ka a n n +=+1型);(6)倒数法等 4.数列求和 (1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法;(4)裂项求和法;(5)倒序相加法。 5. n S 的最值问题:在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当0,01<>d a 时,满足?? ?≤≥+001 m m a a 的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01> 最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意:求完后一定要考虑合并通项) 例2.①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-,求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10< 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22 n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2.若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和,对任意正整数 2(1)n a n =-+,34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式; 解: 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习:1. 已知正项数列{a n },其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列,求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3 又10S n -1=a n -12+5a n -1+6(n ≥2),② 由①-②得 10a n =(a n 2-a n -12)+6(a n -a n -1),即(a n +a n -1)(a n -a n -1-5)=0 ∵a n +a n -1>0 , ∴a n -a n -1=5 (n ≥2) 当a 1=3时,a 3=13,a 15=73 a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n -3 三、累加法 高二数学《数列》专题练习 1.n S 与n a 得关系:1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=?->?? ,已知n S 求n a ,应分1=n 时 1a = ;2≥n 时,n a = 两步,最后考虑1a 就是否满足后面得n a 、 2、等差等比数列 (3)累乘法( n n n c a a =+1型);(4)利用公式11(1)(1) n n n S n a S S n -=?? =?->??;(5)构造法(0、 b ka a n n +=+1 型)(6) 倒数法 等 4、数列求与 (1)公式法;(2)分组求与法;(3)错位相减法;(4)裂项求与法;(5)倒序相加法。 5、 n S 得最值问题:在等差数列{}n a 中,有关n S 得最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当0,01<>d a 时,满足???≤≥+00 1 m m a a 得项数m 使得m S 取最大值、 (2)当 0,01> 数列通项公式的几种求法 注:一道题中往往会同时用到几种方法求解,要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = (七)、对数变换法 (当通项公式中含幂指数时适用) (八)、迭代法 (九)、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ (1)()f n d = (2)()f n n = (3)()2n f n = 例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。(3 1.n n a n =+-) 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ (1)()f n d = (2)()f n n =, 1 n n +,2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 ((1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???) 评注:本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+,进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ,即得数列{}n a 的通项公式。 例4 (20XX 年全国I 第15题,原题是填空题) 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ,,求{}n a 的通项公式。(! .2 n n a = ) 评注:本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥,进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ,从而可得当2n n a ≥时,的表达式,最后再求出数列{}n a 的通项公式。数列通项公式方法大全
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