2021年九年级数学中考复习《圆锥平面展开最短路径问题》小专题突破训练（附答案）1．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（）
A．8B．11C．10D．9
2．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）
A．33B．33
2
C．32D．2
3．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）
A．3m B．33C．35m D．4m
4．如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )
A．8B．102C．152D．202
5．如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（）
A．B．C．D．
6．如图，有一个圆锥，高为8 cm ，直径为12 cm ．在圆锥的底边B 点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A 处的食物，则它需要爬行的最短路程是（）
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
7．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是_____．
8．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____．
9．已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（结果保留根号）
10．圆锥的底面周长为2
3
π
，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）
从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为______．
11．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形，点是母线的中点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的表面爬行到点处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______cm．
12．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6，如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,则这根绳子的最短长度是________.
13．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为5cm，母线()
OE OF长为5cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且2
FA cm
=，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为____cm．
14．如图,一个圆柱形水杯深20cm,杯口周长为36cm,在杯子外侧底面A点有一只蚂蚁,它想吃到杯子相对的内壁上点B处的蜂蜜,已知点B距离杯子口4cm,不考虑杯子的厚度,蚂蚁爬行的最短距离为________。
15．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=15,现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
16．请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的高为5dm ，底面半径为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的AC ．如下图（2）所示：
设路线1的长度为1l ，则()2
2222221552525l AC AB AC ππ==+=+=+，
路线2：高线AB + 底面直径BC ．如上图（1）所示：
设路线2的长度为2l ，则()()2222510225l AB AC =+=+=， ∵()
22221225252252580l l ππ-=+-=->，
∴2212l l > ∴12l l >，
所以要选择路线2较短．
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ，高AB 为5dm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：221l AC ==___________________；
路线2：()2
22l AB AC =+=__________ ∵21l 2
2l ，
∴1l2l(填>或<) 所以应选择路线_________(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．
17．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.
（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；
（2）如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度.
18．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，
（1）求它的侧面展开图的圆心角．
（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径
的长
19．一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是多少？
20．圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
21．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
22．已知：如图，观察图形回答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图
是一个________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．
参考答案
1．解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n ． 底面圆的周长等于：622,180
n ππ??=
解得：n=120°；
连结AC ，过B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ABD=60°． 30,DAB ∴∠=?
AB=6，∴ BD=3，
∴226333,AD -=
∴ AC=2AD=3 即这根绳子的最短长度是3
故这根绳子的长度可能是11，
故选：B ．
2．解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形
ABB '，则线段BF 为所求
的最短路程．
设BAB n ∠'=?． 64180n ππ=，
120n ∴=即120BAB ∠'=?．
E 为弧BB '中点，
90AFB ∴∠=?，60BAF ∠=?，
3
sin 633BF AB BAF ∴=∠==
∴最短路线长为33．
故选：A．
3．解：如图，由题意得：AP=3，AB=6，90.
BAP
∠=
∴在圆锥侧面展开图中22
3635.
BP m
=+=
故小猫经过的最短距离是35.m
故选C.
4．解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，
设侧面展开图的圆心角的度数为n．
∴
n20 10
180
π
π
?
=，
解得n=90，
圆锥的侧面展开图，如图所示：
22
2020
+2
故选D．
5．:解：因为MN为圆锥底面的直径，展开后D图中MN即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹，故选D．
6．解：如图，设圆锥底面圆的圆心为点O，连接AO、BO、AB，
则由题意可知∠AOB=90°，OB=6cm ，AO=8cm ，
∴在Rt△AOB 中，由勾股定理可得：22OA OB 10+=（cm ），
即蚂蚁需爬行的最短距离为10cm.故选C.
7．解：如下图，将圆锥侧面展开，A 点对应的点为'A 点，连接'AA 即为最短路线，过P 点作PO ⊥'AA ,则AO=1','2
A O APO APA ∠=∠． ∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π＝
3180n π， ∴n ＝120°即扇形的圆心角是120°，
∴∠APO=60°，
∴AO=AP ×sin60°33 ∴弧所对的弦长'AA =2AO ＝3
故答案为：38.解：圆锥底面是以BC 为直径的圆，圆的周长是BC π＝6π，
以AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以A 为圆心，以AB 为半径的扇形，弧长是l ＝6π， 设展开后的圆心角是n °，则66180
n ππ?=， 解得：n ＝180，
即展开后∠BAC ＝12
×180°＝90°， AP ＝12
AC ＝3，AB ＝6，
则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长就是展开后线段BP 的长，
由勾股定理得：BP ＝22226335AB AP +=+=，
故答案为：35．
9．解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，
则线段AB 就是蚂蚁爬行的最短距离．
因为圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，
所以扇形的弧长l=2πr=2π，扇形的半径=母线长=4，
由公式：l=180
n R π=4180n π?=2π得， 圆心角n=18024ππ
?=90o， 在Rt △APB 中，AB=224+2=25，
所以 蚂蚁爬行的最短路程为25，故答案为25.
10．解：如图，连接AA ′，∵底面周长为23π，∴弧长=2180
n π?=23π，∴n =60°即∠AOA ′=60°，∴∠A =60°，∵OA =OA ′，∴△AOA ′是等边三角形，∴AA ′=2，∵PP ′是△OAA ′的中位线，∴PP ′=12
AA ′=1，故答案为1．
11．解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=，
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，
∴在圆锥侧面展开图中BD=
， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是2
cm ．
故答案为：2． 12．解:设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n ．
底面圆的周长等于：2π×2=6180
n π?， 解得：n=120°；
连结AC ，过B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ABD=60°．
由AB=6，可求得3，
∴AD═3， 3，即这根绳子的长度最少为3．
故答案为：3
13．解：5()===OE OF EF cm ，
∴底面周长5()π=cm ，
将圆锥侧面沿OF 剪开展平得一扇形，此扇形的半径5()=OE cm ，弧长等于圆锥底面圆的周长5()πcm
设扇形圆心角度数为n ，则根据弧长公式得：
55180
ππ=n ， 180n ∴=?，
即展开图是一个半圆，
E 点是展开图弧的中点，
90EOF ∴∠=?，
连接EA ，则EA 就是蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt AOE ?中由勾股定理得，
()2222255234=+=+-=EA OE OA ，
34()∴=EA cm ， 34cm ． 34
14．解：如图，AC=36÷2=18cm ，
作B 关于EF 的对称点D ，连接AD ，则PB=PD
蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AP+PD=AD ，
由图可知，CD=20+4=24（cm ）．
根据勾股定理可得：22221824AC CD +=+蚂蚁爬行的最短距离为30 cm
故答案为：30 cm.
15．解：设扇形的圆心角为n ，圆锥的
在Rt △AOS 中，∵r=20cm ，h=15cm ，
∴由勾股定理可得母线22r h +，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=18080
n π?.
∴n=90°
即△SAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：228080+2cm ．
∴蚂蚁爬行的最短距离为2cm ．
16．解：（1）路线1：l 12=AC 2=25+π2；
路线2：l 22=(AB+BC)2=49．
∵l 12＜l 22，
∴l 1＜l 2，
∴选择路线1较短．
故答案为：25+π2；49；＜；＜；1；
（2）l 12=AC 2=AB 2+BC 2=h 2+(πr)2，
l 22=(AB+BC)2=(h+2r)2，
∴l 12-l 22=h 2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h]，
当r[(π2-4)r-4h]＜0时，r ＜244
h π-，此时l 12＜l 22，即l 1＜l 2； 当r[(π2-4)r-4h]=0时，r=244
h π-，此时l 12=l 22，即l 1=l 2； 当r[(π2-4)r-4h]＞0时，r ＞
244h π-，此时l 12＞l 22，即l 1＞l 2； 综上可知：当r ＜244h π-，l 1＜l 2；当r=244h π-，l 1=l 2；当r ＞244
h π-，l 1＞l 2． 17．解：(1)圆锥的高2262-底面圆的周长等于：2π×2=6180
n π?， 解得：n =120°；
(2)连结AC ,过B 作BD ⊥AC 于D ,则∠ABD =60°.
由AB =6，可求得BD =3，
∴AD ═33
AC =2AD =63 即这根绳子的最短长度是318．解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n °，
根据题意得2πr ＝180
n l π， 而l ＝2r ，
所以2πr ＝2180
n r π?，解得n ＝90， 所以它的侧面展开图的圆心角为90°；
（2）连接BB ′，如图，
此时BB ′为从B 点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B 点的最短路径，
∵r ＝4，
∴l ＝2r ＝8，
∵∠BAB ′＝90°，
∴△ABB ′为等腰直角三角形，
∴BB 2AB ＝2．
19．解：（1）∵4（x +1）2﹣169=0，∴（x +1）21694
=，∴x +1=±6.5，∴x =5.5或x =﹣7.5． （2）将圆柱体的侧面展开得到如图所示的矩形，连接AB ．
∵圆柱的底面半径为2cm ，∴AC 12
=?2?π?2=2π．
∵π取3，∴AC=6cm．
在Rt△ACB中，AB2=AC2+CB2=36+64=100，AB=10cm．所以蚂蚁要爬行的最短距离为10cm．
20．解：∵圆锥的底面半径为1，
∴底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=
6 180
nπ?
,
解得n=60，
所以展开图中的圆心角为60°．
所以它爬行的最短路线长为6．
21．解：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C，
设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意
4
180
nπ?
=2π?1，
∴n=90°，∵SA=SF，
∴△SFA是等腰直角三角形，
∴ S△SAF= 1
2
×4×4=8
又S扇形S﹣AF=
2 904 360
π?
，
∴S阴=S扇形S﹣AF﹣S△SAF=
2
904
360
π?
﹣8=4π﹣8．
在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC， AF=42，AE=22，
∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬22个单位长度才能吃到蜜糖．22．.解：(1)圆锥(2)扇形
(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．
(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，
∴AC12555.
故蜗牛爬行的最短路程为55