矩形
一、矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己的特征：
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．
2：矩形对角线相等．
（1）边：对边平行且相等（共性）
（2）角：四个角都是直角（个性）
（3）对角线互相平分（共性）
相等（个性）
（4）对称性中心对称图形（共性）
轴对称图形（个性）
矩形判定1．有一个角是直角的平行四边形是矩形
2．对角线相等的平行四边形是矩形
3．有三个角是直角的四边形是矩形
（四个内角都相等的四边形为矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形）
菱形：1、菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己的特征：
①菱形的四条边都相等
②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
2、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
3、菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。
菱形的判定方法
一．（定义）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
二．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
三．四条边都相等的四边形是菱形；
四．每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
正方形：
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
正方形的性质：
１. 正方形的四条边相等，对边平行。（边）
２. 正方形的四个角都是直角。（角）
３. 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（对角线）正方形的判定：１.有一个角是直角的菱形是正方形。
２.有一组邻边相等的矩形是正方形。
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是…………（）
o D
A
B C
E
A ．24cm 2
B ．32cm 2
C ．48cm 2
D ．128cm 2
2．矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是…………………………………（ ） A ．对角线相等
B ．对边相等
C ．对角相等
D ．对角线互相平分
3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是……………………………………（ ） A ．矩形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．平行四边形
4．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是………………………………………（ ） A ．□ ABCD 中，AB =BC B ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BD
D ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD
5．若直角三角形中两直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线是……………………（ ） A ．13
B ．6
C ．6.5
D ．6.5或6
6．菱形和矩形都具有的性质是 ……………………………………………………………（ ） A ．对角线相等
B ．对角线互相平分
C ．对角线平分一组对角
D ．对角线互相垂直
7．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于…………（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．30°
D ．22.5°
8．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为………………………（ ）
A ．23cm
B ．24cm
C ．23cm
D ．223cm
9．菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为…………………………（ ） A ．1:2:3 B ．1:2:1
C ．1:3:2
D ．1:3:1
10．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，
∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1 处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ） A ．3
B ．2
C ．3
D ．32
二、专心填一填（每小题3分，共30分）
11．若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为 ． 12．如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它成为矩形的条件可以是 ． 13．若矩形短边长4cm ，两对角线的夹角为60度，则对角线长是 cm ．
14．如图，在菱形ABCD 中,∠BAD =80度，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，
C
B
A D
连接DF，则∠CDF的度数为．
（第12题图）（第14题图）（第16题图）（第17题图）15．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是．
16．如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=1.5，则斜坡的坡长．
17．如图，在扇形中，∠AOB=90度，OA=5，C是弧AB上一点，且CD⊥OB，CE⊥OA，垂足分别为点D、E，则DE= ．
18．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452
AOC OC
∠==
°，，则点B的坐标为．
19．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离16cm
AB BC
==，则1=
∠度．
（第18题图）（第19题图）（第20题图）20．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的面积是 cm2．
三、耐心做一做（本题有5小题，共40分）
21．（本题6分）已知：如图所示，在矩形ABCD中，AF＝BE．
求证：DE＝CF．
x
y
O
C B
A
1
A B C
A
D C
B
F E
22．（本题8分）如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，306
ACD BD
∠==
°，．（1）求证：△ABD是正三角形；
（2）求AC的长（结果可保留根号）．
23．（本题8分）如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分∠BAD,
若∠EAO=15°,求∠BOE的度数．
24．（本题8分）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是
．（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是．
O
D
B
A
o
C
D
25．（本题10分）已知，一张矩形纸片ABCD 的边长分别为9cm 和3cm ，把顶点A 和C 叠合在一起，得折痕
EF （如图）．
（1）猜想四边形AECF 是什么四边形，并证明你的猜想． （2）求折痕EF 的长．
26、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是多少？
27、（2010肇庆）如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△；
（2）求证：DE EF FB =+．
A D
E F C
G
B
28. （2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ；
（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．
第21题图
A B
C
D
E
F
M
参考答案一、选择题
二、填空题
11、22cm或26m
12、AC=BD或∠ABC=90度（或其他三个角也可以）
13、8
14、60度
15、矩形
16、1：22
17、5
18、（2+1，1）
19、120度
20、2
三、解答题
21、略
22、（1）略
（2）AC=63
23、75度
解：方法1：设AB=1，
∵AE平分∠BAD，∠EAO=15°，
∴∠BAE=∠AEB=45°、∠ACB=30°，
∴∠OBC=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=1，AE= ，AC=2，
∴，
∵∠OAE=∠EAC，
∴△AOE∽△AEC，
∴∠AEO=∠ACE=30°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠EAC=45°，
∴∠BEO=75°，∠OBE=30°，
∴∠BEO=75°．
方法2：：∵ABCD为矩形，∴∠BAD=90°
∵ABCD相交于O点，∴AO=CO=BO=DO
∵AE平分∠BAD交BC于E点∴∠BAE=∠EAD=45°
∵∠EAC=15°∴∠BA0=60°
∵AO=BO
∴∠ABO=60°
∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°∴∠AOB=60°
∴△AOB为等边三角形
即AB=OA=BO
又∵∠ABC=90°∠EAB=45°
∠ABC+∠EAB+∠BEA=180∴∠BEA=45°
∴△ABE为等腰直角三角形
∴BE=BA
∵BE=BA而BA=BO∴BE=BO
即△OBE为等腰三角形
∵∠ABC=90°∠ABO=60°
∴∠OBE=30°
∴∠BOE=∠BEO=（180-30）÷2=75°．
故∠BOE的度数75°．
24、（2）平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）矩形，有一个为直角的平行四边形为矩形。
25、（1）菱形，可证四边形AECF的四边相等。
（2）10
26、解：由勾股定理得
S A+S B+S C+S D=S最大正方形=49．