青岛农业大学
本科生课程论文
论文题目基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用学生专业班级信计09.2 学生姓名（学号）马方圆（20094011）
指导教师邢海龙
完成时间 2012年6月30日
2012 年 7月 1日
课程论文任务书
学生姓名马方圆指导教师邢海龙
论文题目基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用
论文内容（需明确列出研究的问题）：本文先介绍了马尔科夫链预测方法的基本原理，其次建立一步状态转移概率矩阵的最优化模型，最后以中国的长江的水质为例，根据1995-2004年长江枯水期全流域各类水质所占的比例，建立长江水质污染的马尔科夫链趋势预测的一步转移概率矩阵估计的最优化模型，得出长江水质污染的情况。
资料、数据、技术水平等方面的要求资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短
发出任务书日期 2012.06.10 完成论文日期 2012.06. 30 教研室意见（签字）
院长意见（签字）
基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用
信计专业马方圆
指导教师邢海龙
摘要：马尔科夫预测方法在预测领域有着广泛的应用。该方法应用的一个重要的问题就是如何估计一步状态转移概率矩阵。在历史资料没有给出系统处于n个状态次数的情况下，给出一步状态转移概率矩阵的最优化方法。最后讨论了基于基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用。
关键词：马尔科夫链；一步状态转移概率矩阵；最优化模型；预测
Markov chain based on the optimal model of water quality test
in the application
Information and Computing Science Ma Fangyuan
Tutor Xing Hailong
Abstract: Markov forecasting method has wide applications in forecasting fields.A very important problem of applying this method is how to estimate one step state transition probability Matrix.When the amount of n states of the system by historic data is unknown ,the optimal model is given to estimate it in this paper.In the end the optimal forecasting model is applied to forecast the water resource based on Markov chain .The result shows that the model is effective .
Key words: Markov chain; one step state transition probably Matrix; optimal model;forecasting
引言： 马尔科夫预测方法是Markov 链在预测、决策领域的一直应用方法，最初该方法在水文，气象地震等方面有着广泛的应用，之后经济学家将其应用于研究市场占有率、预测经营利润等方面。在马尔科夫预测方法中，一个非常重要的问题就是对于一步状态转移概率矩阵的估算。传统的估算方法是已知被研究的对象（或者系统）在n 种状态观察次数及系统从当前时刻转移的状态次数情况下，用频率估计概率的方法估算出一步状态转移概率矩阵。而实际情况是不知道系统处于n 种状态的总观察次数N ，只知道系统在不同时刻处于n 中状态下的概率。
1马尔科夫链预测方法的基本原理
马尔科夫链是指系统的未来状态，仅于现在的状态有关，而与以前的状态无关的随机过程，具有先后效性特点。马尔科夫链的预测就是根据某些变量的现在状态及其变化趋势，预测未来某一特定期间内可能出现的状态，从而为决策提供依据。
设有一个系统有n 个状态，在时刻t 的n 个状态设为s t (1), s t (2),…，s t (n)在时刻t 位于状态s t (i),而在时刻t+1转移到状态s t+1(j)的概率为p tj ，则有
S t+1(j)= ∑=n
i s 1
t (i)p ij ,i,j=1.2,…n 。即t+1时刻，过程所处于各种状态的概率只
于t 时刻所处于状态的概率s t (i)和转移概率p ij 有关，与t-1及以前状态无关，此即为无后效性。称矩阵P=（p ij ）n*n 为一步转移概率矩阵。根据概率转移矩阵
的定义，其中的元素满足：P ij >=0. ∑=n
j P 1
ij =1即矩阵P=（p ij ）n*n 中每一行的元素
和等于1.
设在初始时刻t=0时，系统的n 种状态s 0(1)s 0(2)…s 0(n)的概率向量a(0)=(p 0(1)p 0(2)…p 0(n))，则系统在时刻t=1的概率向量a(1)= (p 1(1)p 1(2)…
p 1(n))= (p 0(1)p 0(2)…p 0(n))
?????
?pnn
pn n p p .
.
1
........1..11?????
? 即a(1)=a(0)p,按上式递推，可以得到系统在时刻t=m 时的n 种状态概率向量为a(m)=a(0)P m , 此试即为转移m 步后状态概率向量测试模型。
2 一步状态转移概率矩阵的最优化模型
传统的估算方法是已知系统存在n 种状态S={s 1s 2...s n }{s 1,s 2,...s n },假设
在N 此观察中，系统处于第i 状态共有n i 次，显然N=∑=n
i 1
.n i ,设系统当前时刻处
以第i 状态s i 在下一个时刻转移到j 状态s j 的次数为n ij 次 显然N=∑=n
i 1
.n ij 用频
率估计概率的方法可以估算一步状态转移概率矩阵P=(p ij )n*n 其中p ij =P{X=s i |X=s j }=n ij /n i ,j=1.2....,n
然而历史统计资料有时并没有给出系统处于n 种状态的总的观察次数N ，只给出系统处于n 种状态下的概率，此时无法按上述方法来估计一步状态转移概率矩阵。因此必须从另外的途径获取一步状态转移概率矩阵的估算方法.
为了获取较为精确的一步状态转移概率矩阵，利用最优化的思想，即在m 个时刻中要是实际状态的概率向量于理论状态的概率向量的误差平方和达到最小准则，为此可建立最优化模型.
设a(t)=(p t (1),p t (2),...p t (n))是时刻t 系统在n 个状态下的概率向量，t=0.1.2...m,又设一步状态转移概率矩阵为P=（p ij ）n*n ，实际上由于客观环境的变化，相邻时刻的一步态转移概率矩阵并不完全相同，因此a(t+1)于a(t)P 之间总存在误差，t=0.1.2...m-1,由误差平方和达到最小准则，建立如下最优化模型，记为模型（1）
minf(P)=∑-=1
.m t p t a t a )()1(-+2
=))()1(()()1(1
P t a t a P t a t a m t -+-+∑-=T
其中约束条件是由一步转移概率矩阵的定义的来的，模型（1）是一个二次规划问题，可以有现成的算法求解，也可以用Matlab 软件求解。
3 实例分析
已知1995-2004年枯水期长江全流域一类、二类、三类、四类、五类、六类这六类水质所占的比例，如下表
年份 时间 一类 二类 三类 四类 五类 六类 1995 0 14.6 59.5 18.9 2.7 1.7 2.5 1996 1 12.2 16.2 54.4 9.5 3.8 3.9 1997 2 10.5 13.6 43.2 26.0 3.2 3.5 1998 3 13.9 25.6 46.2 8.2 2.7 3.4 1999 4 5.0 41.7 30.3 12.4 4.9 5.7 2000 5 7.9 35.2 30.0 14.9 5.9 6.0 2001 6 0.9 34.3 36.1 15.0 6.3 7.4 2002 7 0.8 35.7 31.1 16.1 2.9 13.4 2003 8 1.3 29.5 41.7 9.6 3.4 14.5 2004
9
0.96
26.7
40.2
15.1
5.2
11.9
现在对长江未来十年的水质污染的发展趋势作出预测，为此可建立长江水质污染的马尔科夫链趋势预测的一步转移概率估计的最优化模型。设枯水期长江全流域水质在第t 年属于第一类、二类、三类、四类、五类、六类状态的比例向量分别为a(t)=(p t (1),p t (2),...p t (6)),t=0,1,2,...9.
设P=（p ij ）6*6为六类状态的一步转移概率矩阵，根据误差平方和达到最小准则，把上表中数据带入模型一，可建立如下最优化模型：
minf(P)=∑=9
1
.t p t a t a )()1(-+2
=∑=-+-+9
1
))()1()()()1((t P t a t a P t a t a T
由：a(9+k)=a(9)P k,k=1,2,...10即可对长江未来十年的水质污染属于一类、二类、三类、四，类、五类、六类状态的比例向量作出预测
如下表
年份时间一类二类三类四类五类六类2005 10 3.7669 30.3383 36.2681 14.6186 3.8250 11.1857 2006 11 5.1357 28.6551 38.0050 13.5713 3.8278 10.8108 2007 12 5.5396 28.2351 37.9222 14.0293 3.8220 10.4604 2008 13 5.7849 28.2191 38.0493 13.9768 3.7921 10.1891 2006 14 5.8889 28.1700 38.1442 14.0169 3.7981 9.9960 2010 15 5.9416 28.1813 38.1951 14.0046 3.8004 9.8576 2011 16 5.9707 28.1943 38.2298 14.0600 3.8037 9.7608 2012 17 5.9872 28.2607 38.2551 14.0737 3.8066 9.6934 2013 18 5.9937 28.2173 38.2292 14.0827 3.8087 9.6467 2014 19 6.0038 28.2252 38.2855 14.0809 3.8103 9.6144
五结论
从预测计算结果可看出，枯水期长江全流域水质属于一类、二类、三类、四，类、五类、六类状态的比例并没有发生根本性的变化，水质污染程度依然十分严重。
长江是我国的最大河，还是是我国的黄金水道，所以我们要保护好我们的长江。为了防治长江水污染，保障人体健康，保护生态环境，促进经济社会可持续发展，全中国人名当树立科学发展观，确立生态环境保护优先原则，贯彻预防为主、防治结合、综合整治、促进发展的方针，坚持先规划、后开发，先环评、后立项，在保护中开发、在开发中保护。各省人民政府环
境保护主管部门和沿江地区县级以上人民政府环境保护主管部门对本行政区域内水污染防治工作实施统一监督管理。此外将长江水污染防治工作纳入国民经济和社会发展规划，增加水污染防治资金投入，确保水污染防治的需要；依靠科技进步提高水污染防治水平，保护和改善水环境质量。同时还要加大宣传，使人民能够认识到水资源的危机和树立环保意识，只有这样才能从根本上改变长江水质状况。
参考文献：
[1]刘克，实用马尔科夫决策过程[M]北京：清华大学出版社，2004:64-66.
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[8]罗建军，MATLAB教程[M]北京:电子工业出版社，2005:1-160
课程论文成绩评定表
学生姓名马方圆专业班级信计09.2
基于Markov链的最优化模型在水质测试中的应用
论文题目
指导教师评语及意见：
指导教师评阅成绩：指导教师签字
年月日
评阅人评语及意见：
评阅人评阅成绩：评阅人签字
年月日
总评成绩（以百分记）：
年月日
硕士研究生课程结课论文 《随机过程》 姓名：xxxx 学号：xxxx 年级：14 级 学科（领域）：数学 培养单位：理学院 日期：2014年11月12日 教师评定： 综合评定成绩：任课教师签字：
目录 1 引言 (2) 1.1 研究背景 (2) 1.2 研究意义 (2) 1.3 选题依据 (2) 2 时间序列分析的理论 (3) 2.1 时间序列分析的问题 (3) 2.2 确定与随机性时间序列分析 (3) 2.3 时间序列的概念及性质 (3) 2.3.1 平稳性 (3) 2.3.2 平稳时间序列 (3) 2.3.3 平稳时间序列的统计性质 (4) 2.3.4 平稳性的检验 (4) 2.3.5 纯随机性检验 (4) 3 平稳时间序列分析 (5) 3.1 ARMA 模型 (5) 3.1.1 AR 模型 (5) 3.1.2 MA模型 (5) 4 非平稳序列分析 (8) 4.1 确定性成分 (8) 4.1.1 趋势成分 (8) 4.1.2 季节效应分析 (8) 4.2 非平稳序列的随机分析 (9) 4.2.1 差分 (9) 4.2.2 ARIMA 模型 (9) 4.2.3 ARIMA 模型建模 (9) 4.2.4 异方差及方差齐性变换 (10) 4.2.5 条件异方差模型 (10) 5 基于时间序列分析的股票预测模型的实证分析 (11) 5.1 关于样本数据的描述与调整 (11) 5.2 结论 (15) 参考文献 (16)
基于时间序列分析的股票预测模型研究 摘要：在现代金融浪潮的推动下，越来越多的人加入到股市，进行投资行为，以期得到丰厚的回报。所谓股票预测是指：根据股票现在行情的发展情况地对未来股市发展方向以及涨跌程度的预测行为。时间序列数据因为接受到许多偶然因素的影响，会常常表现出随机性，在统计学上称之为序列的依赖关系。在股票市场上，时间序列预测法常用于对股票价格趋势进行预测，为投资者和股票市场管理方提供决策依据。 本文主要介绍了时间序列分析方法的概念，特点及时间序列模型，包括建模时对数据时间序列的预处理、及模型预测等。并通过对时间序列分析的实证研究分析，建立时间序列模型，其中包括 ARIMA 等模型，进行误差分析，说明时间序列分析的方法对于股票价格的预测趋势有一定的参考价值。 关键词：股票，预测，时间序列分析，ARIMA 模型 Study on prediction model of time series analysis based on the stock Bian Xiaofei （HeiLongJiang University of science and technology,Harbin City） Abstract：In the modern financial wave, more and more people join the stock market to invest, expecting to get rich return, which has gr eatly promoted the stock market’s prosperity.The so-called stock forecast is defined: with the help of the stock’s recent condition, we’ll predict the future stock’s development, including its later development directions and fluctuations. Time-series data often show some kinds of randomness and dependence between each other because of the influence of various accidental factors.Time series analysis is often used to predict the stock price, which provides decision-making basis for investors and the stock market managers. This thesis mainly introduces time series analysis theory, including its notion, character as well as the expression and description of some models derived from it ,including method of data simulation, method of parameter estimation and method of testing degree of fitting and arrange them by the numbers. Therefore we can establish some models, including ARIMA model and so on. While through this empirical research analysis, we could prove that the method has some value for predicting t he stock’s trend by means of model fitting effect and error analysis. Keywords: stock, predict, time series analysis, ARIMA model
浅谈概率论 专业：环境设计 姓名：zhou 学号：66626edfe 【摘要】:概率论与数理统计课程是我们哈工大学生学习的一门应用性很强的必修基础课程。通过近一个学期的学习，我对概率论也有了一些粗浅的认识，这篇文章将从概率论的历史和发展讲起，接着对二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系进行一个简单的论述，然后将概率论的一些概念与以往学过的概念进行类比，最后对概率论在工科数学分析中的几个巧用进行说明，并附加了几个实例。 【关键词】：二项分布泊松分布正态分布类比级数广义积分
正文 1 概率论的起源和发展 概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分, 最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的, 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身, 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此,整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。”然而, 饶有趣味的是, 这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索: 人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏, 如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明, 它几乎出现在世界各地的许多地方, 如埃及、印度、中国等。著名的希腊历史学家希罗多德在他的巨著《历史》中写道: 早在公元前1500年, 埃及人为了忘却饥饿的困扰, 经常聚集在一起掷骰子和紫云英,这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏, 照一定规则,根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。大约从公元前1200年起, 人们把纯天然的骨骼(如脚上的距骨) 改进成了立方体的骰子。[1] 二十世纪以来, 概率论逐渐渗入到自然科学、社会科学、以及人们的日常生活等几乎无所不在的领域中去.无论在研究领域, 还是教育领域, 它愈来愈成为一门当今最重要的学科之一。于是, 对于概率论历史的研究也日益引起科学史学家们的重视。在概率论发展历史上, 十八、十九世纪之交法国最伟大的科学家之一拉普拉斯具有特殊的地位, 1812年拉普拉斯首次出版的《分析概率论》标志着概率论历史上的一个重要阶段--古典概率论的成熟。概率论发展到1901年, 中心极限定理终于被严格的证明了, 以后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代, 人们开始研究随机过程, 著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。到了近代, 出现了理论概率及应用概率的分支, 及将概率论应用到不同范筹, 从而产生了不同学科。因此, 现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。 2二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系 2.1 二项分布、泊松分布之间的关系 定理1 泊松定理:在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为 p n ,它与试验次数有关,如果 n lim0 n npλ →∞ =>，则对任意给定的k, 有
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：随机过程历史 院系：计算机科学与技术学院 班级：计算机4班 设计者：徐立秋 学号： 11S003124 指导教师：田波平 设计时间： 2011-11至2011-12 哈尔滨工业大学
随机过程的历史 一随机过程概述 随机过程有一族无限多个随机变量组成的序列，是用来描绘一连串随机事件动态关系的序列。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程的概念很广泛，其研究几乎包括概率论的全部。 在客观世界中有些随机现象表示的是是事物随机变化的过程，不能用随机变量和速记矢量来描绘，需要用一族无限多个随机变量/矢量来描绘，这就是随机过程。 定义：设（Ω，F，P）是一个概率空间，T是一个实数集。{X(t ,w)，t∈T, w ∈Ω}（是对应于t和w的函数）即为定义在T和Ω上的二元函数，若此函数对任意固定的t∈T，X(w, t)是任意（Ω，F，P）上的随机变量，则称{X(t ,w)，t∈T, w∈Ω} 是随机过程(Stochastic Process)。 在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。 二随机过程发展简史 概率论的起源与博弈问题有关，而随机过程这一学科最早是起源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微的等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的，要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 1900年，Bachelier首次将布朗运动用于股票价格的描述。
随机过程在通信中的应用 学院：电气学院 班级:通信11-1 姓名：于敏 学号：201102041009
随机过程在通信中的应用 随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。 通信就是互通信息。从这个意义上说，通信在远古时代就已经存在。人之间的对话是通信，用手势表达情绪也可以算通信。以后用烽火传递战事情报是通信，快马与驿站传送文件也是通信。但是现在的通信一般指的是电信，国际上称为远程通信(telecommunication)，即通过电信号或者光信号传送信息从信息论的角度来说，通信的过程就是不确定度减小的过程。而不确定性就是过程的随机性，所以从这个角度来说通信过程的研究可以归结到对于随机过程特性的研究过程过去对随机现象的研究只是用一两个随机变量来描述，然而现在在工程技术中必须研究动态系统中的随机现象，这需要研究随时间变化的无穷不可数的一族随机变量，即随机过程。通信系统中存在各种干扰和噪声这些干扰和噪声的波形更是随机的、不可预测的，我们称之为随机干扰和随机噪声。当然，尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的，但它们还是具有一定的统计规律性。研究随机信号和随机噪声统计规律性恶数学工具是随机过程理论，随机过程是随机信号和随机噪声的数学模型。 随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现（样函数），是时间函数，所有实现构成的集合称作随机过程的样函数空间(Ω)，所有样函数及其统计特性即构成了随机过程，以大写字母X(t),Y(t)等表示随机过程，以对应的小写字母x(t)，y(t)等表示随机过程的样本函数。 在实际的通信过程中，不仅我们用到的信号与噪声是随机信号，而且当我们为无线信道进行数学建模时也必须用到随机过程。所以说只有学好随机过程这一学科，才能为将来从事无线事业打下基础，才能在实际的研究以及工作中，将具体知识应用到实际中，从而获得一定的成果甚至有所创新。 在通信系统中，编码过程分为信源编码和信道编码两种，信源编码是为了压缩信息之间的相关性，最大限度提高传信率，目的在于提高通信效率；而信道编
应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为
基于马尔科夫链的 大学生电脑市场占有率预测研究 年级专业： 姓名： 姓名：
【摘要】 本文通过对马尔可夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究,提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中,认为该理论的无后效性和稳定性特点能够帮助企业在纵向和横向资讯不够充分的情况下克服预测的误差和决策的盲目性,并以大学生电脑市场为例，给出了均衡状态下的市场占有率模型,以期通过不同方案的模拟分析,帮助企业优化决策. 关键字：马尔可夫链;转移概率;矩阵;市场占有率; 一、问题概述 随着现代科技的迅速发展，笔记本电脑的使用早已经相当普遍了。而大学生无疑也是笔记本更换最可能的群体之一，本文中，通过对现有大学生的调查问卷得出大学生的现有笔记本的各品牌的市场占有率，并统计大家的更换意向，得出状态转移矩阵，从而运用上文中所介绍的马尔科夫链的计算和预测方法，得出我们的统计和预测结果。 调查统计：联想，戴尔，惠普，华硕，索尼，宏碁，苹果七个品牌电脑现在的市场占有率。并预测该不同笔记本电脑品牌在未来的市场占有情况。 二、问题分析 现代社会，马尔科夫链越来越多被应用于经济活动中。通过对市场现象的大量观察, 人们发现同类品的市场占有率分布是一个随时间不断变化的随机过程, 并且当期市场占有率与前一期的市场占有率有关, 而与再远期的关联却甚是微小。对市场占有率的这一定性认识, 及其与马尔可夫性的吻合, 启发了市场研究者们, 于是广泛地将马尔可夫理论应用于市场占有率的分析和预测中。 马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。我们知道，事物的发
展状态总是随着时间的推移而不断变化的，对于有些事物的发展，我们需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。在这种思维方式指导下，市场预测中的许多预测方法，如长期趋势变动预测法、移动平均法、指数平滑法、季节变动预测法等等都需要掌握一定时期内预测目标过去及现在的数据资料，再利用数学模型对未来进行预测。 而马尔可夫预测法却认为，只要当事物的现在状态为已知时，人们就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态，即人们只要掌握企业产品目前在市场上的占有份额，就可以预测将来该企业产品的市场占有率。概括起来，若把需要掌握过去和现在资料进行预测的方法称非马尔可夫过程，则非马尔可夫预测方法的特点是：回顾过去，立足现在，展望未来；而马尔可夫预测法的特点是：立足现在，展望未来，也即所谓的“无后效性”。 三、模型假设 1、本研究所得的数据可以正确的反应情况。 2、本问题中概率转移矩阵具有稳定性。 四、符号说明 符号代表意义 S初始市场占有率 P状态转移概率 (k ) S预测对象k季度以后市场占有率 （ k ） P k步转移矩阵 五、模型的建立与求解 5.1模型建立
关于物种形成的理解 摘要： 本文就物种的概念、形成方式、形成原因进行了一定的研究与思考，重点考虑了地理成种和非地理成种两种成种方式。物种形成是指由物种通过各种机制进化出新物种的过程，是进化生物学领域最基本也是最重要的问题之一。从根本上来说，物种形成是生物学多样性产生的基本机制。尽管达尔文在《物种起源》中就已经提出，自然选择是物种形成的主导因素（Darwin,1859）,但一直以来，物种形成过程一般被认为是由随机过程导致的。直到生殖隔离的概念被提出，自然选择在物种形成中的作用才重新受到重视，并认为物种形成是与地理因素存在着重要的关系。本文对物种形成进行了较为详细的介绍，并就在生殖隔离与物种形成方式上进行较为详细的论述。 关键词:物种形成；生殖隔离；地理成种；非地理成种；。Abstract： In this paper, the species of the concept, form and forming reason was research and thinking, mainly considering the geography into species and geographical into two ways. Speciation refers to the process of new species evolve by species through various mechanisms, evolutionary biology is one of the most basic and most important problems. Fundamentally, speciation is a basic mechanism of biological diversity. Although Darwin has been put forward in the origin of species, natural selection is a dominant factor of speciation (Darwin, 1859), but for a long
随机过程论文 题目: 通信系统中随机过程的模型研究 姓名刘鲁鹏 学院电子工程学院 专业电子科学与技术 班级概率论与随机过程1班学号2014110632 本人签字 2014 年12月
通过幅度概率分布研究通信系统中的骚扰问题 摘要：通过目前学术界广泛关注的幅度概率分布(APD)检测方法与传统电磁兼容测量方法的比较,说明了幅度概率分布统计测量方法的优越性.并且采用统计测量方法来研究骚扰对数字通信系统的影响,以PAM二进制调制系统为例,推导出了骚扰的APD与通信系统误码概率之间的关系式,给出了骚扰的幅度概率分布测量结果与对应干扰下的数字通信系统的误码概率两者之间的联系.本文的研究结果对于制订电子设备的电磁辐射限值具有参考价值. 关键词：电磁兼容;幅度概率分布;数字通信系统;误码概率;测量检波器
随着数字通信技术的飞速发展,各种电子设备大量涌现,这使得我们的电磁环境变得越来越复杂.如何保证通信系统在如此复杂的电磁环境下能够正常工作是通信技术发展面临的难题,因此电磁兼容性问题变得越来越重要.研究骚扰对通信系统的影响就是要求当骚扰通过通信系统之后,对接收机所产生的最终结果.现有标准中所采用的方法是直接测量这种最终结果,以表示干扰的大小.例如在话音通信中,接收者就是凭听觉来判断干扰的存在和强弱的.由于骚扰经准峰值检波器之后的电表指示与人耳的主观感觉一样,所以准峰值常用来评价骚扰对调幅通信系统的影响,在国际无线电干扰特别委员会(CISPR)出版物中规定的各种骚扰限值都是以准峰值表示的.但是现在面临的问题是准峰值无法反映出骚扰对数字通信系统的影响,如何解决这一问题,是目前CISPR关注的焦点.目前针对这一问题的解决方案主要有:①研究一种新型的加权评估检波器;②采用传统的有效值(RMS)检波器;③采用APD统计测量方法. 其中,方案①研究进展比较缓慢,很难找到一种新型的评估检波器,能像准峰值检波器对模拟通信系统的评估一样有效.RMS检波器只是在评估类似于高斯型噪声对数字通信系统方面得到了验证,对于脉冲型噪声的评估方面,仍显得无能为力.APD统计参量描述的是,骚扰的随机包络的统计特性,它与数字通信系统的误码率有着紧密的联系,而且可以用来建立脉冲干扰的统计模型.目前APD统计测量方法已经得到了CISPR的初步认可,CISPR已经投票通过了APD测量仪的标准草案,而关于APD限值标准则,正在征求各个产品分委会的意见. 本文分析了APD测量方法的理论基础及APD测量方法的优越性,推导了干扰的APD统计结果与二进制PAM调制系统误码率之间的关系,并通过实验数据说明了干扰APD测量结果对于预测通信系统性能的可行性. 1.APD统计测量基础 APD统计测量方法是建立在概率论和数理统计的基础之上的,统计测量最重要的一个目的是获得无线电骚扰的概率密度函数. CISPR给出的APD定义为:干扰幅度超过规定电平的时间概率,用下式表示为 式中:R是门限电平;T是测量总时间;tk是第k个幅度超过R的脉冲的持续时间应用概率论的知识可以把APD表示为 式中,P(R)是干扰包络的累积概率分布. 从式(1)中可以看出,APD与包络的概率密度函数有着直接的联系.以高斯白噪声为例,其概率密度函数满足正态分布为 式中,mx和σ2分别是随机变量x的均值和方差. 由式(1)可以得出高斯白噪声的APD分布为
湖南大学 应用随机过程课程论文 题目：马尔科夫过程的发展和应用学院名称：金融与统计学院 专业班级：11级统计二班 学生姓名：任瑞雪20111903201
1.随机过程发展简述 在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，A.A.马尔科夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔科夫链（见马尔科夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，A.H.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，A.R.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 2.马尔科夫过程发展 2.1马尔科夫过程简介 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机 过程，当过程在时刻t 0所处的状态为已知时,时刻t(t>t )所处的状态与过程在 t 时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。
概率论与随机过程（论文） 题目: 概率论在数据挖掘中的应用 姓名程潇婷 学院信息与通信工程学院 专业信息与通信工程 班级概率论与随机过程3班 学号2013110355 班内序号1号 指导教师周清
2015年12 月 目录 目录 (2) 概率论在数据挖掘中的应用 (3) 摘要 (3) 一、数据挖掘与概率论 (3) 二、粗糙集理论与概率论知识的融合 (4) 概率论基础知识 (4) 基于粗糙集理论的概率规则 (4) 粗糙集理论下的概率规则测度 (6) 三、理论知识的实际应用 (6) 粗糙集理论的概率规则的应用 (6) 粗糙集理论下的概率规则测度的应用 (7) 四、课程学习心得体会 (7) 参考文献 (7)
概率论在数据挖掘中的应用 摘要 本文主要通过结合笔者的研究方向与本学期学习的课程《概率论与随机过程》从而探讨概率论在数据挖掘中的一些具体应用。随着大数据时代的到来，数据挖掘作为新兴的数据处理手段在各个领域都有着广泛的应用，而数据挖掘技术的发展一方面服务于各类新兴大数据命题，另一方面又依托于传统支撑型理论学科，从而在二者之间建立起坚固的桥梁。概率论作为数据挖掘的理论支撑在模型构建，数据预测，数据仿真方面都有着极其重要的作用。文中笔者主要通过介绍基于概率测度的数据挖掘模型来具体阐述二者的关系。 关键词：概率论，数据挖掘，概率测度 一、数据挖掘与概率论 数据挖掘（英语：Data mining），又译为资料探勘、数据采矿。它是数据库知识发现（英语：Knowledge-Discovery in Databases，简称：KDD)中的一个步骤。数据挖掘一般是指从大量的数据中通过算法搜索隐藏于其中信息的过程。数据挖掘通常与计算机科学有关，并通过统计、在线分析处理、情报检索、机器学习、专家系统（依靠过去的经验法则）和模式识别等诸多方法来实现上述目标。数据挖掘利用了来自如下一些领域的思想：(1) 来自统计学的抽样、估计和假设检验，(2)人工智能、模式识别和机器学习的搜索算法、建模技术和学习理论。数据挖掘也迅速地接纳了来自其他领域的思想，这些领域包括最优化、进化计算、信息论、信号处理、可视化和信息检索。一些其他领域也起到重要的支撑作用。特别地，需要数据库系统提供有效的存储、索引和查询处理支持。源于高性能（并行）计算的技术在处理海量数据集方面常常是重要的。分布式技术也能帮助处理海量数据，并且当数据不能集中到一起处理时更是至关重要。 数据挖掘研究从大规模的数据库中挖掘出有用的知识来辅助决策, 而粗糙集理论是一种基于等价关系分类的新的信息处理方法, 其特点是不需要预先给定某些特征或属性的数量描述, 而是直接从给定问题的描述集合出发, 找出该问题中的内在规律。该理论主要研究信息和智能系统中知识不精确、不完善的问题, 但其基本方法是确定性的, 因而忽略了数据可利用的统计信息。为了将粗糙集理论应用于概率领域, 有必要研究粗糙集理论与概率统计结合的相融点, 提取具有一定概率可信度的数据挖掘规则。 粗糙集合理论通过将数据属性进行组合从而反映了数据的分类特征, 是目前知识获取中归纳学习的一种有效工具。然而在现实领域中进行归纳学习存在着如下问题:( 1) 当属性
应用随机过程学习汇总
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应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。
姓名：李范佩专业：031041202 学号：031041202 Random Signal Analysis chief contents 1. Introduction of the random process 2. Definition of the random process 3. The digital characteristic of the random process 4. Stationary random process and ergodic property 5. The normal random process 6. Markov chain 7. Spectrum analysis of the stationary random process 8. Analysis of the random signal through the linear system 9. Analysis of the random signal through the nonlinear system Introduction a. Random process which is aim at the dynamical phenomenon that varies with the time, is the quantitative description for the relationship of the series of random events. b. Application: Atmosphere field, communication engineering,computer science and so on. c. Target: To find the inherent law from the events which is seeming external disorder
第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ·，记为{X n ，n=1,2, ·}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ·}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ·}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为), 0[∞+
注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随 机 过 程 的 二 维 分 布 ： T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 随机过程的n 维分布： T t t t x t X x t X x t X P x x x F n n n n t t t n ∈≤≤≤= ,,},)(,)(,)({),,(21221121,,21 1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n 维分布等的全体 }1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n 称为{X(t), t ∈T}的有限维分布族。 2、有限维分布族的性质： （1）对称性：对（1,2，…n ）的任一排列),,(21n j j j ，有 ),,(),,(21,,,,21212 1 n t t t j j j t t t x x x F x x x F n n n j j j = （2）相容性：对于m 遵义师范学院课程教学大纲 应用随机过程教学大纲 （试行） 课程编号：280020 适用专业：统计学 学时数：48 学分数： 2.5 执笔人：黄建文审核人： 系别：数学教研室：统计学教研室 编印日期：二〇一五年七月 课程名称：应用随机过程 课程编码： 学分：2.5 总学时：48 课堂教学学时：32 实践学时：16 适用专业：统计学 先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学） 一、课程的性质与目标： （一）该课程的性质 《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。 （二）该课程的教学目标 （1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。 （2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。着重基本思想及方法的培养和应用。 （3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。 二、教学进程安排 课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。 三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】 通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。 【教学内容和要求】 随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。 【课外阅读资料】 《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。 【作业】 1.已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0()arcsin ,011,1x F x A x x x ≤? ? =< 随机过程在网络研究上的一些应用 叶绍志 024833 无研06 我所在的实验室的研究内容分成四大块：网络体系结构，网络信息服务，网络安全，组播与网络多媒体。下面我一个一个介绍随机过程在该方面的应用。这里所提到的网络，都是指互联网（Internet），而非广义上的网络。 一、网络体系结构 这个方向主要研究的是，各种网络协议。 比如路由协议，路由问题本质上是要寻求一个大网上面寻径的方式。有很多的模型来描述，比如寻求最小生成树的解。寻找最优路由（至少是尽可能的优）的行为，可以看作是在一个大的随机图上面的行走问题。现在在高速网络上路由器尤其是核心路由器，负载本身已经很重了，如果再对日益增大的路由表作大量的计算，显然是不合适的，更何况网络的情况瞬息万变，基本上从一个节点（比如一个自治域）是无法知道整个网络的所有细节的，这就使得传统的作连通图上面的最短寻径或者加权最短寻径问题的基于一个相对确定或者规律性强的模型和方法，比较难于移植。当然难于移植的原因，很大一方面是我们现在对互联网的认识还非常欠缺，如果我们对这个图的性质了解不够深入，就比较难于提出一个好的解决方案。随机图论在互联网路由上面的应用逐渐增多，但是进展和收效都甚缓，如果在互联网本身的内在特征研究上面没有进一步的结果，那么恐怕这样的状况会持续。或者在整个图上面增加更多的假设性的限制，但是全局性的问题始终过于复杂而仅能用比较粗糙的模型描述。这个时候，统计的方法就显得格外重要，一方面希望从中获取规律性的特征，一方面希望以统计的办法绕过比较困难的精确论证和求解。但是局部统计，乃至不完全统计的结论所作的模型意义到底有多大呢？这其中有很多的东西需要随机过程的工具来处理。 在路由协议方面，今年毕业的罗佳增师兄做的“边界网关协议(BGP)慢收敛特性的分析与改进”的课题，就涉及到相应的图理论，主要是研究在BGP协议（即域间路由协议）上面，路由消息更新的速度以及对此提出的优化方案。但是他的工作没有深入到加权有向图的模型上，仅仅是对静态的连通图模型作了研究和考察。即便如此，他的工作仍然取得了非常好的成果[1]。如果在此基础上面，考虑到图的动态变化，将使得所设计的模型更加切合实际，当然这个分析的难度也上去了（也许这就是他没有做的原因吧）。估计这可能可以作为这个课题的后续工作。 同时现在开始热起来的Overlay（所谓层叠网络）上面的研究逐渐增多。这方面的研究基本上都是要寻求一个图论上的解决。尤其是自组织的overlay，涉及到的测量和网络自组织，随机过程在上面的应用还只是起步阶段。现在这方面的工作正在展开。从单纯的设计一个应用，到寻求一个“优”的解。简单的说，overlay可以认为是一种虚拟网络，他架设在真实的网络之上，但是用户之间是端到端(P2P)的行为，这也是互联网最初设计的时候的一个基本思想。大量的散布在各处的节点之间如何通讯就成为首当其冲的问题。基本上现在的思路都是将 摘要：本文首先对排队论中的基本建模与相关知识点进行了总结，然后对生活中排队论的运用的例子进行了讲解，接下来对无线通信中排队论的运用进行了相关的说明。最后进行了总结。 关键词：排队论，随机过程，泊松分布 一、排队论中的基本建模与相关知识点 不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开系统。 各个顾客由顾客源(总体)出发，到达服务机构(服务台、服务员)前排队等候接受服务，服务完成后离开。 排队结构指队列的数目和排列方式，排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。 排队过程的一般模型 实际的排队系统虽然千差万别，但是它们有以下的共同特征： (1)有请求服务的人或物——顾客； (2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台； (3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。排队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长，而另外一些时候服务员(台)又空闲无事。 排队系统由三个基本部分组成：①输入过程②排队规则③服务机构。 输入过程： 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程。 (1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。 (2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。 (3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。 服务规则： (1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。 (2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。 ①先到先服务。 ②后到先服务。 ③随机服务。 ④优先权服务。 (3)混合制。这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。 ①队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。 ②等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。 ③逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。 不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失制；当K=∞时，混合制即成为等待制。 服务台情况： (1)服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。(2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。(3) 服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。 排队系统的描述符号与分类 为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类，可给出很多排队模型。为了方便对众多模型的描述，肯道尔（D．G．Kendall）提出了一种目前在排队论中被广泛采用的“Kendall记号”，完整的表达方式通常用到6个符号并取如下固定格式： A/B/C/D/E/F 各符号的意义为： A—表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M—表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D—表示定长输入； Ek—表示k阶爱尔朗分布； G—表示一般相互独立的随机分布。 B—表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。应用随机过程教学大纲
随机过程在网络研究上的一些应用
排队论论文
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