2018年甘肃省兰州市高三一诊考试理科数学试卷

2018年甘肃省兰州市高三一诊考试理科数学试卷

2018.3

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U R =，集合}{|0M x x =≥，集合{}|1N x x =<，则()U M C N ?（ ）

A.()01，

B.[]01，

C.[)1.+∞

D.()1+∞， 【答案】C

【解析】{}|1U C N x x =≥,()U M C N ?{}|1x x =≥ 【备注】考察集合间的基本关系，属于基础题.

2.若复数已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A.复数z 的实部为5 B.复数z 的虚部为 12i C.复数z 的共轭复数为 512i + D. 复数z 的模为13 【答案】D

【解析】复数z 的实部为5-；复数z 的虚部为 12;复数z 的共轭复数为512i -- ; 复数z 的模为

13

【备注】考察复数的基本性质，属于基础题.

3. 已知数列{}n a 为等比数列，且2

264a a a π+=，则()35tan a a （ ）

【答案】A

【解析】2635a a a a =,2

43522a a a =,原式353a a =π=，故353

a a π

=

,()35tan a a =

【备注】考察等比数列的基本运算，属于基础题.

4. 若双曲线 22

221x y a b

-=的一条渐近线与抛物线221y x =+只有一个公共点，则双曲线离心率为（ ）

A.

54 B.5【答案】D

【解析】双曲线渐近线方程是b y x a =±,联立代入抛物线，210b x x a -+=,2

40b a ?

??=-= ???

,

2,b a c ∴=,【备注】考察双曲线的基本性质及曲线与直线的交点个数，属于基础题.

5.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =,点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()

PA PB PC ?+等于（ ） A. 49-

B.43-

C.43

D.49

【答案】A 【解析】

P 是三角形的重心，

∴()

PA PB PC ?+=PA AP ?2

PA =-

1AM =2

3PA ∴=

∴()

PA PB PC ?+94

=-

【备注】考察向量的基本性质及重心在向量中的表示，属于基础题.

6. 已知数列{}n a 为等比数列，11a =,对任意*n N ∈ ，有11n n a n a +=++，令1

i i

b a =()*i N ∈，则122018b b b ++???+=（ ） A.

20171009 B.20172018 C.20182019 D.4036

2019

【答案】D

【解析】累加法求通项公式：

11n n a a n +-=+2111a a ∴-=+3212a a -=+111n n a a n --=+-相加得()112111n a a n n -=++???+-+-? 2211222

n n n a n n +∴=

+= ()2221n b n n n n ∴=

=++1121n n ??=- ?+??

2018111111403621212232018201920192019S ????∴=-+-+???+-=-=

? ?????

【备注】考察累加法求数列通项公式及裂项相消法求数列的前n 项和，属于基础题.

7. 若11n

x x ??++ ???的展开式中各项的系数之和为81，

则分别在区间[]0π，和0,4n ??

????内任取两个实数,x y 满足y sinx >的概率为 A. 1

1π

-

B. 2

1π

-

C. 3

1π

-

D.

1

2

【答案】B

【解析】由题意知，令1x =，得到381n =，解得4n =，0x π∴≤≤，01y ≤≤.做出对应的图像如左图，则 此时对应的面积1S ππ=?=，满足sin y x ≥的点构成区域的面积为0

sin cos cos cos02S xdx x π

π

π==-=-+=?，

则满足y sinx >的概率为2

1P π

=-.

【备注】考察二项式定理的系数运算及几何概型和积分法求面积的运算，属于中档题.

8. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”意思是说：把一块立方体沿斜边分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积为2:1，这一结论叫做刘徽原理。如图是一个阳马三视图，其外接球的体积为

A.3π

B. 3

π C. 3π D. 4π 【答案】B

【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形 且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图所示： 根据图中数据，外接球的体积为 ()2

2

1

31(2)2

R =

+=

3433V R ππ==

【备注】考察三视图的还原及四棱锥外接球体积的计算，属于中档题. 9. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 A. 1008 B. 2017 C. 2018 D. 3025

【答案】A

【解析】法一：模拟程序得出：输入1,0i S ==，

11cos 112

a π

=?+=，0+11S ==，2018i <，是，2i =；

221cos 112

a π

=?+=-，110S =-=，2018i <，是，3i =； 331cos 112

a π

=?+=，0+11S ==，2018i <，是，4i =； 441cos 152

a π

=?+=，156S =+=，2018i <，是，5i =； 551cos

112

a π

=?+=，167S =+=，2018i <，是，6i =；

201720172017cos

112a π=?+=；201820182018cos 120172

a π

=?+=-； 可发现123456786a a a a a a a a +++=+++==，

所以程序框图运行后输出的算式为： 12342015201620172018S a a a a a a a a =++++

++++

()()()()()0121012014120171=++-+++++-++-+

6662016=+++-

2016

620163024201610084

=?

-=-=. 法二：

由法一知，12342015201620172018S a a a a a a a a =++++

++++.

奇数项均为1，偶数项依次是1,5,5,9,9,,2017,2017----，所以，奇数项的和为2018

110092

?

=，偶数项的和 ()()155201720171-+-+-=-，所以有12342015201620172018100911008S a a a a a a a a =++++

++++=-=.

【备注】考察流程图及三角函数的计算，属于中档题.

10. 设p ：实数,x y 满足(

)(

2

2

123x y ??-+-≤-??q ：实数,x y 满足111

x y x y y -≤??

+≥??≤?

，则p 是q 的

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】由题目可知，命题p 和命题q 表示的范围如图所示，则可知命题p 能推出来命题q ，反之则不能，所以，选B.

【备注】考察命题及线性规划，属于中档题.

11. 已知圆()()2

2

:1410C x y -+-=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点,A B ，使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（ ）

A.[]2,6-

B.[]3,5-

C.[]2,6

D.[]3,5 【答案】C

【解析】由题意可知，102CM ≤?;所以()()2

2

51420t -+-≤

26t ≤≤ ，选C .

【备注】考察垂直与距离条件间的抽象转换，属于中档题.

12. 定义在02π??

???

，上的函数()f x ，已知()'f x 是它的导函数，且恒有()()cos 'sin 0x f x x f x ?+?<成立，则有

A.264f f ππ????> ? ?????

B.333f f ππ????

> ? ?????

C.363f f ππ????> ? ?????

D.364f f ππ????> ? ?????

【答案】C 【解析】令()()

,0,cos 2f x g x x x π??

=

∈ ???

，()()()2cos 'sin '0cos x f x x f x g x x ?+?=

< 所以函数()g x 在区间02π?? ???，上单调递减，63g g ππ????

> ? ?????

即6313

2f f ππ????

? ?

????

> 即363f f ππ????> ? ?????，

故选C .

【备注】考察导数中原函数的还原及单调性的运用，属于难题.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把【答案】填在题中的横线上. 13. 若2sin 45πα??-=- ???，则cos 4πα??

+= ???

___________.

【答案】2

5

-

【解析】

4

4

2π

π

π

αα-+

+=

，∴根据诱导公式可得sin sin 424

πππαα??

????-=-+ ? ????????? 2cos 45πα??

=+=- ???

.

【备注】考察三角函数中角的整体转换及诱导公式的运用，属于简单题.

14. 已知样本数据122018,,,a a a ???的方差是4，如果有2i i b a =-()1,2,,2018i =???，那么数据122018,,,b b b ???的均方差为

____________. 【答案】2

【解析】因为2i i b a =-，所以i b 和i a 的方差相等.均方差是标准差. 【备注】考察方差的计算，属于简单题.

15. 设函数()()sin 22f x x π???

?=+< ??

?向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则?=___________.

【答案】

3

π

【解析】将原函数向左平移3π个单位，即()2sin 2sin 233g x x x ππ????????=++=+

+ ? ? ???????

为奇函数，则()20sin 03g π???

=+= ???，又2π?<

，即

23π?π+=，3

π

?=. 【备注】考察三角函数的平移及奇偶性，属于简单题.

16. 函数()()2323

1,12323

x x x x f x x g x x =+-+=-+-，若函数()()()34F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[](),,,a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为___________.

【答案】10 【解析】()'

210f

x x x =-+>恒成立，则()f x 在R 上单调递增，由()()00,10f f >-<，可得零点在()1,0-上，故()3f x +的

零点在()4,3--上；()'2

10g x x x =-+-<恒成立，则()g x 在R 上单调递减，由()()10,20g g ><，可得零点在()1,2上，故

()4g x -的零点在()5,6上；故()F x 的零点在()4,6-上，b a -最小值为10. 【备注】考察零点存在性定理及图像的平移，属于难题.

二、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤. 18. （本小题12分）已知向量()(

)

cos2,sin2,3,1a x x b ==

，函数()f x a b m =+。

（1）求()f x 的最小正周期；

（2）当0,2x π??

∈????时，()f x 的最小值是5，求m 的值。

【答案】（1）π;（2）5

【解析】（1）由题意得：()3cos2sin 2f x a b m x x m =?+=++312sin 22sin 223x x m x m π??

?=++=++? ??????则可得22

T π

π=

=; （2）∵0,2x π??∈????，则42,333x πππ??+=????在此区间上sin 23x π??+ ???在2x π=处取得最小值为3

325m ??+= ??

53m =【备注】考察向量与三角函数的结合及三角函数的简单性质，属于简单题.

18. (12分)如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G ?=,AD ⊥平面ABE ,2AE EB BC ===,F 为CE 上的点，且BF ⊥平面

ACE .

(1)求证：AE ⊥平面BCE ;

(2)求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值. 【答案】（1）略;（2）3

【解析】

AD ⊥平面ABE ,//AD BC

AE BC ∴⊥平面ABE ,则AE BC ⊥

BF ⊥平面ACE AE BF ∴⊥

又,BC BF B BC ?=和BF ?平面BCE

AE ∴⊥平面BCE

(2)以AB 中点为坐标原点，分别以OE ，OB ，OG 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则

()()())

0,2,0,2,0,2,2,2,0,0A B C E

-,()()0,22,0,2,2,2DC EC ==-，平面BEC 的法向量为(

)

2,2,0AE =

设平面CDE 的法向量(),,n x y z =，则0

020y n DC x z n EC ?=??=??????=????，令(

)

2,0,1n =

，

3

cos ,AE n <>=

， ∴平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为3【备注】考察空间几何体点、线、面基本关系及用向量法求二面角，属于基础题.

19. （本小题12分）某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：

C ）的相关数据，如下表：

x

11

9 8 5 2 y

7

8

8

10

12

(1) 试求y 与x 的回归方程y bx a =+;

(2) 判断y 与x 之间是正相关还是负相关;若该地12月某日的最高气温是6C ,试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；

(3) 假定该地12月份的最高气温()2,X

N μσ,其中μ近似取样本平均数x ,2σ近似取样本方差2s ,试求

()3.813.4P X <<

附：参考公式和有关数据 ()()

()

1

1

2

2

2

1

1

?,

??.n

n

i i i

i i i n

n

i

i

i i x y nxy

x

x y y b x

nx

x

x a

y bx ====?---??=

=

??

--??=-??∑∑∑∑

3.2

, 1.8,若()2,X

N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,且()220.9544P X μσμσ-<<+=

【答案】（1）0.5612.92y x =-+;（2）9.56;（3）0.8185

1

i =28

50

b -=

=-，(90.56a y bx =-=--0.56y x =-由0.56b =-

20. （12分）已知圆()2

2:18C x y ++=，过点()1,0D 且与圆C 相切的动圆圆心为P ,

（1）求点P 的轨迹E 的方程；

（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于,Q S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于,R T 两点， 且12l l ⊥，垂足为W （,,,Q R S T 为不同的四个点） ①设()00,W x y ，证明：

2

20012

x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.

【答案】（1）

2

212

x y +=;（2）①略；②169 【解析】（1）易得圆C 的圆心为()1,0C -,

半径为r ，

由题意，,PC r PD r ==，

2PC PD ∴+=

∴点P 的轨迹E 为以,C D 两点为焦点的椭圆，设E 的标准方程为

()22

22

10x y a b a b +=>>，则

21a c ==，解得222,1a b == ∴点P 的轨迹E 的方程为

2

212

x y +=. （2）①.当直线1l 与2l 斜率不存在或为0时，可得()1,0W 或()1,0W 满足题意；

当1l 、2l 斜率都存在时，设()1:1l y k x =+，()21:1l y x k =--，联立()

()11

1y k x y x k =+??

?=--??

得221x y +=，()00,W x y 满足方程，即22001x y +=， 显而易见2

20012

x y +<. ②.当直线1l 与2l 斜率不存在或为0

时，则可设2

2|||22b QS RT a a

=

===， 则1

||||22

QRST S QS RT =??=

当1l 、2l 斜率都存在时，设()1:1l y k x =+，()()1122,,S ,Q x y x y ，()21

:1l y x k

=-

-， ()()3344,,T ,R x y x y .

联立()22

121x y y k x ?+=???=-?

得()2222

124220k x k x k +++-=，

则22121222422,1212k k x x x x k k

-+=-

=++，

||QS

同理可得

||RT

()()()2

222224112||||22221225QRST

k S QS RT k k k k +=??==-+++

+16

29≥（当且仅当1k =±时取等号） 综上可得四边形QRST 面积最小值为

16

9

. 【备注】考察椭圆的定义及椭圆中相交直线的弦长和几何体面积的最值问题，属于中档题. 21. （本小题12分）已知函数()1

1

x x t f x e x -+=

-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >

时，

①1，②1x e x ->.

（2）证明：对任意的1,1x t >>-，有

()11ln 2f x x ?

>+??.

【答案】（1）略;（2）略

【解析】（

1t ，则()0,1t ∈.()ln 1g t t t =-+

因为()1

10g t t '=->，所以()g t 在()01，

上单调递增 所以()()max 10g t g <=，所以ln 10t t -+<

即：1

②令()1

x h x e

x -=-，()1,x ∈+∞.则()110x h x e -'=->

所以()()min 10h x h >=，所以()1

0x h x e x -=->.

即：1x e x ->

（2）由1,1x t >>-，10t x x +>->.所以

11t x

x +>-，所以()111

x x x t f x e e x --+=>-

要证()11ln 2f x x ?>+?

?，只需证明1

11ln 2x e x -?>+??.

由②可知()1,x ∈+∞时，1x e x ->

.只需证明11ln 2x x ?

+?

?.

11ln 2x ??

>+ ???

，

令

()1

1ln 2

F x x =-，()1,x ∈+∞.则(

)102F x x '=

> 所以()F x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以()()10F x F >=.

1

1ln0

2

x

->.即(

)1

1ln

2

f x x

?

>+?

?

.

【备注】考察导数求最值证明不等式成立及推理法，属于难题.

请考生在22，23题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目，如果多做，则按做得第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程

（

1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.

【答案】（1

）220

x y

+=;（2）

【备注】考察参数方程与直角坐标的转换及线段的最值转换，属于中档题.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数()2

f x x a x

=-+，其中0

a>.

（1）当2

a=时，求不等式()21

f x x

≥+的解集；

（2）若存在()

2,

x∈-+∞时，恒有()0

f x>，求a的取值范围.

【答案】（1）(][)

,13,

-∞?+∞;（2）2

a≥

【解析】（1）2

a=时,2221

x x x

-+≥+,所以21

x-≥，所以3

x≥或1

x≤，所以解集为(][)

,13,

-∞?+∞. （2）()

3,

,

x a x a

f x

x a x a

-≥

?

=?

+<

?

，所以当2

x≥-时()2

f x x a a

≥+>-+，只需20

a

-+≥即可，所以2

a≥.

【备注】考察绝对值不等式性质问题及求参数取值范围，属于中档题.