2011年高考试题数学（理科）
函数与导数
4．(2011年高考安徽卷理科3)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2
=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３ （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３ 【命题意图】本题考查了函数的奇偶性和求值，是容易题.
【解析】∵设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2
=2-， ∴(1)f =(1)f --=2[2(1)(1)]-?---=－3，故选A.
5.(2011年高考安徽卷理科10)函数()f x =(1)m n ax x - 在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是
（A ）m=1, n=1 （B ）m=1, n=2
（C ）m=2, n=1 （D ）m=3, n=1
【命题意图】本题考查利用导数判定函数的单调性的有关知识，考查识图、用图能力，难度较大.
【解析】观察图像已知，a ＞0，()f x 在（0,1）上先增后减，但在[0,
1
2
]上有增有减且不对称. 对于选项A ，()f x =(1)ax x -是二次函数，图像关于直线1
2
x =
对称，不符合题意. 对于选项B ，()f x =(1)ax x -=32(2)a x x x -+，()f x '=2
1
(341)3()(1)3
a x x a x x -+=--，知()
f x 在[0,
13]是增函数，在[1
3
,1]是减函数，符合题意，选B. 对于选项C, ()f x =2(1)ax x -=23()a x x -，()f x '=2(23)a x x -=2
3()3
a x x --，在[0,2
3
]上是增函数，不适合；
对于选项D ，()f x =3(1)ax x -=34()a x x -，()f x '=23
(34)a x x -=2
34()4ax x --，在[0,
3
4
]是增函数，不适合.
【解题指导】排除法解决存在问题和不确定问题很有效
8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数2
,0,()()4,0.
x x f x f x x α-≤?==?
>?若,则实数α=
（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】 B
【解析】：当2042,a a a >=?=时,044a a a ≤=?=-当时,-，故选B
9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（ ）
A 3x y =
B 1+=x y
C 12+-=x y
D x
y -=2
【答案】B
解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；
点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。
10. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为
（A ）
103 （B ）4 （C ）16
3
（D ）6 【答案】C
解析：因为???-==2x y x y 的解为???==24y x ，所以两图像交点为)2,4(，于是面积
??
=--=4
04
)2(dx x dx x S 31604)22
1(04322
23
=--x x x 故选C
点评：本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。 11. 12.
13.
14. (2011年高考江西卷理科3)
若()f x =
，则()f x 的定义域为
A. (,)1-
02 B. (,]1-02 C. (,)1
-+∞2
D.(,)0+∞ 【答案】A
【解析】要使原函数有意义,只须12
log (21)0x +>,即0211x <+<,解得x 1
-
<<02
,故选A. 15. (2011年高考江西卷理科4)若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为
A. (,)0+∞
B. -+10?2∞（，）（，）
C. (,)2+∞
D. (,)-10
【答案】C
【解析】因为'()x x f x x x x
242-2-4
=2-2-=,原函数的定义域为(0,)+∞,所以由'()f x >0可得
220x x -->,解得2x >,故选C.
16. (2011年高考湖南卷理科6)由直线0,3
,3
==
-=y x x π
π
与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面
积为 A.
21 B. 1 C. 2
3
D. 3
答案：D
解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=3)023
(20
3sin 2cos 2
3
=-?==?
π
π
x xdx 。
故选D 评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.
17. (2011年高考湖南卷理科8)设直线t x =与函数()()x x g x x f ln ,2
==的图像分别交于点N M ,，
则当MN 达到最小时的t 值为
A. 1
B.
21 C. 25 D. 2
2
解析：将t x =代入()()x x g x x f ln ,2==中，得到点N M ,的坐标分别为()
2,t t ，()t t ln ,，从而
(),0ln 2>-=t t t MN 对其求导，可知当且仅当2
2
=
t 时取到最小。故选D 评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值. 18．(2011年高考广东卷理科4)设函数()f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A ．()f x +|g(x)|是偶函数
B ．()f x -|g(x)|是奇函数
C ．|()f x | +g(x)是偶函数
D ．|()f x |- g(x)是奇函数
【解析】A.设|)(|)(|)(|)(|)(|)()(|)(|)()(x g x f x g x f x g x f x h x g x f x h +=-+=-+-=-∴+=
)(x h =，所以)(x h 是偶函数，所以选A.
19． 20.
21．(2011年高考陕西卷理科3)设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是
【答案】B
【解析】：由()(),f x f x -=知()f x 为偶函数，由(2)()f x f x +=知周期为2。故选B
22．(2011年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x =
在[0,)+∞内
（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点
【解析】：令1y 2cos y x =，则它们的图像如图故选B
23.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是
（A ）(,1]-∞ (B) 41,3
??-???
?
(C) 3
[0,)2
(D) [1,2)
解析：选D 。用图像法解决，将lg y x =的图像关于y 轴对称得到()lg y x =-，再向右平移两个单位，得到()()
lg 2y x =--，将得到的图像在x 轴下方的部分翻折上来，即得到()lg(2)f x x =-的图像。由图像，选项中()f x 是增函数的显然只有D
24． (2011年高考四川卷理科7)已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1
()()12
x
f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是
答案：A
解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。 当10,0()1,122
x
x y ><
25． (2011年高考全国卷理科2)（2）函数0)y x =≥的反函数为
（A ）2
()4
x y x R =∈ （B ）2
(0)4
x y x =≥ （C ）2
4y x =()x R ∈
（D ）2
4(0)y x x =≥
【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得2
4y x =
，所以0)y x =≥的反函数
为2
(0)4
x y x =≥. 26． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=2x
e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的
面积为 (A)
13 (B)12 (C)2
3
(D)1 【答案】A
【解析】：2'2x y e -=- ，2k =- ，切线方程为22y x -=-
由2322
2
3x y x y x y ?=?=???
?=-+??=??
得 则1211.233S =??= 故选A
27．(2011年高考全国卷理科9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则
5
()2
f -=
(A) -
12 (B)1 4- (C)14 (D)1
2
【答案】A
【解析】5511()(2)()()2222f f f f -=-
+=-=- 111
2()(1)222
=-?-=- 故选A 28．(2011年高考福建卷理科5)1
?（e 2+2x ）dx 等于
A ．1
B ．e-1
C ．e
D ．e+1
【答案】C
【解析】由定积分的定义容易求得答案.
29．(2011年高考福建卷理科9)对于函数f （x ）=asinx+bx+c （其中，a,b ∈R,c ∈Z ）,选取a,b,c 的一组值
计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是
A ．4和6
B ．3和1
C ．2和4
D ．1和2
【答案】D
30．(2011年高考上海卷理科16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为 （ ）
A ．1
ln
||
y x = B ．3y x = C ．||2x y = D ．cos y x =
【答案】A
【解析】由偶函数,排除B;由减函数,又排除B 、D ，故选A. 二、填空题: 1.
2．(2011年高考浙江卷理科11)若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。 【答案】 0
【解析】22()(),)f x f x x x a x x a -=--+=-+即(-， 则,,0x a x a x R a -=+∈∴=
3. (2011年高考广东卷理科12)函数3
2
()31f x x x =-+在x = 处取得极小值. 【解析】2.0)(,020)()
2(363)(112
1
<<>>-=-=x f x x x f x x x x x f 令或得令得
20< 小值。 4．(2011年高考陕西卷理科11)设2 0lg ,0 ()3,0 a x x f x x t dx x >?=?+?≤?，若((1))1f f =，则a = 【答案】1 【解析】((1))(lg1)(0)f f f f ==233 0003|a a t dt t a =+?==11a =?= 5. (2011年高考四川卷理科13)计算121 (lg lg 25)100=4 --÷ . 答案：20- 解析：12111 (lg lg 25)100lg 20410010 --÷=÷=-. 6. 7.(2011年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 【答案】1 (,)2 - +∞ 【解析】考察函数性质，容易题。因为210x +>,所以定义域为1 (,)2 - +∞,由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1 (,)2 - +∞. 8.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2 )(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________ 【答案】4 【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为 (0)y kx k =>,则由2 y kx y x =?? ?=?? 解得交点坐标为 、(，即为P 、Q 两点，所以线段PQ 长为4≥=，当且仅当1k =时等号成立，故线段PQ 长的最小值是4. 9．(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数0≠a ，函数? ??≥--<+=1,21 ,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-， 则a 的值为________ 【答案】1 2 - 【解析】因为)1()1(a f a f +=-,所以1x =是函数()f x 的对称轴,所以31()()2 2 f f =,所以a 的值为 12 -. 10．(2011年高考北京卷理科13)已知函数32 , 2()(1),2x f x x x x ?≥?=??- 若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同 的实根，则数k 的取值范围是_______ 【答案】（0，1） 【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想. 11．(2011年高考上海卷理科1)函数1 ()2 f x x = -的反函数为1()f x -= 。 【答案】 12x + 【解析】设12y x = -,则1 2x y =+,故1()f x -=12x +. 12．(2011年高考上海卷理科13)设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。 【答案】[15,11]- 【解析】本小题考查函数的性质. 三、解答题: 2． 4．(2011年高考安徽卷理科16) (本小题满分12分) 设2 ()1x e f x ax =+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 4 3 = 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。 【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。 【解析】：22 ' 2222 (1)212()(1)(1)x x x e ax e ax ax ax f x e ax ax +-+-==++ （1） 当a 43=时，2'2248 13 3()4(1)3 x x x f x e x +-=+，由'()0f x =得24830x x -+=解得1213,22 x x == 由'()0f x >得1322x x <>或，由'()0f x <得13 22 x <<，当x 变化时'()f x 与()f x 相应变化如下表： 所以，112x = 是函数()f x 的极大值点，23 2 x =是函数()f x 的极小值点。 （2） 因为()f x 为R 上的单调函数，而a 为正实数，故()f x 为R 上的单调递增函数 '()0f x ∴≥恒成立，即2210ax ax -+≥在R 上恒成立，因此 2440a a ?=-≤，结合0a >解得01a <≤ 【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。 某区间（a,b ）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为： 若函数()f x 在区间（a,b ）上单调递增（递减），则'()0f x ≥（' ()0f x ≤） 若函数()f x 的导数'()0f x >（' ()0f x <），则函数()f x 在区间（a,b ）上单调递增（递减） 若函数()f x 的导数' ()0f x =恒成立，则函数()f x 在区间（a,b ）上为常数函数。 5. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA?AB = MB?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。 分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。 解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为),(y x M ，则依题意：),1,0(),3,(--A x B )2,(),3,0(),,1(-=--=---=∴x y y x ， 0)(=?+由此可得0)2,)(24,(=----x y x ，即曲线C 的方程为：24 12 -= x y (Ⅱ)设点),(00y x P 是曲线C 上任一点，又因为，x y 21= '所以，直线L 的斜率02 1 x k =，其直线方程为：),(21000x x x y y -=-即0222 000=-+-x y y x x ，所以原点到该直线的距离4 2202 00+-=x x y d ， 又因为，24 12 00-= x y ， 2)4 44(2144 212020202 0≥+++=++=∴x x x x d ， 所以，当且仅当00=x 时，所求的距离最小为2. 点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。 6. (2011年高考全国新课标卷理科21)（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x > +-，求k 的取值范围。 分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。 解：（Ⅰ）22)1() ln 1 ( )(x b x x x x a x f -+-+= ' ，由题意知：?????-='=21)1(1)1(f f 即?????-=-=212 1b a b 1==∴b a （Ⅱ）由（Ⅰ）知x x x x f 1 1ln )(+-= ，所以， ?? ????--+-= +--x x k x x x x x x f )1)(1(ln 211 )11ln ()(22 设)0(,)1)(1(ln 2)(2>--+=x x x k x x h 则，2 22)1)(1()(x x x k x h ++-=' ⑴如果0≤k ，由2 2 2)1()1()(x x x k x h --+='知，当1≠x 时， 0)(<'x h ，而0)1(=h 故，由当0)(),,1(,0)()1,0(<'+∞∈>'∈x h x x h x 时当时得： 0)(-11 2 >x h x 从而，当0>x 时，,0)1ln ( )(>+--x k x x x f 即x k x x x f +->1ln )( ⑵如果)1,0(∈k ，则当，)11 , 1(k x -∈时，0)(,02)1)(1(2>'>++-x h x x k 而0)1(=h ；0)(>x h 得： 0)(-11 2 与题设矛盾； ⑶如果1≥k ，那么，因为0)(>'x h 而0)1(=h ，),1(+∞∈∴x 时，由0)(>x h 得：0)(-11 2 综合以上情况可得：(]0,∞-∈k 点评：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思想。要深入理解和把握并进行拓展。 7. (2011年高考天津卷理科19)（本小题满分14分） 已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当18a = 时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2 f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ =，证明ln 3ln 2ln 2 53 a -≤≤． 【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法. （Ⅰ）解:2 112'()2,(0,)ax f x ax x x x -=-=∈+∞,令'()0f x =, 解得x =当x 变化时, '(),()f x f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(0, 2a ;()f x 的单调递减区间是(,)2a +∞. （Ⅱ）证明: 当18a = 时，2 1()ln 8f x x x =-.由（Ⅰ）知()f x 在(0,2)内单调递增,在(2,)+∞内单调递减.令()g x =3()()2 f x f -,由()f x 在(0,2)内单调递增,故3(2)()2 f f >,即(2)0 g >, 取' 322x e =>,则2' 419()032 e g x -= <,所以存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =. （Ⅲ）证明:由()()f f αβ=及（Ⅰ）的结论知αβ< <,从而()f x 在[,]αβ上的最小值为()f α. 又由1βα-≥,,[1,3]αβ∈,知123αβ≤≤≤≤.故(2)()(1)(2)()(3)f f f f f f αβ≥≥?? ≥≥?,即ln 24ln 24ln 39a a a a -≥-??-≥-?, 从而 ln 3ln 2ln 2 53 a -≤≤. 8．(2011年高考江西卷理科19) (本小题满分12分) 设32 11()232 f x x x ax =- ++ （1）若()f x 在2 (,)3 +∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为16 3 - ，求()f x 在该区间上的最大值． 解析：（1）2()2f x x x a '=-++，因为函数()f x 在2(,)3 +∞上存在单调递增区间，所以 2()20f x x x a '=-++>的解集与集合2(,)3 +∞有公共部分， 所以不等式2 20x x a --<解集的右端 点落在2(,)3+∞2 3 >，解得19a >-． （2）由2()20 f x x x a '=-++>得x <<，又02a <<，所以 0<，14<<<，所以函数()f x 在上单调增，在 上单调减，又1(1)26f a =+，40(4)83f a =-， 因为02a <<，所以(4)(1)f f <，所以4016 833 a - =-，所以1a =． 最大值为10 (2)3 f f ==． 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等． 9. 13．(2011年高考陕西卷理科19)（本小题满分12分）如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线x y e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次 重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ； ；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n = ） （Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤） （Ⅱ）求1122||||||n n PQ PQ PQ +++ 【解析】：（Ⅰ）设11(,0)k k P x -- ，由x y e '= 得1 11(,)k x k k Q x e --- 点处切线方程为 111()k k x x k y e e x x ----=- ，由0y =得11k k x x -=-（2k n ≤≤） （Ⅱ）由10x =，11k k x x --=- ，得(1)k x k =--所以(1)||k x k k k P Q e e --== ， 于 是 111 || k n n PQ PQ PQ e e e ----+++=++++ 11111 n n e e e e e -----==-- 15．(2011年高考重庆卷理科18)（本小题满分13分。（Ⅰ）小题6分（Ⅱ）小题7分。） 设()321f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2),f a f b ''==-其中常数,a b R ∈. （Ⅰ）求曲线().y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程。 （Ⅱ）设()().x g x f x e -'=求函数()g x 的极值。 解析：（Ⅰ）因()321f x x ax bx =+++，故()232f x x ax b '=++， 令1x =，得()132f a b '=++，由已知()12f a '=，解得3b =- 又令2x =，得()2124f a b '=++，由已知()2f b '=-，解得32 a =- 因此()3 23312f x x x x =- -+，从而()512 f =- 又因为()123f a '==-，故曲线().y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为 ()5312y x ?? --=-- ??? ，即6210x y +-= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()2 333.x g x x x e -=--，从而有()() 2 39.x g x x x e -'=-+， 令()0g x '=，解得120,3x x ==。 当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，故()g x 在(),0-∞为减函数， 当()0,3x ∈时，()0g x '>，故()g x 在()0,3为增函数， 当()3,x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在()3,+∞为减函数， 从而函数()g x 在10x =处取得极小值()03g =-，在23x =出取得极大值()3315g e -=. 16．(2011年高考四川卷理科22) (本小题共l4分) 已知函数f(x)= 23x + 1 2 , h(x)= (I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值； (Ⅱ)设a ∈R ，解关于x 的方程log 4 [ 33 (1)24 f x --]=1o g 2 h(a-x)一log 2 h (4-x)； (Ⅲ)试比较100 1 (100)(100)()k f h h k =- ∑与16的大小. 解析：（1）21 ()32 F x x = + 1 ' 221()32 F x x -=- 令' 9()0;16 F x x >?> '9()0016 F x x ， '9()016 F x x =?= 所以916x = 是其极小值点，极小值为18 . （2） 33 (1)124 f x x --=-； 222 log ()log (4)log h a x x ---= 由4222233log [ (1)]log ()log (4)log (1)log 244a x f x h a x x x x ---=---?-=- 216404a x x x x a x --= ?-++=-即14a x x x --=-，即2640(14)x x a x -++=<<， 方程可以变为264(14)x x a x -+=-<<， ()2 26435(14)a x x x x -=-+=--<<， 当 54,45a a -<-≤-≤<即时 ，方程 26 4014x x a x -++=<< 在上有两个解 ， 1x = = ，2x = 当41,14a a -≤-<-<≤即时，方程2 64014x x a x -++=<<在上有一个解 ，x = 当5a =-时，方程有一个解3x =； 当5151a a a a -<-≥-≤或-即>或时，方程无解. ⑶由已知得 100100 1 1 ()k k h k ===∑ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()*1 6 n S f n h n n =- ∈N , 从而有11 1.a S == 当12100,k k k k a S S -≤≤=-= ， 又( ( 143416 k a k k ? = --? 2 2 43411k k k k -- -- 0 = > 对任意的2100, k ≤≤有k a > 又因为11a ==100100 1 1 k k k a ===∑ 故()()100 1 1100100()6 k f h h k =- > ∑ 17．(2011年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2 x f x x x =+- +，证明：当0x ＞时，()0f x ＞； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291( )10p e << 【解析】：（Ⅰ） 2222 12(2)214(2)4(1) ()1(2)1(2)(1)(2)x x x x f x x x x x x x +-+-+'=-=-=++++++ 2 2 (1)(2)x x x = ++0()0())x f x f x '∴>∞ ＞则在(0,+上单调递增, 于是()(0)f x f >0 ()ln1002 f x >- =+即故()0f x ＞ （Ⅱ）法一：第k 次抽取时概率为100(1)101100100 k k k p ---= =，1,220k = 则抽得的20个号码互 不相同的概率12201011101210120 100100100 p p p p ---=?= ?? 999881100100100=?? 99819882918990()()()100100100100100100100=??? 22299819882918990100100100100100100()()()222100+++ =?= 由（Ⅰ），当0,()(0)0x f x f <<= 即有2ln(1)2x x x +< +故12()91 10 19ln 19ln(1)1921 1010 2210 - =-<=--?+ 于是919ln 210 e e -<即19291()10e <。故19291 ()10p e << 法二：2 (ln )0x x x 11 ''=()'=- < 所以ln y x =是上凸函数，于是 1212ln ln ln ln n n x x x x x x n n ++++++< 因此100999881 ln ln ln ln ln 100100100100 p =++++ 10099988110010010010019ln 19??++++ ?< ? ??? 919ln .10??= ???故199()10p ＜ 综上：19291 ( )10p e ＜＜ 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ． C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-， 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-， 五年高考真题分类汇编：函数、导数及其应用 一.选择题 1.（2015高考福建，文12）“对任意(0, )2 x π ∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】当1k <时，sin cos sin 22k k x x x = ，构造函数()sin 22 k f x x x =-，则'()cos 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022 f x f ππ <=-<， 则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1 sin 22 x x <，构造函 数1()sin 22g x x x =-，则' ()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故 ()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述， “对任意(0,)2x π ∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ． 【答案】B 2.（2015湖南高考，文8）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【解析】函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，函数的定义域为（-1，1），函数 ()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2 111 '111f x x x x = +=+-- ，在（0,1）上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A. 【答案】A 3.（2015北京高考，文8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项： 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、解答题（本大题共22小题，共0分） 1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由． 2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)） 已知函数1()e x x f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------● 2018年全国高考理科数学分类汇编——函数与导数 1.（北京）能说明“若f（R）＞f（0）对任意的R∈（0，2]都成立，则f（R）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f（R）=sinR． 【解答】解：例如f（R）=sinR，尽管f（R）＞f（0）对任意的R∈（0，2]都成立， 当R∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（R）=sinR． 2.（北京）设函数f（R）=[aR2﹣（4a+1）R+4a+3]e R． （Ⅰ）若曲线R=f（R）在点（1，f（1））处的切线与R轴平行，求a； （Ⅱ）若f（R）在R=2处取得极小值，求a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（R）=[aR2﹣（4a+1）R+4a+3]e R的导数为 f′（R）=[aR2﹣（2a+1）R+2]e R．由题意可得曲线R=f（R）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1； （Ⅱ）f（R）的导数为f′（R）=[aR2﹣（2a+1）R+2]e R=（R﹣2）（aR﹣1）e R， 若a=0则R＜2时，f′（R）＞0，f（R）递增；R＞2，f′（R）＜0，f（R）递减． R=2处f（R）取得极大值，不符题意； 若a＞0，且a=，则f′（R）=（R﹣2）2e R≥0，f（R）递增，无极值； 若a＞，则＜2，f（R）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增， 可得f（R）在R=2处取得极小值； 若0＜a＜，则＞2，f（R）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增， 可得f（R）在R=2处取得极大值，不符题意； 若a＜0，则＜2，f（R）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减， 可得f（R）在R=2处取得极大值，不符题意． 综上可得，a的范围是（，+∞）． 3.（江苏）函数f（R）=【解答】解：由题意得：故答案为：[2，+∞）． 的定义域为[2，+∞）． ≥1，解得：R≥2，∴函数f（R）的定义域是[2，+∞）． 函数导数 1（2017北京文）已知函数，则 （A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 2（2017北京文）（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 3（2017新课标Ⅱ理）（12分） 已知函数2 ()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥． （1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<． 4（2017天津理）（本小题满分14分） 设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数4 3 2 ()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间； （Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且 00[1,)(,2],p x x q ∈ 满足041| |p x q Aq -≥. 1()3()3 x x f x =-()f x ()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f ()f x π[0,]2 5（2017新课标Ⅲ理数）（12分） 已知函数()f x =x ﹣1﹣a ln x ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值； （2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111 1++1+)222 n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． 6（2017山东理）（本小题满分13分） 已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e = 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程； （Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 7（2017天津文）（本小题满分14分）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数 32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0； （ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 8（2017新课标Ⅰ理数）（12分） 已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 9（2017江苏）（本小题满分16分） 已知函数有极值，且导函数的极值点是的零 点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） 32 ()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R ()f x '()f x 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ① 确定定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，显然 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单调区间。 2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （1）求a 、b 的值； （2）证明：当0x >，且1x ≠时， f (x )> ln x x -1 【解析】 （1）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+ 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 （2）由（1）知f (x )=x x x 1 1ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1x )， 考虑函数，则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h -- =---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0 故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得， 从而当，且时，. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间 （2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】 （1） f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(l n ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. （2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >- 2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[] 0,1 B ．[] 0,2 C ．[]0,e D ．[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立， 令2 ()1 x g x x =-， 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? ， 当1 11x x -= -，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立， 令()ln x h x x = ，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=， 综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2(1)y x a x =+-'， 当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图： 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x 13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
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