2017年圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可)

椭圆、双曲线、抛物线--经典结论

椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直

径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y

a b +=.

6. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切

点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

+=.

7. 椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点

12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan

2

F PF S b γ

?=.

8. 椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和

A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

11. AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则

2

2OM AB

b k k a ?=-，即0

202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

22

00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

22002222x x y y x y a b a b

+=+. 双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴

为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外

切：P 在左支）

5. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方

程是00221x x y y

a b

-=.

6. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条

切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

-=.

7. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任

意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122

t

2

F PF S b co γ

?=.

8. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--

9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，

连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶

点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

11. AB 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB

的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即020

2y a x b K AB =。

12. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的

方程是22

00002222x x y y x y a b a b

-=-.

13. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方

程是22002222x x y y x y a b a b

-=-.

椭圆与双曲线推导的经典结论

椭 圆

1. 椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的

直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

2. 过椭圆22

221x y a b

+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直

线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20

20BC b x k a y =（常数）.

3. 若P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,

12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+. 4. 设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆

上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.

5. 若椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0

＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，

则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.

7. 椭圆22

0022

()()1x x y y a b

--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且

OP OQ ⊥.（1）2222

1111||||OP OQ a b

+=+;（2）|OP|2+|OQ|2

的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22

22

a b a b +.

9. 过椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦

MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2PF e

MN =. 10. 已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直

平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222

0a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦

点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122

tan 2PF F S b γ?=.

12. 设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，

PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有

(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b S b a γ?=-. 13. 已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点

F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC

经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相

应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与

焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的经典结论----双曲线

1. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y

轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

+=.

2. 过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互

补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且20

20BC b x k a y =-（常数）.

3. 若P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一

点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22

c a co c a αβ

-=+（或

tan t 22

c a co c a βα

-=+）. 4. 设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端

点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin (sin sin )c

e a

αγβ==±-.

5. 若双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为

L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线

内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和

2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要

条件是22222

A a

B b

C -≤.

8. 已知双曲线22

221x y a b

-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动

点，且OP OQ ⊥. （1）22

221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2

的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是22

22

a b b a -. 9. 过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于

M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2PF e

MN =. 10. 已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的

垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或22

0a b x a

+≤-.

11. 设P 点是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2

为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2

122||||1cos b PF PF θ

=-.(2)

122cot 2

PF F S b γ

?=.

12. 设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的

一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距

离心率，则有(1)22222|cos |

|||s |

ab PA a c co αγ=-.

(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 2222

2cot PAB

a b S b a γ?=+. 13. 已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双

曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且

BC x

轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应

交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的

连线必与焦半径互相垂直.

16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

数e(离心率).

2. 2

124p x x =;

3. 2

12y y p =-;

4. '90AC B ∠=;

5. ''90A FB ∠=;

6. 123222()2sin p p

AB x x p x α

=++=+=

; 7.

112

AF BF P

+=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'

A 三点共线；

10. 2

2sin AOB P S α

=；

11.

23()2

AOB S P

AB =（定值）； 12. 1cos P AF α=-；1cos P

BF α=+；

13. 'BC 垂直平分'

B F ；

14. 'AC 垂直平分'

A F ；

15. '

C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥；

17. 11

'('')22

CC AB AA BB ==+； 18. AB 3

P K =

y ； 19. 2p 22

y

tan =x -α;

20. 2

A'B'4AF BF =?; 21. 1

C'F A'B'2

=

. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00

性质深究

一)焦点弦与切线

1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有

何特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为??

?

??-0,2p 在准线上．

证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB 是抛物线px y 22

=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，

l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线

交于点M ．则有

结论6PA ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ．

结论9 PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．

结论2

PF FB FA = 结论11PAB

S ?2min

p =

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=

，2

2

1y y y p += 结论13 PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．

结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ 结论162

FB FA =

相关考题1、已知抛物线y x 42

=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且

λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，

（1）证明：AB FM ?的值；（2）设ABM ?的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．

2、已知抛物线C 的方程为y x 42

=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，

B ；

（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；

（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．

3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42

=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线

于另一点()n n n t s B ,， （1）试证：4-=?n n s x （n ≥1）

（2）取n

n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：

122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）

抛物线的一个优美性质

几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳，并在教学中与学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余力的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。本人从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质，并结合高考的热点题对这一性质作了一些研究。

题：抛物线y 2=2px （p>0）的准线与x 轴交于Q 点，过点Q 作斜率为k 的直线L 。则“直线L 与抛物线有且只有一个交点”是“k=±1”的_________条件。 本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的了解，要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。

性质1：已知AB 是经过抛物线y 2=2px （

证明：由图2可知，BF=BB 1，AF=AA 1，1111其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图2即变成了图1。这就引导我们思考在图2中的两条直线P 1A 、P 1B 是否也是抛物线的两条切线，这

样我们得出了抛物线的一个性质：

性质2：已知AB 是经过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的弦，则以A 、B 为切点的两条切线的交点P 落在其准线上。

证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ） 点A 在抛物线上：y 12=2px 1 （1） 点B 在抛物线上：y 22=2px 2 （2） 过点A 的切线方程：yy 1=p （x+x 1） （3） 过点B 的切线方程：yy 2=p （x+x 2） （4）

直线AB 经过点F ：

2

2

2211p x y p

x y -

=

-

（5）

将（1）式与（2）式分别代入（3）、（4）、（5）式，得到

yy 1=p （x+p y 22

1）

（3′）

yy 2=p （x+p

y 222

）

（4′）

y 1y 2=-p 2

（5′）

因为点P （x ，y ）的坐标满足（3′）、（4′），所以y 1、y 2可视为是方程

yt=p （x+p

t 22

）的两根，因此由韦达定理可得y 1y 2=-p 2=2px 。即x=2p -。

所以点P 的轨迹为抛物线的准线。

从上面的证明中我们可以看出，当A 、B 两点的坐标满足某种条件时，则以A 、B 为切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。因此，我们更进一步地得出了更好的性质：

性质3：已知AB 是经过抛物线y 2=2px （p>0）的对称轴（即x 轴）上一定点P （m ，0）（m>0）的弦，则以A 、B 为切点的两条切线的交点Q 的轨迹是一条直线x=-m 。证明：略。

对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：

性质3′：动点P 在直线x=-m 上运动，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，得到弦AB ，那么弦AB 过定点（m ，0）。

证明：略。

根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。

例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C （0，c ）（c>0）作直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线

y+c=0交于P 、Q 。

（1）若OB OA ?=2，求c 的值； （2）若P 为线段AB 的中点，

求证：AQ 为抛物线的切线；

（3）试问（2）的逆命题是否成立。

解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （0，c ）

点A 在抛物线上：y 1=x 12 （1）点B 在抛物线上：y 2=x 22

（2）

直线AB 经过点C ：

2

211x c

y x c y -=

- （3）

将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到x 1x 2=-c ，y 1y 2=c 2 由?= x 1x 2+y 1y 2=2，得c=2。

（2）P 为线段AB 的中点，得点Q 的坐标为（2

2

1x x +，-c ）

由AQ 的斜率k 1=

1

21212121112)

(22

x x x x x x x x x c y =--=+-

+，过点A 的切线的斜率为

k 2=2x 1。所以直线AQ 是抛物线的切线。

（3）过点A 的切线方程为y-y 1=2 x 1（x-x 1）与直线y=-c 相交于点Q ， 将y=-c 代入y-y 1=2 x 1（x-x 1），可得-c-x 12=2 x 1（x-x 1）即x 1x 2-x 12=2 x 1

（x-x 1）

所以点Q 的横坐标为

2

2

1x x +，即点P 为线段AB 的中点。（2）的逆命题成立。

该题的命题思路就是借助于性质3而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命制的题。

例2：（2006全国高考卷Ⅱ21题）抛物线x 2=4y 的焦点F ，A 、B 是抛物线上两动点，且λ=，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（1） 证明：AB FM ?为定值；

（2） 设△ABM 的面积为S ，写出S=f （λ）的表达式，并求出S 的最小

值。

解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），F （0，1）

点A 在抛物线上：4y 1=x 12 （1）点B 在抛物线上：4y 2=x 22

（2） 直线AB 经过点F ：

2

2111

1x y x y -=- （3） 得到过点A 的切线方程：2（y-y 1）=x 1（x-x 1）

（4）

过点B 的切线方程：2（y-y 2）=x 2（x-x 2） （5）

由（1）（2）（3）得x 1x 2=-4，y 1y 2=1。 由（4）、（5）得M 坐标为（2

2

1x x +，-1）。

所以AB FM ?=（

2

2

1x x +，-2）·（x 2- x 1，y 2- y 1）=0)(22

122

122=---y y x x 。

（2）λ=，即（0-x 1，1-y 1）=λ（x 2，y 2-1） 所以-x 1=λx 2，再由x 1x 2=-4，得λx 2x 2=4，

圆锥曲线常用结论

圆锥曲线常用结论 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、 P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一 点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：

（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；

二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结

高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0

圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可)

椭圆与双曲线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

圆锥曲线经典结论总结(教师版)

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

圆锥曲线常用结论整理

圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理 椭圆问题小结论： 1.与椭圆22 221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22 221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=> 或()22 22,0x y b a λλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22 221x y a b +=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点 (),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：2 2AB OP b K K a ?=-；若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，2 2AB OP a K K b ?=-； 4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为20 20 b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆的方程为22 221x y a b +=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆 上异于,A B 两点的任一点，则有2 2PA PB b K K a =-

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

圆锥曲线常用结论

圆锥曲线常用结论 1.圆锥曲线的定义： （1）定义中要重视“括号”内的限制条件： 椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线. （2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 （2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。 （3）抛物线： 开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为

有关圆锥曲线的经典结论

★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！ 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是

高考中圆锥曲线常见结论

高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线

圆锥曲线常用结论

圆锥曲线 一椭圆 1椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 2：点00(,)P x y 和椭圆12 2 22=+b y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外 ?22 00 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +<。 3：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）（1）椭圆：由x 2 ,y 2 母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是())2 3,1(1,?-∞-（2）双曲线：由x 2 ,y 2项系数的正负决定，焦点 在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 4;设椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上， 122F PF θ∠=,求证：θ cos 12221+= b PF PF 且12PF F ?的面积2 tan S b θ=。 解：设1PF m =，2PF n =，则1 sin 22 S mn θ= ，又122F F c =，由余弦定理() 2 2222cos 2c m n mn θ=+-=()2 22cos m n mn mn θ+--=()()2 221cos 2a mn θ-+， 于是()2 2 21cos244mn a c θ+=-=2 4b ，所以221cos 2b mn θ =+，从而有212sin 221cos2b S θθ =??+=2tan b θ。 5：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。 6：点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。即有 PT F PT F MN PT PM F MPK 212,,∠=∠⊥∠=∠。 7.：PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。

高考数学圆锥曲线的常用公式及结论(非常推荐)

高考数学常用公式及结论 圆锥曲线 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?. 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=. 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部22 00221x y a b ?+>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程 是 00221x x y y a b +=. （3）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=.

5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22 00221x y a b ?-<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22 22 b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦 点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦 方程是 00221x x y y a b -=.

圆锥曲线经典性质总结证明

圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF

9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）

圆锥曲线的经典结论

有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点P 处的外角. （椭圆的光学性质） 2. PT 平分12PF F ?在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. （中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义） 4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导或用联立 方程组法） 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12P P 的直线方程是00221x x y y a b += 7. 椭圆22 221x y a b += (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=， 则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+半角公式） 8. 椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的焦半径公式： 10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).（第二定义） 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交 相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点，则MF NF ⊥. 证明：x ky c =+， ()22222222222 22120x y a b k y b cky b c a b a b +=?++++=22222222222 2,P O P O b c a b b cky y y y y a b k a b k --=+=++， 222222222222 2,P O P O a c a b k a c x x x x a b k a b k -=+=++，

高考圆锥曲线题型归类总结

圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切,与圆C 2：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的 轨迹方程。 例2、方程() () 2 2 22668x y x y -+- ++=表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2 2 x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ， 求21PF F ?的面积。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作 正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13， C.(3,+∞) D.[)3,+∞

圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可)

椭圆与双曲线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

圆锥曲线常用结论

圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

有关圆锥曲线的经典结论

一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆 上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆 长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的

圆锥曲线的常用结论(练习)

圆锥曲线中的常用结论 一.平面内到两个定点的距离之比为常数k （k ≠1）的点的轨迹是圆,这个圆就是阿波罗尼圆。 例1、已知点M （x ，y ）与两定点M 1 M 2 距离的比是一个正数m ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。（考虑m=1和m ≠1）（课本：144页B 组第2题） 【练习】 （1）已知两个定点()()01,02，，B A -.如果动点P 满足PB PA 2=，则点的轨迹所包围的面积等于 （ ） A. π B. π4 C. π8 D. π9 （2）满足条件AB = 2，AC = BC 的?ABC 的面积的最大值是 二、弦长公式：(1) 斜率为k 的直线y=kx+m 交圆锥曲线于两点()11y ,x A ，()22y ,x B 时， 则AB =2 k 1+ 21x x -=2 k 1+= =211k + 2 1y y -=2 1 1k += (2)直线x=ky+m 交圆锥曲线于两点()11y ,x A ，()22y ,x B 时，AB =2t 1+21y y - 三、关于焦点三角形与焦点弦 1.椭圆上一点P 与两个焦点12, F F 所构成的12PF F ?称为焦点三角形。 设12 F PF θ∠=，则有： 4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos θ（关键公式） ① 212 cos 1b rr θ=-，当12r r =（即P 为短轴顶点）时，θ最大，此时22 2cos b c a θ-= ② 12PF F ?的面积22 1201sin sin tan 21cos 2 b S rr b c y θθθθ== ==+ 当 0y b =（即P 为短轴顶点）时，S 最大，且max S bc = ③ 2 2212b c PF PF b -≤?≤ 2.椭圆的焦半径公式：∣MF 1∣= a+ex 0，∣MF 2∣= a-ex 0 , c a MF c a +≤≤- 3.过焦点1F 或2F 的椭圆的弦 AB ，称为焦点弦。 （1）设1122(, ),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，

高考数学常用公式及结论200条——圆锥曲线

高考数学常用公式及结论200条 八．圆锥曲线 92.椭圆22221(0)x y a b a b + =>>的参数方程是cos sin x a y b θ θ=?? =? . 93.椭圆 222 2 1(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(2 1c a x e PF + =，)( 2 2x c a e PF -=. 94．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆222 2 1(0)x y a b a b + =>>的外部22 2 2 1x y a b ? + >. 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 222 2 1(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是002 2 1x x y y a b + =. （2）过椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 002 2 1x x y y a b + =. （3）椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是 2 2 22 A a B b c + =. 96.双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 2 1|()|a PF e x c =+，2 2|( )|a PF e x c =-. 97.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>的外部22 2 2 1x y a b ? - <. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12 22 2=- b y a x ?渐近线方程： 222 2 0x y a b - =?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=- 2 22 2b y a x . (3)若双曲线与 12 22 2=- b y a x 有公共渐近线，可设为 λ=- 2 22 2b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 99. 双曲线的切线方程