一、初中物理压力与压强问题
1．如图所示，甲、乙两相同容器放在水平桌面上，已知甲、乙两容器里分别装有两种质量相同的不同液体，则在同一高度上的A 、B 两点液体的压强A p 和B p 的大小关系为
A ．A
B p p > B ．A B p p =
C ．A B p p <
D ．以上都有可能．
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
甲、乙两容器相同，两种液体的质量相同，由F p S
=
和 F G mg ==
知两个容器底部所受压强相同，即
p p =甲乙，
∵A 、B 两点在同一高度上，
m m =乙甲， V V 甲乙＞，
∴ρρ甲乙＜ ，
∴根据p gh ρ=知：AB 以下液体对底部压强
A B p p 下下＜，
∵AB 两点压强为
A A p p p =-甲下，
B B p p p =-乙下 ，
∴A B p p ＞．
故选A ．
2．如图所示，质量相等的A 、B 两个正方体放在水平面上，A 的边长比B 大．如果从其正中间水平或竖直方向打通一个横截面积大小相同的圆柱形的小孔后，使其剩余部分对水平面压强相等．设想了下列四种做法：
（1）两个正方体均水平打孔；（2）两个正方体均竖直打孔；（3）B水平打孔、A竖直打孔；（4）A水平打孔、B竖直打孔；
以上想法中能实现目的是
A．（1）、（2）B．（1）、（3）
C．（2）、（3）D．（2）、（3）、（4）
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
A、B两个正方体质量相等的放在水平面上，由于正方体对地面的压力等于自身的重力，所以A、B两个正方体对地面的压力相等；又因为A的边长比B大，所以A、B的底面积S A ＞S B，由p=F/S可知，A、B两个正方体对地面的压强p A＜p B；
（1）当两个正方体均水平打孔时；A小孔的重力为G A′=S孔G/S A，B小孔的重力为G B′=S孔G/S B，则G A′＜G B′，由于剩余部分对水平面压力F′=G-G′，则F A′＞F B′；由于A、B的底面积不变，S A＞S B；由p=F/S可知，剩余部分对水平面压强p A′可能会与p B′相等，故两个正方体均水平打孔可行；
（2）柱状体对水平面产生的压强是p=ρgh，当竖直打孔时，由于物体仍是柱状体且高度不变，由p=ρgh可知剩余部分对水平面压强不变，所以，两个正方体均竖直打孔时剩余部分对水平面压强仍是p A＜p B，故两个正方体均竖直打孔不可行；
（3）由（2）知道，若A竖直打孔，A剩余部分对水平面压强不变；由（1）知道若B水平打孔，则重力减小，底面积不变，由p=F/S可知B剩余部分对水平面压强p B′会减小，则剩余部分对水平面压强可以达到相等，故A竖直打孔B水平打孔可行；
（4）A水平打孔，由于重力减小，底面积不变，由p=F/S可知B剩余部分对水平面压强
p A′减小，B竖直打孔，B剩余部分对水平面压强不变；则剩余部分对水平面压强
p A′＜p B′，故A水平打孔、B竖直打孔不可行；综上所述只有B正确，故选B．
3．形状相同、大小不同的长方体物块甲、乙置于水平地面上，两物块对地面的压强相等。将甲、乙均顺时针翻转90°，如图所示。若甲、乙对地面压强变化量的大小分别为Δp甲、Δp乙，则
A．Δp甲一定小于Δp乙B．Δp甲一定等于Δp乙
C ．Δp 甲可能等于Δp 乙
D ．Δp 甲一定大于Δp 乙
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
原来两物块对地面的压强相等，甲乙是长方体，当甲、乙顺时针旋转90°后，甲的受力面积减小，甲对水平地面的压力不变，甲对水平地面的压强增大，乙的受力面积增大，乙对水平地面的压力不变，乙对水平地面的压强减小。因两长方体形状相同、大小不同，则设甲的长、宽、高为乙的n 倍，则甲的各个面的面积为乙各个对应面面积的n 2倍，再设原来甲、乙的底面积分别为S 甲、S 乙，当甲、乙顺时针旋转90°后，甲、乙的底面积分别为S '
甲
、S '乙，甲物体对地面压强的变化量
Δp 甲= p 甲'-p 甲=2222()F F F n S n S S S n S n S '--=''甲甲甲乙乙甲
甲乙乙， 乙物体对地面压强的变化量
Δp 乙= p 乙-p'乙=()F F F S S S S S S '--=''乙乙乙乙乙乙乙乙乙
， 22222()==
()F n S n S p F n S n S p n F F S S S S '-'??'-'甲乙乙甲甲
乙乙乙
乙
乙乙乙乙乙
因原来两物块对地面压强相等，根据p =
F
S
，则有： 2'F n S 甲乙
=F S 乙
乙， 解得：
F 甲=2'
n S F S 乙乙
乙
。
所以
2''
22===n S F p F S S p n F n F S ??乙乙
甲甲乙乙
乙乙乙乙
， 因'
S 乙>S 乙，所以p ?甲>p ?乙。故选D 。
4．如图所示，均匀圆柱体甲和盛有液体乙的轻质圆柱形容器放置在水平地面上，他们对地面的压强相等。现沿水平方向切去部分甲并从容器中抽出部分乙，且甲、乙质量的变化量相等。若甲切去部分高度为?甲h ，乙抽出部分高度?乙h ，它们剩余部分的质量分别为
甲
m '、乙m '，则（ ）
A ．?甲h ＞?乙h ，甲
m '＜乙m ' B ．?甲h ＞?乙h ，甲
m '＞乙m ' C ．?甲h ＜?乙h ，甲
m '＞乙m ' D ．?甲h ＜?乙h ，甲
m '＜乙m ' 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
因为甲为规则圆柱体，乙为规则容器，则甲对地面的压强
p 甲=ρ甲gh 甲
乙对容器底的压强
p 乙=ρ乙gh 乙
因为他们对地面的压强相等
p 甲＝p 乙
即
ρ甲gh 甲=ρ乙gh 乙
由图可知h 甲＜h 乙，所以
ρ甲＞ρ乙
因为甲、乙质量的变化量相等
=m m ??甲乙
即
h S h S ρρ??甲甲甲乙乙乙＝
由图可知：底面积S 甲＞S 乙，所以
h h ??甲乙＜
由F
p S
=
得，对地面的压力 F 甲＝p 甲S 甲 F 乙＝p 乙S 乙
因为
p 甲=p 乙 S 甲＞S 乙
所以
F 甲＞F 乙
因为他们放置在水平地面上，压力等于重力，所以
G 甲＞G 乙
则由G =mg 知
m 甲＞m 乙
因为
m m m '=-?
而且
m m ??甲乙＝
所以
m m ''甲乙＞
故选C 。
5．如图所示，三个底面积不同的圆柱形容器内分别盛有A 、B 、C 三种液体，它们对容器底部的压强相等，现分别从三个容器内抽出相同深度的液体后，剩余液体对容器底部的压强p A 、p B 、p C 的大小关系是 （ ）
A ．p A ＞p
B ＞p
C B ．p A ＝p B ＝p C C ．p A ＜p B ＜p C
D ．p A ＝p C ＞p B 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
由图可知，三容器内所装液体的深度：h A ＞h B ＞h C ， ∵p=ρgh ，三容器内液体对容器底部的压强相等， ∴三液体的密度：ρA ＜ρB ＜ρC ； ∵抽出相同深度的液体，
∴抽取液体的压强：△p A ＜△p B ＜△p C ， 又∵原来它们对容器底部的压强相等， ∴剩余液体对容器底部的压强：p A ＞p B ＞p C ． 故选A ．
6．如图所示，底面积不同的甲、乙两个实心圆柱体，它们对水平地面的压力F 甲＞F 乙．若
将甲、乙分别从上部沿水平方向截去相同高度，则截去部分的质量△m甲、△m乙的关系是
A．△m甲一定小于△m乙B．△m甲可能小于△m乙
C．△m甲一定大于△m乙D．△m甲可能大于△m乙
【答案】C
【解析】
【详解】
因为甲、乙两个实心圆柱体对地面压力F甲＞F乙，由图可知S甲＞S乙，由压强公式：F
p
S
=可知，p p
甲乙
>，对于自有放置在水平面的上柱体，还可以用p gh
ρ
=计算物体的压强，由图可知，h甲＜h乙，所以得到：ρ甲＞ρ乙.若将甲、乙分别从上部沿水平方向截去相同高度，则甲截去部分对地的压强大于乙的，因为受力面积没有发生变化，则截去部分对地的压力大于乙对地的压力，水平面上放置的物体压力等于重力，所以△G甲＞△G乙，即Δm甲＞Δm乙.
故选C.
7．水平桌面上放置一底面积为S的薄壁圆筒形容器，内盛某种液体，将质量分别为A
m、B
m、
C
m，密度分别为
A
ρ、
B
ρ、
C
ρ的均匀实心小球A、B、C放入液体中，A球漂浮、B 球悬浮、C球下沉，如图所示，它们所受的浮力分别为F A、F B、F C。下列选项正确的是（）
A．若A B C
m m m
==，则
A B C
F F F
=<
B．将C球截去部分后，剩余部分可能上浮
C．只取出A球，容器中液面的高度降低了A
B
m
S
ρ
D．三球放入液体前后，液体对容器底部的压强变化了()
A B C
g
m m m
S
++
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知，小球A漂浮，小球B悬浮，小球C沉底；
(1)当A B C
m m m
==时三小球的重力相等，物体悬浮或漂浮时受到的浮力和自身的重力相
等，物体下沉时受到的浮力小于自身的重力，据此判断三小球受到的浮力关系； (2)物体的密度大于液体的密度时，物体沉底，将C 球截去部分后，剩余部分的密度不变，据此判断剩余部分在液体中的状态；
(3)由物体的密度和液体的密度相等时悬浮可知液体的密度，小球A 漂浮时受到的浮力和自身的重力相等，根据阿基米德原理求出小球A 排开液体的体积，根据V Sh =求出只取出A 球时容器中液面的高度降低的高度；
(4)物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，根据m
V
ρ=
求出B 球和C 球排开液体的体积，进一步求出三球放入液体后排开液体的总体积，利用V Sh =求出容器内液体上升的高度，利用p gh ρ=求出三球放入液体前后液体对容器底部的压强的变化量。 【详解】
由图可知，小球A 漂浮，小球B 悬浮，小球C 沉底；
A ．若A
B
C m m m ==，则三个小球的重力相同，因物体悬浮或漂浮时受到的浮力和自身的重力相等，物体下沉时受到的浮力小于自身的重力，则小球A 和B 受到的浮力等于自身的重力，小球C 受到的浮力小于自身的重力，则A B C F F F =>，故A 错误；
B ．因物体的密度大于液体的密度时，物体沉底，则将
C 球截去部分后，剩余部分的密度不变，剩余部分一定仍沉底，故B 错误；
C ．由物体的密度和液体的密度相等时悬浮可知，液体的密度为B ρ，小球A 漂浮时，受到的浮力和自身的重力相等，即
A A A F G m g ==浮
由浮排F gV ρ=
可得，小球A 排开液体的体积
A A A
A B B
F m g m V g g ρρρ=
==浮排液 只取出A 球，容器中液面降低的高度
A
A B A
B m V m h S S S
ρρ?===排 故C 正确；
D ．因物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，由m
V
ρ=可得，B 球和C 球排开液体的体积分别为
B
B B B
m V V ρ==
排，C
C C C
m V V ρ==
排
三球放入液体后，排开液体的总体积
C
A
B
A B C B
B
C
m m m V V V V ρρρ=++=
+
+
排排排排
容器内液体上升的高度
C
A
B
B
B
C m m m h V S S
ρρρ+
+
?'==
排
三球放入液体前后，液体对容器底部的压强的变化量
C
A
B
B
B
C
C B A B C ()B m m m m g p g h g
m m S
S
ρρρρρρρ+
+
?=?'==++
液
故D 错误。 故选C 。
8．如图所示，水平面上的圆柱形容器A 、B 中分别盛有甲、乙两种液体，且甲对容器底部的压强大于乙．现在两容器中各放入一个物体，物体均漂浮在液面上且液体不溢出．小明认为：若两物体质量相等，甲对容器底部的压强可能小于乙；小红认为：若两物体体积相等，甲对容器底部的压强可能小于乙；下列说法中正确的是 （ ）
A ．两人的观点均正确
B ．两人的观点均不正确
C ．只有小明的观点正确
D ．只有小红的观点正确 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由于两容器都是圆柱形容器，所以有
A A F G p S S =
=甲甲
甲，B B
F G p S S ==乙乙乙
因为
p p 甲乙>
所以
A B
G G S S >甲乙
放入质量相等的物体后，液体对容器底的压强为
''=+A A A A
G G G F G p S S S S +=
=甲甲物甲物
甲
''=+B B B B
G G G F G
p S S S S +=
=乙物物
乙乙乙 因为
A B S S >
所以
A B
G G S S <物物
则'甲p 可能大于、小于、等于'p 乙，小明的观点是正确的； 若放入物体的体积相等，同理液体对容器底的压强为
''=+A A A A G G G F G p S S S S +==甲甲物甲物
甲
''''=+B B B B
G G G F G p S S S S +==乙物物乙乙乙
其中
A B
G G S S >甲乙
两物体的密度关系不定，所以G 物和'G 物的大小关系不定，则
A
G S 物
可能大于、小于、等于'
B
G S 物，则'甲p 可能大于、小于、等于'p 乙，小红的观点也是正确的， 故选A 。
9．两个完全相同的细玻璃管以不同的方式放置，玻璃管内注入质量相同的不同液体，甲管中液面的位置如图所示。关于这两种液体密度ρ、液体对玻璃管底的压强p 的大小关系，下列说法中正确的是
A ．如果乙管液面比甲低，则ρ甲一定大于ρ乙，p 甲一定大于p 乙
B ．如果乙管液面比甲低，则ρ甲可能大于ρ乙，p 甲可能等于p 乙
C ．如果乙管液面比甲高，则ρ甲一定大于ρ乙，p 甲一定大于p 乙
D ．如果乙管液面比甲高，则ρ甲一定大于ρ乙，p 甲可能等于p 乙 【答案】C 【解析】 【详解】
AB ．如果乙管液面比甲低，甲管内液体的体积可能大于乙管内液体的体积，液体的质量相等，由ρ=
m
V
可知ρ甲可能小于ρ乙；如果两个都是竖直放置，对试管底部的压力相同，受力面积相同，由p =F
S
可知压强相等，但乙管倾斜，对试管底部的压强变小，p 甲＞p 乙，故AB 错误；
CD ．如果乙管液面比甲高，甲管内液体的体积小于乙管内液体的体积，液体的质量相等，由ρ=m
V
可知ρ甲＞ρ乙；如果两个都是竖直放置，对试管底部的压力相同，受力面积相同，由p =
F
S
可知压强相等，但乙管倾斜，对试管底部的压强变小，p 甲＞p 乙，故C 正确，D 错误。
10．水平桌面上两个底面积相同的容器中，分别盛有甲、乙两种液体。将两个完全相同的小球A 、B 分别放入两个容器中，静止时两球状态如图所示，B 球有一半体积露出液面，两容器内液面相平。下列分析正确的是：（ ）
A ．两小球所受浮力A
B F F > B ．两种液体的密度2ρρ=甲乙
C ．两种液体对容器底部的压强甲乙p p >
D ．两种液体对容器底部的压力12
F F =甲乙 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
A ．A 小球在甲中悬浮，
B 小球在乙中漂浮，所受浮力等于各自自身重力，即
A A F G =，
B B F G =
A 、
B 两球完全相同，所以重力相等。则A 、B 两球所受浮力相同，即A B F F =，故A 错误； B ．根据浮水排F gV ρ=
可得，A 小球在甲中悬浮，则A 所受浮力为
A A F gV gV ρρ==甲甲排
B 小球在乙中漂浮且有一半体积露出液面，则B 所受浮力为
'
B B 1
2
F gV gV ρρ=
=排乙乙 由题意可知，A 、B 两球体积相等且所受浮力相等，即
A B
A B
F F
V V
=
=
联立可得甲、乙液体密度的关系为
1
2
ρρ
=
甲乙
，故B错误；
C．由于两容器内液面相平，根据
液
p gh
ρ
=可得，两种液体对容器底部的压强分别为
p gh
ρ
=
甲甲
p gh
ρ
=
乙乙
由上可知甲、乙液体的密度的关系是
ρρ
<
甲乙
所以<
甲乙
p p，故C错误；
D．由于两容器底面积相同的，根据
F
p
S
=可得，两种液体对容器底部的压力分别为
F p S hS
g
ρ
==
甲甲甲
F p S hS
g
ρ
==
乙乙乙
由上可知甲、乙液体的密度的关系是
1
2
ρρ
=
甲乙
两种液体对容器底部的压力关系为
1
2
F F
=
甲乙
，故D正确。
故选D。
11．甲、乙两个实心正方体物块放在相同的海绵上，甲的凹陷程度比较深．将它们沿水平方向切去一部分后，剩余部分对海绵的凹陷程度如图所示，则
A．甲切去的质量一定比乙小
B．它们切去的质量一定相同
C．甲切去的高度一定比乙大
D．它们切去的高度一定相同
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
甲、乙两个实心正方体物块放在相同的海绵上，甲的凹陷程度比较深，
所以，P 甲＞P 乙，
而F G m g ==甲甲甲，F G m g 乙乙乙==，
所以，m g m g
S S =甲乙甲乙
将它们沿水平方向切去一部分后，海绵的凹陷程度相同，则甲乙对海绵压强相等，
P 甲剩=P 乙剩，即：m g m g
m g m g S S --=乙甲乙剩甲切甲乙
所以，m 甲切＞m 乙切，故AB 错误；
放在水平面上的柱体的压强可用P ρgh =求解. 因为P 甲剩=P 乙剩，
所以，gh gh ρρ=甲乙甲剩乙剩， 由图可知，h h 甲剩乙剩>，所以ρρ<甲乙. 因为m 甲切＞m 乙切，V Sh =，m V ρ=
所以：m m g g S S >甲切乙切甲乙，即：S h g S h g S S ρρ>甲甲乙乙甲切乙切甲乙
所以，h 甲切＞h 乙切，C 正确，D 错误． 故选C.
12．如图所示，底面积不同的圆柱形容器A 和B 分别盛有甲、乙两种液体，两液面向齐平，且甲的质量等于乙的质量。若从两容器中分别抽出部分液体后，液面仍保持相齐平，则此时液体对各自容器底部的压强A p 、B p 和压力A F 、B F 的关系是（ ）
A ．A
B p p <，A B F F = B ．A B p p <，A B F F >
C ．A B p p >，A B F F =
D ．A B p p >，A B F F <
【答案】A 【解析】 【分析】
甲乙质量相等，对容器底的压力相等；A 的底面积大，根据F
p S
=
分析液体对各自容器底部的压强A p 、B p 的关系；若从两容器中分别抽出部分液体后，两液面仍保持齐平，则和原来的情况相同。
【详解】
甲乙两种液体质量相等，此时两液面齐平。因为是圆柱形容器，对容器底的压力为
F G mg ==，
所以甲乙对容器底的压力相等，即A B F F =； 由于A 的底面积大，由F
p S
=
可得，A 对容器底的压强小，即A B p p <； 若从两容器中分别抽出部分液体后，因为两液面仍保持齐平，所以和未抽出时的情况相同，即A B p p <，A B F F =；故选A 。 【点睛】
本题主要考查压强大小比较，重点在分析压力及重力与压力的区别。
13．如图所示，桌面上有两个相同的容器甲，乙，现将两个容器倒入体积相同的不同液体，若甲容器中液体对容器底部的压强比乙容器中液体对容器底部压强大，试比较两容器对桌面的压强p 甲，p 乙（ ）
A ．p 甲＞p 乙
B ．p 甲＜p 乙
C ．p 甲=p 乙
D ．不能确定
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
由图可知甲乙两容器底部所处的深度h 相同，且甲容器中液体对容器底部的压强比乙容器中液体对容器底部压强大，根据公式p gh ρ=可得，甲容器中液体的密度大于乙容器中液体的密度，又因甲乙两种液体的体积相等，根据公式m V ρ=得，甲容器中液体的质量大于乙容器中液体的体积，则甲容器中液体的重力大于乙容器中液体的重力，故甲容器对桌面的压力大于乙容器对桌面的压力，两个容器相同，说明容器和桌面的接触面积相同，根据公式F
p S
=可得，甲容器对桌面的压强大于乙容器对桌面的压强。 故选A 。
14．将质量相等且分布均匀的圆柱体甲、乙放在水平面上。若沿水平方向均切去高度?h ，甲、乙剩余部分对地面的压强p '与切去部分高度?h 的关系如图所示。下列说法正确的是（ ）
A ．甲、乙初始高度h 甲 B ．甲、乙初始压强p 甲 C ．ρ甲>ρ乙 D ．沿水平方向切去相同的质量，甲、乙剩下部分对地面的压强一定是p p '' <甲乙 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 A ．由图可知，当沿水平方向均切去高度?h 时，压强最先变为0的是乙，说明乙的高度小于甲的高度，故A 错误； B ．当?h =0时，根据图可以看出甲的压强大于乙的压强，故B 错误； C ．切去相同的高度h ?，则减小的压强为ΔΔp ρg h =，根据图像可以看出切去相同的高度，甲减少的压强大于乙减少的压强，所以根据ΔΔp ρg h =可得甲的密度大于乙的密度，故C 正确； D ．因为初始压强甲的压强大于乙的压强，且甲和乙的质量相同，所以甲和乙对地面的压力相同，根据公式F p S = 得，甲的底面积小于乙的底面积，甲和乙的质量相同，所以甲和乙对地面的压力相同，切去相同的质量，则减小的压力相同，所以剩余部分甲和乙对地面的压力相等，因为甲的底面积小，根据公式F p S =得甲剩余部分对地面的压强大于乙剩余部分对地面的压强，故D 错误。 故选C 。 15．如图（a ）所示，一个质量分布均匀的长方体静止在水平面上，它对水平面的压强为p 。若将它沿斜线切割为如图2（b ）所示的两部分，它们对水平面的压强分别p a 和p b ，则（ ） A ．p ＞p a ＞p b B ．p a ＞p ＞p b C ．p ＜p a ＜p b D ．p a ＜p ＜p b 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 原来的正方体放在水平地面上，对地面的压强为 G Vg Shg p gh S S S ρρ ρ ==== 若沿如图所示的虚线方向切成a、b两部分，由图知对a两部分 V a＜S a h a两部分对水平面的压强 a a a a a a a a a G m g V g S hg p gh p S S S S ρρ ρ ===<== 即 p a＜p 对b两部分 V b>S b h b两部分对水平面的压强 b b b b b b b b b G m g V g S hg p gh p S S S S ρρ ρ ===>== 即 P b>p 综上 p a＜p＜p b 故选D。 二、初中物理凸透镜成像的规律 16．在“探究凸透镜成像规律的实验”中，小明调节蜡烛，凸透镜和光屏的位置，在光屏上成清晰的像如图所示，下列说法正确是( ) A．照相机是利用了图中的成像规律 B．换上焦距小一些的凸透镜，只将蜡烛向左适当移动就能在光屏上接收到清晰的像C．如果使蜡烛向左移动，光屏需要向右移动才能接收到清晰的像 D．如果把蜡烛与光屏对调，光屏上将会出现清晰的像 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】 A．由图可知，成像时，像距小于物距，所以成一个倒立缩小的实像，和照相机的原理相同，故A正确； B．如果换一个焦距较小的透镜，所成的像将变小，像距也变小，像成在光屏的左边，所以要想让像成在光屏上，应该将蜡烛向右移动，从而像也向右移动直到光屏上，故B错误；C．如果使蜡烛向左移动，像也向左移动，所以光屏要向左移动才能接收到清晰的像，故C 错误； D．如果把蜡烛和光屏对调，根据光路的可逆性，光屏上会成一个倒立放大的实像，故D 正确。 故选AD。 17．小明在探宄凸透镜成像规律时，将焦距为10cm的凸透镜甲固定在光具座上50cm刻线处，将点燃的蜡烛放置在光具座上35cm刻线处，移动光屏到80cm处，烛焰在光屏上成清晰的像，如图所示：之后他保持蜡烛的位置不变，将凸透镜甲换成焦距为5cm的凸透镜乙并保持位置不变，移动光屏使在光屏上再次成烛焰清晰的像。则对于这两次成像实验( ) A．利用凸透镜甲，在屏上得到的是倒立、缩小的像 B．利用凸透镜甲，在屏上得到的是倒立、放大的像 C．利用凸透镜乙成像时，像距大于30cm D．利用凸透镜乙成像时，像距小于30cm 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】 AB．凸透镜甲焦距为10cm，物距为： u=50cm-35cm=15cm, 当f CD．凸透镜乙焦距为5cm，此时物距u=15cm，则u>2f，所以5cm 正确。 18．在探究凸透镜成像规律的实验中，当烛焰、凸透镜、光屏位于如图所示的位置时，烛焰在光屏上呈现一个清晰的像，则下列说法正确的是 A．凸透镜的焦距可能是12cm B．照相机利用了这种成像特点 C．若在透镜和蜡烛之间放一片近视镜，光屏适当左移可再次出现清晰的像 D．蜡烛和光屏不动，透镜向光屏适当移动可再次出现清晰的像 【答案】AD 【解析】 【详解】 A、由图可知，像距大于物距，此时凸透镜成倒立放大的实像，物距u=20cm，f B、此时凸透镜成倒立放大的实像，照相机利用凸透镜成倒立缩小实像的原理制成；故B 错误； C、若在透镜和蜡烛之间放一近视镜片，近视镜片是凹透镜，对光线有发散作用，折射光线延迟会聚，光屏要适当右移可再次出现清晰的像；故C错误； D、蜡烛和光屏不动，透镜向光屏适当移动，当物距、像距与上次正好颠倒时，根据光路可逆的特点知，可再次出现清晰的像，故D正确。 19．如图所示，购物支付已进入“刷脸”时代，消费者结账时站在摄像头（相当于一个凸透镜）前约1m的位置，面对镜头，经系统自动拍照、扫描等，确认信息后，即可进行后续工作。则下列说法正确的是（） A．人脸通过摄像头成像是利用了光的反射 B．“刷脸”时，面部经摄像头成正立缩小的实像 C．“刷脸”时，面部应位于摄像头的一倍焦距和两倍焦距之间 D．摄像头的焦距可能是30cm 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 A．人脸通过摄像头成像是利用了光的折射，A错误； B．“刷脸”时，面部经摄像头成倒立缩小的实像，B错误； C．“刷脸”时，根据凸透镜的成像规律可知，成倒立缩小的实像，那么物距应该大于两倍焦距，C错误； D．由于人站在距离镜头1m处，即物距等于1m，成倒立缩小的实像，根据凸透镜的成像规律可知，，解得，所以摄像头的焦距可能是30cm，D正确。 故选D。 20．如图所示的四种现象中，有关叙述正确的是（） A．让凸透镜正对太阳，后面放一张白纸，在白纸上形成了较大的光斑， 此时光斑离透镜12. 0厘米，若将透镜远离白纸则光斑变小，则焦距可能小于12. 0厘米也可能大于12. 0厘米 B．手影是光的直线传播形成虚像，它不是能量的聚集 C．水中铅笔看起来变弯折是由于光的折射形成的 D．我们看到塔在水中形成倒影是由于光在同种均匀介质中沿直线传 播而成的等大虚像 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 A．让凸透镜正对太阳，后面放一张白纸，在白纸上形成了较大的光斑，此时光斑离透镜12. 0厘米，若将透镜远离白纸则光斑变小，根据凸透镜三条特殊光线，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点，太阳光是相当于平行光的，所以白纸越靠近凸透镜，光斑越大，则焦距是大于12.0cm的，A错误； B．手影是光的直线传播所形成的暗区，不是物体的像，B错误； C．水中铅笔看起来变弯折是由于光从水中斜射向空气时，发生折射形成的，C正确；D．我们看到塔在水中形成倒影是由于光在水面发生反射形成的，不是由于光在同种均匀介质中沿直线传播而成的等大虚像，D错误。 故选C。 21．在“探究凸透镜成像规律”的实验中，当烛焰、光屏和凸透镜的位置及它们之问的距离如图所示时，在光屏上得到烛焰清晰的像，下列说法正确的是 A．此时光屏上的像跟投影仪的成像原理相似 B．用白纸遮住凸透镜的上半部分，光屏上像变为原来一半 C．此凸透镜的焦距范围是f＞15cm D．将凸透镜换为焦距更小的凸透镜后，为了在光屏上得到清晰的像，应将光屏靠近凸透镜 【答案】D 【解析】 【分析】 （1）凸透镜成像时，u2＞f，成倒立、缩小的实像，应用于照相机． （2）物体由无数点组成，物体上任一点射向凸透镜有无数条光线，经凸透镜折射后，有无数条折射光线会聚成该点的像．所以遮住凸透镜的一部分，还有另外的部分光线，经凸透镜折射会聚成像． （3）由图知，凸透镜成的是缩小倒立的像，应有物距u＞2f，像距v：f＜v＜2f，求解不等式即可． （4）凸透镜成实像时，遵循物远像近像变小的特点． 【详解】 A、由图可知，物距大于像距，在光屏上得到倒立、缩小的实像，蜡烛应该在距凸透镜的二倍焦距以外，此原理应用于照相机，故A错误； B、用白纸遮住凸透镜的上半部，物体上任一点射向凸透镜的下半部，经凸透镜折射后，照样能会聚成像，像的大小和形状不发生变化，因此光屏上所成的像仍然是完整的，会聚成的像变暗．故B错误； C、凸透镜成倒立缩小的像，应有：(50cm-20cm)>2f；f<(70cm-50cm)<2f，解得此凸透镜的焦距范围是：10cm＜f＜15cm，故C错误； D、将凸透镜换为焦距更小的凸透镜后，对光线的折射能力变强，成像会提前，即像距变 小，为了在光屏上得到清晰的像，应该将光屏靠近凸透镜，故D正确． 故选D． 22．如图所示，竖直放置的不透光物体（足够大）中紧密嵌有一凸透镜，透镜左侧两倍焦距处，有一个与主光轴垂直的物体AB，在透镜右侧三倍焦距处竖直放置一平面镜MN，镜面与凸透镜的主光轴垂直，B、N两点都在主光轴上，AB与MN高度相等，且与透镜上半部分等高．遮住透镜的下半部分，则该光具组中，物体AB的成像情况是（） A．两个实像，一个虚像B．一个实像，两个虚像 C．只有一个虚像D．只有一个实像 【答案】D 【解析】 【详解】 ①按题意，AB在凸透镜右侧距离透镜2f处成一个倒立的等大的实像． ②由于成像后的光线是射向右下方的，所以不能在平面镜上成像（平面镜只在主光轴的上方），所以只能成一个实像． ③如果平面镜足够大，则“AB在凸透镜右侧距离透镜2f处成一个倒立的等大的实像”又会在平面镜上成一个等大的虚像，平面像反射后的光线又会经凸透镜成一个缩小的倒立的实像（成在凸透镜左侧f与2f之间．此时相当于物距为4f．当然，也要满足凸透镜是足够大了才有此种情况）． 故选D． 【点睛】 此题主要考查凸透镜成像规律及其应用，此题的突破点是，AB只有在主光轴上的那点折射后入MN，其它均没有，故只有一个实像． 23．在“探究凸透镜成像的规律”时，将点燃的蜡烛放在距凸透镜30cm处，在透镜另一侧距离透镜16cm处的光屏上得到烛焰清晰的像．则下列相关说法正确的是（） ①光屏上成倒立、放大的实像 ②照相机是利用这一成像原理工作的 ③该透镜的焦距f一定满足8cm＜f＜15cm ④将近视镜片放在蜡烛和凸透镜之间，要使光屏上出现清晰的像，光屏应靠近透镜A．只有①和③B．只有②和④C．只有②和③D．只有①和④ 【答案】C 【解析】 根据凸透镜成像的规律分析： ①将点燃的蜡烛放在距凸透镜30cm处，在透镜另一侧距离透镜16cm处的光屏上得到烛焰 浙教七上数学第三章：实数培优训练 一．选择题： 1.下列各数中无理有（ ） 10 π 14159.3 81 3 27 32+ 73 169 121 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2.①64的立方根是4±；②x x =33；③64的平方根为8±；④()4832 ±=± 其中正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的值等于则若n m n m --==,3,23( ) A. 31 B. 31- C. 332+ D. 332- 4.计算：=---+-π14.35351（ ） A.π+-5286.0 B. π-14.5 C. π+-14.752 D. π+-14.1 的整数有而小于大于53.5-( ) A. 2,1,0,1,2-- B. 3,2,1,0,1- C. 3,2,1,0,1,2-- D. 2,1,0,1- 则下列各式正确的是若,0.6>a ( ) A. a a > B. a a >1 C. a a 1 1< D. a a < 的大小关系是则若c b a c b a ,,2,3),3(22.72--=-=-?+-=（ ） A. c a b >> B. c a b >> C. c b a >> D. b c a >> =-=+ x x x x 1 ,71.8则已知( ) A. 3 B. 3- C. 3± D. 5± 9.一个自然数的算术平方根是a ，则与这个自然数相邻的后续自然数的平方根是（ ） A. 1+a B. 12+a C. 1+±a D. 12+±a 10.若1212=a ,1692 =b ，且0 实数典型问题精析（培优） 例1．（2009的相反数是（ ） A ． B C ．2 - D ． 2 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-++ + ??? ??????? ； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：23 2111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是 21，只要比较被减数即可，即比较14 1 131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a 2 －b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a 2 －b ，所以(1※2)※3＝(12 －2)※3＝(－1)※3＝(－1)2 －3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！ 1．一个正数的算术平方根是8，则这个数的相反数的立方根是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．±8 2.16的平方根为（ ） A. 4± B. 4 C. 2 D. 2± 3．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 4.下列说法中不正确的是( ) ①．－1的立方根是－1，－1的平方是1；②．两个有理数之间必定存在着无数个无理数， ③．在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有；④．如果x 2＝6，则x 一定不是有理数 A.②③ B.①④ C.③ D.③④ 5.如果b a ,表示两个实数，那么下列式子正确的是( ) A ．若b a =，则b a = B ．若b a <，则22b a < C ．若33b a =，则b a = D ．若b a >，则33b a > 6.如果642 =x ，那么=3x （ ） A. 4± B. 2± C.2 D. 2- 7.一个正奇数的算术平方根是a ，那么与这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根是( ) A ．2+a B ．22 +a C.22+a D ．2+±a 8.已知35.703.54=，则005403.0的算术平方根是( ） A ． B ． C ． D ． 9.已知实数139-的整数部分为a ，小数部分为b ，则=-b a 32 （ ） A. 39343- B.3937- C.39343+ D.3937+ 10．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为0和1，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为2；则翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是（ ） A ．点C B ．点D C ．点A D ．点B 二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！ 11．已知一个正数的两个平方根分别为62-m 和m +3，则()2018 m -的值为_________ 12.如果15=，5.1=，那么______00015.0= 实数培优训练A 一、填空题 1、把下列各数填入相应的集合内： 3.14，л， ， ，0.12 ， 1.1515515551 。 正整数集合{ } 整数集合{ } 无理数集合{ } 有理数集合{ } 正无理数集合{ } 非负有理数集合{ } 2、将－π，0，23，－3.15，3.5用“＞”连接： ； 3、如图，则 | a |－2a －2b ＝ 。 4、若x =x= ；1 -的倒数是 。1-的相反数是 ；1-的绝对值是 。 5、绝对值最小的实数是 ，最大的负整数是 。数轴上的点与 具有一一对应关系，－3.14在数轴上的点在表示－π的点的 侧。数轴上与原点相距个单位的点表示的数是 。 □6的数有 ，绝对值等于的数有 。 7A 对应数轴上的点是B ，则A 、B 两点的距离为 。 □8、△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a 、b 满足09622 =+-+-b b a ，则△ABC 的周长x 的取值范围是 ； 9、若12)1(212 -+-+-=x x x y ，则代数式2004) (y x += ； 10、已知x 为实数，且x= 。当x= 时，有最大值是 . 11、若0≤a ≤4，的取值范围是 . 若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 ； 12、若实数a 满足 =-1，则a 是 . 当10≤≤x 时，化简__________12=-+x x 13、设7的小数部分为b ，则b(4+b)= 。当_______x 有意义。 二、选择题 1、和数轴上的点一一对应的数是（ ）. A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 2、下列说法正确的是（ ）. A.整数和分数、零统称为有理数 B.正数和负数统称为实数 C.整数、有限小数和无限小数统称为实数 D.无限小数就是无理数 3a 是一个（ ）. A.非负数 B.正实数 C.正有理数 D.非完全平方数 4、下列计算正确的是（ ）； A 、)9()4(-?-＝4－×9－ B 、6＝24＋＝2＋2 C 、2a ＝|－a| D 5、下列说法正确的是（ ）； A 、任何有理数均可用分数形式表示 ； B 、数轴上的点与有理数一一对应 ； C 、1和2之间的无理数只有2 ； D 、无理数与无理数间的运算结果是无理数。 6、下列说法正确的是（ ） A 、3.14是无理数 B C 是无理数 D 是无理数 7、下列说法：①无理数是无限小数，②带根号的数不一定是无理数，③任何实数都可以开方，④有理数是实数。其中，正确的个数有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 13 32π ||a 1 2017.10.08实数 1、一组按一定规律排列的式子如下：2 a -，52a ，83a -，11 4a ，…，(0)a ≠，则第n 个式子是________。 2、已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|2||2|a b c b +--的结果是________。 答案：a+c 3、观察下面一列数，1,2,3,4,5,6,7---- 将这列数排成下列形式，按照上述规律排下去，那么第11行从左边第7个数是_____________。 答案：－107 4、下列说法错误的是（ ） A 、28是的立方根 B 、464±是的立方根 C 、1139-是 的平方根 D 、4的算术平方根 答案：B 5、2(8)-的立方根是（ ） A 、－2 B 、2± C 、4 D 、4± 答案：C 6、若b a -是的立方根，那么下面结论正确的是（ ） A 、b a --也是 的立方根 B 、b a 是 的立方根 C 、b a -也是 的立方根 D 、b a ±都是 的立方根 答案：C 7、点A 、B 分别是数3-、12 -在数轴上对应的点，把线段AB 沿数轴向右移动到A'B'，且线段A'B'的中点对应的数是3，则点A'对应的数是（ ） A 、0 B 、 12 C 、314 D 、144 答案：C 8、已知1101101,,,,mn m n m n n m n n m <->->>+++且那么的大小关系是（ ） A 、11m n n n m <<+< B 、11m n n m n <+<< C 、11n m n m n +<<< D 、11m n n m n <+<< 9__________________________。 10、已知一个正数x 的平方根是3225a a +-与，则a ＝_______，x 的立方根为_______。 11、若,a b 均为正整数，且a b >a b +的最小值是（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 答案：B ④计算中的性质 2： a 2 = a = ? ； - a(a ≤ 0) ?负无理数 （二分法） 实数? （三分法） 实数?零 ?无理数 ?负实数??负有理数 ?正无理数 ?负无理数 ? ? ?负无理数 练习：（1） ( x - 1) 2 = 9 （2） （x + 1）3 = 25 3 2017 春七年级数学实数培优 一、实数： （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数 x 的平方是 a ，那么 x 是 a 的平方 根；②符号概念：若 x 2 = a ，那么 x = ± a ；③逆向理解：若 x 是 a 的平方根，那么 x 2 = a 。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数 a ≥0 ? 式子有意义； ②在算术平方根中，其结果 a 是非负数，即 a ≥0； ③计算中的性质 1： ( a ) 2 = a （a ≥0）； ?a(a ≥ 0) ? ⑤在立方根中， 3 - a = -3 a （符号法则） ⑥计算中的性质 3： (3 a ) 3 = a ； 3 a 3 = a （3）实数的分类： ? ?正有理数 ? ?正有理数 ? ? ?正实数? ?有理数?零 ? ?正无理数 ? ? ? ? ? ? ? ? （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例 1. 已知：M = b -1 a + 8 是 a + 8 的算术数平方根，N = 2a -b +4 b - 3 是 b - 3 立方根，求 M + N 的平方根。 练习：1. 已知 x + 2 y = 3，4 x - 3 y = -2 ，求 x + y 的算术平方根与立方根。 2．若 2a ＋1 的平方根为±3，a －b ＋5 的平方根为±2，求 a+3b 的算术平方根。 例 2、解方程（x+1）2=36. 1 5 一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们． （1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答） （2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程 中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%，购买数量和原计划一样：“美团”网 上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在 两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%，求出m的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】 试题分析：（1）本题介绍两种解法： 解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可； 解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价； （2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5 2 m%），在“美团”网上的购买实际消费 总额：a[120（1﹣25%）﹣9 20 m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元； （2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得： 120×0.8a（1﹣25%）（1+5 2 m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣ 9 20 m]（1+15m%）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 15 2 m%），即72a（1+ 5 2 m%）+a（72﹣ 9 20 m）（1+15m%）=144a （1+ 15 2 m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍）， m2=20． 答：m的值是20． 培优训练二：实数（提高篇） （一）【内容解析】 （1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数； 要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x 的平方是a ，那么x 是a 的平方根；②符号概念：若a x =2，那么a x ±=；③逆向理解：若x 是a 的平方根，那么a x =2。 （2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a ≥0?式子有意义； ②在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a ≥0； ③计算中的性质1：a a =2)(（a ≥0）； ④计算中的性质2：???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ⑤在立方根中，33a a -=-（符号法则） ⑥计算中的性质3：a a =33)(；a a =3 3 （3）实数的分类： ?????????????? ? ??负无理数正无理数无理数负无理数 零正有理数 有理数实数 ??? ? ???????????负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数实数 （二）【典例分析】 1、利用概念解题： 例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。 练习：1. 已知234323-=-=+y x y x ， ，求x y +的算术平方根与立方根。 2．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。 例2、已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5 ，求22c d xy a -++ 的值。 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数． 2017、1０、08实数 １、一组按一定规律排列得式子如下:,,,,…,,则第个式子就是__＿＿_＿__。 2、已知数,,在数轴上得位置如图所示,化简得结果就是______＿_。 答案:a+c 3、观察下面一列数,将这列数排成下列形式,按照上述规律排下去,那么第１１行从左边第７个数就是________＿＿___。 答案:—107 ４、下列说法错误得就是( ) A、得立方根 B、得立方根 C、得平方根Ｄ、得算术平方根 答案:B 5、得立方根就是( ) A、-2 B、C、4 D、 答案:C 6、若得立方根,那么下面结论正确得就是( ) A、得立方根 B、得立方根 Ｃ、得立方根D、得立方根 答案:C ７、点A、B分别就是数、在数轴上对应得点,把线段AＢ沿数轴向右移动到A＇Ｂ’,且线段Ａ＇Ｂ’得中点 对应得数就是３,则点A＇对应得数就是( ) A、0B、C、D、 答案:Ｃ 8、已知得大小关系就是( ) A、B、C、Ｄ、 9、得算术平方根就是____＿__＿___＿_,得平方根就是___＿＿____＿___。 １0、已知一个正数得平方根就是,则＝＿＿＿_＿＿_,得立方根为_＿__＿__、 11、若均为正整数,且,则得最小值就是( ) A、６ B、7 C、８Ｄ、9 答案:B 12、已知:得平方根就是,得立方根就是３,则得算术平方根为＿＿＿__＿_。 １3、已知实数满足,则得立方根为______＿。 １4、比较大小:(填) 1５、将用不等号连接起来为( ) A、B、Ｃ、D、 答案:D 1６、若得小数部分就是,若得小数部分就是,则___________。 答案:2 17、已知得整数部分就是,小数部分就是,则得平方根为_＿________＿。 18、若得小数部分就是,若得小数部分就是,则＿______＿_＿＿。 1９、下图为魔术师在小美面前表演得经过 相交实数典型问题精析（培优） 例1．（2009 的相反数是（ ） A ． B C ． D ． 分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D. 例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-??-+ ???；第2个数：2311(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ???????； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456????????-----??-+++++ ??????? ??????????? ； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -??????----??-++++ ??? ? ?+????????L ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个 数 解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是21，只要比较被减数即可，即比较141131121111、、、的大小，答案一目了然. 例3（荆门市）定义a ※b ＝a2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿. 解 因为a ※b ＝a2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－1)2－3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算 《实数》培优专题训练1 一．填空题 1 的算术平方根是。 2．已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为米。 3.把下列各数填入相应的集合内： 3.14，л，， ，0.12 ， 1.1515515551 。 正整数集合{ } 整数集合{ } 无理数集合{ } 有理数集合{ } 正无理数集合{ } 非负有理数集合{ } 4.将－π，0，23，－3.15，3.5用“＞”连接：； 5．如图，则| a |－2a－2b＝。 6的数有，绝对值等于的数有。 7A对应数轴上的点是B，则A、B两点的距离为。 8．△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足0 9 6 22= + - + -b b a，则△ABC的周长x的取值范围是； 9．若1 2 )1 ( 2 12- + - + - =x x x y，则代数式2004 ) (y x+= ； 10．已知x为实数，且，则x= 。当x= 时，有最大值是 . 11．若0≤a≤4，的取值范围是 .若a a- = -2 )2 (2，则a的取值范围是；12．已知x、y是有理数，且x、y满足2 2323 x y ++=-x+y= 。 二．选择题 1．和数轴上的点一一对应的数是（）. A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 2．下列说法正确的是（）. A.整数和分数、零统称为有理数 B.正数和负数统称为实数 C.整数、有限小数和无限小数统称为实数 D.无限小数就是无理数 3．a是一个（）. A.非负数 B.正实数 C.正有理数 D.非完全平方数 4．下列计算正确的是（）； A．)9 ( )4 (- ? -＝4 －×9 －B．6＝2 4＋＝2＋2 C．2a＝|－a| D．= 5．下列说法正确的是（）； A、任何有理数均可用分数形式表示； B、数轴上的点与有理数一一对应； C、1和2之间的无理数只有2； D、无理数与无理数间的运算结果是无理数。6．下列说法正确的是（） A、3.14是无理数B C是无理数D是无理数 1 3 3 2 π 实数提高训练 例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？ 例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。 例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4 例4 （1） 已知2 2(4)0,()y x y xz -++=求的平方根。 （2 a2 ，小数部分为b，求-16ab-8b的立方根。 （3 ,, 4 x y m m = - 试求的算术平方根。 （4）设a、b 是有理数还是无理数，并说明理由。 例5 （1）已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。 （2）已知m，n 是有理数，且2)(370 m n +-+=，求m，n的值。 （3）△ABC的三边长为a、b、c，a和b 2440 b b +-+=，求c的取值范围。 （4 ）已知1993 2 ( 4 a x a - = + ，求x的个位数字。 训练题： 一、填空题 1的算术平方根是 。 2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。 32(1)0,b -== 。 4、已知4,1 x y y x +=+则= 。 5在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22 223x xy y x xy y +--+的值是 。 6、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的： 若32,1;3,6, 3.2 a b a b a b +=≤+=+=≤若；若 根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9≤ 。 7、已知实数a 满足21999,1999a a a -=-=则 。 8、已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab -+=满足则的算术平方根是 。 9、已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++=-x+y= 。 10、由下列等式： ===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是 。 11、已知实数a 满足0,11a a a =-++=那么 。 12、设A B ==则A 、B 中数值较小的是 。 1312 5.28,y -=则x= ,y= . 14 有意义的x 的取值范围是 。 15、若101,6,a a a +=且的值为 。 16、一个正数x 的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= . 17、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值 中考数学二轮复习数学第六章 实数的专项培优练习题(含答案 一、选择题 1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足 ()()122018232019M x x x x x x =++++++， ()()122019232018N x x x x x x =++ +++ +，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．M N ≥ 2．已知x 、y 为实数，且34x ++（y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（ ） A ． 14 B ．﹣ 14 C ． 74 D ．﹣ 74 3．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A ．ac ＞0 B ．|b |＜|c | C ．a ＞﹣d D ．b +d ＞0 4．给出下列各数①0.32，② 22 7 ，③π，④5，⑤0.2060060006（每两个6之间依 次多个0），⑥327，其中无理数是（ ） A ．②④⑤ B ．①③⑥ C ．④⑤⑥ D ．③④⑤ 5．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C 所对应的实数是( ) A ．3 B ．3 C ．3 1 D ．3 6．2a+b b-4=0，则a +b 的值为( ) A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．2 7．估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 8．已知一个正数的两个平方根分别是3a ＋1和a ＋11，这个数的立方根为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 9．下列判断中不正确的是（ ） A 37 B ．无理数都能用数轴上的点来表示 C 174 D 5510．下列运算正确的是（ ） 中考数学实数培优专题拓展训练 1、利用概念解题： 例1. 已知：18-+=b a M 是a +8的算术数平方根，423+--=b a b N 是b -3立方根，求N M +的平方根。 练习：1.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。 2.已知234323-=-=+y x y x ， ，求x y +的算术平方根与立方根。 3．若2a ＋1的平方根为±3，a －b ＋5的平方根为±2，求a+3b 的算术平方根。 例2、解方程（x+1）2 =36. 练习：（1）9)1(2=-x （2）2515 1 3 =+）（x 2、利用性质解题： 例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数． 变式：①已知2a －1和a －11是一个数的平方根，则这个数是 ； ②若2m －4与3m －1是同一个数两个平方根，则m 为 。 例2．若y =x -3＋ 3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值 例3．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 ⑴⑵ ⑶ ⑷ 例4．已知321x -与323-y 互为相反数，求 y x 21+的值. 例5.若a a +=+3)3(2，则a 的取值范围是 例6.对于每个非零有理数c b a ,,式子 abc abc c c b b a a + ++的所有可能__________________. 练习： 1.若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a 2005 的值。 2. 若（x －3）2＋1-y =0，求x ＋y 的平方根； 3. 已知,22421+-+-=x x y 求y x 的值. 4. 当x 满足下列条件时，求x 的范围。 ① 2)2(x -=x －2 ② x -3=3-x ③x =x 5. 若3 38 7 =-a ，则a 的值是 3、利用取值范围解题： 例1.已知0525 22=--+-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。 例2. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042 的值。 4、比较大小、计算： 例1．比较大小 216- 2 12+.3 10; 83-13 7 1 说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法： 如：比较1－2与1－3的大小。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较 51-3与5 1 的大小。 ③倒数法： ④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 如：当0 实数（提高） 【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】 【高清课堂：389317 立方根、实数，知识要点】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环， 不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数， 如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽， 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数???有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 按与0的大小关系分： 实数0??????????????? 正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数概念 1、把下列各数分别填入相应的集合内： 32，14，7，π，52-，2，203，5-，38-，49，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 【答案与解析】 有理数有：14， 52 -，38-，49，0， 无理数有：32，7，π， 2， 203，5-， 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如32，7， 2， 203 ，5-. 举一反三： 【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例1】 【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( ) (8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 【答案】 (1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数. (2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数. (3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才 是无理数. (4)(×)0是有理数. (5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数. (6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数. … 有理数集合 … 无理数集合 1002 3. 3实数 专题一实数与数轴 1?设a 是一个无理数，且 a , b 满足 ab — a —b+1=0, 则b 是一个 ( ) A .小于0的有理数 B . 大于0 的有理数 C .小于0的无理数 D . 大于0 的无理数 2.如图，数轴上表示一1 , .3的对应点为 A.B ,点 C 在数轴上, 且 AC=AB ，则点C 所表 示的数是 （ ） A. 3 1 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 2 B A C ?_*——■*—-*—*■_-—j 7 0 1 3.已知，实数a .b 在数轴上表示的位置如下：化简： .^2 b 2 a b . 专题二实数的运算 4.已知a,b 均为有理数，且a b . 2 3 2 ，则（ ） A . a 9,b 12 B . a 11,b 6 C . a 11,b 0 D . a 9,b 6 5?定义运算“ @的运算法则 为： x @y = xy 4，则（2@6） @8= 6?设x 表示不大于x 的最大整数，如 3.15 3, 2.7 3, 4 4 , 计算: J 2 2 3 2003 2004 7.探究题：（1）计算下列各式: 3 3 3 3 3 3 (2) 猜想：1 2 3 4 5 6 _____ , (3) 用含n 的等式表示上述规律： _________________ (4) 化简：J i 3 23 33 __ lOO 3 专题三非负数性质的应用 &已知：x 77和(y 丄)2互为相反数，则(xy)2013的值是 77 A. 1 B. 1 C. 2013 D. 2013 9. 若a 2 + b — 2a — 2 b + 2= 0,则代数式 a a + b + b a _b 的值是— 10. A ABC 的三边长为a.b.c , a 和b 满足.(b 2)2 0 11 .若实数 x . y . z 满足.x y 1 ?? z 2 1 (x y z), 2 状元笔记 【知识要点】 1. 实数：有理数和无理数统称为实数. 2. 实数和数轴上的点 对应. 3 .实数分为正实数.0?负实数，0和正实数叫做非负数. 【温馨提示】 1?有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用. 2?在实数运算中要注意符号. 【方法技巧】 1互为相反数的两个数的和为零. 2 ?几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零 13 12, 13 23 ________ 13 23 13 23 33 _____ 33 43 求C 的取值范围.. 求（x yz ）3的立方根. 11.2 实数与数轴 专题一 与实数分类有关的问题 1. x 的值是（ ） A.0 B.3 C. ±3 D.不存在 2. 14.34=0.1434=，则a b 的值为______. 3. 请写出满足条件11x <<的x 的整数解. 4. 设2x =x 的整数部分为a ，小数部分为b 的值. 专题二 数形结合思想在实数中的应用 5. 如图：数轴上表示1A 、B ，且点A 为线段BC 的中点，则点C 表 示的数是（ ） 1 B.1 2 D.26.实数a 、b 在数轴上的对应点A 、B 的位置如图所示，则化简 a b +=______. 7. 已知实数a 、b 、c 在数轴上的对应的点位置如图所示，化简： a 专题三 相反数、倒数、绝对值的综合应用 8. 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 2a b m cd m ++-的值. 9. 已知a 、b 0b =；解关于x 的方程2(2)3a x b a ++=+. 状元笔记 [知识要点] 1. 无理数 无限不循环小数叫做无理数. 2. 实数的有关概念及分类 （1）实数的概念：有理数和无理数统称实数. （2）有理数的相反数、绝对值、倒数的概念在实数范围内仍适用. （3）实数的分类： [温馨提示] 1. 实数与数轴上的点一一对应.. 2. 有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序. [方法技巧] 利用数形结合的数学思想，可使化简变得方便. 参考答案 1. C 【解析】 ∵22(327)0x -≥，又22(327)0x --≥，∴22(327)0x -=，∴3x =±. 2. 1000000 【解析】根号内向左移动六位小数，根号外就向左移动两位. 3. 解：∵2-，∴121<-+，即11<-. ∵3<，∴311-<，即21<， ∴满足条件11x <<的x 的整数解是x =－1，0，1，2. 4. 解：∵12<<11.2x = ∴x 的整数部分是31，即3a =. 1b =， ∴1b a b +=00a b =+. 5. D 【解析】 点B 表示的数比点A 1，点C 表示的数比点A 表示的数小 1，即点C 表示的数为11)2-=6. a - 【解析】 由数轴可知0,0,0a b a b <>+<.原式=()()()a b a a b -+----=a -. 7. 解：根据a 、b 、c 在数轴上对应点的位置可知， 0c a <<，0b >，∴0a c +<，0c a -<. 原式=a a c c a b -++--=()()a a c a c b -+++--=a a c a c b -+++--=a b -. 8. 解：由题意得：0a b +=，1cd =，m =m =， ∴2a b m cd m ++-2(1=+-1=. 9. 0,0,b -≥0,b = ∴0a b +=，0b =. ∴a =b = 九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案) 一、一元二次方程 1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数2 22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点； （2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且 12111 4 x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析, （3）AM 的解析式为1 12 y x =--． 【解析】 【分析】 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点； （2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】 （1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）令y=0，得△= ∴无论m 取何值，方程 总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有， 由 解得 ． ∴函数的解析式为． 令y=0，解得 ∴A( )，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点． 易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，） 设直线AB’的解析式为y kx b =+，则 20{106k b k b -+=+=-，解得112 k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1 12 y x =--， 即AM 的解析式为1 12 y x =- -． 2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则 ， （其中 ），当 时， ，解这个方程，得 ，，∴应将之剪成12cm 和28cm 的两段；实数培优训练含答案
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