Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数

Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数

注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。特殊函数其实是指一些常用的函数，它们通常有自己的软件包，本章的目的是为了理解它们的内部运行情况。

1. 伽马函数、B函数、阶乘、二项式系数

思想：伽马函数满足递推式Γ(z+1)=zΓ(z)。如果z是整数那么这就是一个阶乘函数的变体。计算伽马函数的数值方法有很多，但都不如Lanczos导出的近似公式清晰。而计算lnΓ(z)比Γ(z)更好，不容易溢出。阶乘也容易溢出，对于小数字的阶乘，最好用查表法，稍大一些的用伽马公式计算。求解Beta函数和二项式系数是根据lnΓ(z)推导的。

2. 不完全伽马函数、误差函数、χ2概率函数、累积泊松函数

思想：不完全伽马函数P(a,x)它的互补Q(a,x)=1-P(a,x)也是不完全伽马函数。P(a,x)可以由伽马函数求得，而Q(a,x)可以进行连分式展开；误差函数及其互补形式是不完全伽马函数的特例，因此可以用之前的方法加上一些它本身的特性，很方便地求取。累积泊松概率函数与都与不完全伽马函数有简单的关系，可以很容易推导出来。

3. 指数积分

思想：指数函数是不完全伽马函数的特例，可以写成包含连分式的形式。对于x>=1的情况，连分式才可以很快收敛；对于0

4. 不完全B函数、学生分布、F分布、累积二项式分布

思想：不完全B函数用连分式表示更为有效，学生分布、F分布和累积二项式分布概率函数可以用不完全B函数推导出来。

5. 整数阶贝塞尔函数

思想：贝塞尔函数满足递推关系：

Jn+1(x)=(2n/x) Jn(x)-Jn-1(x)

Yn+1(x)=(2n/x) Yn(x)-Yn-1(x)

计算整数阶贝塞尔函数的实用策略分成两步：第一步，如何计算J0, J1, Y0和Y1；第二步，如何使用稳定递推关系找到其他J和Y。

6球面调和函数

思想：数学上可以将调和函数与连带勒让德多项式联系起来。求解连带勒让德多项式的方法有很多，它满足很多递推关系。

7. Fresnel积分、余弦和正弦积分

思想：Fresnel积分当x较小时，对任意的精度要求，计算函数值最方便的方法是幂级函数；x较大时，则用连分式。余弦和正弦积分可以用幂级数和复连分式相结合的方法求函数值。

8. Dwason积分

略

9. 椭圆积分和雅可比椭圆函数

略

10. 超几何函数

思想：通过复平面上的直线积分求此函数值的方法。

这章太长了，而且我完全不知道在讲什么+_+

Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数