高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析

高一数学必修一 集合与函数的概念单元测试 附

答案解析

令狐采学

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设集合M ＝{x|x2＋2x ＝0，x∈R}，N ＝{x|x2－2x ＝0，x∈R}，则M∪N＝( )

A ．{0}

B ．{0,2}

C ．{－2,0}

D ．{－2,0,2}

2．设f ：x→|x|是集合A 到集合B 的映射，若A ＝{－2,0,2}，则A∩B＝( )

A ．{0}

B ．{2}

C ．{0,2}

D ．{－2,0}

3．f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是( )

A ．(3，－2)

B ．(3,2)

C ．(－3，－2)

D ．(2，－3)

4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )

A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

5．若函数f(x)满足f(3x ＋2)＝9x ＋8，则f(x)的解析式是( )

A ．f(x)＝9x ＋8

B ．f(x)＝3x ＋2

C ．f(x)＝－3x －4

D ．f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －4

6．设f(x)＝????? x ＋3 x>10，f x ＋5x≤10，则f(5)的值为( )

A ．16

B ．18

C ．21

D ．24

7．设T ＝{(x ，y)|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y)|x －y －b ＝0}，若S∩T＝{(2,1)}，则a ，b 的值为( )

A ．a ＝1，b ＝－1

B ．a ＝－1，b ＝1

C ．a ＝1，b ＝1

D ．a ＝－1，b ＝－1 8．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )

A ．(－1,1) B.? ?????－1，－12C ．(－1,0)

D.? ?????12，1

9．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f(0)>f(1)的映射有( )

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

10．定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则当n∈N*时，有

( )

A ．f(－n)

B ．f(n －1)

C ．f(n ＋1)

D ．f(n ＋1)

11．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，下列说法：

①f(0)＝0； ②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值为－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值为1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x ，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确说法的个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

12．f(x)满足对任意的实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)

＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2014f 2013

＝( )

A ．1006

B ．2014

C ．2012

D ．1007

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．函数y ＝x ＋1x

的定义域为________． 14．f(x)＝????? x2＋1 x≤0，－2x x>0，若f(x)＝10，则x ＝________.

15．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a ，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.

16．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x|2≤x≤8}，B ＝{x|1a}，U ＝R.

(1)求A∪B，(?UA)∩B；

(2)若A∩C≠?，求a 的取值范围．

18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝1＋x21－x2

. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性；

(3)求证：f ? ??

???1x ＋f(x)＝0.

19．(本小题满分12分)已知y ＝f(x)是定义在R 上的偶函数，

当x≥0时，f(x)＝x2－2x.

(1)求当x<0时，f(x)的解析式；

(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋1

， (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．

(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f ? ??

???x y ＝f(x)－f(y)；

(2)若f(3)＝1，且f(a)>f(a －1)＋2，求a 的取值范围．

22．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：

(1)对(x ，y)的对应点，并确定y 与x 的一个函数关系式．

(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系，写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？

1.解析 M ＝{x|x(x ＋2)＝0.，x∈R}＝{0，－2}，N ＝{x|x(x －2)＝0，x∈R}＝{0,2}，所以M∪N＝{－2,0,2}．答案 D

2.解析 依题意，得B ＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}．答案 C

3.解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)．

又f(－3)＝2，∴f(3)＝－2，∴点(3，－2)在函数f(x)的图象上．答案 A

4.解析 逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案 C

5.解析 ∵f(3x＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2，∴f(x)＝3x ＋2.答案 B

6.解析 f(5)＝f(5＋5)＝f(10)＝f(15)＝15＋3＝18.答案 B

7.解析

依题意可得方程组????? 2a ＋1－3＝0，2－1－b ＝0，?????? a ＝1，b ＝1.答案 C

8.解析 由－1<2x ＋1<0，解得－1

，故函数f(2x ＋1)的定义域为? ?????－1，－12.答案 B

9.解析 当f(0)＝1时，f(1)的值为0或－1都能满足f(0)>f(1)；当f(0)＝0时，只有f(1)＝－1满足f(0)>f(1)；当f(0)＝－1时，没有f(1)的值满足f(0)>f(1)，故有3个．答案 A

10.解析 由题设知，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)为偶函数，

∴f(x)在[0，＋∞)上为减函数．

∴f(n＋1)

又f(－n)＝f(n)，

∴f(n＋1)

11.解析 ①f(0)＝0正确；②也正确；③不正确，奇函数在对称

区间上具有相同的单调性；④正确．答案 C

12.解析 因为对任意的实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)

＝2，由f(2)＝f(1)·f(1)，得f(2)f(1)

＝f(1)＝2， 由f(4)＝f(3)·f(1)，得f(4)f(3)

＝f(1)＝2， ……

由f(2014)＝f(2013)·f(1)，

得f(2014)f(2013)

＝f(1)＝2， ∴f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋f(6)f(5)＋…＋f(2014)f(2013)

＝1007×2＝2014. 答案 B

13.解析

由????? x ＋1≥1，x≠0得函数的定义域为{x|x≥－1，且

x≠0}．

答案 {x|x≥－1，且x≠0}

14.解析 当x≤0时，x2＋1＝10，∴x2＝9，∴x＝－3.

当x>0时，－2x ＝10，x ＝－5(不合题意，舍去)．

∴x＝－3.

答案 －3

15.解析 f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)＝bx2＋(2a ＋ab)x ＋2a2为偶函数，则2a ＋ab ＝0，∴a＝0，或b ＝－2.

又f(x)的值域为(－∞，4]，∴a≠0，b ＝－2，∴2a2＝4. ∴f(x)＝－2x2＋4.

答案 －2x2＋4

16.解析 设一次函数

y ＝ax ＋b(a≠0)，把????? x ＝800，y ＝1000， 和????? x ＝700，y ＝2000，代入求得?????

a ＝－10，

b ＝9000. ∴y＝－10x ＋9000，于是当y ＝400时，x ＝860.

答案 860

17.解 (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1

＝{x|1

?UA ＝{x|x<2，或x>8}．

∴(?UA)∩B＝{x|1

(2)∵A∩C≠?，∴a<8.

18.解 (1)由解析式知，函数应满足1－x2≠0，即

x≠±1.

∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1}．

(2)由(1)知定义域关于原点对称，

f(－x)＝1＋(－x)2

1－(－x)2＝1＋x2

1－x2＝f(x)．

∴f(x)为偶函数．

(3)证明：∵f ? ?????

1x ＝1＋?

????

?1x 21－? ??

???1x 2＝x2＋1x2－1

，

f(x)＝1＋x2

1－x2，

∴f ? ????

?1x ＋f(x)＝x2＋1x2－1＋1＋x2

1－x2

＝x2＋1x2－1－x2＋1x2－1

＝0. 19.解 (1)当x<0时，－x>0，

∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.

又f(x)是定义在R 上的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)．

∴当x<0时，f(x)＝x2＋2x.

(2)由(1)知，f(x)＝?????

x2－2x(x≥0)，x2＋2x(x<0). 作出f(x)的图象如图所示：

由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，－1]，[0,1]．

f(x)的递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)．

20.解 (1)函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：

任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1

f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2(x1＋1)(x2＋1)

， ∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，最大值f(4)＝95

，最小值f(1)＝32

. 21.解 (1)证明：∵f(x)＝f ? ?????x y ·y ＝f ? ??

???x y ＋f(y)，(y≠0)

∴f ? ??

???x y ＝f(x)－f(y)．

(2)∵f(3)＝1，∴f(9)＝f(3·3)＝f(3)＋f(3)＝2.

∴f(a)>f(a－1)＋2＝f(a －1)＋f(9)＝f[9(a －1)]．

又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，

∴??? a>0，a －1>0，

a>9(a －1)，∴1

. 22.解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．

设它们共线于直线y ＝kx ＋b ，则

????? 50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15，??????

k ＝－3，b ＝150. ∴y＝－3x ＋150(0≤x≤50，且x∈N*)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上．

∴所求函数解析式为y ＝－3x ＋150(0≤x≤50，且x∈N*)．

(2)依题意P ＝y(x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300.

∴当x ＝40时，P 有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．