课时提升作业(四十六)
立体几何中的向量方法(一)
——证明空间中的位置关系
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(20152天津模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则()
A.l∥α
B.l⊥α
C.l?α
D.l与α相交
【解析】选B.因为n=-2a,所以a∥n,即直线l的方向向量与平面的法向量共线,这说明了直线与平面垂直. 【误区警示】本题易由a∥n,误以为l∥α,而误选A.
2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于()
A.2
B.-4
C.4
D.-2
【解题提示】α∥β等价于其法向量平行.
【解析】选C.因为α∥β,
所以==,所以k=4.
【加固训练】若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()
A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)
B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)
D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)
【解析】选A.因为α⊥β,
所以n1⊥n2,即n12n2=0,
经验证可知,选项A正确.
3.(20152锦州模拟)直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为()
A.-2
B.-
C.
D.±
【解析】选D.由已知得s2n=0,故-132+13(x2+x)+13(-x)=0,解得x=±.
4.(20152珠海模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.
【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,
B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=
,
=(-1,-1,1),=-,2=2=0,
从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.
5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直
线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平
面BDE,则M点的坐标为()
A.(1,1,1)
B.
C. D.
【解析】选C.由已知得A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1).
则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c).
则
BD,
BE,?⊥
?
?
⊥
??
n
n
即
解得,令b=1,则n=(1,1,). 又AM∥平面BDE,所以n 2=0.
即2(x-
)+=0,得x=,所以M.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x=.
【解析】由α⊥β,得a⊥b.所以a2b=x-2+6=0,
解得x=-4.
答案:-4
7.(20152兰州模拟)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面α与β的位置关系是.
【解析】由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),
则
AB
AC
?⊥
?
?
⊥
??
，
，m
m
得
得令z=1,得m=(1,1,1). 又n=(-1,-1,-1),所以
m=-n,
即m∥n,所以α∥β.
答案:平行
【方法技巧】平面的法向量的求法
1.设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.
2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为.
【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知
E(x,1,1),B1(1,1,0),所以=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(1,1,y),由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF,
只需2=(1,1,y)2(x-1,0,1)=0?x+y=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(20152四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为
A1B1,B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:AG∥平面BEF.
(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.
【解析】(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空
间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),E,F,G,
因为=,=,
而=,所以=+,
故与平面BEF共面,
又因为AG不在平面BEF内,所以AG∥平面BEF.
(2)设M(1,1,m),则=(1,1,m),
由2=0,2=0,
所以-+m=0?
m=,
所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.
10.(20152泰安模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥
平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,
CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.
(1)求证:CM∥平面PAD.
(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.
【证明】以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为PC⊥平面ABCD,
所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
所以∠PBC=30°.因为PC=2.所以BC=2,PB=4.
所以
D(0,1,0),B(2
,0,0),A(2
,4,0),P(0,0,2),M,所
以=(0,-1,2),=(2,3,0),=,
(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则
DP0
DA0
?=
?
?
=
??
n
n
即所以令y=2,得n=(-,2,1).
因为n 2=-3+230+13=0,
所以n ⊥,
又CM?平面PAD,所以CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E,并连接BE,
则E(,2,1),=(-,2,1),
因为PB=AB,所以BE⊥
PA.
又2=(-,2,1)2(2,3,0)=0, 所以⊥,则BE ⊥DA.
因为PA ∩DA=A,所以B E ⊥平面PAD,
又因为BE ?平面PAB,所以平面PAB ⊥平面PAD.
【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方
形,AB=AC,BC=
AB,B1C1BC,二面角A1- AB- C 是直二面角.
求证:(1)A1B1⊥平面AA1C.
(2)AB1∥平面A1C1C.
【证明】因为二面角A1-AB-C 是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,
所以AA1⊥平面BAC.
又因为AB=AC,BC=AB,
所以∠CAB=90°,
即CA ⊥AB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2). (1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),
设平面AA1C 的一个法向量为
n=(x,y,z),
则1A A 0
AC 0?=??=??
n n 即即
取y=1,则n=(0,1,0). 所以=2n,即∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.
(2)易知=(0,2,2),
=(1,1,0),
=(2,0,-2),
设平面A1C1C 的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则
111A C 0
A C 0?=
??=?? m m 即
令x1=1,则y1=-1,z1=1,
即m=(1,-1,1). 所以2m=031+23(-1)+231=0, 所以⊥m.又AB1?平面A1C1C,
所以AB1∥平面
A1C1C.
(20分钟 40分
)
1.(5分)平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( ) A.
B.(6,-2,-2)
C.(4,2,2)
D.(-1,1,4)
【解析】选D.由已知得=(2,1,1),=(3,-1,-1), 设平面α的法向量为n=(x,y,z),则AB 0AC 0?=??=?? n n 即解得
令y=1,则n=(0,1,-1).经验算,对于选项A,B,C 所对应的向量与法向量n 的数量积均为零,而对于选项D,(-1)30+131+(-1)34=-3≠0,故选D.
【一题多解】本题还可以采用如下方法:
选D.对于选项A,因为=(1,-2,-2)=,所以选项A 所对应的向量与平面α平行,同理可知选项B,C 所对应的向量均与平面α平行,而对于选项D 对应的向量与平面α不平行,故选D.
2.(5分)(20152太原模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为
a,M,N 分别为A1B 和AC 上的点,A1M=AN=,则MN 与平面BB1C1C
的位置关系是( )
A.斜交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C 所在直线为x,y,
z 轴,建立空间直角坐标系.
因为A1M=AN=a,
所以M
, N
, 所以=.
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0), 所以2=0,所以⊥. 因为是平面BB1C1C 的一个法向量,
且MN ?平面BB1C1C,
所以MN ∥平面BB1C1C.
【加固训练】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P 为C1D1的中点,M 为BC 的中点.则AM 与PM 的位置关系为(
)
A.平行
B.异面
C.垂直
D.以上都不对
【解析】选C.以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).
所以=(,2,0)-(0,1,)
=(,1,-),
=(,2,0)-(2,0,0)
=(-,2,0),
所以2=(,1,-)2(-,2,0)=0,
即⊥,所以AM⊥PM.
3.(5分)(20152成都模拟)空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE异面.
则所有的正确命题为.
【解题提示】选,,为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.
【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|且
a2b=c2b=0.=-=(b+c)-(a+b)=(c-a),2=(c-a)
2b=(c2b-a2b)=0,故AD⊥MN,故①正确;=c-a=2,故MN∥CE,
故MN∥平面CDE,故②③正确;③正确时④一定不正确.
答案:①②③
4.(12分)(20142辽宁高考)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.
(1)求证:EF⊥BC.
(2)求二面角E-BF-C的正弦值.
【解析】(1)如图,以点B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则
B,A,D,C,
从而E,F.
所以=,=,
因此2=2=0,
所以⊥,即EF⊥BC.
(2)平面BFC的一个法向量为n1=,
设平面BEF的一个法向量为n2=,
又=,=,
则由22BF 0BE 0?=??=?
?
n n 得 令z=1得x=1,y=-,所以n2=,
设二面角E-BF-C 的大小为θ,
则cos θ=12|cos ,|<>n n =1212|||||| n n n n
=,
所以sin θ==,即所求二面角E-BF-C 的正弦值为.
5.(13分)(能力挑战题)已知一个三角形的简易遮阳棚△ABC(如图),AC=BC=5,AB=6,其中A,B 是地面上南北方向的两个定点,正西方向射出的太阳(用点O 表示)光线OCD 与地面成30°,△ABD 为光照遮阳棚产生的阴影.若点Q 为AB 的中点.
(1)求证:AB ⊥QD.
(2)试问:遮阳棚△ABC 与地面所成的角为多大时,才能保证阴影△ABD 的面积最大.
(3)在(2)的条件下,在线段AC 上是否存在一点M,使BM ⊥平面ACD,若存在,求出λ=
的值,若不存在,请说
明理由
.
【解析】(1)因为AC=BC 且AQ=BQ,
所以AB ⊥CQ,又AB ⊥CD,
所以AB ⊥平面CQD,因为QD ?平面CQD,
所以AB ⊥QD.
(2)方法一:过点C 作CH ⊥QD 于H,由AB ⊥平面CQD 得CH ⊥AB,
所以CH ⊥平面ABD,即∠CDQ=30°, 由正弦定理得=,
又CQ=4,得QD=8sin ∠QCD.
当∠QCD=90°时,QD 取最大值为8,
阴影△ABD 的面积最大值为24,此时∠CQD=60°,依题意∠
CQD=60°就是遮阳棚△ABC 与地面所成的角.
方法二:过点C 作CH ⊥QD 于H,由AB ⊥平面CQD 得CH ⊥AB,所以CH
⊥平面ABD 即∠CDQ=30°,过点H 作射线Hx 平行BA 作为x 轴正半轴
,
射线HD,射线HC分别作为y轴正半轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,
设∠CQD=θ,依题意得Q(0,-4cosθ,0),
D(0,4sinθ,0),
即QD=4sinθ+4cosθ=8sin(θ+30°),当∠CQD=θ=60°时,QD取最大值为8,阴影△ABD的面积最大值为24,依题意∠CQD=60°就是遮阳棚△ABC与地面所成的角.
(3)方法一:由(2)知DC⊥CQ,又CD⊥AB,得DC⊥平面ABC,
所以过点B在平面ABC内作BM⊥AC,得到DC⊥BM,
所以BM⊥平面ACD,
所以△ABC中AB3QC=AC3BM?BM=,
所以Rt△BMA中得到AM=,所以CM=,
所以λ==.
方法二:过点H作射线Hx平行BA作为x轴正半轴,射线HD、射线HC分别作为y轴正半轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,依题意得
A(3,-2,0),D(0,6,0),C(0,0,2),B(-3,-2,0),设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z),
由?n=(8,3,3),
设=t,
由=+=+t=(6-3t,2t,2t),
根据∥n,得==?t=,
所以=,=,
所以λ==.
【加固训练】
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面ACFE
⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.当EM为何
值时,AM∥平面BDF?证明你的结论.
【解析】方法一:当EM=a时,AM∥平面BDF,以点C为原点,CA,CB,CF
所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),B(0,a,0),A(a,0,0),D,
F(0,0,a),E(a,0,a),因为AM?平面BDF,所以AM∥平面BDF?与,共面,所以存在实数m,n,使
=m+n,设=t.因为=(-a,0,0),
=(-at,0,0),所以=+=(-at,0,a),
又=,=(0,a,-a),从而(-at,0,a)=m(0,a,-a)+
n a,-a,-a成立,需解得t=,所以当EM=a时,
AM∥平面BDF.
方法二:当EM=a时,AM∥平面BDF,在梯形ABCD中,
设AC∩BD=N,连接FN,
则CN∶NA=1∶2,
因为EM=a,而EF=AC=a,所以EM∶MF=1∶2,
所以MF AN,所以四边形ANFM是平行四边形,所以AM∥NF,又因为NF?平面BDF,AM?平面BDF,所以AM∥平面BDF.