22、定积分
22．2 微积分基本定理与应用
一．知识结构
1、定积分
⑴定积分的定义：
)(lim )(1
i n
i b
a
n f n
a
b dx x f ξ∑
?
=∞
→-=（注意整体思想） ⑵定积分的性质：①
?
?=b
a b
a
dx x f k dx x kf )()( （k 常数）；
②??
?±=±b
a
b
a
b a
dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121；
③
??
?+=b
c
b
a
c a
dx x f dx x f dx x f )()()( （其中)b c a <<。（分步累加）
⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
?
-==b
a
b a a F b F x F dx x f )()(|)()(
（熟记'???
? ??+=+11n x x n n （1-≠n ），()'=x x ln 1，()'-=x x cos sin ，()'=x x sin cos ，'???
? ??=a a a x
x ln ，()'=x x e e ） 2定积分的应用：
①求曲边梯形的面积：dx x g x f S b
a
))()((?-=
（两曲线所围面积）；
注意：若是单曲线)(x f y =与x 轴所围面积，位于x 轴下方的需在定积分式子前加“—”
②求变速直线运动的路程：?
=b
a
dt t v S )(；
③求变力做功：?
=
b
a
ds s F W )(。
二，典型例题
【典型例题】
[例1]（1）由抛物线x y =2
和直线x =1所围成的图形的面积等于 （ ）
A ．1
B ．
3
4
C ．3
2 D ．3
1 （2）如图，阴影部分的面积是
（
）
A ．32
B ．329-
C ．
3
32 D ．3
35 （3）dx x |4|1
02
?
-=
（
）
A ．
321
B ．
322
C ．3
23
D ．3
25
（4）
dx x ?π
π
2
22cos = ． （5）按万有引力定律，两质点间的吸引力2
21r m m k
F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，
r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点m 1沿直线移动至离m 2的距离为b 处，试
求所作之功（ｂ＞a ） ．
[例2] 如图，求由两条曲线2
x y -=，2
4x y -=及直线y = -1所围成图形的面积．
[例3]如图，抛物线C 1：y = -x 2与抛物线C 2：y =x 2-2ax (a >0)交于O 、A 两点．若过原点的直线l 与抛物线C 2所围成的图形面积为
3
2
9a ，求直线l 的方程．
[例4]已知A （-1，2）为抛物线C ：y =2x 2上的点．直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切．直线l 2：x =a (a ≠-1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D ．
（1）求直线l 1的方程；
（2）设?ABD 的面积为S 1，求BD 及S 1的值；
（3）设由抛物线C 、直线l 1、l 2所围成的图形的面积为S 2，求证：S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．
y
x o 1 2 2 - -1 -1 A B C D 2x
y -= 24x y -= 例2图
例3图
A
【课内练习】 1． 5
(24)x dx -?
= （ ）
A ．5
B 。4
C 。3
D 。2
2．
2
11
ln xdx x ?=
（ ）
A ．21
ln 22 B 。ln 2 C 。2ln 2 D 。ln2
3． 若11
(2)3ln 2a x dx x
+=+?，且a ＞1，则a 的值为
（ ）
A ．6
B 。4
C 。3
D 。2 4． 已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为
（ ）
A ．203gt
B ．2
0gt C ．202gt D ．206
gt
5． 曲线2
x y =与直线2+=x y 所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ． 6． ()0d x
F't t =?
。
7．
(cos 5sin 2)d a
a
x x x x --+?
= 。
8． 计算下列定积分的值
（1）?--3
1
2
)4(dx x x ；（2）dx x x ?+20
)sin (π
；（3）dx x ?-
22
2cos π
π。
9． 平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m 的平行线段，沟宽AB 为2m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深1.5m ，沟中水深1m ．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？
10．设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ． （1）求)(x f 的表达式．
（2）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等
分，求t 的值．
22、定积分
22．2 微积分基本定理与应用
A 组
1． 下列有定义的定积分为
（
）
A ．1
11dx x
-?
B 。2
21
cos dx x
-?
C 。4
2
(2)dx
x -?
D 。2
ln xdx ?
2． dx e e x x ?
-+1
)(=
（ ）
A ．e
e 1+
B ．2e
C ．
e
2 D ．e
e 1- 3． 曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积 （
）
A ．4
B ．2
C ．2
5
D ．3
4． 若20
(345)a
x x dx +-?=a 3-2（a ＞1），则a= 。
5． 9
4
(1)d x x x +?
= 。
6． 求定积分：12
2
32
(9)x x dx -?。
7． 求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积． 8．
如图，抛物线24y x =-与直线y ＝3x 的二交点为A 、B .点P 在抛物线的弧上从A 向B
运动。
（1）求使PAB ?的面积为最大时P 点的坐标(,)a b ；
（2）证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x ＝a 分为面积相等的两部分.
22、定积分
22．2 微积分基本定理与应用
B 组
1． 2
30
(2cos 1)2
x
dx π
-?
= （ ）
A ．32
-
B 。12
- C 。12
D 。32
2．
3
20
|312|x dx -?
=
（
）
A ．21
B 。22
C 。23
D 。24
3． 下列命题： ①若f(x)是定义在R 上的奇函数，则0
()x
f t dt ?为R 上的偶函数；
②若f(x)是周期为T （＞0）的周期函数，则0
()()a a T
T
f x dx f x dx +=??
；
③0
(())()x
f t dt f x '''=?。
其中正确命题的个数为
（ ）
A ．0
B 。1
C 。2
D 。3
4． 由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为 。 5． 已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ． 6． 求由曲线22y x x =-与x 轴所围的封闭区域的面积。
7．
设某物体一天的温度T 是时间t 的函数，T (t ) = at 3+bt 2+ct +d (a ≠0)，其中温度的单位
是C
，时间的单位是小时，t =0表示12∶00，t 取正值表示12∶00以后．若测得该物体在8∶00的温度为8C
，12∶00的温度为60C
，13∶00的温度为58C
，且已知该物体的温度在8∶00和16∶00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；
（2）该物体在10∶00到14∶00这段时间中（包括10∶00和14∶00），何时温度最高？并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数)(x f 在)](,[2121x x x x <上函数值的平均为
?
-2
1
)(11
2x x dx x f x x ，求该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度．
8． 一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功． 8．
物体的速度233)(bt bt dt
dx
V ='==
．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a 时，31
1)(b
a
t t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为
32
771303203027
27727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====?==????。
参考答案
22．2 微积分基本定理与应用
【典型例题】 [例1]（1）B ． （2）C ． （3）C ．
（4）
2
14-π。 （5）)1
1(21b
a m km -。
[例2]由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍． 由?
??-=-=12y x y 得C （1，-1）．同理得D （2，-1）．
∴ 所求图形的面积
S =})]1(4
[)](4[{22122
1
02dx x dx x x ---+---?? )443(221
1
0212
2
???+-=dx dx x dx x 3
4)124(
22
1
213103
=+-=x x x ． [例3]设过原点的直线方程为y =kx ，解方程组?
??-==ax x y kx
y 22
，得x 1=0，x 2=k +2a ． 当k +2a ≥0时，?
?
++-+=+-=
a
k a
k dx x x a k dx ax x kx S 20
20
22
])2[()2(
6
)2()3122(3
2032a k x x a k a k +=-+=+．
于是 (k +2a )3=27a 3，解得k =a ． 所以，直线l 的方程为y =ax ．
当k +2a <0时，?+-+=0
22
])2[(a k dx x x a k S 6
)2(3
a k +-=．
于是 - (k +2a )3=27a 3，解得k = -5a ．
所以，直线l 的方程为y = -5ax ．
综上所述，所求直线l 的方程为y =ax 或y = -5ax ． [例4]（1）由y =2x 2，得x y 4='．当x = -1时，4-='y ．
∴l 1的方程为y -2= -4(x +1)，即4x +y +2=0．
y
x
o
1 2
2
- -1
-1
A
B C D
2x y -=
24x y -=
例
2
图
（2）由y =2x 2及x =a ，解得点B 的坐标为（a ,2a 2）． 由4x +y +2=0及x =a ，解得点D 的坐标为（a ,-4a -2）．
又可求得点A 到直线BD 的距离为1+a ，BD =2a 2+4a +2=2(a +1)2． ∴S 1=3
1+a ．
（3）由题意，当a >-1时，?--++=++=
a
a x x x dx x x S 1
1232
2)223
2()242( 323)1(3
2
22322232+=+-+++=a a a a ， 当a <-1时，?-++=122)242(a dx x x S 3
)1(3
2+-=a ，
∴S 1∶S 2=3∶2．即S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．
【课内练习】 1． A 。 2． A 。 3． D 。 4． C 。 5．
2
9。 6． F(x)-F(0)。 7． 4a 。
8． （1）203；（2）218π+；（3）2
π
。
9．
（Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy ，设抛物线方程为)0(,2
>=a ax y ． 则由抛物线过点)23,1(B ，可得2
3=a ． 于是抛物线方程为2
2
3x y =
． 当y =1时，36
±
=x ，由此知水面宽为3
62（m ）． （Ⅱ）柱体的底面积
?
-=3
6
2
)231(2dx x S ?=36
0(2dx )2336
2?-dx x
)(9
64)3123(2236
0336
m x x
=?-=． ∴柱体体积为)(964009641003m =?
，即水沟中有水3
9
6400m ．
O
x
y
F A
B
C D E G
图
10．（1）12)(2
++=x x x f ；（2）3
2
1
1-=t ．
22．2 微积分基本定理与应用
A 组
1． B 。 2． D 。 3． D 。 4． 2。
5．
271
6。 6． 529
。
7． 首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，
23=x .又易判断出在)0 , 1(- 内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，
图形在x 轴上方，所以所求面积为
dx x x x A ?-++--=0 1 23)2(dx x x x ?++-+2 0 23)2(12
37=。
8． （1）37(,)24P -；（2）面积均为125
12
。
B 组
1． D 。 2． 23。 3． D 。 4． 92
。 5．
如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F
与弹簧的伸长量（或压缩量）x 成正比，即F = kx ．在上式中k 为比例系数．
根据题意，当x = 0. 02时，F = 9. 8，故由F = kx 得k =490．这样得到的变力函数为F = 490x ．于是所求的功为
2
0.10.10
490490()
2.45 2
x W xdx ===?
（J ）．
6． 43
7．
（1）根据条件可得T （0）=60，T （-4）=8，T （1）=58，)4()4(T T '=-'，则
x
F
x 0
d =60，b =0，a =1，c = -3，因此，温度函数T (t )= t 3-3t +60．
（2）)1)(1(333)(2
+-=-='t t t t T ，当)2,1()1,2( --∈t 时，0)(>'t T ；当
)1,1(-∈t 时，0)(<'t T ．因此，函数T (t )在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递
减，在（1，2）上递增，即t = -1是极大值点．
由于T （-1）=T （2）=62，所以10∶00到14∶00这段时间中，该物体在11∶00和14∶00的温度最高，最高温度为62C
．
（3）根据定义，平均温度为
??--=+-=--4444
3
60)603(81)()4(41dt t t dt t T ，即该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度60C
． 8．
物体的速度233)(bt bt dt
dx
V ='==
．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a 时，31
1)(b
a
t t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为
32
771303203027
27727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====?==????。