习题18
18-3. 当波长为3000?的光照射在某金属表面时，光电子的能量范围从0到?10-19J 。在做上述光电效应实验时遏止电压是多大?此金属的红限频率是多大?
[解] 由Einstien 光电效应方程
()02max
21νν-=h mv 2
max 2max 02
121mv hc mv h h -=-=λνν
19191910626.2100.410626.6---?=?-?=
红限频率 Hz 1097.3140?=ν 遏止电压a U 满足 J 100.42
1192
max a -?==
mv eU 所以 V 5.2106.1100.419
19
a a =??==--e eU U
18-4. 习题18-4图中所示为一次光电效应实验中得出的遏止电压随入射光频率变化的实验曲线。
(1)求证对不同的金属材料，AB 线的斜率相同； (2)由图上数据求出普朗克常量h 的值。
[解] (1) 由Einstien 光电效应方程得 A h U e -=νa 即 e
A
e h U -=νa
仅A 与金属材料有关，故斜率e
h
与材料无关。
(2)
()s V 100.410
0.50.100.21514??=?-=-e h 所
以
s J 104.6106.1100.4341915??=???=---h
18-5. 波长为λ的单色光照射某金属M 表面产
生光电效应,发射的光电子(电量绝对值为e,质量为m )经狭缝s 后垂直进入磁感应强度为B 的均匀
?
× × ×
×
× × × × × × ×
×
× × ×
×
电子
M
λ
B
习题18-5图
磁场，如习题18-5图所示。今已测出电子在该磁场中作圆运动的最大半径为R ，求
(1)金属材料的逸出功； (2)遏止电势差。
解：设光电子获得的速度为v,电子在磁场中的半径R 可表示为：
eB
mv R =
设金属材料的逸出功为W 0，根据光电效应方程，有
202
1
mv W c
h
h +==λν 联立上面二式可得，W 0=()m
ReB c
h
W 2-2
0λ
=
(2)由()m
ReB mv eU 221
2
2=
= ()m
RB e U 22
= 18-6. 在康普顿散射中，入射光子的波长为?，反冲电子的速度为光速的60％。求散射光子的波长和散射角。
[解] (1) 电子能量的增加ννh h E -=?0
()???
?
??--=-=160.011
2202
0c m c m m
2025.0c m =
0434.025.011
2
00
=???
?
??-=-h c m λλ?
(2) 由于 )cos 1(0φλ-=
?c
m h
所以 554.0cos 100
=-=
-c
m h λλφ
解得 。
4.63=φ
18-7. 已知X 射线光子的能量为，若在康普顿散射中散射光子的波长变化了20％，试求反冲电子的动能。
[解] 020.0λλ=? MeV 60.00=νh
0020.1λλλλ=?+=
20
.120.100νλλ
ν==
=
c
c
反冲电子动能 ()MeV 1.020.11100k =??
? ??
-=-=νννh h E
18-8. 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为 4340?，试求：
(1)与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特?
(2)该谱线是氢原子由能级E n 跃迁到E k 产生的，n 和k 各等于多少? (3)若有大量氢原子处于能级为E 5的激发态，最多可以发射几个线系?共几条谱线?请在氢原子能级图中表示出来，并指明波长最短的是哪一条谱线。 [解] (1) λ
νc
h
h =
eV 86.2J 1058.44340
10988.11915=?=?=--
(2) 86.21416.131136.1222=??
?
??-=??? ??-=n n k h ν
因此 n =5 k =2
(3) 共四个线系：赖曼系、巴耳末系、帕邢系、布喇开系。共十条谱线。波长最短的是从n =5到n =1跃迁发射的谱线。
18-9. 以动能为 eV 的电子通过碰撞使处于基态的氢原子激发，最高能激发到哪一级？当其回到基态时能产生那些谱线？求出其波长（已知普朗克常量h = ×10-34 J·s ，基本电荷e=×10-19C ）。
解：根据氢原子的能量公式，电子在基态和激发态之间进行跃迁时所需要的能量为
???
?
?--=2211136.1k E ?当k=3时，09.12=E ? 当k=4时，5.1275.12<=E ?，电子所拥有的动能最多只能将处于基态的氢原子激发
到k=3的能级上。
当电子从k =3的激发态跃迁到基态时，可发出三条不同的谱线，这就是从k =3的定态到k =2的定态，从k =2的定态到基态和从k =3的定态直接跃迁到基态。三种跃迁所发射的谱线，由巴耳末公式得
7
122111.09710(
)23ν=?-% 得 1
1
16571λν==%? 72
22111.09710()12ν=?-% 得 22
11217λν==%?
7
322111.09710(
)13ν=?-% 得 3
3
1
1027λν==%?
18-10. 试求：(1)红光(λ=7×10-5cm)；(2)X 射线(λ= ?)的光子的能量、动量和质量。
[解] (1)J 1084.210710988.119
7
25---?=??==λhc
E m kg 1047.928??==
-c E
p kg 1016.3362-?==c E
m
(2) J 1096.71025.010988.11510
25---?=??==λhc
E m kg 1065.223??==
-c E
p kg 1084.8322-?==c E
m
18-11. 求下列各自由粒子的德布罗意波长：(1)被400V 电压由静止加速的电子；(2)能量为100eV 、质量为kg 103-的质点。
[解] (1)
eU v m =202
1
s m 1019.110
11.9400106.122731
190?=????==--m eU v 61000.v
c c m h v m h p h ====
λ? (2) m
p E 22
k = 即 k 2mE p =
1419
334k 107.3106.110010210626.62----?=?????===mE h p h λ?
18-12. 若电子的总能量为静止能量的2倍，求电子的德布罗意波长。
[解] 202
202
21c m c v c m mc =??
? ??-=
c v 2
3=
014.0310====
c
m h mv h p h λ ?
18-13. 静止的氢原子从n =4的能态跃迁到n =1的能态时而发射光子，求氢原子的反冲速度(已知基本电荷e=×10-19C ，氢原子质量m =×10-27kg)。
解：氢原子n =4的能态跃迁到n =1的能态时发射光子的能量为：
eV E 75.12114136.122
=???
??--=? （1）
又因为Pc c
h
E ==λ
?， 因此
P c
E
=?，氢原子和光子组成的系统动量守恒，因此有
E
P mv c
?=
= (2) 联立（1）和（2）可得
-191-278
12.75 1.610 4.07m s 1.6710310
E v mc -???===???? 18-14. 试证明自由粒子的不确定度关系可以写成λ???x ≥2λ (提示：根据x p x ???≥h 求解) 证明：x x p h ??≥，其中x x p ??和为位置和动量不确定量的大小
()
211
2
12
12
=x h h
h
h x p x
x
x
h λλλ
λλλλλλ-????-
=?=?≥
由于12λλ和差别很小，所以近似认为12==λλλ， 所以12
1x
λ
λλ??≥，既2x λλ??≥，其中λ?是波长的不确定量的大小。
18-15. 光子的波长为λ=5000 ?，如果确定此波长的精确度达到λλ610-=?，试求此光子位置的不确定量△x (按x p x ???≥h 求解)。
[解] 根据上题x ?≥
9662210510
5000
10?===--λλλ?λ ?= 18-16. 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
()??
? ??=
a x a x πφ3sin 2 (0≤x ≤a ) 试求：
(1)粒子在4
3a x =处出现的概率密度；
(2)发现粒子概率最大的位置； (3)画出粒子概率分布的示意图。 [解] 粒子在x 处的概率密度()()??
?
??==
a x a
x x π?ρ3sin 222
(1) a
a a a a 1
433sin 2432=??? ??=??? ??πρ
(2)令
()0=??x x ρ得，06sin =a x π，即ππn a
x
=6 (n =0，1，……，6) 所以极值点在6na x = (n =0，1，……，6)处。n 为奇数时a a a x 6
5
,63,61=为()x ρ极大
点处，而当n 为偶数时对应()x ρ极小值。
18-17. 原子中一电子的主量子数为n =2，它可能具有的状态数为多少?分别用一组量子数
表示出各种可能的状态。
[解] 可能状态数822222=?=n ，它们分别是(2，0，0，21±)、(2，1，1，2
1
±)、(2，1，0，21±)、(2，1，-1，2
1
±)
18-18. 在原子的壳层结构中，为什么n =3的壳层最多只能容纳18个电子?
[解]由于泡利不相容原理，不允许有两个电子具有同一量子态，即同一组()s l m ,m ,l .n 量子数。给定n ，l 只可取0，1，……，n -1，给定n 、l 后，l m 只能取-l ，-l +1，……，l 等2l +1个值，给定n 、l 、l m 后，s m 只可取2
1
±
=s m ，故对于一定的n 只能有 ()()222
1222122n n n l =?-+=
+∑
个不同的态。当每个量子态都被一个电子占据时n 壳层电子数最多。n =3，它为1822=n 18-19. 说明绝缘体和半导体能带结构的相同点和不同点。 答：相同点是绝缘体和半导体的价带为满带。不同点是绝缘体的满带和空带之间的禁带宽度较大，而半导体的禁带宽度较小。
18-20. 已知T =0K 时纯硅晶体能吸收的辐射的最长波长是μm ，求纯硅晶体的禁带宽度（用eV 表示）。 解：纯硅晶体能吸收的最小辐射对应的正好是电子恰好越过禁带宽度所需要的能量，因此禁带宽度为
eV eV hc
E 14.1106.11009.11031064.619
-68
-34=??????==--λ
18-21. 什么叫粒子数的反转？实现粒子数反转的条件是什么？
[答] 从一般情况的高能级上的原子数2n 大于低能级上的原子数1n 转变为2n >1n 的分布称为粒子数的反转。
实现粒子数反转的条件： 激励能源：提供能量。
激活物质：有适当的能级结构（亚稳态）。
18-22. 谐振腔有何作用？
[答] 1 ) 产生并维持光振荡，使光得到加强放大。
2 ) 提高激光的方向性。
3 ) 具有选频作用，提高激光的单色性。