伯努利效应
伯努利效应
1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。
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发现者简介
伯努力方程
人喝水原理
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伯努利效应
Bernoulli effect
编辑本段简介
比如，管道内有一稳定流动的流体，在管道不同截面处的竖
伯努利效应
直开口细管内的液柱的高度不同，表明在稳定流动中，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。这一现象称为“伯努利效应”。伯努利方程：p+1/2ρv^2=常量。
在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。
伯努利效应的应用举例：飞机机翼、喷雾器、汽油发动机的汽化器、球类比赛中的旋转球。
编辑本段相关举例
乒乓球的上旋
邓亚萍和她的队友乔红在第43届世乒赛上的一场争夺战，真可谓是速度和力量的化身。她们凶猛地抽杀推挡，把个小球变成了一道道银色的电弧，直看得人们眼花缭乱，叹为观止。人们可曾知道，在她们不断加大攻球的速度和力量时，那一个个击出去的球都带着上旋？
乒乓球运动中的攻球，以快速和凶狠给对方造成很大的威胁．但是攻球往往会遇到这样的尴尬：挥拍过猛，球会不着台面飞出界外；如果因此而
不适当地压低弧线高度，球又会触网失分．不解决这个准确落点的问题，所谓攻球的威胁也就成了水中月、镜中花了．那么有没有一种攻
伯努利效应
球，可以携裹着强劲的力量和速度杀向对方，又能缩短打出的距离、增加乒乓球飞行弧线的高度？有，这就是带上旋的攻球．
乒乓球的上旋，会使球体表面的空气形成一个环流，环流的方向与球的上旋方向一致。这时，球体还在向前飞行，所以它同时又受到了空气的阻力。环流在球体上部的方向与空气阻力相反，在球体下部的方向与空气阻力一致，所以，球体上部空气的流速慢，而下部空气的流速快．流速慢的压强大，流速快的压强小，这样就使球体得到了一个向下的力，这个力又让球得到了一个加速度。我们把球体向前上方的运动看作是这样两个运动的合成：一个是沿水平方向的匀速直线运动，另一个是竖直上抛运动，以此可得出相应的计算式．然后把具体数值代入计算式中，并把计算结果在座标中画出来，就会联结出一个具有一定弯曲度的弧线，这就是上旋，能增大乒乓球飞行弧线的弯曲程度，也就是被运动员用来增加保险系数的弧度。
上旋的利用，使得许多运动员如虎添翼．马文革在1994年世界明星巡回赛上速度加旋转，以2：0轻取1993年世界杯男单冠军普里莫拉茨，第2局的比分是21：6．在与法国盖亭争夺冠军的决赛中，又以3：1取胜．上旋的特性在弧圈球中表现得最为出色，因为弧圈球的上旋力非常强。法国埃卢瓦凌厉的两面弧圈技术，使他得以在乒坛上称霸一方。
编辑本段帆船前行的原理
人们通常认为帆船只能沿风吹动的方向移动，即顺风移动。但三角帆使帆船还能够迎着风移动（逆风移动）。在理解如何逆风移动之前，我们首先需要了解一些与船帆有关的知识。
船帆的最先着风之帆缘称作前缘，它位于船只的前部．后部的船翼后缘称作帆的后缘．从前缘到帆的后缘的假想水平线称作弦．船帆的曲度称作吃水，并且从弦到最大吃水点的垂直距离称作弦深．充满空气以形成凹面弯曲的船帆的一面称作迎风面．向外吹以形成凸起形状的一面称作背风面．了解了这些术语后，我们将继续介绍帆船运动．
船只借助帆的每一面所产生的力量沿着迎风方向移动．迎
伯努利吸啜效应
风面的正向力量（推力）和背风面的负向力量（拉力）合在一起形成了合力，这两种力量都作用于同一方向．尽管您可能不认同，但拉力确实是这两种力量中较强的力量．
在1738年，科学家丹尼尔·伯努利发现，气流速度与周围自由气流成比例增加，从而导致压力的降低，而这可令气流速度更快．这种情况在帆的背风面发生即空气流动速度加快并在帆的后面形成低压区域．为什么空气会加速？空气与水一样，都是流动的．当风汇聚并且风被帆分开时，一些风附着在凸起面（背风面）并将帆扯起．为了其上“未附着”的空气穿过帆，帆必须向不受帆影响的气流外弯曲．但此类的自由气流往往保持其直线流动并妨碍航行．自由气流和弯曲的船帆合在一起形成了一个窄道，起初的气流必须从中经过．因为它不能自行压缩，所以空气必须加速以从该窄道挤过．这就是气流速度在帆的凸起面增加的原因．一旦发生这一情况，伯努力的理论就得以生效．窄道中增加的气流要快于周围的空气，并且在气流速度加快的区域压力将下降．这就产生了链式反应．随着新的气流接近最先着风之帆缘并分开，它更多地流向背风面——气流被吸引到低压区域并被高压区域所排斥．现在即使更大块的空气也必须更快地挤进凸起帆面和自由气流形成的窄道，这令空气压力更
低．这一情况不断发展直至达到现有风力条件的最大速度，并且在背风面形成最大低压区域．请注意，只有在气流达到曲面（弦深）的最深点后气流才增加．在达到这一点之前，空气不断汇聚和加速．超出这一点后，空气分开并减速，直到再次与周围空气速度相当．
在其间，在帆的迎风面发生相反的情况．随着更多的空气流过背风面，迎风面上流过帆的凸起面和自由气流之间的扩展空间的空气将减少．由于这些气流四散流动，所以其流速下降到比周围空气还低的速度，这导致压力增加．
在了解了这些潜在的力量之后，我们如何在实际中借助这些力量来使船只移动呢？我们需要在风帆和风之间建立理想的关系，使风不但加速流动，而且可以沿着帆的凸起面流动．船帆和风之间的这一关系的一部分称作迎角．描绘与风平直的船帆．空气均匀分开到每一面上－船帆下垂
而不是充满成弯曲形状，空气没有加速以在背风面形成低压区域，并且船只没有移动．但如果船帆与风向刚好成正确角度，则船帆会一下子充满风并产生空气动力．
迎角的角度必须十分精确．如果该角度保持与风太近，则船帆的前部将“抢风”或摆动．如果其角度太宽，则沿着帆的曲面流动的气流将分开并且周围的空气重新聚合．这一分离产生了旋转空气的“停转区域”，导致风速下降、压力增加．因为船帆的曲率将始终导致帆的尾端与风向所成的角度大于与最先着风之帆缘所成角度，所以帆的后缘的空气不能沿着曲面流动并返回周围自由空气的方向．理想上讲，在气流到达帆的后缘前不应开始分离．但随着船帆的迎角加宽，分离点逐渐前移并将其后的一切保留在停转区域．
除了迎角保持正确角度以使空气能够顺利通过外，关于风与帆关系的另一重要因素就是船帆必须具有正确的曲率，以保证空气始终附着在船
尾．如果曲线太小，则气流将不弯曲，并且将不会产生导致速度增加的压挤效果．如果曲线太大，则气流不能被附着．因此，只有在曲率不太大并且迎角不太宽的情况下才能发生分离．
这样，我们现在就知道风帆压力是如何在理论上和实际中形成的．但这些压力是如何令船只前行的呢？让我们更深入地了解其中的奥妙．在海平面上，每平方米的气压是 10 吨．当船帆的背风面上的气流增强时，您从上文可以知道气压将下降．假定每平方米将下降 20 千克．同样，迎风面上的气压将增加－假定每平方米增加 10 千克（请记住，下拉压力强于推送压力）．并且即使背风压力是负向并且迎风压力是正向的，它们都作用于同一方向．因此现在我们每平方米约有共 30 千克的压力．将其乘以 10 平方米风帆大小，我们在该风帆上已产生了共 300 千克的合力．
船帆上的每一点都作用了不同的压力．压力最强处位于弦深处，即船帆曲面最深处．这也是气流最快和压力下降最大的地方．随着气流向后移动并分离，力量也随之减弱．这些力量的方向也会更改．在船帆的每一点上，该力量与帆面保持垂直．船帆前部的力量最强处也在最前方向上．在船帆的中部，力量更改为侧方向，或倾斜方向．在船帆的后部，随着风速的下降力量也逐渐减弱，并导致向后方向或往后拉的方向．船帆各处上的压力都可以计算出来，以便确定其每一面上前部、后部和牵引部位的相对力量．因为向前的力量还是最强的，所以施加在船帆上的合力还稍偏向前的，但主要是侧方向．增加船帆作用以获得更多向前的驱动力还导致侧向力的更大的增加．因此，当风施加在侧面的力量达到最大时，船只是如何前行的呢？这涉及船帆与风的迎角，还涉及船只与水的阻力问题．
合力的方向与帆弦近乎垂直．当帆弦与船只的中线平行时，主要力量几乎完全施加在侧面．但是，如果船帆成一点儿角度，以便船帆产生的力量稍微向前，则船只本身会立即前行．这是为什么呢？船的中线（即龙骨）作用于水的方式类似于船帆作用于风的方式．龙骨产生的力量与船帆倾斜力相反的力量－它使船完全保持船帆形成的力量的方向．并且尽管风帆合力始终作用于迎风的那面，但正确的迎角将使船只前行．船帆的角度距离船体中线越远，着力点施加于正面相对于施加于侧面的数量越多．将正向力量的稍微调整与水相对于空气的反向力量结合起来，我们将令船只迎风前行，因为现在水流的阻力最小．
编辑本段气球与飞机及其区别
气球有热气球和充有氢气（或氦气）的气球，它们都是利用气球平均密度小于大气密度在大气中上浮。跟液体中物体上浮的不同，是高空大气稀薄，也就是密度较小
伯努利效应
，大气压也小，气球会向外膨胀。到整个气球的平均密度跟外面大气的密度相等的时候，气球不会再上升。为了气球继续上升，办法是减小气球的质量，具体方法是将气球下面携带的沙袋丢掉一些。
将气球里的气体放掉一些，体积减小，平均密度增大，气球就下降。
飞机也能够上天，但原理与气球不一样。比较一下，氢气球如果不用绳拉着，就会因为浮力大于重力则自己上升。飞机在停机坪上要不要用绳子拉着？
这说明飞机不是依靠浮力上天的，它的平均密度远远大于大气的密度。飞机必须在跑道上运动到具有足够大的速度之后，依靠跟空气有相对运动速度的机翼所受到的升力才能上天。空气给出的升力与浮力的不同点，首先在于物体对空气相对静止一样受到浮力，必须有相对运动和特殊形状的机翼才会有升力。如果飞机在降落之前用尽了燃料，由于空气阻力又使得速度减小了，没有足够的升力，飞机会掉下来。
编辑本段船吸现象
1912年秋天，“奥林匹克”号正在大海上航行，在距离这艘当时世界上最大远洋轮的100米处，有一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号正在向前疾驶，两艘船似乎在比赛，彼此靠得较拢，平行着驶向前方．忽然，正在疾驶中的“豪克”号好像被大船吸引似地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向“奥林匹克”号闯去．最后，“豪克”号的船头撞在“奥林匹克”号的船舷上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故．
究竟是什么原因造成了这次意外的船祸？在当时，谁也说不上来，据说海事法庭在处理这件奇案时，也只得糊里糊涂地判处船长制度不当呢！
后来，人们才算明白了，这次海面上的飞来横祸，是伯努利原理的现象．我们知道，根据流体力学的伯努利原理，流体的压强与它的流速有关，流速越大，压强越小；反之
伯努利效应
亦然．用这个原理来审视这次事故，就不难找出事故的原因了．原来，当两艘船平行着向前航行时，在两艘船中间的水比外侧的水流得快，中间水对两船内侧的压强，也就比外侧对两船外侧的压强要小．于是，在外侧水的压力作用下，两船渐渐靠近，最后相撞．又由于“豪克”号较小，在同样大小压力的作用下，它向两船中间靠拢时速度要快的多，因此，造成了“豪克”号撞击“奥林匹克”号的事故．现在航海上把这种现象称为“船吸现象”．
鉴于这类海难事故不断发生，而且轮船和军舰越造越大，一旦发生撞船事故，它们的危害性也越大，因此，世界海事组织对这种情况下航海规则都作了严格的规定，它们包括两船同向行驶时，彼此必须保持多大的间隔，在通过狭窄地段时，小船与大船彼此应作怎样的规避，等等．同样道理，当刮风时，屋面上的空气流动得很快，等于风速，而屋面下的空气几乎是不流动的．根据伯努利原理，这时屋面下空气的压力大于屋面上的气压．要是风越刮越大，则屋面上下的压力差也越来越大．一旦风速超过一定程度，这个压力差就“哗”的一下掀起屋顶的茅草，使其七零八落地随风飘扬．正如我国唐朝著名诗人杜甫《茅屋为秋风所破歌》所说的那样：“八月秋高风怒号，卷我屋上三重茅．”所以，在火车飞速而来
时，你决不可站在离路轨很近的地方，因为疾驶而过的火车对站在它旁边的人有一股很大的吸引力．有人测定过，在火车以每小时50公里的速度前进时，竟有8公斤左右的力从身后把人推向火车．你瞧，这有多危险啊！
你现在明白了吧，为什么到水流湍急的江河里去游泳是很危险的事．有人计算了一下，当江心的水流以每秒1米的速度前进时，差不多有30公斤的力在吸引着人的身体，就是水性很好的游泳能手也望而生畏，不敢随便游近呐！
编辑本段"香蕉球"的奥秘
如果你经常观看足球比赛的话，一定见过罚前场直接任意球．这时候，通常是防守方五六个球员在球门前组成一道“人墙”，挡住进球路线．进攻方的主罚队员，起脚一记劲射，球绕过了“人墙”，眼看要偏离球门飞出，却又沿弧线拐过弯来直入球门，让守门员措手不及，眼睁睁地看着球进了大门．这就是颇为神奇的“香蕉球”．
为什么足球会在空中沿弧线飞行呢？原来，罚“香蕉球”的时候，运动员并不是拔脚踢中足球的中心，而是稍稍偏向一侧，同时用脚背摩擦足球，使球在空气中前进的同时还不断地旋转．这时，一方面空气迎着球向后流动，另一方面，由于空气与球之间的摩擦，球周围的空气又会被带着一起旋转．这样，球一侧空气的流动速度加快，而另一侧空气的流动速度减慢．物理知识告诉我们：气体的流速越大，压强越小（伯努利方程）．由于足球两侧空气的流动速度不一样，它们对足球所产生的压强也不一样，于是，足球在空气压力的作用下，被迫向空气流速大的一侧转弯了．乒乓球中，运动员在削球或拉弧圈球时，球的线路会改变，道理与“香蕉球”一样．
编辑本段发现者简介
丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)是著名的伯努利家族中最杰出的
一位，他是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的第二个儿子．丹尼尔出生时，他的父亲约翰正在格罗宁根担任数学教授．1713年丹尼尔开始学习哲学和逻辑学，并在1715年获得学士学位，1716年获得艺术硕士学位．在这期间，他的父亲，特别是他的哥哥尼古拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II，1695—1726)教他学习数学，使他受到了数学家庭的熏陶．他的父亲试图要他去当商业学徒，谋一个经商的职业，但是这个想法失败了．于是又让他学医，起初在巴塞尔，1718年到了海德堡，1719年到施特拉斯堡，在1720年他又回到了巴塞尔．1721年通过论文答辩，获得医学博士学位．他的论文题目是“呼吸的作用”(De respiratione)．同年他申请巴塞尔大学的解剖学和植物学教授，但未成功．1723年、丹尼尔到威尼斯旅行，1724
年他在威尼斯发表了他的《数学练习》(Exercitationes mathematicae)，引起许多人的注意，并被邀请到彼得堡科学院工作．1725年他回到巴塞尔．之后他又与哥哥尼古拉第二一起接受了彼得堡科学院的邀请，到彼得堡科学院工作．在彼得堡的8年间(1725—1733)，他被任命为生理学院士和数学院士．1727年他与L．欧拉(Euler)一起工作，起初欧拉作为丹尼尔的助手，后来接替了丹尼尔的数学院士职位．这期间丹尼尔讲授医学、力学、物理学，做出了许多显露他富有创造性才能的工作．但是，由于哥哥尼古拉第二的暴死以及严酷的天气等原因，1733年他回到了巴塞尔．在巴塞尔他先任解剖学和植物学教授，1743年成为生理学教授，1750年成为物理学教授，而且在1750—1777年间他还任哲学教授。1733年丹尼尔离开彼得堡之后，就开始了与欧拉之间的最受人称颂的科学通信，在通信中，丹尼尔向欧拉提供最重要的科学信息，欧拉运用杰出的分析才能和丰富的工作经验，给以最迅速的帮助，他们先后通信40年，最重要的通信是在1734—1750年间，他们是最亲密的朋友，也是竞争的对手．丹尼尔还同C．哥德巴赫(Goldbach)等数学家进行学术通信。
编辑本段伯努力方程
理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为
p+ρgz+1/2ρv^2=常量，式中p、ρ、v 分别为流体的压强、密度和速度；z为铅垂高度；g为重力加速度。上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能1/2ρv^2 ，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为 p+1/2ρV^2=常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。
编辑本段人喝水原理
人喝水时，同样应用到伯努利效应。当你把杯子举到口边时，你的嘴会习惯地去“吸”杯中的水。这时，胸部扩大，肺里和嘴里的气体压强减小，嘴附近的空气就向嘴里跑。并且越靠近嘴的空气跑的（流动）的越快，对水面的压强也就越小。于是对于杯里的水面来说，近嘴部分受到空气的压强小，较远部分则大，在不等的压强作用下，近嘴部分的水面就稍微高了一点起来，超过杯沿流到口内。（摘自《故事物理学》，刘仁隆编著，科学出版社1980年版，略有修改）
伯努利方程实验 一、目的和要求 1、 熟悉流体流动中各种能量和压头的概念及其相互转换关系，在此基础上，掌握柏努利方程； 2、 观察流速变化的规律； 3、观察各项压头变化的规律。 二、实验原理 1、流体在流动中具有三种机械能：位能、动能、静压能。当管路条件如管道位置高低、管径大小等发生变化时，这三种机械能就会相应改变以及相互转换。 2、如图所示，不可压缩流体在导管中做稳态流动，由界面1-1’流入，经粗细不同或位置高低不同的管道，由截面2-2’流出：以单位质量流体为基准，机械能衡算式为： 式中：u l 、u 2一分别为液体管道上游的某截面和下游某截面处的流速，m ／s ； P 1、P 2一分别为流体在管道上游截面和下游截面处的压强，Pa ； z l 、z 2一分别为流体在管道上游截面和下游截面中心至基准水平的垂直距离，m; ρ一流体密度，Kg ／m 3 ； g 一重力加速度，m ／s 2 ； ∑h f 一流体两截面之间消耗的能量，J ／Kg 。 3、∑h f 是流体在流动过程中损失的机械能，对于实际流体，由于存在内摩擦，流体在流动中总有一部分机械能随摩擦和碰撞转化为热能损耗（不能恢复），因此各截面上的机械能总和不相等，两者之差就是流体在这两截面之间流动时损失的机械能。 4、对于理想流体（实际上并不存在真正的理想流体，而是一种假设，对解决工程实际问题有重要意义），不存在因摩擦而产生的机械能损失，因此在管内稳定流动时，若无外加能量，得伯努利方程： 22112212 22u p u p z g z g ρρ ++=++式② 表示1kg 理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，但各截面上每一种形式的机械能并不一定相等，各种形式的机械能可以相互转换。式①时伯努利方程的引伸，习惯上也称为伯努利方程（工程伯努利方程）。 5、流体静止，此时得到静力学方程式： 1 2 1221 () p p z g z g P P gh ρρ ρ + =+ =+或式③ 所以流体静止状态仅为流动状态一种特殊形式。 6、将式①中每项除以g ，可得以单位重量流体为基准的机械能守恒方程： 22 112212 22f u p u p z g z g h ρρ ++=+++∑式① 22112212 f u p u p z z H ++=+++式④
平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数 1 ?设一个消费者的直接效用函数为 u =? Inq 。求该消费者的间接效用函数。并且 运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。 解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为： 构造拉格朗日函数: L = : Inq 72 川'；? j y -pq -P 2C 2 L 对q 、C 2和，分别求偏导得: 从而解得马歇尔需求函数为: y P 2 q 2 二 P 2 由⑤式可知：当y_「p 2?0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。 将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -： P i P 2 ②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为： P i 将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工 P i (2)①当y_「p 2?0时，此时的间接效用函数为： v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 - P i P 2 将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得: P t = 0 -:C i C i p 2 = 0 池 y ~ p i q i _ p 2q ^ = 0 OK 从①式和②式中消去后得: :、沱 P 2 q p 再把④式代入③式中得： C 2 y P 2 P 2 ① ② ③ ④ ⑤
伯努利定律 在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。 这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。飞机机翼的上表面是流畅的曲面，下表面则是平面。这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托住”了。当然了，这个压力到底有多大，一个高深的流体力学公式“伯努利方程”会去计算它。 方程式 v=流动速度 伯努利定律 g=地心加速度(地球) h=流体处于的高度(从某参考点计) p=流体所受的压强 ρ=流体的密度 伯努利方程 伯努利理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。 上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而
压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。 伯努利效应 1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。 比如，管道内有一稳定流动的流体，在管道不同截面处的竖直开口细管内的液柱的高度不同，表明在稳定流动中，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。这一现象称为“伯努利效应”。伯努利方程：p+1/2pv^2=常量。 在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。 伯努利效应的应用举例：飞机机翼、喷雾器、汽油发动机的汽化器、球类比赛中的旋转球。 5伯努利数 伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数。设伯努利数为B(n),它的定义为: t/(e^t-1)=∑[B(n)*(t^n)/(n!)](n:0->∞) 这里|t|<2。由计算知：B(0)=1,B(1)=-1/2, B(2)=1/6,B(3)=0, B(4)=-1/30,B(5)=0, B(6)=1/42,B(7)=0, B(8)=-1/30,B(9)=0), B(10)=5/66,B(11)=0, B(12)=-691/2730,B(13)=0, B(14)=7/6,B(15)=0, B(16)=-3617/510,B(17)=0, B(18)=43867/798,B(18)=0, B(20)=-174611/330 …… 一般地,n>=1时,有B(2n+1)=0;n>=2时,有公式B(n)=∑[C(k,n)*B(k)](k:0->n)可用来逐一计算伯努利数。伯努利数在数论中很有用。例如，对于佩尔方程-=-4（≡1(mod4)是素数），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解x0+(y0)*√(p)满足,1960年，L.J.莫德尔证明了在≡ 5(mod8)时,S.乔拉证明了在≡1(mod8)时，上述猜想等价于伯努利数B((p-1)/2)的分子不被整除。伯努利数还可用于费马大定理的论证中。设>3，如果伯努利数B,B,…,B(p-3)的每一个的分子不被整除，这样的素数叫正规素数，否则就叫非正规素数。德国数学家E.E.库默尔证明了:当为正规素数时,费马大定理成立。不难计算当3<<100时，除开=37,59,67以外,其余的素数都是正规素数。因此,在费马大定理的研究中，库默尔的结果是一项突破性的工
伯努利方程仪实验报告 实验人 XXX 合作者 XXX 合作者 XXX XX年X月XX日 一、实验目的 1.观察流体流经能量方程试验管的能量转化情况，对实验中出现的现象进行分析，加深对能量方程的理解； 2.掌握一种测量流体流速的原理； 3.验证静压原理。 二、实验设备 本实验台由压差板、实验管道、水泵、实验桌和计量水箱等组成。 图- 1伯努利方程实验台 1.水箱及潜水泵 2.上水管 3.电源 4.溢流管 5.整流栅 6.溢流板 7.定压水箱 8.实验细管 9. 实验粗管10.测压管11.调节阀12.接水箱14回水管15.实验桌 1
三、 实验前的准备工作： 1．全开溢流水阀门 2．稍开给水阀门 3．将回水管放于计量水箱的回水侧 4．接好各导压胶管 5．检验压差板是否与水平线垂直 6． 启动电泵，使水作冲出性循环,检查各处是否有漏水的现象。 四、 几种实验方法和要求： 1. 验证静压原理： 启动电泵，关闭给水阀，此时能量方程试验管上各个测压管的液柱高度相同，因管内的水不流动没有流动损失，因此静水头的连线为一平行基准线的水平线，即在静止不可压缩均匀重力流体中，任意点单位重量的位势能和压力势能之和（总势能）保持不变，测点的高度和测点位置的前后无关，记下四组数据于表-2的最下方格中。从表-2中可以看出，当水没有流动时，测得的的静水压头基本上都是35.5cm ，验证了同一水平面上静压相等。 2. 测速： 能量方程试验管上的四组测压管的任一组都相当于一个毕托管，可测得管内任一点的流体点速度，本试验已将测压管开口位置在能量方程试验管的轴心，故所测得的动压为轴心处的，即最大速度。 毕托管求点速度公式： gh V B 2= 利用这一公式和求平均流速公式（F Q V /=）计算某一工况（如表中工况2平均速度栏）各测点处的轴心速度和平均流速得到表-1 表- 1 注：该表中数据由表-2中第一行数据计算得到 从表-1中我可以看到在细管测得的速度大，在粗管测得的速度小；在细管中测得的点速度比平均速度小，这可能是比托管的管嘴没有放在玻璃管管中心，或者比托管管嘴没有正对液体流向，使得总压与静压的差值小于实际值；在粗管测得的点速度比平均速度大，可能是因为在粗管，比托管更容易放在玻璃管中心，测得的点速度比平均速度大是正常的，因为如果是层流的话，流速沿半径方向呈抛物线分布。
xx方程原理以及在实际生活中的运用 67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。 xx方程 p+ρρv 2=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g 为重力加速度；c为常量。它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。 相关应用 （1）等高流管中的流速与压强的关系 根据xx方程在水平流管中有 ρv 2=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。下面就是一些实例 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。三、伯努利方程的应用： 1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。 2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。 4.球类比赛中的“旋转球”具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
一，实验目的及要求 1.通过定性分析实验，提高动态水力学中许多水力现象的实验分析能力； 2.通过定量测量实验，可以进一步掌握增压管中流体力学的能量转换特性，验证流体总流量恒定的伯努利方程，掌握测压管头线的实验测量技巧和绘制方法。 二，实验内容与方法 1.定性分析实验 （1）确认相同静态液体的测压管的头线是水平线。 实验表明，在阀门完全关闭并稳定后，每个压力计管液位的连接线均为水平线。此时，滑动标尺的读数值为水在流动前的总能量头。 （2）观察不同流量下某段液压元件的变化规律。 （3）验证动态水压力是否根据均匀流段上的静水压力规则分布。 （4）遵守过程中总能量斜率线的变化规律。
（5）观察压力计头线的变化规律。 （6）沿管道的压力分布是通过使用压力计的头线来判断的。 2.定量分析实验-伯努利方程验证和测压管头线测量分析实验 实验方法和步骤：在恒定流量的情况下，改变流量两次，一次打开阀门很大，以至于1号测量管的液位接近可读范围内的最低点。流量稳定后，测量并记录每个压力测量管的液位读数，并同时测量并记录实验流量。 三，数据处理及结果要求 1.记录相关信息，实验常数，实验数据记录和结果计算：有关详细信息，请参见实验报告书 2.结果要求 （1）定性分析实验中回答有关问题 （2）计算速度头和总头 （3）在上述结果的最大流量下绘制总压头线和压强计压头线
四，注意事项 1.应注意每次循环供水实验：必须将测得的水倒回到原始实验设备的水桶中，以保持自循环供水（在以下实验中不会提示此注意事项）。 2.稳压缸内的气腔越大，稳压效果越好。但是，稳压缸的水位必须淹没连接管的入口，以避免连接管的进气口，否则，有必要拧松稳压缸的排气螺钉以提高水位。圆筒;如果调压罐的水位高于排气螺钉的开口，则表明存在空气泄漏，需要进行检查和处理。 3.传感器与压力稳定缸之间的连接管应确保通气畅通，并且水不能进入连接管和进气口，否则应将其清除。 4.智能数显流量计启动后需要预热3?5分钟。
实验二伯努利实验报告 实验二柏努利实验 一、实验目的 l、研究流体各种形式能量之间关系及转换，加深对能量转化概念的理解; 2、深入了解柏努利方程的意义 二、实验原理 l、不可压缩的实验液体在导管中作稳定流动时，其机械能守恒方程式为: 22upup1122zg，，，W,zg，，，h (1) ,ef122,2, 式中:u、u一分别为液体管道上游的某截面和下游某截面处的流速，m,s; l2 P、P一分别为流体在管道上游截面和下游截面处的压强，Pa; 12 z、z一分别为流体在管道上游截面和下游截面中心至基准水平的垂直距l2 离，m; ρ一流体密度，Kg,m; We—液体两截面之间获得的能量，J,Kg; 2 g一重力加速度，m,s; ?h一流体两截面之间消耗的能量，J,Kg。 f 2、理想流体在管内稳定流动，若无外加能量和损失，则可得到: 22upup1122zg，，,zg，， (2) 122,2, 表示1kg理想流体在各截面上所具有的总机械能相等，但各截面上每一种形式的机械能并不一定相等，但各种形式的机械能之和为常数，能量可以相互转换。 3、流体静止，此时得到静力学方程式: pp12 (3) zg，,zg，12,, 所以流体静止状态仅为流动状态一种特殊形式。 三、实验装置及流程
试验前，先关闭试验导管出口调节阀，并将水灌满流水糟，然后开启调节阀，水由进水管送入流水槽，流经水平安装的试验导管后，试验导管排出水和溢流出来的水直接排入下水道。流体流量由试验导管出口阀控制。进水管调节阀控制溢流水槽内的溢流量，以保持槽内液面稳定，保证流动系统在整个试验过程中维持稳定流动。 四、实验内容 (一)演示 1、静止流体的机械能分布及转换 将试验导管出口阀全部关闭，以便于观察(也可在测压管内滴入几滴红墨水)，观察A、B、C、D点处测压管内液柱高低。 2、一定流量下流体的机械能分布及转换 缓慢调节进水管调节阀，调节流量使溢流水槽中有足够的水溢出，再缓慢慢开启试验导管出口调节阀，使导管内水流动(注意出口调节阀的开度，在实验中能始终保持溢流水槽中有水溢出)，当观察到试验导管中部的两支测压水柱略有差异时，将流量固定不变，当各测压管的水柱高度稳定不变时，说明导管内流动状态稳定。可开始观察实验现象。 3、不同流量下稳定流体机械能分布及转换 连续缓慢地开启试验导管的出口阀，调节出口阀使流量不断加大，观察A、B、 C、D处测压管内液柱变化。 (二)实验
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数 1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。 解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为： 12 12 2,112m ln ax q q s t q p p y q q q α..+=+ 构造拉格朗日函数： ()121122ln L q q q y p p q αλ--=++ L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得： 111 0L p q q α λ?=-=? ① 22 10L p q λ?=-=? ② 11220q L y p p q λ ?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得： 2 11 p q p α*= ④ 再把④式代入③式中得： 2 2 2y p p q α*-= ⑤ 从而解得马歇尔需求函数为： 2 11 p q p α*= 2 2 2 y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，2 0q * >，消费者同时消费商品1和商品2。 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ()()21 12122 ,,,ln p v p p y p q q y u p ααα** =+-= ②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为： 1 1q y p *= 2 0q * = 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ()()12121 ,,,ln v p p y u q p y q α** == （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为： ()()2 1 12122 ,,,ln p v p p y p q q y u p ααα** =+ -= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：
实验十七伯努利方程与雷诺实验 一、实验目的 二、基本原理 三、实验流程 四、实验步骤 五、注意事项
实验目的 （1）了解在不同的情况下，流动流体中各种 能量间相互转化的关系和规律； （2）观测流动流体阻力的表现。 （3）观察液体流层、湍流两种流动型态及层 流时管中流速分布情况，以建立感性认识； （4）确立“层流和湍流与Re之间有一定联系”的概念； （5）熟悉雷诺准数的测定与计算。
基本原理 1.流体在流动中具有三种机械能，即位能、动能、静压能，这三种能量是可以相互转换的，当管路条件改 变时（如为止，高低，管径，大小），它们便发生能 量转化； 2.实际流体有截然不同的两种流动型态存在：层流（滞流）和湍流（紊流）。 3.层流时，流体质点作直线运动且互相平行。 4.湍流时，流体质点紊乱地向各个方向作无规则运动，但对流体主体仍可看作向某一规则方向流动。
实验流程 图17-1 伯努利实验流程图 1，2，5，6-玻璃管（d内约为13mm）； 3，4-玻璃管（d内约为24mm）；12-溢流管；13-测压管；
图17-2 雷诺实验流程图 1-高位墨水瓶；2-进水稳流装置；3-溢流箱；4-溢流管；5-高位水槽；6-量筒；7-排水管；8-转子流量计；9-玻璃管。
1、伯努力实验 （1）实验前观察了解实验装置，（循环泵的凯、关，溢流管控制高位槽液面，出口阀A调节流量，活动弯头的转动，活动测头结构以及测压管标尺的基准等）。开动循环水泵，同时注意高位槽中液面是否稳定。 （2）观察玻璃管中有无气泡，若有气泡，可先开循环水泵，再开大出口阀让水流带出气泡，也可用拇指按住管的出口，然后突然放开，如此按数次使水流带出气泡，也可拧松活动测压头密封的压盖，以便放出测压点处的气泡。 （3）关闭出口阀A，开动循环水泵，待高位槽中的液面稳定，观察记录个测压管液面高度（测压孔同时正对或同时
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用 67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。 伯努利方程 p+ρgh+(1/2)*ρv2=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。 相关应用 （1）等高流管中的流速与压强的关系 根据伯努利方程在水平流管中有 p+(1/2)*ρv2=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。下面就是一些实例 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。三、伯努利方程的应用： 1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。 2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
流体实验 华北电力大学
目录 实验一不可压缩流体恒定流能量方程(伯诺里方程)实验 (2) 实验二雷诺实验 (5) 实验三管道沿程阻力实验 (7)
伯努利方程实验 一、实验目的和要求 1. 通过定性分析实验，提高对动水力学诸多水力现象的实验分析能力； 2. 通过定量测量实验，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性，验 证流体恒定总流的伯努利方程，掌握测压管水头线的实验测量技能与绘制方法； 二、实验装置 1．实验装置简图 实验装置及各部分名称如图1所示。 321 5 132467 8911 13 15 110 12 146 5 4151617 1113973519 1719 18 101112 13 14 789 图1 伯努利方程实验装置图 1. 自循环供水器 2. 实验台 3. 可控硅无级调速器 3. 溢流板 5. 稳水孔板 6. 恒压水箱 7. 实验管道 8. 测压点①~○19 9. 弯针毕托管 10. 测压计 11. 滑动测量尺 12. 测压管①~○19 13. 实验流量调节阀 1 4.回水漏斗 1 5. 稳压筒 1 6.传感器 1 7. 智能化数显流量仪 2．装置说明 (1) 流量测量——智能化数显流量仪 智能化数显流量仪系统包括实验管道内配套流量计、稳压筒15、高精密传感器16和智能化数显流量仪17（含数字面板表及A/D 转换器）。该流量仪为管道式瞬时流量仪，测量精度一级。 流量仪的使用方法，需先排气调零，待水箱溢流后，间歇性全开、全关管道出水阀13数次，排除连通管内气泡。再全关阀13，待稳定后将流量仪调零。测流量时，水流稳定后，流量仪所显示的数值即为瞬时流量值。 (2) 测流速——弯针管毕托管 15 1617
“伯努利原理”的误解 伯努利是一位数学家和物理学家，他在1738年发现，当流体的流速提高，表面的静压力会降低。这个现象称为“伯努利原理”，而几乎所有的物理学教材和科普文章，都使用这个原理，讨论机翼升力的产生。为了解释这个原理，通常，他们首先会让你拿出两片纸，并用力在纸的中间吹气，瞧，两张纸像粘在一起了！ 记忆的上表面是拱起的，而下表面是平坦甚至凹进去。当气流通过机翼表面，机翼上方空气流速较快，而下面空气流速较慢。根据“伯努利原理”，下面气流造成的静压力大于上方气流的压力，于是，机翼受到一个向上的作用力，飞机就飞了起来。 遗憾的是，这是完全错误的。而使用“伯努利原理”解释飞机的升空也是“白努力”。 伯努利效应可以解释一部分升力的来源，但这是非常小的一部分。如果飞机仅仅根据“伯努利原理”飞行，机翼形状必须非常“拱起”，或者，必须要飞得非常快才行。 飞机的升力主要由另外两个效应提供。一个是康达效应；另一个是气流冲击效应。 康达效应指的是，气流流经机翼曲面时，气流会紧贴机翼表面（这当然也有一点伯努利效应的含义）。这样，机翼的形状有效地改变了气流的方向，使离开机翼的气流相对飞机作向下的高速运动。机翼推开气流，但这个运动受力的反作用力作用于机翼上，相当于气流也在推开机翼，这个力使得机翼向上举起。 另一个重要的效应是气流冲击效应。当一块平板的方向不是与气流运动方向严格垂直，那么，平板会受到气流的冲击。飞机的机翼与其自身有一定倾角4°左右，特别是，当飞机起飞时，要把机头高高抬起，形成更大的倾角，这样在低速时，也可以获得较大的气流冲击效应，以便使几十吨的飞机起飞。但是，机翼的倾角并不是完全用于提供升力，更多的是为了维持飞机本身的气动布局，以保证飞机在飞行时候的气动平衡。 飞机是一个非常复杂的气动力学系统，设计师必须保证飞机载x,y,z几个方向上受力平衡。这就是飞机为什么需要机翼、尾翼、垂直尾翼的原因（那种像飞碟一样的无尾翼飞机设计起来是非常麻烦的）；此外，为了操控飞机，机翼上都开有活动襟翼，因此要仔细分析飞机的受力很不容易。这也是飞机设计原型为什么要进行风洞试验的原因。 1、根据谐音的方法，写出几组谐音而意思不同的词语 例如：伯努利——白努力 （）——（）（）——（）（）——（）（）——（）2、根据上文所讲述的内容看，“伯努利原理”会造成（）。
不可压缩流体能量方程(伯努利方程)实验 一、实验目的要求： 1、掌握流速、流量、压强等动水力学水力要素的实验量测技术； 2、验证流体定常流的能量方程； 3、通过对动水力学诸多水力现象的实验分析研究，进一步掌握有压管流中动水力学的能量转换特性。 本实验的装置如图所示，图中： 1.自循环供水器； 2.实验台； 3.可控硅无级调速器； 4.溢流板； 5.稳水孔板； 6.恒压水箱； 7.测压计； 8.滑动测量尺； 9.测压管；10.实验管道；11.测压点；12.毕托管;13.实验流量调节阀 三、实验原理： 在实验管路中沿水流方向取n个过水截面。可以列出进口截面(1)至截面(i)的能量方程式 1
2 （i=2,3,.....,，n) W i h g g p Z g g p Z i i i -+++=++1222 2111νρν ρ 选好基准面，从已设置的各截面的测压管中读出 g p Z ρ+ 值,测出通过管路的流量,即可计 算出截面平均流速ν及动压g 22 ν，从而可得到各截面测管水头和总水头。 四、实验方法与步骤： 1、熟悉实验设备，分清各测压管与各测压点，毕托管测点的对应关系。 2、打开开关供水，使水箱充水，待水箱溢流后，检查泄水阀关闭时所有测压管水面是否齐平，若不平则进行排气调平(开关几次）。 3、打开阀13，观察测压管水头线和总水头线的变化趋势及位置水头、压强水头之间的 相互关系，观察当流量增加或减少时测压管水头的变化情况。 4、调节阀13开度，待流量稳定后，测记各测压管液面读数，同时测记实验流量(与毕托管相连通的是演示用，不必测记读数)。 5、再调节阀13开度1～2次，其中一次阀门开度大到使液面降到标尺最低点为限，按第4步重复测量。 五、实验结果及要求： 1、把有关常数记入表2.1。 2、量测( g p Z ρ+ )并记入表2.2。 3、计算流速水头和总水头。 表2．1 有关常数计录表水箱液面高程0?___cm ，上管道轴线高程z ?_____cm ．
中国石油大学（华东）工程流体力学实验报告 实验日期：2014.12.11成绩： 班级：石工12-09学号：12021409姓名：陈相君教师：李成华 同组者：魏晓彤，刘海飞 实验二、能量方程（伯诺利方程）实验 一、实验目的 1．验证实际流体稳定流的能量方程； 2．通过对诸多动水水力现象的实验分析，理解能量转换特性； 3．掌握流速、流量、压强等水力要素的实验量测技能。 二、实验装置 本实验的装置如图2-1所示。 图2-1 自循环伯诺利方程实验装置 1.自循环供水器； 2.实验台； 3.可控硅无极调速器；4溢流板；5.稳水孔板； 6.恒压水箱； 7.测压机；8滑动测量尺；9.测压管；10.试验管道； 11.测压点；12皮托管；13.试验流量调节阀 说明 本仪器测压管有两种： （1）皮托管测压管（表2-1中标﹡的测压管），用以测读皮托管探头对准点的总水头； （2）普通测压管（表2-1未标﹡者），用以定量量测测压管水头。 实验流量用阀13调节，流量由调节阀13测量。
三、实验原理 在实验管路中沿管内水流方向取n 个过水断面。可以列出进口断面（1）至另一断面（i ）的能量方程式（i =2,3,…,n ） i w i i i i h g v p z g p z -++ + =+ + 1222 2 111 1αγυαγ 取12n 1a a a ==???==，选好基准面，从已设置的各断面的测压管中读出 z+p/r 值，测 出透过管路的流量，即可计算出断面平均流速，从而即可得到各断面测压管水头和总水头。 四、实验要求 1．记录有关常数实验装置编号 No._4____ 均匀段1d = 1.40-210m ?；缩管段2d =1.01-210m ?；扩管段3d =2.00-2 10m ?； 水箱液面高程0?= 47.6-2 10m ?；上管道轴线高程z ?=19 -2 10m ? （基准面选在标尺的零点上） 2．量测（p z γ + ）并记入表2-2。 注：i i i p h z γ =+ 为测压管水头，单位：-2 10m ，i 为测点编号。 3．计算流速水头和总水头。
中级微观经济学期末考试复习题 （版权归13企业管理班所有，翻版必究，哈哈！） 1.实现委托代理最优合约设计的两个约束条件是什么？ 答：一种是代理人的个人理性约束，即委托人得保证让代理人不跳槽，安于经理岗位。 另一种是对代理人的激励相容约束，即让代理人自己去选择行动值a，使其期望的边际效用值达到最大。 2、为何需求的价格弹性大于1时，降价能增加收益，而需求的价格弹性小于1时，涨价能增加收益，请给出数学证明。 答：需求的价格弹性公式为： 由公式可知， 当|e|>1，即富于弹性时，MR<0，边际收益为负，即提高价格，收益降低，相反，降低价格则收益升高。 当|e|<1，即缺乏弹性时，MR>0，边际收益为正，即提高价格，收益升高，相反，降低价格，收益变少。 3.简述公共产品与私人产品的差异。（微观经济学十八讲P352） 答：公共品是指由公共部门提供用来满足社会公共需要的商品和服务。公共品具有不可分割性、非竞争性和非排他性。但是必须明确并不是全部的公共品都应由公共部门提供。私人品是指那些具有效用上的可分割性，消费上的竞争性和受益上的排他性的产品。公共品和私人品的区别在于，公共品是可以让一群人同时消费的物品，而私人品在任何时候只能为一个使用者提供效用。 4、毕加索油画的供给价格弹性是多少，为什么？ 答：弹性0，因为供给的价格弹性反映价格变动对供给数量变动的影响。毕加索的油画是唯一的，因此，不管价格如何变动，供给为1，即供给不随价格变动而变动，弹性为0。 5、完全竞争市场条件下，为什么行业中所有厂商的经济利润在长期均衡时都会为零？这是否意味着厂商的生产变得没有意义？
西方经济学中所谓长期均衡时利润为零，是指经济利润为零，并不是会计利润为零。所 谓经济利润，通常也叫超额利润，就是一个厂商赚取了较之一般利润水平更高的利润。之所 以如此，这是因为，在西方经济学理论上，会计利润被计入厂商投入自有要素所应获得的报 酬，是产品的隐含成本。 之所以在完全竞争市场条件下，行业中所有厂商的经济利润在长期均衡时都会为零，首 先要先明确两个关键的前提：一是长期内，厂商能够调整全部生产要素。二，在完全竞争市 场条件下，厂商具有完全信息，且资源可以自由流动。在这两大前提下，如果某个行业存在 经济利润，也就是该行业较之其它行业能够赚取更多的利润，则该行业马上就会有新的厂商 加入，从而使市场上该产品的供给量增加，供给曲线向右移动，导致产品价格下降，经济利 润随之消失，也就是会计利润下降到和其它行业一样的水平。反过来，如果某个行业存在亏 损，也就是会计利润水平低于其它行业，则这个行业中就会有个别厂商退出，转而生产其它 更加有利可图的产品，结果这个行业产品供给量减少，价格上升，亏损消失，达到了与其它 行业一样的会计利润水平。故在完全竞争市场条件下，行业中所有厂商的经济利润在长期均 衡时都会为零。 这并不意味着厂商的生产没有意义，因为在行业达到长期均衡的时候，行业中的每一个 企业都具有最高的经济效率，平均每一个企业都能够获得同一水平的正常利润，企业的经济 利润虽为零却依旧是能够盈利的。 6、比较马歇尔需求函数（又称为瓦尔拉需求函数）和希克斯需求函 数的异同。 对应于每一个价格-财富组合（p,w ），消费者选择的消费组合成为消费需求映射。原则 上，消费需求映射可以是多值的，即对应于每一个价格-财富组（p,w ），消费者可以选择多 种消费组合。特殊情况下，消费需求映射x(p,w)是单值的，称为马歇尔需求函数（或瓦尔拉 需求函数）。 EMP 中的最优商品向量集表示为L R u p h + ?),( ，它被称为希克斯（或补偿）需求对应，如果是单值，则被称为希克斯（或补偿性）需求函数。希克斯需求函数就是反映P 变化时，保持U 不变的前提下，X 数量的变化。 7、如果单位年底发福利，你是愿意领取价值100元的大米，还是愿 意领取100元现金，请利用无差异曲线与预算约束线对你的选择做出 解释。 愿意领取100元现金，原因如下：
伯努利原理讲解 对我们搞流体机械的很重要，此文好懂又有趣！
光德流控
伯努利（Daniel Bernouli,1700～1782） 伯努利，瑞士物理学家、数学家、医学家。 他是伯努利这个数学家族（4 代 10 人）中最杰出的代表， 16 岁时就在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位， 17～20 岁又学习医学，于 1721 年获医学硕士学位，成为外科名 医并担任过解剖学教授。但在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。
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伯努利成功的领域很广，除流体动力学这一主要领域外，还 有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等。
实例篇——伯努利原理 丹尼尔·伯努利在 1726 年首先提出：“在水流或气流里， 如 果 速 度 小 ，压 强 就 大 ；如 果 速 度 大 ，压 强 就 小 ” 。我 们 称 之 为 “伯努利原理”。 我们拿着两张纸，往两张纸中间吹气，会发现纸不但不会向 外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。因为两张纸中间的空气 被我们吹得流动的速度快，压力就小，而两张纸外面的空气没有 流动，压力就大，所以外面力量大的空气就把两张纸“压”在了 一起。 这就是“伯努利原理”原理的简单示范。
1 列车(地铁)站台的安全线 在列车（地铁）站台上都划有黄色安全线。
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这是因为列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气被带动而快 速运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身 体前后会出现明显的压强差，身体后面较大的压力将把旅客推向 列车而受到伤害。
所以，在火车（或者是大货车、大巴士）飞速而来时，你绝 对不可以站在离路轨（道路）很近的地方，因为疾驶而过的火车 （汽车）对站在它旁边的人有一股很大的吸引力。
有人测定过，在火车以每小时 50 公里的速度前进时，竟有 8 公斤左右的力从身后把人推向火车。
看懂“伯努利”原理后，等地铁再也不敢跨过那条黄线了吧 （分享给身边的人哦~~）
2 船吸现象
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伯努利方程实验 一、实验目的： 1.通过实验，加深对伯努利方程式及能量之间转换的了解。 2.观察水流沿程的能量变化，并了解其几何意义。 3.了解压头损失大小的影响因素。 二、实验原理： 在流体流动过程中，用带小孔的测压管测量管路中流体流动过程中各点的能量变化。当测压管的小孔正对着流体的流动方向时，此时测得的是管路中各点的 动压头和静压头的总和，即 以单位质量流体为衡算基来研究流体流动的能量守恒与转化规律。对于不可压缩流体，在导管内作稳态流动时，则对确定的系统即可列出机械能衡算方程： ∑+++=+++f e h p gZ p u Z ρ ωρ22 2212112u 2g 当测压管的小孔垂直于流体的流动方向时，此时测得的是管路中各点的静压 头的值，即 。 将在同一流量下测得的hA 、hB 值描在 坐标上，可以直观看出流速与管径的关系。 比较不同流量下的hA 值，可以直观看出沿程的能量损失，以及总能量损失与流量、流速的关系。通过hB 的关系曲线，可以得出在突然扩大、突然缩小处动能与静压能的转换。 三．实验装置
四．实验步骤 1.将低位槽灌有一定数量的蒸馏水，关闭离心泵出口上水阀及实验测试导管出口流量调节阀和排气阀、排水阀，打开回水阀和循环水阀而后启动离心泵。 2.逐步开大离心泵出口上水阀当高位槽溢流管有液体溢流后，利用流量调节阀出水的流量。 3.流体稳定后读取并记录各点数据。 4.关小流量调节阀重复步骤。 5.分析讨论流体流过不同位置处的能量转换关系并得出结果。 6.关闭离心泵，实验结束。 五．实验注意事项： 1.测记压头读数时，必须保持水位恒定。 2.注意测压管内无气泡时，方可开始读数。 3.测压管液面有波动时，读数取平均值为宜。 4.阀门开关要缓慢，否则影响实验结果。 六．数据处理
第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 一、间接效用函数的定义 直接效用函数：() u x 价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。
也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。记这种效用函数为： 间接效用函数：()()max ,..v p y u s t y =≤x px x ()()()*,,v y u y ==p x x p 间接效用函数的政策意义：通过价格政策（ p ）和收入政 策（y ）可以控制消费者行为。
二、间接效用函数的特征： 间接效用函数),(y v p 1) 在n +++? 上连续 2) 在(),y p 上零次齐次性 3) 在y 上严格递增 4) 在p 上严格递减 5) 在(),y p 上拟凹 6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且() 00,0v y y δδ≠p ，有：
()() ()000000,,,1,...,,i i v y p x y i n v y y δδδδ==p p p 间接效用函数()()max ,..v y u s t y = ≤p x px x 的特征 1、间接效用函数在n +++? 上连续 最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。 含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。
2、间接效用函数在(),y p 上零次齐次性 ()()max ,..v y u s t y ==p x px x 间接效用函数在(),y p 上零次齐次性： ()()()0 ,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y t ===?==x p p x px x p x px
实验二 伯努利方程实验 一．实验目的 1．观察恒定流情况下，水流所具的位置势能、压强势能和动能，以及在各种边界条件下能量的守恒和转换规律，加深对能量方程物理意义的理解。 2．观察测压管水头线和总水头线沿程变化的规律，以及水头损失现象。 3．验证测速管（毕托管）原理。 二．实验装置 本实验装置流程如图3-2所示，主要由高位水箱、供水箱、水泵、有机玻璃实验管道、铁架等部件组成。高位水箱内设有溢流装置，用以保持箱内水位恒定。液体由高位水箱经进口调节阀流入实验管路，管路管径不同，且高低不一，共有十组测压点，进口调节阀供调节流量用。 每组测压点都设置有普通测压管及测速管。测速管探头末端开有小孔，小孔位置与管道中心位置平齐。并正对流动方向，测速管可测出此截面上的总压头。普通测压管可测出此截面上的静压头与位压头之和。 出水管处可用秒表及量筒由体积时间法测量流量。整个系统中水是循环使用的。在管道下方装有一供水箱，出水口流出的水进入箱内再由泵抽取送至高位槽。 图3-2 伯努利实验装置流程 三．实验原理 1．在管内流动的流体均具有位能、静压能和动能，取1N 流体作为基准来进行能量衡算，并忽略流体在管内流动时的阻力损失，对不可压缩流体从1—1截面连续稳定地流至2 —2截面，其伯努利方程式为：g u g ρP Z g u g ρP Z 222 2 222111+ +=++ (1) 式中： Z — 流体的位压头，m ；
g P ρ — 流体的静压头，m ； g u 22 — 流体的动压头，m ； 下标1和2分别为系统的进口和出口两个截面。 同样，取1N 流体作为基准来进行能量衡算，而流体在管内流动时的阻力损失能量不可忽略时，对不可压缩流体从1—1截面连续稳定地流至2—2截面，其伯努利方程式为： f h g u g ρP Z g u g ρP Z +++=++222 2 222111 (2) 式中：f h —1N 流体从1—1截面流至2—2截面时损失的能量，称损失压头，m 。 2．在管内稳定连续流动的不可压缩流体，忽略流体流动的阻力损失能量时，在管路上 任意截面的总压头均相等。 =++g u g P Z 22 ρ常数 (3) =++动静位h h h 常数 (4) 但是，任何两截面上的位压头、静压头和动压头并不一定相等，应视具体情况而定。根据管路条件的改变（如位置的高低、管径的大小），它们会自动转换。 在管内稳定连续流动的不可压缩流体，流体流动的阻力损失能量不可忽略时，管路中任意两截面上的总压头仍然相等。 =+++=++f h g u g ρP Z g u g ρP Z 222 2 222111常数 (5) 但是，其位压头、静压头、动压头之和并不相等，其差值即为阻力损失压头： )2()2(2 2 222111g u g ρP Z g u g ρP Z h f ++-++= m (6) 阻力损失压头f h 是以热能的形式消失掉的，在管路中是不能再恢复的。 3．毕托管工作原理 测速管探头末端开孔处液体的位压头（h 位）由测速管探头末端的几何高度决定。测压 管内液位高度为位压头和静压头之和，用符号H 1表示，即： 静位h h H +=1 (7) 当测压管小孔位置确定后，位h 就已知，此时即将静h 测量出来。 测速管内液位高度为位压头、静压头和动压头之和，用符号H 表示，即： 动静位h h h H ++= (8)