统计物理
（Statistical Physics）
黄建明
电子工程学院
北京邮电大学，北京100876
北京邮电大学北京100876
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J. –M. Huang
目录
第章热力学的基本规律
第一章
第二章均匀物质的热力学性质
第三章近独立粒子的最概然分布第四章玻耳兹曼统计
第五章玻色统计和费米统计
第六章系综理论
2
J. –M. Huang
第三章近独立粒子的最概然分布§3.1 粒子运动状态的经典描述
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§3.2 粒子运动状态的量子描述
§3.3 系统微观运动状态的描述
§3.理
3.4 等概率原理
§3.5 分布和微观态
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§3.6 玻耳兹曼分布
§3.7 玻色分布和费米分布
§3.8 三种分布的关系
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J. –M. Huang
什么是统计物理?
Statistical Physics
热力学（Thermodynamics）
研究热现象和物质性质的宏观理论
究热现象和物质性质的宏论
（macroscopic theory）
微观（microscopic）
4
J. –M. Huang
”C t 定理2T η“前因后果”。Carnot R 1
1T η≤=?熵（Entropy 原因？必须深入到物质的微观结构5J. –M. Huang
（py ）
1500K
T =2300K
T =Cu p 大p 小
分子、电子间碰撞传递能量——热传导
根据物质的微观结构来研究热现象和物性。
统计物理（Statistical Physics ）微观理论
（microscopic theory ）
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J. –M. Huang
在经典物理中，单个粒子的运动遵守牛顿力学规律，若已知某个粒统计规律性
子在初始时刻的位置和速度后，求解牛顿方程可预言该粒子在任何时间的位置。
宏观体系是由大量原子和分子组成的例如在标准状况下的气体宏观体系是由大量原子和分子组成的。例如，在标准状况下的气体，每立方厘米有个分子。物体的宏观性质（压强、比热、相变等）是大量分子运动的平均结果。
192.6910×如果想根据牛顿力学来确定气体的宏观性质，就要求解个相互碰撞的分子的牛顿方程。显然，这在实际上是不能办到的，而且——1910也没有必要，因为大量粒子组成的体系出现了新的规律性统计规律性。根据这种新的规律性，就能确定宏观物体的性质。
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显示统计规律性的个例子是气体分子运动的显示统计规律性的一个例子是气体分子运动的
速率分布。按速率来统计分子数目的分布()
n n v =
分子运动
分子数目按速率的分布
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弹性碰撞公式2
v ′v n
1
v 21′v ()1121′??=+????v v v v n n
v ()2221′??=?????v v v n n
9
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5个粒子的速率分布
10 J. –M. Huang
500个粒子的速率分布
11 J. –M. Huang
2000个粒子的速率分布
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可以想象，当N 很大很大时，像在气体中那样，，速率分布
将趋向此稳定曲线，起伏非常小，称为Maxwell 分布。
1910N ～()n v 速率分布的时间平均值
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有了统计分布，就可以通过计算平均值来求得各种宏观物理量，不用知道各个分子的运动细节了。
前面的演示只是从计算机模拟看到的现象，我们自然会提出一个问题：此现象背后的物理原理是什么？如何从基本原理推导出Maxwell分布？
这是统计物理的基础，也是本门课程所要讲解的中心内容。
粒子速率分布的动态演示
10个粒子的
速率分布
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100个粒子的速率分布
500个粒子的速率分布
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500个粒子速率分布的时间平均
10个粒子速率分布的时间平均
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§3.1 粒子运动状态的经典描述
统计物理学：研究热运动的微观理论。
事实：
?宏观物质系统是由大量微观粒子组成；
?物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集中体现；
?宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。
粒子：组成宏观物质系统的基本单元，例如气体分子，金属离子或电子，辐射场的光子等等
粒子的运动状态：力学运动状态。
粒子运动状态的两种描述：
经典描述：粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述。在
。
一定的极限条件下具有意义。
量子描述：粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述。微观粒子遵从的规律。
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J. –M. Huang
粒子运动状态的经典描述：设粒子的自由度为r 。经典力学理论：粒子在任一时刻的力学运动状态由r 个广义坐标和与之共轭的r 个广义动在该时刻的数值确定粒子的能量r q q q ,,,21 量在该时刻的数值确定，粒子的能量是其广义坐标和广义动量的函数：
r p p p ,,,21 ε =如果存在外场，还是描述外场参量的函数。
相空间（为了形象地描述粒子的力学运动状态
)
,,;,,(11r r p p q q εεεμ空间）：为了形象地描述粒子的力学运动状态，用共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间。
11,,;,,r r q q p p 相空间轨迹：粒子在某一时刻的力学运动状态可以用相空间中的一点表示，称为粒子运动状态的代表点（相
空间的一个确定点严格对应于整个系统运动的一个微观态11(,,;,,)r r q q p p 空间的个确定点严格对应于整个系统运动的个微观态）。当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在相空间中移动，描画出一条相空间的运动曲线，称为相空间轨迹。
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西南大学 网络与继续教育学院 课程代码： 0132 学年学季：20182 单项选择题 1、关于物态方程的正确说法是 1. 描述热力学系统平衡态的独立参量和温度关系的方程式 2. f(P,V,T)=0是任何系统的一般表达式 3. 平常说的等压、等温过程方程 4. 物质系统状态参量所满足的方程 2、对均匀物质系统，其热力学平衡状态 1. 各种物质用一个参量描述 2. 各种物质处于力学平衡 3. 各处物理性质不同 4. 当各种物理性质呈现均匀一致时，系统达到热力学平衡 3、孤立系统自发过程进行的方向是 1. 2. 3. T<0 4. 4、热力学平衡态的性质是 1. E. 具有热动平衡的性质 2. 在平衡态下系统宏观物理量的数值没有涨落 3. 微观上看系统的性质不随时间改变
4. 是力学意义上的平衡 5、下列方程正确的是 1. B. TdS=dU+PdV 2. dF=TdS+VdP 3. TdS=dH+PdV 4. dU=TdS+VdP 6、下列哪个过程熵增加原理成立 1. F. 等压过程 2. 孤立系统自发过程 3. 等容过程 4. 等温等压自发过程 7、热力学平衡态是 1. A. 存在着热量、物质的定向运动 2. 最有序的状态 3. 最无序最混乱的状态 4. 系统整体存在宏观定向运动 8、热力学第一定律的微分形式是 1. dU=dW+dQ 2. dQ=dW+dU 3. U=W+Q 4. dW=dU+dQ 9、下列哪一个不是热力学第一定律的积分形式1.
2. 3. dU=dW+dQ 4. 10、关于热力学平衡态下列说法正确的是 1. 热力学平衡态不一定是稳定态 2. 热力学平衡态的宏观性质不随时间改变 3. 系统处于稳定态一定处于热力学平衡态 4. 系统的宏观性质不随时间变化即为热力学平衡态 11、气体做自由膨胀 1. 2. 3. 4. 12、关于内能下列说法正确的是 1. C. 内能是可加物理量 2. 内能是系统内部分子动能之和 3. 内能是物体内含的热量 4. 内能是强度量 13、三个系数之间的关系为
热力学与统计物理试题及 答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
一．选择（25分 ） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统
二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。 2.热力学基本微分方程du=（）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态平衡态具有哪些特点 2. 3.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K
参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统
热力学部分 第一章热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 幵系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律（热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡? 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力），对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：dW PdV，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝热过程中内能U是一个态函数：W U B U A 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： U B U A W Q ;微分形式：dU dQ dW 11、态函数焓H: H U pV，等压过程：H U p V，与热力学第一定律的公式一比 较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即U U（T）o
第三章统计热力学基础 返回上一页 1. 设有一个体系,由三个定位的单维简谐振子所组成,体系能量为11/2 hν,这三个振子在三个固定的位置上振动,试求体系全部的微观状态数。 2. 当热力学体系的熵函数S增加0.418 J/K时，则体系的微观状态数增加多少？用ΔΩ/Ω1表示。 3. 对于双原子分子，证明：U r=NkT U v=NkT 设基态振动能为零，≈1+x 。 4．将N2气在电弧中加热，从光谱中观察到处于第一激发态的相对分子数 N(v=1)/N(v=0)=0.26,式中ν为振动量子数N(v=0)为基态占有的分子数，N(v=1)为第一激发振动态占有的分子数，已知N2的振动频率ν= 6.99×,
(1) 计算气体温度。 (2) 计算振动能量在总能量（包括平动，转动和振动）中所占的百分数。 5．设某理想气体A,其分子的最低能级是非简并的,取分子的基态作为能量零点,相邻能级的能量为ε，其简并度为2，忽略更高能级。 （1）写出A分子的总配分函数的表达式。 （2）设ε=kT，求出相邻两能级上最概然分子数之比n1/n0。 （3）设ε=kT，试计算1 摩尔该气体的平均能量是多少？ 6．某气体的第一电子激发态比基态能量高400 kJ/mol,试计算 （1）在300 K时，第一激发态分子所占的百分数？ （2）若要使激发态的分子数占10%，则需多少温度？
7．零族元素氩（Ar）可看作理想气体，相对分子量为40，取分子的基态（设其简并度为1）作为能量零点，第一激发态（设其简并度为2）与基态能量差为ε，忽略其它高能级。 （1）写出氩分子的总的配分函数表达式。 （2）设ε=5kT，求在第一激发态上最可几分布的分子数占总分子数的百分数。（3）计算1 mol Ar气在标准状态下的统计熵值。设Ar 的核和电子的简并度均等于1。 8． Na原子气体（设为理想气体）凝聚成一表面膜 （1）若Na原子在膜内可自由运动（即二维平动），试写出此凝聚过程的摩尔平动熵变的统计表达式。 （2）若 Na原子在膜内不动，其凝聚过程的摩尔平动熵变的统计表达式又将如何？ （要用相对原子质量Ar，体积V，表面积A，温度T等表示的表达式）
§内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， ； 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)
从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) ~ (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2）H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3）F（T，V） ~
同（3）式相比 （9） （4）G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §麦氏关系的简单应用 证明 ' 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1）
第一章绪论 1. 什么是计算物理？计算物理与计算数学有何不同？ 答：计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”，计算数学则是解决物理问题的理论基础。 2. 试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。 答：优点：1.省时省钱 2.具有更大的自由度和灵活性 3.能够模拟极端条件下的实验 缺点：1、不能获得物理定律和理论公式 2、计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需实验验证 3. 试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系？计算物理在物理学研究中 主要用于什么方面？ 答： 计算物理在物理学研究中主要用于模拟实验并提供数据，用于验证理论方程还可以与实验结果对照或作为实验的参考数据。 4. 利用计算物理解决问题时，不同计算方法的选取会有什么影响？数值计算的 误差包括哪些方面？在计算中如何减小误差？ 答：不同的方法选取会影响到计算的时间长短和计算结果的正确性。数值计算的误差包括：模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差。减小误差的方式有：1.两个相近的近似数相减
时，有效数字会严重损失，实际计算时要尽量避免；2.保护重要的物理参量；3.注意计算步骤的简化，减少算术运算的次数。 5.计算物理有哪些工作步骤？ 答：1.物理机理，2.数学提法，3.离散模型，4.算法程序，5.上机计算，6.结果分析。 6. 离散化与逼近的含义是什么？收敛性与稳定性的含义。 答：离散化是为了能让计算机处理数据所做的必要步骤，逼近则是为了让结果尽量接近真值的方式。收敛性是指通过数值计算得到的近似解是否逼近数学模型的的真解这样一个性质，稳定性是指在数值计算中，误差的传播能否得到控制这样一个性质。 第二章随机数和蒙特卡洛方法 1. 随机数列的类型和产生方法？任意分布的伪随机变量的抽样方法有哪些? 答：随机数的类型有真随机数、准随机数、伪随机数，产生方法有：物理方法和数学方法。伪随机变量的抽样方法有：直接抽样法（反函数法）、变换抽样法、舍选抽样法、复合抽样法、特殊抽样法。 2. 采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取a=5，c=1，m=16和x0=1 记录下产生出的前20 数，它产生数列的周期是多少？ 答：6、31、156、781、3906、19531、97655、 3. 简要叙述蒙特卡洛方法的基本思想。 答：针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量N→∞的统计实验方法或计算机随机模拟方法。 4.蒙特卡洛方法对随机数有较高的要求，然而实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产生的伪随机数，但是，只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数放心使用。在产生伪随机数的方法中，有比较经典的冯·诺曼平方取中法和线性同余法，请分别写出它们的递推关系式？对于伪随机数一般需要做哪些统计检验（至少写出四个）？ 答：平方去中法：X n+1=[X n2/2r](mod22r) ξn=X n/22r 线性同余法：X i+1=a·X i+c (mod M) ξi+1=X i+1/M 伪随机数的统计检验：独立性检验和均匀性检验。 5.蒙特卡洛方法计算中减少方差的技术有哪些？
2016《统计物理基础》0132作业及答案1、下列系统遵循泡利不相容原理的是______ 光子系统 自由电子系统∨ 玻耳兹曼系统 2、电子是_____________ 1.玻耳兹曼粒子 2.费米子 3.玻色子 3、费米分布为____________ 1. w/(exp(a+be)+1) 2. w/(exp(a+be)-1) 3. w(exp(a+be)+1) 4. wexp(-a-be) 4、玻色分布为____________ 1. w/(exp(a+be)+1) 2. w/(exp(a+be)-1) 3. w(exp(a+be)+1) 4. wexp(-a-be) 5、玻耳兹曼分布为____________ 1. w/(exp(a+be)-1) 2. wexp(-a-be) 3. w/(exp(a+be)+1) 4. w(exp(a+be)+1) 6、热力学基本方程为dG =________ 1. TdS —PdV 2. TdS+Vd 3. -SdT-pdV 4. -SdT+Vd 7、从热力学基本方程出发,dF =_____ 1. TdS —PdV 2. TdS+Vd 3. -SdT-pdV
4. -SdT+Vd 8、从热力学基本方程出发,dH =_____ 1. TdS —PdV 2. TdS+Vdp 3. -SdT-pdV 4. -SdT+Vdp 9、热力学基本方程为dU =________ 1. TdS —PdV 2. TdS+Vd 3. -SdT-pdV 4. -SdT+Vd 10、玻尔兹蔓常数K= 1. 0 2. 8.31J 3. 1.38* 1023J/K 4. 1.38* 1023 11、照能量均分定理，刚性双原子分子理想气体的内能＝_____ 1. 0 2. 1/2kT 3. 5NkT/2 4. 2kT 12、理想气体的焦耳—汤姆孙系数u=___ 1. 1 2. 2 3. 0 4. 3 13、工作于温度为500C与10000C的两热源之间的热机或致冷机热机效率的最大值n=______ 1. 120% 2. 5 3.5% 3. 7 4.5% 4. 24% 14、根据热力学判据，对等温等压系统，平衡态系统的 _____为最小
一．简要回答下列问题 a) 等几率原理 b) 能量均分定理 c) 玻色--爱因斯坦凝聚 d) 自发对称破缺 二.设有N 个定域粒子组成的系统，粒子之间相互作用很弱，可以忽略。设粒子只有三个非简并能级，能量分别为,0,εε-，系统处于平衡态，温度为T 。求： (1） 系统的配分函数和熵S 的表达式; (2) 内能U 及热容C （T ），并求其0T T →→∞与的极限 (3) 0 ()/?dT C T T ∞ =? 三.N 个二维各向同性简谐振子组成的近独立粒子系统处于平衡态（温度为T ），假设粒子遵 从Boltzmann 分布，其能量表达式是2 22221()()22 x y m p p x y m ωε=+++，量子化的本征能级是(1)n E n ω=+，其中n=0，1，2， 。。。。。 （1） 在什么条件下简谐振子能级量子化效应可以忽略？ （2） 分别在高温和低温条件下，计算系统的内能和热容量 提示：高温条件可直接利用能量均分定理; 低温条件首先要计算系统的配分函数 四.考虑二维自由电子气体系统，其能量色散关系为()22/2p x y p p m ε=+,m 为常数，设面积为S ，总的粒子数为N (1）求零温下系统的化学势(0)μ及内能U (2）不用计算，从物理分析判断低温下定容热容量与温度的关系是什么? 为什么? 五. 铁磁固体低温下的元激发称为自旋波，它可以看作是一种粒子数不守恒的玻色型元激发，其能谱为r p αε=，其中 ||p p → =, α 和 r 均为常数。 (1) 求这种元激发的态密度)(εD ； （2） 实验发现在足够低的温度下，热容2/3~T C ，试由此确定r 。
热力学统计物理总复 习知识点
概 念 部 分 汇 总 复 习 热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参 量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相 系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平 衡，它们彼此也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）, 对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处 于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个 过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其 他影响。绝热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= V p W d d -=
10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭 也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保 持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定 律的公式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加 量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式： nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率211T T - =η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功 而不引起其他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 17、无摩擦的准静态过程是可逆过程。
装订线 北京师范大学2007 ～2008 学年第二学期期末考试试卷（A卷） 课程名称计算物理基础任课教师姓名：彭芳麟 卷面总分： 100 分考试时长： 100 分钟考试类别：闭卷□√开卷□其他□院（系）：物理专业：物理年级： 06 姓名：学号： 阅卷教师（签字）： 一.选择题(10分) (对下面语句加以判断) 1. W = [ ]; ( 对) 2. a=5, A=7, Aa=9; ( 对) 3. x=0:0.1:6; A=[x; 4*x]; B=sin(A); plot(x,B) ( 对) 4. u = 1E-4 ( 对 ) 5. syms x, y, z, a, b ( 错 ) 二.填空题(10分) 列举冒号:的各种功能. 表示取从x到y的数值，如 x = 1:5; % x = 1 2 3 4 5 还可以设置步进 x = 1:2:10; % x = 1 3 5 7 9 表示取全部行/列及其它维数 A为矩阵， 则B=A(:,2:3)表示截取A矩阵中“所有行”的“2~3”列的元素，并组成数组B。 2.程序中将长的语句分行书写时应该在分行处加上的符号是：。。。 3.在语句后面加上分号;的作用是：结束语句 4.方括号[ ]的功能有：矩阵运算
5.花括号{ }功能：用于单元阵列的赋值、定义字符串数组、引用结构数组元素 三.说明下列指令的用法与功能(10分) 1.pause ：停顿：例如：pause （0.5）； 2.sphere 画三维球体：例如sphere(0.5); 3.polar 极坐标画图：th=0:0.01:pi; polar (th,sin(th*pi).*cos(th)) 4.demo 查看示例 5.format 改变显示方式 四.简答题(20分) 1. 叙述调试程序的方法 对于很简单的程序，直接运行皆可，MATLAB 会自动检测有错误的语句。 对于和复杂的程序，可以逐句运行，看看每句执行的情况，如果有错，随时修正。 更复杂的程序，可以分块设置间断点，然后分块调试，调试一部分程序在调试下一部分程序。 2.实时动画有两种,简单叙述它们的画法. MATLAB 用图像句柄来控制图形对象。通过查看图形句柄的所包含的图形属性，并通过改变其中的函数值及线形来改变图形。 五.程序题(20分) 1. 已知 24210.2;( 1.6 1.6)2y x x x +-=-≤≤,这是一个隐函数, a) 用隐函数作图指令可以直接画它图形,请写出相应的语句。 ezplot('y^2+0.5*x^4-x^2=0.2',[-1.6,1.6]) b) 如果不用这种指令作图，则很烦琐，为了对比，请再编一个程序画图，不得用隐函数作图的指令。 y=solve('y^2+0.5*x^4-x^2-0.2','y')； 解出y 关于x 的函数在用x=-1.6:0.1:1.6； 在求出y ；plot （x ，y ）； 2. 高斯—勒让德积分公式是 11 1()()N n n n f x dx w f x =-=∑?，取N=3， 1321321/20.774597;00.555556;0.88888935()2 2x x x w w w f x x =-=====??=+ ??? 编出计算程序，要求不得用for 循环语句 。 f=@(x)(1.5*x+2.5).^0.5; w1=0.555556;w3=w1;w2=0.888889;
热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此 也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状 态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝 热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造， 只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公 式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率 211T T -=η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其 他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 V p W d d -=
第二章 习题 （1） 采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取5a =，1c =，16m =和 01x =.记录下产生出的前20数，它产生数列的周期是多少？ （2） 取137a =，187c =，256m =和01x =，用线性同余法产生出三维数组 {}12,,n n n ξξξ++和二维数组{}1,n n ξξ+，然后分别绘出其三维和二维分布图形。 （3） 用“投针法”计算出圆周率的数值，画出程序流程框图，并编写程序。 （4） 已知电子在物质中的作用截面电子对光电总σσσσ++=com pton ，试写出电子在物质 层中相互作用的抽样程序框图和程序。 （5） 编写一个程序按照ξληln 1 --=产生随机数序列{}i η，并绘图表明其分布满足分布 密度函数 ???>>=-其它, 00,0,)(λλλx e x f x 。 （6） τ轻子的平均寿命为s 13104.3-?，试写出N 个τ轻子在实验室系中以速度v 运动 的飞行距离的抽样程序框图和程序。 （7） 写出各向同性分布的角度 ?θ, 抽样程序（?θθd d d sin =Ω）。 （8） 如分布密度函数为n y x x e n y x f -=),(，（其中，n y x ,0,1≥≥为整数），试写出抽样程序框图和程序。 （9） 证明Breit-Wigner 分布 220)(1)(Γ +-Γ=x x x f π 可以通过0()i i x x cot πξ=-Γ抽样得到 。 （10） 归一化黑体辐射频谱为 )()1 (15 )(4 4T k h x dx e x dx x f x νπ=-=其中 证明如下抽样步骤得到的抽样分布满足上面的分布，求出它的抽样效率。 抽样步骤：让L 等于满足下面不等式的整数l 的最小值， 4 141 190l j j ξπ=≥∑ 然后置)ln(1 5432ξξξξL x - =，其中i ξ为 [0，1] 区间均匀分布的伪随机数。
热力学与统计物理 1、 下列关于状态函数的定义正确的就是( )。 A .系统的吉布斯函数就是:pV TS U G +-= B .系统的自由能就是:TS U F += C .系统的焓就是:pV U H -= D .系统的熵函数就是:T Q S = 2、 以T 、p 为独立变量,特征函数为( )。 A 、内能; B 、焓; C 、自由能; D 、吉布斯函数。 3、 下列说法中正确的就是( )。 A .不可能把热量从高温物体传给低温物体而不引起其她变化; B .功不可能全部转化为热而不引起其她变化; C .不可能制造一部机器,在循环过程中把一重物升高而同时使一热库冷却; D .可以从一热源吸收热量使它全部变成有用的功而不产生其她影响。 4、 要使一般气体满足经典极限条件,下面措施可行的就是( )。 A 、减小气体分子数密度; B 、降低温度; C 、选用分子质量小的气体分子; D 、减小分子之间的距离。 5、 下列说法中正确的就是( )。 A.由费米子组成的费米系统,粒子分布不受泡利不相容原理约束; B.由玻色子组成的玻色系统,粒子分布遵从泡利不相容原理; C.系统宏观物理量就是相应微观量的统计平均值; D.系统各个可能的微观运动状态出现的概率就是不相等的。 6、 正则分布就是具有确定的( )的系统的分布函数。 A.内能、体积、温度; B.体积、粒子数、温度; C.内能、体积、粒子数; D.以上都不对。 二、填空题(共20分,每空2分) 1、 对于理想气体,在温度不变时,内能随体积的变化关系为=??? ????T V U 。 2、 在S 、V 不变的情形下,稳定平衡态的U 。
第五题 /*计算物理作业 3.5题 *学号：20092200129 */ 程序： public class sun { public static void main(String argv[]){ double del=1e-6; int n=10,m=10; double h=Math.PI/(2*n); //Evaluate the derivative and output the result int k=0; for(int i=0;i<=n;++i){ double x=h*i; double d=(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h); double f2=firstOrderDerivative3(x,h,d,del,k,m); double df2=f2-O(x,f2); System.out.println("x="+x);
System.out.println(" f＂(x)="+f2); System.out.println("Error in f＂(x):"+df2); System.out.println(); System.out.println(); } } //Method to carry out 2st-order derivative throuth the adaptive scheme. public static double firstOrderDerivative3(double x,double h,double d,double del,int step,int maxstep){ step++; h=h/2; double d2=(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h); if(step>=maxstep){ System.out.println("Not converged after"+step+"recursions"); return d2; } else{ if((h*h*Math.abs(d-d2)) .填空题 1.设一多元复相系有个「相，每相有个k组元，组元之间不起化学反应。此系统平 衡时必同时满足条件：________ 、________ 、__________ 。 2.热力学第三定律的两种表述分别叫做：________ 和______ 。 3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能 的微观态数为：_______ 。 5.均匀系的平衡条件是_______ ;平衡稳定性条件是_______ 。 7.玻色分布表为___ ；费米分布表为______ ;玻耳兹曼分布表为______ 。当满足条 件________ .时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。 8.热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系 为________ ,_________ ,__________ ,_________ 。 9?玻耳兹曼系统粒子配分函数用乙表示，内能统计表达式为____________ ，广义力统计表达式为________ ，熵的统计表达式为________ ，自由能的统计表达式 为________ 。 11.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分 ^是：_____ ， ___ ，_____ ，_____。 12?均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方 程：________ ，________ ，________，_______ 。 13.等温等压条件下系统中发生的自发过程，总是朝着_________ 方向进行，当_______ 时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝 着____ ， ____ 方向进行，当________ 时，系统达到平衡态。 14.对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动 对热容量_______ ;温度大大于振动特征温度时，热容量为__________ ;温度小小于转动特征温度时，热容量为__________ 。温度大大于转动特征温度而小小于振动特征温度时，热容量为__________ 。 15.玻耳兹曼系统的特点是：系统由______ 粒子组成；粒子运动状态用_______ 来描写; 确定______ 即可确定系统的微观态；粒子所处的状态_________ 的约束。 简述题 1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 第一章 概念 1.系统：孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 2.平衡态 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义: 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值 定容热容量: 定压热容量: 6.循环过程和卡诺循环 循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 8.自由能：F和G 定义态函数：自由能F，F＝U－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1 计算物理学常用方法与应用 计算物理学（Computational Physics）是物理学、数学、计算机科学三者结合的产物，与理论物理和实验物理有着密切的关系。定义为以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂的物理现象问题的一门应用型学科。计算物理学诞生于20世纪40年代,第二次世界大战时期，美国在研制核武器的工作中,迫切需要解决在瞬时间内发生的复杂的物理过程的数值计算问题。然而，采用传统的解析方法求解或手工数值计算是根本办不到的。这样，计算机在物理学研究中的应用就成为不可避免的事了，计算物理学因此得以产生。 其性质与任务从原则上说，凡是局部瞬时的物理规律为已知或已被假设，那么要想得到大范围长时间的物理现象的发展过程都可以借助于计算机这一先进工具来实现。具体地说，从局部关系联合成大范围关系依赖于计算机的大存贮量，由瞬时规律发展为长时过程依赖于计算机的高速度。因此在大存贮和快速度的基础上，计算机便能对物理过程起到一种数值模拟的作用。 计算物理常用软件有Matlab,Mathematica和Maple等。 计算物理学常用的方法很多，如何将计算物理的方法分类也比较复杂。比如有按照研究对象的时间和空间尺度划分；按照使用目的(检验理论、处理实验结果、对理论和实验进行模拟)划分；按照所属的物理学分支学科划分等等。 本文将介绍几种常用的方法及应用。如实第一性原理、分子动力学、验数据处理、蒙特卡罗、实验数据处理、有限元、神经网络等方法。 1.第一性原理（First-Principles）方法： 根据原子核和电子互相作用的原理及其基本运动规律，运用量子力学原理，从具体要求出发，经过一些近似处理后直接求解薛定谔方程的算法，习惯上称为第一原理。第一性原理就是从头计算，不需要任何参数，只需要一些基本的物理常量，就可以得到体系基态的基本性质的原理。第一性原理通常是跟计算联系在一起的，是指在进行计算的时候除了告诉程序你所使用的原子和他们的位置外，没有其他的实验的，经验的或者半经验的参量，且具有很好的移植性。作为评价事物的依据，第一性原理和经验参数是两个极端。第一性原理是某些硬性规定或 1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT < §2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 ?焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4) 从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2）H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3）F（T，V） 同（3）式相比 （9） （4）G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。热力学统计物理试题
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