SHANDONGＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
毕业论文矩阵理论在数字图像处理中的应用
学院：理学院
专业：数学与应用数学（师范类）学生姓名：刘小慧
学号： 1112124027 指导教师：曹永林
2015年6月
摘要
矩阵作为研究数学问题的一项基础工具，有着自身特有的性质和运算方法，它不仅可以对不同的问题进行针对性简化，还可以快速看到问题的本质并加以解
m 决。计算机对图像进行处理和显示的基础是数字图像，而数字图像的本质是n （每行m个像素，总共n行）的矩阵。从而，便可以通过像素矩阵把图像处理归结到矩阵分析的方法中来,利用分析矩阵的方式来对图像进行相应的处理,实现图像处理与矩阵分析的融合。
首先，本文介绍了数字图像处理的目的、意义以及在社会生活和科学研究中各方面的应用，其主要涉及航天和航空技术、生物医学、军事公安等方面。在第二章重点介绍了由连续图像获取数字图像的方法，该方法主要包括采样和量化两个过程。在数字图像的基础上，本文主要实现了以下几个处理：（1）利用图像的滤波理论，实现图像去噪，改善图像的质量；（2）利用矩阵的初等变换理论，实现了图像的几何变换，主要包括平移变换、旋转变换和镜像变换；（3）先从集合角度介绍了形态学的基本运算，又结合其几何意义加以深化理解。
此外，本文重点探讨了矩阵的非负分解理论，分解矩阵的目的是从图像中提取有效信息。通过对几种矩阵分解方法的比较，最终发现，基于最小二乘法的非负矩阵分解法的分解结果更具有实用性。最后，本文将非负矩阵分解理论应用到人脸识别技术处理中，通过与主成分分析法比较发现，非负矩阵分解法因有了非负控制，其对人脸特征的提取更具有直观意义上的部分合成整体的效果，物理意义也更加明显。
矩阵的出现不但简化了方程求解的过程，而且对现实生活也有理论指导意义。通过矩阵理论，我们可以满足计算机处理图像的要求，实现对数字图像的变换和处理，使人脸识别技术原理更直观。同时，通过这些理论让我们更清楚的知道，科学理论是科学实践的基础，数学作为一门基础学科，为其他应用科学提供了坚实的理论基础。
关键字：矩阵理论，数字图像，非负矩阵分解，人脸识别
Abstract
As a basic tool to study mathematics problem, matrix has its own unique properties and operation method. Not only can it simplify the different problems, but also can see the nature of the problem to solve it quickly. The basic of Computer’ s processing and displaying to the image is digital image, and the essence of digital image is a matrix of m * n (M pixels per line, a total of N matrix). Thus, we could attributed the processing of the image to matrix analysis through pixel matrix, and processing image by the way of analysis matrix, approach to the fusion beteen image and matrix.
Firstly, this paper introduces the objective and significance of the digital image processing, and the application in all aspects of social life and scientific research also, which mainly relates to the aerospace and aviation technology, bio-medicine, military and other aspects of public security. In the second chapter it mainly introduces the method of acquiring digital images from continuous image, which include two processes: sampling and quantification. This paper, on the base of digital image processing, mainly carry out the following: (1) using image filter theory, realized image remove-noising, improved the image quality; (2) using the theory of elementary transformation of matrix, realized image geometric transformation, including translation, rotation, mirroring; (3) introduces the basic morphological operations in the sight of the set, then, combined with the geometric significance to resolve depth.
Then, this paper focuses on the non-negative matrix factorization theory, which to bring effective information from the image. Through the comparison of several matrix decomposition methods, find out in the end that the result of the non-negative matrix factorization that based on the least square method is more practical.Finally, the non-negative matrix factorization theory is applied into the face recognition technology, and through the comparison with principal component analysis method, we could find out that non-negative matrix factorization method is more intuitive for the extraction of human facial features and more obvious in physical meaning.
The matrix not only simplifies the process of solving equations, but also has theoretical significance on the real life. Through matrix theory, we can meet the requirement of image processing in computer, and realize the transformation and processing to digital image,make the principle of face recognition technology more intuitive. At the same time, through these theories, we know more clearly that the scientific theory is the foundation of scientific practice. As a basic subject, mathematics can provide a solid theoretical basis for other applied sciences.
Key words:matrix theory, digital image, non-negative matrix factorization, face recognition
目录
摘要.............................................................. I 摘要 ............................................................................................................................................... I Abstract........................................................................................................................................... II 目录............................................................................................................................................ III 第一章概述.......................................................................................................................... - 1 -
1.1 数字图像的基本概念 ............................................................................................... - 1 -
1.1.1 图像及数字图像 ........................................................................................... - 1 -
1.1.2 数字图像处理................................................................................................ - 1 -
1.1.3 数字图像处理的目的................................................................................... - 2 -
1.1.4 数字图像处理的主要内容........................................................................... - 2 -
1.2 数字图像处理的应用及发展 .................................................................................. - 3 -
1.2.1 数字图像处理技术的应用........................................................................... - 3 -
1.2.2 数字图像处理技术的发展........................................................................... - 4 - 第二章图像数字化.................................................................................................................. - 5 -
2.1 连续图像的数学描述 ............................................................................................... - 5 -
2.2 图像的数字化过程 ................................................................................................... - 6 -
2.3 数字图像类型............................................................................................................ - 8 -
2.3.1 灰度图像........................................................................................................ - 8 -
2.3.2 二值图像........................................................................................................ - 8 -
2.3.3 彩色图像........................................................................................................ - 8 - 第三章几种简单的数字图像处理 ........................................................................................ - 9 -
3.1 均值滤波 .................................................................................................................... - 9 -
3.1.1 图像噪声........................................................................................................ - 9 -
3.1.2 均值滤波的原理 ........................................................................................... - 9 -
3.1.3 均值滤波方法.............................................................................................. - 10 -
N 均值滤波 ....................................................................................... - 12 -
3.1.4 N
3.1.5 均值滤波数值实验 ..................................................................................... - 12 -
3.2 中值滤波 .................................................................................................................. - 12 -
3.2.1 一维中值滤波.............................................................................................. - 13 -
3.2.2 二维中值滤波.............................................................................................. - 14 -
3.2.3 中值滤波数值实验 ..................................................................................... - 15 -
3.3 形态学变换............................................................................................................ - 15 -
3.3.1数学形态学概述........................................................................................... - 15 -
3.3.2二值形态学................................................................................................... - 17 -
3.4 图像的位置变换...................................................................................................... - 20 -
3.4.1 平移变换...................................................................................................... - 20 -
3.4.2 旋转变换...................................................................................................... - 22 -
3.4.3 镜像变换.................................................................................................... - 25 - 第四章非负矩阵分解 ........................................................................................................... - 28 -
4.1 非负约束的物理意义 ............................................................................................. - 28 -
4.2 非负矩阵分解算法 ................................................................................................. - 29 -
4.2.1 标准非负矩阵分解（标准NMF）............................................................. - 29 -
4.2.2 基于最小二乘法的非负矩阵分解算法.................................................... - 31 - 第五章人脸识别及其方法................................................................................................. - 33 -
5.1 人脸识别技术的研究背景..................................................................................... - 33 -
5.2 人脸特征图像的提取 ............................................................................................. - 35 -
5.2.1 非负矩阵分解法 ......................................................................................... - 35 -
5.2.2 数值实验...................................................................................................... - 36 - 第六章结论........................................................................................................................ - 38 - 附录....................................................................................................................................... - 39 - 参考文献................................................................................................................................... - 43 - 致谢....................................................................................................................................... - 44 -
第一章概述
21世纪是一个充满信息的时代，而“百闻不如一见”、“一图值千字”等俗语都充分说明着同一个事实：图像等视觉信息是人类获取信息的重要渠道。图像是人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息、表达信息和传递信息的重要手段。有研究表明，在人类接受的信息中，图像等视觉信息占获取信息总量的75%--85%。同时，随着计算机技术及网络技术的发展，几乎所有的信息都可以以数字的形式呈现在人们眼前。因此，学习和研究数字图像处理技术是时代的迫切要求。
本章主要介绍有关数字图像处理技术的基本概念、特点、数字图像处理系统的构成、主要研究内容以及其应用领域。
1.1 数字图像的基本概念
随着人类社会的进步和科学技术的发展，人们对信息处理和信息交流的要求逐渐提高。图像信息含有丰富的信息量，并且具有直观、形象、易懂等优点，因此，它是人类日常生活中接触最多的信息种类之一。
1.1.1 图像及数字图像
什么是“图像”？“图”是物体透射或反射光的分布，它是客观存在的。“像”是人的视觉系统对图在大脑中形成的印象或认识，是人的感觉。图像（image）是图和像的有机结合，是客观世界能量和状态以可视化形式在二位平面上的投影，是其所表示物体的信息的一个浓缩和高度概括，既反映物体的客观存在，又体现人的心理因素；是客观对象的一种可视表示，它包含了被描述对象的有关信息。
根据图像空间坐标和幅度（亮度或色彩）的连续性可分为模拟（连续）图像和数字图像。模拟图像是空间坐标和幅度都连续变化的图像，而数字图像是空间坐标和幅度均用离散的数字（一般是整数）表示的图像。本文主要研究数字图像。数字图像是物体的一个数字表示，以数字格式存放，它是目前社会生活中最常见的一种信息媒体，传递着物理世界实物状态的信息。
1.1.2 数字图像处理
实质上，数字化后的图像可以看成是存储在计算机中的有序数据，当然可以通过计算机对数字图像进行处理。利用计算机对图像进行去除噪声、图像增强、复原、分割、压缩和提取特征等理论、方法和技术被称为数字图像处理。从处理技术角度讲，数字图像处理可以理解为以下两方面的操作：
（1）从图像到图像的处理这一类处理是指将一幅效果不好的图像进行处理，得到一幅效果比较好的图像的过程。比如，在大雾天气下用相机拍摄某一建筑物，由于在空气中悬浮着许多微小的水颗粒，这些水颗粒在光的散射下，会使景物与镜头（或人眼）之间形成一个半透明层，使得画面的能见度很低，一些细节特征看不见。为了提高画面的清晰度，我们可以采用适当
的图像处理方法，消除或者减弱大雾层对图像的影响，从而得到一幅清晰的图像。
（2）这一类处理通常又称为数字图像分析。通常是对一幅图像中的若干个目标物进行识别分类以后，给出其特性测度。例如，在一幅图像中某拍摄记录下来包含几个苹果和几个梨等水果的画面，经过对图像的处理与分析之后，可以分检出各种水果的个数及大小等信息。这种从图像到非图像的表示，在许多图像分析中起着非常重要的作用，例如，在医学或生物研究中，对人体组织切片图像中的细胞分布进行自动识别与分析，给出病例分析报告，就是一个在计算机辅助诊断系统中的重要应用。这一类方法在图像检测、图像测量等领域有着非常广泛的应用。
1.1.3 数字图像处理的目的
1.提高图像的视觉质量，达到赏心悦目的目的。如除去图像中的噪声，改变图像的亮度和颜色，增强或抑制图像中的某些成分，对图像进行几何变换等，以便达到真实、清晰、丰富多彩或是其他意想不到的艺术效果。
2.提取图像中所包含的某些特征或特殊信息，以便于计算机分析。如用作模式识别、人脸识别、计算机的视觉的预处理等。
3.为便于图像的存储和传输，对图像数据进行变换、编码和压缩。
1.1.4 数字图像处理的主要内容
根据主要的处理流程与处理目标，数字图像处理的主要研究内容大致可以分为以下几个方面：
（1）图像数字化
图像数字化的目的是将一幅图像以数字的形式进行表示，并且要做到既不失真又便于计算机进行处理。换句话说就是图像数字化要达到以最小的数据量来不失真地描述图像信息。图像数字化采样和量化。
（2）图像增强
图像增强的目的是将一幅图像中有用的信息（即很感兴趣的信息）进行增强，同时将无用的信息（即干扰信息或者噪声）进行抑制，提高图像的可观察性。
（3）图像几何变换
图像几何变换的目的是改变一幅图像的大小和形状。如通过平移、旋转、缩小、放大、镜像等，可以进行两幅以上图像内容的配准，以便于进行图像之间内容的对比检测。在印章的真伪识别以及相似的商标检测中，一般都会采用这类的处理。另外，对于图像中景物的几何畸变进行校正、对图像中的目标物大小测量等，大多也需要图像集合变换的处理环节。
(4)图像变换
图像变换是指通过一种数学映射的办法，将空域中的图像信息转换到如频域、时频域等空间上进行分析的数学手段。最常采用的变换有傅里叶变换、小波变换等。通过二维傅里叶变换可以进行图像的频率特性分析。通过
小波变换，则可以将图像进行多段分解，通过不同频段的不同处理，就能达到满意的效果。
（5）图像分析
图像分析是指通过图像中各种不同的物体特征进行量化描述之后，将所期望获得的目标进行一定的定量分析。要达到这个目的，实际上就是要实现对图像内容的理解，达到对特定目标的识别。所以，其核心是要完成依据目标物的特征对图像进行区域分割，获得期望目标所在的局部区域。
1.2 数字图像处理的应用及发展
图像是人类获取和交换信息的主要来源，所以图像处理的应用领域必然涉及到人类生活、工作以及学习的方方面面。随着计算机技术和半导体技术的发展，数字图像处理技术将更加迅速地向广度和深度发展。
1.2.1 数字图像处理技术的应用
（1）航天和航空技术方面的应用
航空遥感和卫星遥感图像需要用数字技术进行加工处理，并且提取有效的有用信息。其主要用于地形地质勘查，矿藏探查，森林、海洋、水利、农业等资源调查，自然灾害预测预报，环境污染监测，气象卫星云图处理及地面军事目标的识别和判定。在航空遥感和卫星遥感技术中，很多的国家每天都会派出很多侦察机对地球上比较感兴趣的地区进行大量的空中摄影，对由此得来的照片处理分析，这在以前需要雇佣几千人，而现在改用装配有高级计算机的图像处理系统来判别分析，既节省了人力，又加快了速度，还可以从照片中提取到人工所不能找到的大量有用情报。
（2）生物医学方面的应用
图像处理在医学的应用非常广泛，无论是在临床诊断还是病例研究都需要大量的采用图像处理技术。无创伤、直观、安全方便的优点受到普遍的欢迎与接受。其应用主要有X射线照片的技术分析、血球计数和染色体的分类等。目前广泛应用于临床诊断和治疗的各种成像技术，例如，超声波诊断等。有人认为计算机图像处理在医学上应用最成功的例子就是X射线CT（X-ray Computed Tomography）。1968—1972年英国的EMI公司的Hounsfeld研制了头部CT，1975年又研制了全身的CT。其主要研制者也因此获得了1979年的诺贝尔生理学奖。类似的设备目前还有很多种，例如，核磁共振CT，电阻抗断层图像，阻抗成像等。
（3）军事、公安方面的应用
在军事方面图像处理和识别主要用于导弹的精确制导，以及其他各种侦察照片的判读，具有图像传输、存储以及显示的军事自动化指挥系统，飞机、坦克以及交通监控、事故的分析等。目前已经投入运营的高速公路的不停车自动收费系统中的车辆和车牌的自动识别都是图像处理技术成功的比较合理的应用例子。
（4）其他
在当前发展迅速的电子商务中，图像处理技术也有很大的可用空间，例如，身份认证、水印技术以及产品防伪等。另外，图像处理和图形学紧密结合，已经
成了科学研究很多领域新型的研究工具。
总而言之，图像处理技术应用领域十分的广泛，已经在国家安全、社会经济发展、日常学习生活中发挥越来越重要的作用，对国民生计的作用不可估量。
1.2.2 数字图像处理技术的发展
总体上讲，数字图像处理技术的发展大体经历了以下4个阶段：初创期、发展期、普及期以及实用期。初创期开始于20世纪60年代，当时的图像采用像素型光栅进行扫面然后显示出来，大多采用中、大型机器对其进行处理。在这一时期，因为图像存储成本太高，处理设备造价也很高，所以起其应用面很窄。20世纪70年代进入了发展期，开始大量采用中、小型机进行出处理，图像处理也渐渐的改用光栅扫描显示方式，特别是出现了CT和卫星遥感图像，对图像处理技术的发展起到了非常好的促进作用。到了20世纪80年代，图像处理技术进入了普及期，这个时候的微机已经能够担当得起图形图像的处理任务了。VLSI的出现使得处理速度大大提高，而造价却在一步一步降低，这些好处都大大的促进了图形图像系统的普及和应用。到了20世纪90 年代的图像技术实用化时期，图像处理的信息量已经非常大，对处理速度的要求也变得非常的高。
21世纪的图像处理技术要向高质量化方面发展，其主要体现在以下几个方面：
（1）高分辨率、高速度。图像处理技术发展的最终目标是要实现图像的实时处理，移动目标的生成、识别和跟踪。
（2）立体化。立体化包括的信息最为完整和丰富多彩，在未来，采用数字全息技术将有利于达到这个目的。
（3）智能化。其目的是实现图像的智能生成、识别、处理和理解。
第二章图像数字化
数字图像是用一个数字阵列来表示的图像，因此，从数学模型上来说，数字
图像可以用矩阵来描述。它是连续世界的客观描述，是模拟图像经过采样、量化
后的数字结果。数字图像处理的内容十分丰富，涉及的知识和相关领域也非常广
泛。本章主要介绍图像的数字化原理及数字图像的分类。
2.1 连续图像的数学描述
人眼所看到的空间某位置上的景物，是由于光线照射在景物上并经反射或者
投射作用，映入人的眼睛而形成的图像。因此，一幅图像可以被视为空间各点光
照强度的集合。
对于一幅二维图像而言，我们可以简单地把光照强度I视为一个连续函数，
它随物体的空间坐标）
x,、光线的波长λ和时间t的变化而变化，其表达式为：
（y
,
,
=（2-1）
,λ
I,
z
）
（t
y
x
F
式中，I表示图像的光照强度或亮度；x，y，z表示空间坐标；λ，t分别是指
光的波长和时间。
由于图像记录的是“物体（图像源）辐射能量的空间分布”，所以0
I。图
≥
像的函数还有其他几种表示形式：
（1）如果只考虑光的能量而不考虑其波长，那么图像在视觉上就表现为灰
色影像，即灰度图像，也叫单色图像，其函数表达式为
I,
,
）
F
= (2-2)
x
（t
y
它对应着一种平面、单色、活动的2—D图像，灰度监控就是这种函数的一
个典型例子。
（2）如果限定图像是二维的，并且考虑光照波长和时间，那么其函数表达
式为
I,
,
,λ
= (2-3)
x
）
F
（t
y
这是一种平面、彩色、活动的4—D图像，我们经常看到的彩色视频就可以
以这种函数来表示。
（3）如果限定图像是二维的，考虑光照波长而不考虑时间，那么其函数表
达式为
F
I= (2-4)
x
,y
）
（λ,
它表示的是平面、彩色、静止的3—D图像，这种图像在日常生活中也很常见，如彩色照片。
（4）如果单是一个二维的图像，不考虑光照波长和时间，易知其函数表达式为
=(2-5)
F
I,
x
（y
）
这是最简单的一种图像，在彩色照片之前，上个世纪的照片就是这种灰度图片。
（5）若把所有的变量考虑在内，即
,
,
,λ
=(2-6)
I,
F
（t
）
z
x
y
这便是一种立体、彩色、活动的5—D图像，我们在电影院看的3—D电影即为这类图像。
理论上，静止的彩色图像可以表示为式（2-4）的形式，由于彩色图像可以分为红（R）、绿（G）、蓝（B）三基色，因此，对于彩色图像而言，图像函数可以用R、G、B三个通道的值表示：
{}),(
f
y
y
f
=（2-7）
I
x
x
(
,
),
),
,
x
(y
f
r
b
g
可见，灰度图像的有关理论和方法是开展彩色图像处理工作的基础。
2.2 图像的数字化过程
任何一幅连续的图像，它的二维坐标x和y都是连续的，但是这种连续的图
像不便于计算机的存储和处理。为了实现计算机对图像的处理，一般需要对连续的图像进行数字化，即要把连续图像函数)
f进行空间和幅值的离散化处理。
x
(y
,
数字化过程主要包括采样和量化两个步骤。
对一幅二维连续图像)
f进行采样，本质上就是相当于该图像在一个二
x
,
(y
维平面上按照它的x和y两个方向进行划分，从而把图像划分成一个N
M?的网格，并使每一个网格的中心点与用一堆实整数表示的笛卡尔坐标）
i,相对应。
（j
这些网格的中心点所对应的所有笛卡尔坐标的全体就构成了这幅图像的采样结果，这样，连续图像就变成了离散图像。其中，每一个小网格对应着图像中的一个元素，简称“像素”，如图2-1所示。
假如一幅连续图像)
f经过采样，产生了一个有M行、N列的网格，就
x
,
(y
称此图像的像素是N
M?。
图2-1 像素
量化就是对采样得到的每一个像素进行取值的过程。为描述方便，仍用),(y x f 来表示每一个像素的像素值。设]1,0[-∈M x ，]1,0[-∈N y ，]1[-∈L f ，那么一幅数字图像可以表示成一个N M ?矩阵的形式：
????????????------=)1,1()1,1()0,1()1,1()1,1()0,1()1,0()1,0()0,0()],([N M f M f M f N f f f N f f f y x f （2-8）
其中每一个）
（y x ,对应着一个像素，且各像素的灰度值),(y x f 用整数型的灰度表示。因此，离散图像就进一步转化成了数字图像。
对于灰度级L ，一般取2的整次幂，即
k L 2= （2-9） 其中，k 为正整数。由于数字图像灰度级的取值范围是]1,0[-L ，所以针对k 的不同取值，有以下几种情况：
（1）若1=k ，即{}1,0),(∈y x f ，此时图像为黑白图像，也称二值图像。它有两个灰度等级，通常我们用0表示黑色的灰度值，用1表示白色的灰度值。图2-2是一个22?的黑白图像和它的灰度矩阵。要注意的是，黑白图像是二值图像，但二值图像不一定是黑白图像。
??
????=0110F 图2-2 22?的黑白图像与像素矩阵
（2）若4=k ，即{}15,,2,1,0),( ∈y x f ，此时图像是一个16灰度级图像，点）
（y x ,处的灰度值可能是这16个数中的任何一个。 （3）若8=k ，此时{}255,,2,1,0),( ∈y x f ，图像则是一个256灰度级图像，每一个数字都有可能是二维图像在点）
（y x ,处的灰度值。在数字图像处理中，大
多数情况都是采用256灰度级图像。
2.3 数字图像类型
数字图像大致可以分为如下三种类型：
2.3.1 灰度图像
在灰度图像中，像素灰度级用8 bit表示，所以每个像素都是介于黑色和白色之间的256种灰度中的一种。灰度图像只有灰度颜色而没有彩色。我们通常说的黑白照片，其实包含了黑白之间的所有灰度色调。从技术上来说，就是具有从黑到白的256中灰度色域的单色图像。
2.3.2 二值图像
二值图像是灰度图像的一种，其区别主要是灰度图像有256种灰度，而二值图像只有2种灰度，即黑和白。所以，二值图像通常情况下被称为黑白图像或单色图像。图像的每个像素只能是黑或白，对应地，其像素值只能为0和1，每个像素值用1位存储。
2.3.3 彩色图像
彩色图像将像素的色彩能力推向了巅峰，除了具有亮度信息以外，它还包含颜色信息。彩色图像的表示与所采用的表示模型有关，即彩色空间，采用不同的彩色空间表示同一幅彩色图像，其结果可能会有很大不同。常用的表示方法主要有真彩色图像和索引图像。
第三章 几种简单的数字图像处理
本章主要以实际应用为目标，介绍几类基础的数字图像处理，包括2种图像增强方法、基本的数学形态学变换和3种常见的几何变换。在介绍理论的同时，每一种处理特意使用MATLAB 进行了实验，以求能够更深刻地理解每一个操作，通过实际应用掌握图像处理的方法。
3.1 均值滤波
生活中，我们使用相机拍摄到的图像一般都会因为受到某些干扰而含有噪声，由于图像信号在空间或时间上的相关性及噪声的随机性，噪声对某一个像素点的影响将会使其灰度和邻近点的灰度显著不同，导致图像模糊不清。本节将讨论用均值滤波对数字图像进行去噪的方法。
3.1.1 图像噪声
噪声的分类方法多种多样，但是反映在图像画面上，大致可以分为椒盐噪声和高斯噪声两种。椒盐噪声的幅值基本相同，但是噪声出现的位置是随机的；而在高斯噪声的图像中，每一点都存在噪声，但噪声的幅值随机分布。从噪声幅值大小的分布统计来看，其密度函数有瑞利型、高斯型，分别被称为瑞利噪声和高斯噪声，又如频谱均匀分布的噪声称为白噪声等。
一般对噪声的描述采用统计意义上的均值和方差。噪声可以看作是对图像亮度的干扰，其均值表明了图像中噪声的总体强度，方差表明了图像中噪声分布的强弱差异。
按照对信号的影响，噪声的模型可以分为加性噪声模型和乘性噪声模型两大类。设()y x f ,为信号，()y x n ,为噪声，在噪声影响下，信号的输出为),(y x g ，那么加性噪声为
),(),(),(y x n y x f y x g += （3-1） 乘性噪声为
),(),(),()],(1)[,(),(y x n y x f y x f y x n y x f y x g +=+= （3-2） 式中，乘性噪声作用下的输出是两部分进行叠加的结果，第二个噪声项信号受),(y x f 的影响，),(y x f 越大，第二项越大，即噪声项受信号的调制。当信号变化不大时，第二项则近似不变，此时便可用加性噪声模型来处理。下面主要讨论加性噪声的抑制方法。
3.1.2 均值滤波的原理
设原始信号为)(t f ，被噪声污染后的信号为)(t g ，噪声为)(t n 。根据加性噪
声，有)()()(t n t f t g +=。均值滤波公式为
)]()1()()1()([/1)(m t g t g t g m t g m t g n t g ++++++++-+-?=-
（3-3） 其中，n 是均值滤波器的长度，12+=m n 。
因为)()()(t n t f t g +=，等式两边取数学期望（均值），有
)()()(t n t f t g ---+= （3-4） 若噪声是高斯噪声，则有
0)(=-t n （3-5） 所以
)()(t f t g --= （3-6） 即在理想情况下，处理所得到的结果中不含有噪声。
若噪声是椒盐噪声，则有
0)(≠-t n （3-7） 所以
)()()(t n t f t g ---+= （3-8） 按照定义，有椒盐噪声出现的点，其幅值基本相同，但是有些点处没有噪声，那我们把这些没有噪声出现的点等同地认为其噪声幅值为0，这样就有
)()(t n t n <- （3-9） 所以经均值滤波后，)(t g -中所包含的噪声强度就会低于)(t g 。
3.1.3 均值滤波方法
均值滤波也可以理解为采用一个有奇数点的滑动窗口（模板）在图像上滑动，滑动窗口的中心点所对应的像素的灰度值用窗口内所有像素的平均值代替。考虑到数据分布的平衡性，通常模板选择为5533??、。
图1-1是在某一图像中选取的一个模板，其中中心点是当前像素，),(y x f 是其像素值，周围8个是其模板中的邻近像素。求模板中所有像素的均值，再把该值赋给当前像素点）
（y x ,，作为处理后图像在这个点上的灰度值，即
)]
1,1(),1()1,1()1,()1,()1,1(),1()1,1([8
1),(+++++-++++-++-+-+--=y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f （3-10） )1,1(--y x f ),1(y x f - )
1,1(+-y x f
)1,(-y x f ),(y x f
)1,(+y x f )1,1(-+y x f ),1(y x f + )1,1(++y x f
图1-1模板示意图
下面以一个简单的例子来体会均值滤波方法。设待检测图像数据为（3-11），用33?的模板对其进行均值滤波处理。
???????
?????????=98765807558862543212134122f （3-12） 由于图像边缘上的像素无法被模板覆盖，因此一般不作处理。对于边缘像素里边的每一个像素，按照前述方法，依次以其为中心取33?的模板，计算周围8个像素灰度值的均值，并以此替代中心像素的灰度值。如原图中的像素12)2,2(=f ，比周围的任何像素都要大，所以基本可以断定它是一个噪声点。那么我们取其模板
??????????=6252121122)2,2(m f ， （3-13）
则滤波后的结果为
2)]62521122(8
1int[)2,2(=+++++++?=f （3-14） 式中，)int(?为取整函数。容易观察，点）
，（44也是一个噪声点，处理后得其像素值7)4,4(=f 。这样，噪声点的像素值得到了很好的抑制。对原图像处理后的结果为
????????????????=9876588555
844554442134122f 。 （3-15）
从模板的含义来理解，图像经过均值滤波处理之后，噪声会被弱化到其四周的像素点上，所以处理之后的结果是，噪声的幅值减小了，但噪声点的颗粒面积却变大了。此外均值滤波器还有一个严重的缺点，即求均值的过程中，图像的边缘点也会被进行均值处理，这样就会导致图像中景物的清晰度降低，画面变得模糊。虽然这个缺点还没有被完全克服，但人们已有了一定的改善措施--加权平均滤波，即在计算均值的过程中，给不同的像素加上不同的权重，也就是各个像素点的系数。常用的加权均值滤波器有
??????????=1111211111011H ??????????=1212421211612H ????
??????=111101111813H 。 （3-16） 3.1.4 N N ?均值滤波
设在灰度图像中，以像素点）
（y x ,为中心，取N N ?的邻域窗口（模板），窗口内平均像素值为a 时，则处理后a y x f =),(，其中N 由用户根据需要给定。前面讨论的就是3=N 时的情形。
通常，邻域中所选取的模板含有的像素越多，处理的效果越平滑，即N 越大，去噪效果越好。
3.1.5 均值滤波数值实验
图1-2是ORL 人脸数据库中的一幅人脸图像，我们首先对其加入了椒盐噪声，然后分别取1153，，=N 进行均值滤波处理。观察得到的图像可以看到，均值滤波一个致命的缺点是在去噪的同时，图像也会变得模糊，而且，虽然模板越大去噪效果越好，但与此同时，画面的模糊也随之变得严重了。
相应的MATLAB 程序代码见附录3.1（junzhilvbo.m ）。
3.2 中值滤波
从上节的讨论可知，虽然均值滤波器能够抑制噪声，对图像有一定的平滑作用，而且算法也比较简单，但不可避免的是，该方法会导致图像变得模糊，尤其是一些细节处。虽然加权均值滤波器会在一定程度上弱化图像模糊的特点，但由于处理思路基本相同，所以改善效果不是特别明显。而中值滤波法恰好可以解决这一问题，它在消除噪声的同时，还能保持图像中的细节部分，防止图像边缘变模糊。
加入椒盐噪声的图像N=3时，均值滤波后的图像
N=7时，均值滤波后的图像N=11时，均值滤波后的图像
图1-2 均值滤波
中值滤波是基于排序统计理论的一种有效抑制噪声的非线性信号处理技术，其原理是取一个有奇数个点的滑动模板，对窗口内像素的灰度值进行排序，然后把中间的值赋给中心像素，作为其灰度值。
3.2.1 一维中值滤波
设有一个一维序列n f f f f ,,,,321 ，取长度为m （m 为奇数）的滑动模板，从输入序列中相应抽取出m 个数，记为t i i i i t i f f f f f ++--,,,,,,11 ，其中i f 是窗口的中心值，2/)1(-=m v 。将这m 个点的像素值按大小排列，取在中间位置的那个值作为中值滤波器的处理结果i g ，用数学公式表示为
{}t i i i i t i i f f f f f med g ++--=,,,,,,11 （3-17） 其中，2/)1(,-=∈m v N i 。
通过一个具体的例子来体会一下一维中值滤波。设滑动模板中有1、5、2、6、3、2、8这7个点，首先我们把这7个数重新排序（假设按从小到大的顺序），
得新的序列]8653221[，，，，，，
，位于中间位置的数是3，那么就将3赋给模板中间像素，作为处理后的像素值，即
{}38236251=，，，，，，med （3-18） 中值滤波的核心是将模板中的数据进行排序，这样，亮点（暗点）的噪声就会在排列过程中被排到数据序列的最右侧（左侧）。由这样的方法选择的中间位置上的值一般不失噪声点的像素值，由此便可达到抑制噪声的目的。
3.2.2 二维中值滤波
设输入图像为ij f ，输出图像为ij g ，取某种结构的二维滑动模板A ，则二维中值滤波器的运算公式为
{}ij ij f medA g =。 （3-19） 使用二维中值滤波最值得注意的是，要保持图像中有效的细线状物体，若图像中含有点、线或者尖角等细节较多的图像，则不宜使用中值滤波。对于可以使用中值滤波的情况，二维滑动模板可以根据需要对其尺寸和形状进行选择，如在尺寸上，可以选为33?或55?，也可以根据需要逐步增大，直到达到满意的滤波效果；在形状上可以选线状、方形、圆形、圆环形、十字形等。一般而言，对于含有尖顶角物体的图像，比较适合选择十字形模板，其大小以不超过图像中最小有效物体的尺寸为宜；而对于有缓变的较长轮廓线物体的图像，采用方形或者圆形的模板比较合适
下面通过一个具体的例子来体会二维中值滤波。
设待处理图像数据为
???????
?????????=98765807558862543210134121f （3-20） 用33?的模板对其进行中值滤波。与均值滤波类似，因为图像边缘部分的像素无法被模板覆盖，一般不左处理。对每一个非边框区域中的像素，以其为中心取33?的邻域，对该邻域中的9个像素值进行递增（或递减）排序，并用其中间位置上的数值代替中心像素的灰度值。如原图中）
，（22处的像素值为10，比周围任何像素都要高，很容易便可以判断这是一个噪声点。其模板中的像素为
??????????=6252101121)2,2(m f （3-21）
对模板中的9个像素值按照由大到小进行排列，有1、1、1、2、2、2、5、6、10，则中间为值上的数为2，这就是中值滤波处理后模板中心的像素值，即2)2,2(=g ，可见经过处理后，噪声得到了有效的抑制。用同样的方法对非边框处的其他像素进行中值滤波处理，得到最终的处理结果为
????????????????=9876588655
875554432134121g 。 （3-22）
3.2.3 中值滤波数值实验
图2-1是对原图像加了椒盐噪声之后，分别取33?和1111?的模板进行中值滤波处理后的图像。从图中可以看出，因为椒盐噪声知识在画面中的部分点上随机地出现，根据中值滤波原理可知，通过像素值排序的方法，用图像中未污染的点处的像素值来代替噪声点像素值的概率更大，因此噪声的处理效果很好，画面的清晰度也基本保持。但是如果模板取得过大，也会使图像的清晰度受到一定程度的破坏。
相应的程序代码见附录3.2（zhongzhilvbo1.m ）。
在图2-2中，比较了中值滤波分别对不同噪声图像的处理效果。首先对原图像分别添加椒盐噪声和高斯噪声，然后都用55?的模板进行中值滤波处理，得到的处理结果如图所示。观察易知中值滤波对高斯噪声的处理效果不是很好，这是因为高斯噪声是以随机大小的幅值来污染所有点的，所以，无论怎样进行数据选择，得到的总还是被污染的像素值。
相应的程序代码见附录3.3（zhongzhilvbo2.m ）。
3.3 形态学变换
3.3.1数学形态学概述
数学形态学（Mathematical Morphology ）是一门建立在严格的数学理论基础上的科学，也是应用于图像处理和模式识别领域的一种新的方法。其基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状，以达到对图像分析和识别的目的。数学形态学的基本思想和方法适用于与图像处理有关的各个方面，如基于击中或击不中变换的目标识别、基于腐蚀和开运算的骨架抽取及图像编码压缩、基于形态学滤波器的颗粒分析等。
下面介绍几个基本符号和定义。
1. 集合
形态学的语言是集合论，集合论是数学形态学的基础。在形态学中，集合的基本概念同我们之前学过的集合的概念是完全相同的，如“属于”、“包含”、“交”、“并”、“补集”、“差”等，在此不再赘述。
2.击中与击不中
对于两幅图像A 和B ，如果φ≠B A ，则称B 击中A ，记作A B ↑，如图3-1（a ）所示。如果不存在任何点既是A 的元素，又是B 的元素，即φ=A B ，则
矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：
矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的
CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用
矩阵理论在通信网络中的应用 ——利用幺模矩阵分析最小费用流问题 摘要 将通信网络中节点间的业务看作是一个流，假设一对节点间存在v个流量的业务需求，怎样使得最终达到满足要求且费用最小。通过线性规划建模，利用矩阵理论中完全幺模矩阵以及幺模矩阵的知识，保证求得的最优解为整数解，使得最小费用流问题得以解决。 关键字：最小费用流，完全幺模矩阵，幺模矩阵，整数解 ABSTRACT View the business communication between nodes in the network as a stream, a v of the flow between nodes business needs, how to make the end meet the requirements and minimum cost. The linear programming model, by using matrix theory totally unimodular matrix
and knowledge unimodular matrix, guarantee to obtain the optimal solution for the integer solution, so that the minimum cost flow problem can be solved. Key Words: Minimum Cost Flow ,Totally Unimodular ,Unimodular , integer solution 第一章矩阵理论简介 根据世界数学发展史的记载，矩阵理论概念剩余19世纪50年代，是为了解决线性方程组的需要而诞生的。1855年，英国数学家Caylag在研究线性变换下的不变量时，为了简介、方便而引入了矩阵的概念。矩阵的理论发展非常的迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已经基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已近发展成为在物理、控制论、经济学、等学科有大量应用的分支。 用矩阵的理论与方法来处理通信网络技术中的各种问题已越来越普遍。在通信工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容置疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景，也使通信网络技术的研究发生新的变化，开拓了崭新的研究途径，例如网络中的最小费用流问题、最短分离路径对问题、多商品流问题等，无不与矩阵理论发生紧密结合。因此矩阵的理论与方法已成为研究通信工程技术的数学基础。
矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．
题目：最小生成树在城市交通建设中的应用 姓名： 学号： 指导老师： 专业：机械工程 2014年3月16
目录 摘要..................................................................................... 错误！未定义书签。 1 绪论 (1) 2 有关最小生成树的概念 (2) 3 prim算法介绍 (3) 4 系统设计及其应用 (5) 一、系统设计 (5) 二、最小生成树应用 (8) 5 总结 (11) 参考文献 (12) 附件： (13)
最小生成树在城市交通建设中的应用 摘要：连通图广泛应用于交通建设，求连通图的最小生成树是最主要的应用。比如要在n个城市间建立通信联络网，要考虑的是如何保证n点连通的前提下最节省经费，就应用到了最小生成树。 求图的最小生成树有两种算法，一种是Prim（普里姆）算法，另一种是Kruskal（克鲁斯卡尔）算法。 本文通过将城市各地点转换成连通图，再将连通图转换成邻接矩阵。在Microsoft Visual C++上，通过输入结点和权值，用普里姆算法获得权值最小边来得到最小生成树，从而在保证各个地点之间能连通的情况下节省所需费用。 本文从分析课题的题目背景、题目意义、题目要求等出发，分别从需求分析、总体设计、详细设计、测试等各个方面详细介绍了系统的设计与实现过程，最后对系统的完成情况进行了总结。 关键字：PRIM算法、最小生成树、邻接矩阵、交通建设
Abstract Connected graph is widely applied in traffic construction, connected graph of minimum spanning tree is the main application.Such as to establish a communication network between the n city, want to consider is how to ensure n points connected under the premise of the most save money, apply to the minimum spanning tree. O figure there are two kinds of minimum spanning tree algorithm, one kind is Prim (she) algorithm, the other is a Kruskal algorithm (Kruskal). In this article, through the city around point into a connected graph, then connected graph is transformed into adjacency matrix.On Microsoft Visual c + +, through the input nodes and the weights, gain weight minimum edge using she algorithm to get minimum spanning tree, which in the case of guarantee every location between connected to save costs. Based on the analysis topic subject background, significance, subject requirements, etc, from requirements analysis, general design, detailed design, testing, and other aspects detailed introduces the system design and implementation process, finally the completion of the system are summarized. Key words: PRIM algorithm, minimum spanning tree, adjacency matrix, traffic construction
矩阵分析在通信领域的应用学院：电气与电子工程学院 学号：____201606001____ 姓名：___江诚____
矩阵分析在通信领域的应用 【摘要】矩阵是数学的基本概念之一，也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用，如：在保密通信中，应用逆矩阵对通信的信息进行加密；在信息论中，利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等；在信息论的信道编码中，利用监督矩阵，生成矩阵，对信道中的信息进行编码，利用错误图样对信道传输的信息进行纠正；此外，矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用，基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词：矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO 1、引言 随着科技快速稳健的发展，通信技术也得到了飞速的发展，人们对通信的要求也不断提高，不仅要求通信的实时性、有效性，还要求通信的保密性。而现实环境中，由于噪声的影响，常常使通信出现异常，这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外，在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用 的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的 技术，该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识，本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合，通过建立一些简单的分析模型，利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。 2、矩阵在通信领域中的应用 2.1 矩阵在保密通信中的应用[2] 保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息)，然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。
信息论基础理论与应用考试题 一﹑填空题（每题2分，共20分） 1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的 （可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。 （考点：信息论的研究目的） 2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成5 31010?个不同的画面。按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（610bit /画面）。 （考点：信息量的概念及计算） 3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。 （考点：信道按噪声统计特性的分类） 4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。若r=2，N=1，即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位二元符号编码才行。 （考点：等长码编码位数的计算） 5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。 （考点：错误概率和译码准则的概念） 6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。 （考点：纠错码的分类） 7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4， 2））线性分组码。 （考点：线性分组码的基本概念） 8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =??==-????∑）。
五邑大学研究生矩阵理论论文
矩阵理论在信号系统中的应用 摘要：在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结果特性，可以研究更复杂而优良的控制算法。现代控制理论及使用于单变量控制系统，有适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可以用于线性时变系统，还可用于复杂的非线性系统。 本文主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。 状态与状态变量：系统在时间域中运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量称为状态变量。它是能完整地确定地描述系统的时间行为的最少的一组变量。 状态向量：如果n 个状态变量用()1x t 、()2x t 、…()n x t 表示，并把这些状态变量看做是 向量X （t ）的分量，则向量X （t ）称为状态向量，记为()()()()12n x t x t X t x t ????? ?=???????? 或者()()()()12T n X t x t x t x t =???? 状态空间：以状态变量()1x t 、()2x t 、…()n x t 为坐标轴构成的n 维空间。 状态方程：描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组 线性系统：满足叠加原理的系统具有线性特性 零输入响应：若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。 一、线性系统状态方程： A ：表示系统内部状态关系的系数矩阵 B ：表示输入对状态作用的输入矩阵 从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u （t ），来求解状态方程的解，即系统响应。解的存在性和唯一条件：如果系统A 、B 的所有元在时间定义区间 []0t t α上均为 t 的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间[]0t t α上是连续 实函数，则其状态方程的解X(t)存在且唯一。 ()()[] ()()0 )0(x t t :)(x t t :0 000≥=+=∈=+=t x Bu A t t t x t Bu A x x x x 时不变时变α
目录 前言 (1) 1. 邻接矩阵发展简史 (3) 2．基本概念及记号 (4) 3. 无向图的邻接矩阵 (6) 3.1 无向图的邻接矩阵定义及表示 (6) 3.2 无向图的邻接矩阵的性质 (8) 4. 有向图的邻接矩阵 (9) 4.1 有向图的邻接矩阵的定义及表示 (9) 4.2 有向图的邻接矩阵的性质 (10) 5. 邻接矩阵的重要定理及应用 (11) 6. 邻接矩阵的应用 (13) 6.1 邻接矩阵生成图的遍历序列 (13) 6.2用邻接矩阵生成图的广度优先遍历序列 (15) 6.3 矩阵构造最小生成树 (16) 6.4 用邻接矩阵寻找关键路径 (19) 参考文献 (21) 致谢 (22)
平顶山学院本科毕业论文（设计） 前言 图论最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题．这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意．在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题． 1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博奕论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出越来越大的作用．在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一，因此越来越受到数学家和实际工作者的喜爱．我们所学的这一章只是介绍一些基本概念、原理以及一些典型的应用实例，目的是在今后对工程技术有关学科的学习研究时，可以把图论的基本知识、方法作为工具[]1． “图论”是数学的一个分支,它以图为研究对象.图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系. 图论是一门极有兴趣的学问，其广阔的应用领域涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、电信领域等等.严格地讲，图论是组合数学的一个分支，例如，它交叉运用了拓扑学、群论和数论.图论就是研究一些事物及它们之间关系的学科，现实世界中的许多事物能用图来表示其拓扑结构，把实际问题的研究转化为图的研究，利用图论的相关结论 对这些问题作分析或判断[]1. 图论是近二十年来发展十分迅速、应用比较广泛的一个新兴的数学分支，在许多领域，诸如物理学、化学、运筹学、信息论、控制论、计算机等方面甚至在生产生活中都有广泛的应用.因此受到全世界越来越广泛的重视。图论的内容十分丰富，涉及面也比较广. 研究节点和边组成的图形的数学理论和方法，为运筹学的一个分支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、枝），用节点表示所研究的对象，用 1
题目: 矩阵论在电气工程中的应用指导老师: xxx 学生姓名：xxx 所属院系：电气工程学院 专业：电气工程 学号：xxx 完成日期：20xx年x月x日
矩阵论在电气工程中的应用 摘要 电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。 关键词：电路分析矩阵法网络拓扑 ABSTRACT： Circuit analysis is an essential ability of professional personnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit analysis calculation with the knowledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so we introduced matrix theory, combined with good support analysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of network topology in circuit, and to give the solution. KEY WORDS：circuit analysis；matrix method；network topology 0 前言 矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。当运行这些程序时，能迅速地得到较准确的计算结果。在电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析
鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日
一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价：
信息论基础理论与应用考试题及答案
信息论基础理论与应用考试题 一﹑填空题（每题2分，共20分） 1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的 （可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。 （考点：信息论的研究目的） 2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑， 则可组成5 31010?个不同的画面。按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约 为（610bit /画面）。 （考点：信息量的概念及计算） 3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。 （考点：信道按噪声统计特性的分类） 4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。若r=2，N=1， 即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位 二元符号编码才行。 （考点：等长码编码位数的计算） 5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概 率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验 概率准则）或（最小错误概率准则）。 （考点：错误概率和译码准则的概念） 6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷 积码）。 （考点：纠错码的分类） 7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4， 2））线性分组码。 （考点：线性分组码的基本概念） 8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =??==-????∑）。
《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015
中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
矩阵论在电路分析中的应用 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。 对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例，讲解矩阵论的重要作用。 在电路分析中，对于一个有n个节点，b条支路的电路图， 每条支路的电压和电流均为未知，共有2b个未知量。根据KCL 我们可以列出（b-1）个独立的方程，根据KVL我们也可以列出 （b-n+1）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我 们还可以可以列出b个方程；总共2b个方程要解出b个支路电 流变量和b个支路电压变量。当b的数值比较大时，传统的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩阵来帮助我们求解电路。 一. 电网络中最基本的三个矩阵图 1 1.关联矩阵
在电路图中，节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。 选取一个节点为参考节点后，矩阵A 的元素为： ?????-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联，且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联，且支路条支路与第第i j i i j i i j a ij 0 1 1 图1中电路图的关联矩阵为 ????????????= 0 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A 2. 基本回路矩阵 在电路图中，基本回路和支路的关联性质可以用基本回路矩阵][ij f b B =来表示。当选定电路图中的一个树，额外再增加一个连枝的时候，就会形成一个基本回路。选取基本回路的方向与它所关联的连枝方向一致，矩阵f B 的元素为： ?? ???-+=个回路无关联条支路与第第反方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第同方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第i j i j i j b ij 0 1 1 图1中电路图的基本回路矩阵为 ???? ??????=1 0 0 1- 1 0 0 0 1 0 1- 1 1- 1 0 0 1 0 1- 1 1-f B 3. 基本割集矩阵 在电路图中，基本割集和支路的关联性质可以用基本割集矩阵][ij f q Q =来表示。当选
§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。 定理1设,?∈n n n A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得 =T A R R
邻接矩阵的生成 一、实验目的 了解邻接矩阵的定义和其基本概念以及构建方式。 二、实验内容 1、根据已知图形的内容输入相关参数生成邻接矩阵； 2、用C语言编程来实现此算法。用下面的实例来调试程序： 三、使用环境 Xcode编译器，编写语言C。 四、编程思路 邻接矩阵表示的是顶点与边的关系，因此需要一个一维数组Vertex[]来保存顶点的相关信息，一个二维数组Edges[][]来保存边的权植，因为C语言二维数组的输出需要用循环语句，因此为了方便，构造一个输出函数Out，用来打印数组各元素的数值。
五、调试过程 1.程序代码： #include
矩阵理论(论文) 矩阵理论在通信领域的应用 学生： 学号：
矩阵理论在通信领域的应用 【摘要】矩阵是数学的基本概念之一，也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用，如：在保密通信中，应用逆矩阵对通信的信息进行加密；在信息论中，利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等；在信息论的信道编码中，利用监督矩阵，生成矩阵，对信道中的信息进行编码，利用错误图样对信道传输的信息进行纠正；此外，矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用，基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词：矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO 1、引言 随着科技快速稳健的发展，通信技术也得到了飞速的发展，人们对通信的要求也不断提高，不仅要求通信的实时性、有效性，还要求通信的保密性。而现实环境中，由于噪声的影响，常常使通信出现异常，这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外，在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用 的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的 技术，该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识，本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合，通过建立一些简单的分析模型，利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。 2、矩阵在通信领域中的应用 2.1 矩阵在保密通信中的应用[2] 保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息)，然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。
最短路问题及其应用 1 引言 图论是应用数学地一个分支，它地概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数学游戏地难题研究，如欧拉所解决地哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传地一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马地行走路线问题等．这些古老地难题，当时吸引了很多学者地注意．在这些问题研究地基础上又继续提出了著名地四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题． 1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学地发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域地问题时，发挥出越来越大地作用．在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题地有力工具之一. 最短路问题是图论理论地一个经典问题.寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小地路.最短路不仅仅指一般地理意义上地距离最短,还可以引申到其它地度量,如时间、费用、线路容量等. 最短路径算法地选择与实现是通道路线设计地基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域地研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题地范畴之中.经典地图论与不断发展完善地计算机数据结构及算法地有效结合使得新地最短路径算法不断涌现. 2 最短路 2.1 最短路地定义 对最短路问题地研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图()0 w≥地有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出地, ij 该算法能够解决两指定点间地最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点地最短路.后来海斯在Dijkstra算法地基础之上提出了海斯算法.但这两种算法都不能解决含有负权地图地最短路问题.因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权地最短路问题.但在现实生活中,我们所遇到地问题大都不含负权,所以我们在()0 w≥地情况下选择Dijkstra算法. ij 定义①1若图G=G(V,E)中各边e都赋有一个实数W(e),称为边e地权,则称这
《线性代数》教学中矩阵理论在图像处理中的应用 线性代数基本概念众多、应用领域广泛，其中线性代数在图片处理过程中的应用较广。当下，图像的处理都基本是靠计算机来完成的。在计算机中，图像是有许多看似连续的像素构成的。 由于像素间的距离非常近以至于眼睛都不能分辨出来。在数学上图像的每个像素就是线性代数中矩阵的每个元素，因此图像是可以用矩阵来表示的。只是图像的种类不同，矩阵的维数会有变化：灰度格式的图像（我们平常成为黑白图片）可用一个元素值介于0～255之间的二维矩阵来表示，元素值得大小对应着像素点的亮度（0对应黑色，255对应白色）；彩色图像（即RGB图像）可用一个三维矩阵表示，我们平常所说的红（R），绿（G），蓝（B）分量分别用一个矩阵表示，3个矩阵组合起来构成的这个三维矩阵。可以说，图像就等于矩阵，所以将线性代数中有关矩阵理论的成果应用于图像处理是非常可行的[1]。 1线性代数教学中遇到的问题 数学类课程对众多学生而言都是枯燥乏味的。那么是什么原因导致了这种情况的发生呢？不可否认教师及学生们都有一定的责任。从教师角度而言，受生活压力及周围环境的影响，不投入大量的时间对所教学内容进行深入的思考与联想。从而无法给出生动而贴近实际的例子，只是单方面传授基本概念、性质、理论及简单教学案例。这将大大缩减课程的吸引力。另一方面从学生角度而言，随着手机时代的来临，很多同学都将过多的时间投入到了诸如聊天、打游戏、参加活动等而大大缩小了认真思考、连续思考的时间，这也必然会导致学生们对课程内容理解程度及深度的迅速下降。其典型表现包括缺乏领军人才、就业后无法短时间内能够为企业带来经济社会效益、就业方向与大学专业不一致、“只听其课而不知其意，只见其形而不知其原”等事件经常出现。 2线性代数常见内容及其图片处理中的应用 2.1图像的变暗或变亮――矩阵的数乘 当用户利用相机或者手机拍下不太理想的照片时会利用很多手段来修复照片，这些修复的手段都暗藏了矩阵的知识。例如，在背光的条件下拍摄照片由于曝光不足可能会得到拍摄主体模糊不清的效果。这时，只要我们按照一定的