§1.1.3导数的几何意义
教学目标
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？ 们发现,当点n P 沿我着曲线无限接近点P 即0时,割线n PP 趋Δx →近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切
线. ⑴割线n PP 的斜问题：率n
k 与切线PT 的斜率
k 有
什么关系？
⑵切线PT 的斜率k 为多少？
容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋
近于切线PT 的斜率k ，即0000
()()
lim
()x f x x f x k f x x
?→+?-'==?
图3.1-2
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：
函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
?→+?-'==?
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率
0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
?→+?-'==? ，得到曲线在点
00(,())x f x 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或
y '，
即:
()()
()lim
x f x x f x f x y x
?→+?-''==?
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数()f x 在点0x 处的导数'
0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。 三．典例分析
例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2
+1在点P (1,2)处的切线方程.
（2）求函数y =3x 2
在点(1,3)处的导数.
解：（1）222
100[(1)1](11)2|lim
lim 2x x x x x x y x x
=?→?→+?+-+?+?'===??, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=
（2）因为222211113313(1)
|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-?-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= （2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：x x
x x x y ?-=?-?+-+?+--=??32)1()1(2 例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较
曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．
解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线
()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x
轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，
即函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．
（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，
即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作0.8t
=处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：
0.480.91
1.41.00.7
k -=
≈--
所以 (0.8) 1.4f '≈-
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
0.2
0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率'
()f t
0.4
-0.7
-1.4
四．课堂练习
1．求曲线y =f (x )=x 3
在点(1,1)处的切线；
2．求曲线y x =在点(4,2)处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业
3.1.3导数的几何意义 教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学过程： 情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角. .tan , ,:β=???=?=x y y MQ x MP 则 展示目标：见学案 检查预习：见学案 合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化 趋是什么？ y x ??请问：是割线PQ 的什么?
新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数 就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 新知： 函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 精讲精练： 例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。 例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
运用学案导学的课堂教学案例分析 ——《导数的几何意义和应用》 一、导学案设计： 《导数的几何意义和应用》学案 年 级 高二 科 目 数学 课 型 新课 主备人 霍菁琰 【学习目标】1、掌握导数的几何意义；了解曲线在某点处切线的定义； 2、会利用导数求过曲线上一点的切线方程。 【复习巩固】 (1)已知点()11,A x y ，()22,B x y ，则斜率AB k = ; (2)经过点() 00,A x y ，斜率为k 的直线方程为 ； (3)导数)(0/x f 的本质是什么？请写数学表达式。 导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在 处的 即： (4)曲线21y x =+在0x x =处的导数 。 【合作探究】 （1）探究过程：函数)(x f 平均变化率x x f x x f ?-?+)()(00的几何意义是什么，请在 (2) 探究结果： 导数)(0/x f 的几何意义是 【自学辅导】 （1）自学教材P77面，理解任意曲线的切线定义。
（2）比较任意曲线的切线和圆的切线的定义的异同； 【典例解析】 例1、求抛物线12+=x y 在点（1,2）处的切线的斜率并写出切线方程。 【拓展引申】 引申1：求抛物线12+=x y 在点()00,()x f x 处的切线的方程。 引申2：已知曲线12+=x y 在点P 处切线的斜率为6，求点P 坐标是多少？ 引申3：在曲线2x y =+1上过哪一点的切线，垂直于直线650x y ++=？ 【课堂检测】 1、设'()f x =0，则曲线()y f x =在点()() 00,x f x 处的切线 （ ） (A)不存在 （B ）与x 轴平行或重合 （C ）与x 轴垂直 （D ）与x 轴斜交
导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
导数的几何意义 课前预习学案 预习目标：导数的几何意义是什么？ （预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处） 复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +?+?的连线称为曲线的割线，斜率y k x ?==? 复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ?时，函数值也相应地改变y ?= ，如果当x ? 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作：当x ? 时， →l 上课学案 学习目标： 通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 学习重难点： 导数的几何意义 学习过程： 学习探究 探究任务：导数的几何意义 问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？ 新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限 位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导 数就是切线PT 的斜率k ，即0000()() lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 新知： 函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 典型例题 例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图
几种常见函数的导数 ●教学目标 (一)教学知识点 1.公式1 C ′=0(C 为常数) 2.公式2 (x n )′=nx n －1(n ∈Q ) 3.公式3 (sin x )′=cos x 4.公式4 (cos x )′=－sin x 5.变化率 (二)能力训练要求 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. (三)德育渗透目标 1.培养学生的计算能力. 2.培养学生的应用能力. 3.培养学生自学的能力. ●教学重点 四种常见函数的导数C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n －1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ，(cos x )′=－sin x . ●教学难点 四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的. ●教学方法 建构主义式 让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用. Ⅱ.讲授新课 ［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数. 1.y =C (C 是常数)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=C ∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0 x y ??=0 y ′=C ′=x y x ??→?0lim =0，∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=x n ∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=(x +Δx )n －x n
导数的几何意义 【教学目标】 1.理解切线的定义 2.理解导数的几何意义 3.学会应用导数的几何意义。 【教学重点与难点】 重点：理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】
第二步：求瞬时变化率()0000 () ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. （即0x ?→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．． ） (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数()y f x =的图象，平均变化 率()00() f x x f x y x x +?-?=?? 的几何意义是什么 生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率 教师板书，便于学生 数形结合探究导数的几何意义。 突破平均变化率的 几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么 二、引导探究、获得新知 1.得到切线的新定义 要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ?→，割线的变化趋势．．．．．．． ， ◆多媒体显示： 曲线上点P 处的切线PT 和割线n PP ，演示点n P 从右边沿着曲线逼近点P ,即0x ?→，割线n PP 的变化趋势。 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢 生：先观察后发现，当0x ?→，随着点n P 沿着曲线逼近点P ，割 以求导数的两个步骤为．．．．．．．．． 依据．． ，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住0x ?→的联系，在图形上从割线入手来研究问题。 用逼近的方法体会割线逼近切线。
3.1.3导数的几何意义 教学三维目标： 1.知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2.过程与方法：理解曲线的切线的概念； 3.情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学方法：讨论法 教学工具：多媒体 教学课时：1课时 教学过程： 创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1 ,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？ 我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线. 问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 图3.1-2
容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000 ()()lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标; ②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '， 即: 0()()()lim x f x x f x f x y x ?→+?-''==? 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． （三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。 典例分析
导数题型分类解析（中等难度） 一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即)('0x f =0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。 例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0 例2：若' 0()3f x =-，则000()(3) lim h f x h f x h h →+--=（ ） A.3- B ．6- C ．9- D ．12- 例3：求0lim →h h x f h x f ) ()(020-+ 二、“隐函数”的求值 将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。 例1：已知()()232 f x x x f '+=，则()='2f 例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+?? ? ??'=π，则??? ??4πf 的值为 . 例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2 -+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ） A. 12-=x y B. x y = C. 23-=x y D. 32+-=x y 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。 例1：一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。 例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ） 四、基本导数的求导公式 A ． B ． C ． D ．
《导数的几何意义》教学设计 安徽省宿州市宿州学院附属实验中学罗风云 一、教材依据 导数的几何意义是北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书选修1-1第三章第二节的内容。 二、设计思想 教材分析： 导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 本节内容分了两部分也即两个课时，一是导数的概念；二是导数的几何意义。之前学习的瞬时变化率是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。教材中利用逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为曲线的切线，这种定义才反映了切线的真正本质，在教学中应使学生了解“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来”（恩格斯语）的微积分思想，让学生反复通过图形（数与形的结合）去认识和感受导数的几何意义——切线的斜率，并且注重引导他们学会数学思考的一种方式——几何直观，从而加深对导数概念的认识和理解。
学情分析： 设计理念： 学生为本，重视思维发生的过程，重视切线定义的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。 三、教学目标 1.知识与技能目标： （1）使学生掌握切线的形成过程，理解函数)(x f 在0x x =处的导 数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。 （数形结合），即：()()x x f x x f x f x ?-?+=→?)(lim 0000/＝切线的斜率； （2）会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，体会“数形结合”的数学思想方法。 （3）通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
1. 1.3导数的几何意义 课前预习学案 一． 预习目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。 二． 预习内容 1.曲线的切线及切线的斜率 （1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时, 即0→?x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 . （2）割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时, n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = = 2.导数的几何意义 函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= . 三．提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一． 学习目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题 二． 学习过程 （一）。复习回顾 1．平均变化率、割线的斜率 2。瞬时速度、导数 （二）。提出问题，展示目标 我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在
0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？ （三）、合作探究 1.曲线的切线及切线的斜率 （1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？ （2）如何定义曲线在点P 处的切线？ (3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (4)切线PT 的斜率k 为多少？ 说明: (1)当0→?x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义 （1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？ （2）将上述意义用数学式表达出来。 （3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？ 3.导函数 （1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. （2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？ 区别： 联系： （四）。例题精析 例1 求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程. 解: 变式训练1 求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程. 例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线, 刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 的斜率 , 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
人教版高中数学精品资料 §1.1.3导数的几何意义 教学目标： 1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念； 3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,() )(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线() f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？ 图3.1-2
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线. 问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无 限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000 ()() lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标; ②求出函数在点0x 处的变化率0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? ，得到曲线在点 00(,())x f x 的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '， 即: 0 ()() ()lim x f x x f x f x y x ?→+?-''==? 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． （三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，
∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近
导数的几何意义 高考要求：理解导数的几何意义 角度一 求切线方程 例1：曲线161sin 33++=x x y 在点（0，1）处的切线方程为_________________. 练习1：已知x x x f 3)(3-=，过点)2,2(--P 作函数)(x f y =图像的切线，则切线方程为____________________. 角度二 求切点坐标 例2：设R a ∈，函数x x e a e x f + =)(是偶函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率是23 ，则切点的横坐标为______________. 练习2：曲线x e y =在A 处的切线与直线01=+-y x 平行，则点A 的坐标为_____. 角度三 求参数的值或取值范围 例3：（1）直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ,则=+b a 2_______. (2)若直线b kx y +=是曲线x e y =的切线，也是曲线)2ln(+=x y 的切线， 则=k __________.
练习3：已知2ln 4)(x x x f -=，若曲线)(x f y =在点)1,1(-处的切线与曲线 m x x y +-=32相切，则=m ___________. 角度四 过某点的切线的条数问题 例4 若过点),a a P （与曲线x x x f ln )(=相切的直线有两条，则实数a 的取值范 围是（ ） A.),(e -∞ B.),(+∞e C.(0,)1e D. ),1(+∞ 练习4：已知nx mx x x f ++=23)(,R n m ∈, (1) 若)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数m 的取值范围。 (2) 若0)(/=x f ，且过点)1,0(P 有且只有两条直线与曲线)(x f y =相切， 求实数m 的值。 练习5：已知b x x x x f +++=2325)(,，其图像是曲线C,若过点)0,1(P 可作曲线C 的三条切线，求实数b 的取值范围。
教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：
教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t
第1课时 导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是 . 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直
线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：