空间几何体、空间中的位置关系(小题)
热点一三视图与直观图
1.一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.
2.由三视图还原几何体的步骤
一般先依据俯视图确定底面，再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体.
例1 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )
答案 C
解析取AA1的中点H，连接GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线. 延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N，则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线.
同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M，则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线.
所以过点E，F，G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.
故可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为选项C所示.
(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.
答案2＋
2 2
解析 如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，
则在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22
. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝2
2
＋1. 由此可还原原图形如图所示.
在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝2
2
＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，
∴这块菜地的面积为S ＝1
2
(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′
＝1
2
×
?
?
?
?
?
1＋1＋
2
2
×2＝2＋
2
2
.
跟踪演练1 (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )
A.①④
B.②③
C.②④
D.①②
答案 A
解析从上下方向看，△PAC的射影为图①所示的情况；
从左右方向看，△PAC的射影为图④所示的情况；
从前后方向看，△PAC的射影为图④所示的情况.
(2)(2019·江西省重点中学盟校联考)如图所示是一个几何体的三视图及有关数据，则该几何体的棱的长度中，最长的是( )
A.2 3
B.2 2
C. 5
D. 3
答案 B
解析由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，
其中PA＝PB＝AB＝AD＝BC＝CD＝2，
PD＝PA2＋AD2＝22；
PC＝PB2＋BC2＝22，
所以最长的棱的长度为2 2.
热点二表面积与体积
空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.
例2 (1)(2019·菏泽模拟)如图，为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A.(12＋43)π
B.(6＋23)π
C.(9＋23)π
D.(15＋43)π
答案 B
解析 结合题意可知，该几何体为一个圆锥挖去了一个小圆锥， 大圆锥的侧面积为1
2×23π×23＝6π，
挖去的圆锥侧面积为1
2×23π×2＝23π，
故总表面积为(6＋23)π.
(2)(2019·厦门模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
A.
2π3 B.4π3 C.14π3 D.16π9
答案 B
解析 由三视图知几何体是圆锥的一部分，
由俯视图可得，底面扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为2， 又由侧(左)视图知几何体的高为3，
∴几何体的体积V ＝120360×13×π×22
×3＝4π3
.
跟踪演练2 (1)(2019·江南十校质检)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线(实线、虚线)画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为( )
A.20
B.20＋π4
C.20＋3π
4
D.20＋
5π
4
答案 B
解析 由三视图可得几何体如图所示：
由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，
∴S ＝6×22
－2×1×2－5×14π＋14×2π×2＋18×4π＝20＋π4
.
(2)(2019·沈阳市东北育才学校模拟)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )
A.2
B.8
3 C.6 D.8
答案 A
解析 由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，
所以该四棱锥的体积为V ＝13×1
2
×(1＋2)×2×2＝2.
热点三 多面体与球
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图. 例3 (1)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 和△PBC 均为边长为3的等边三角形，且PA ＝36
2，则
三棱锥P －ABC 外接球的体积为( ) A.1313
6π B.1010
3π C.
515
2
π D.
55
6
π 答案 C
解析 取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，
因为△ABC 和△PBC 均为等边三角形，
所以AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ?平面PAD ， 所以BC ⊥平面PAD ，
因为△ABC 和△PBC 均为边长为3的等边三角形， 所以AD ＝PD ＝33
2
， 又因为PA ＝
362
，PA 2＝PD 2＋AD 2
， 所以PD ⊥AD ，
过△ABC 的外心O 1作平面ABC 的垂线，过△PBC 的外心O 2作平面PBC 的垂线， 设两条垂线交于点O ，
则O 为三棱锥P －ABC 外接球的球心.
O 1O ＝O 2D ＝
3
2
，AO 1＝PO 2＝3， 所以OA 2
＝OO 2
1＋AO 2
1＝
154
， 所以外接球的半径R ＝OA ＝
152
， 所以三棱锥P －ABC 外接球的体积V ＝43πR 3＝515
2
π.
(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )
A.25π
4 B.25π
16 C.1 125π
4
D.1 125π
16
答案 D
解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
三棱锥B －KLJ 即为所求的三棱锥， 其中KC 1＝9，C 1L ＝LB 1＝12，B 1B ＝16， ∴
KC 1C 1L ＝LB 1
B 1B
， 则△KC 1L ∽△LB 1B ，∠KLB ＝90°， 故可求得三棱锥各面面积分别为
S △BKL ＝150，S △JKL ＝150，S △JKB ＝250，S △JLB ＝250，
故表面积为S 表＝800.
三棱锥体积V ＝1
3S △BKL ·JK ＝1 000，
设内切球半径为r ，则r ＝
3V
S 表
＝
154
， 故三棱锥内切球体积V 球＝43πr 3
＝1 125π16
.
跟踪演练3 (1)(2019·榆林模拟)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知底面ABC 为正三角形，AA 1⊥平面ABC ，AB ＝63，AA 1＝16，则该三棱柱外接球的表面积为( ) A.400π B .300π C .200π D .100π 答案 A
解析 如图，O ′为底面中心，O 为外接球球心，在正三角形ABC 中求得O ′A ＝6，
又OO ′＝8，∴外接球半径OA ＝10， ∴S 球＝4π×100＝400π.
(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1
S 2
等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18 答案 C 解析 如图，
由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12
lR ＝2πr 2
，
即1
2
·2π·r·R＝2πr2，
解得R＝2r，
故∠ADC＝30°，则△DEF为等边三角形，
设B为△DEF的重心，过B作BC⊥DF，
则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，
则BC
BD
＝
1
2
，∴
r内
r外
＝
1
2
，故
S1
S2
＝
1
4
.
热点四空间线面位置关系的判断
高考中判断空间线面位置关系的注意点：
(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断.
(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解.
例4 (1)已知直线a，b，平面α，β，γ，下列命题正确的是( )
A.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γ
B.若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥c
C.若α∩β＝a，b∥a，则b∥α
D.若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a
答案 A
解析A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，
则a⊥γ，该说法正确；
B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，
在三棱锥P－ABC中，令平面α，β，γ分别为平面PAB，PAC，PBC，
交线a，b，c为PA，PB，PC，不满足a∥b∥c，该说法错误；
C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b?α，不满足b∥α，该说法错误；
D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，
正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面α，β为平面ABCD，ADD1A1，
直线b为A1C1，满足b∥α，不满足b∥a，该说法错误.
(2)(2019·淄博模拟)如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC＝120°，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为________.
答案
6 4
解析过B作BD∥AC，过C作CD∥AB，如图所示，
所以∠C1BD是所求线线角或其补角.
在三角形BC1D中，BC1＝C1D＝22，BD＝23，
故cos∠C1BD＝
8＋12－8
2×22×23
＝
6
4
.
跟踪演练4 (1)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n
B.若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C.若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
D.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
答案 A
解析对于选项A，由n∥β，α∥β可得n∥α或n?α，
又m⊥α，所以可得m⊥n，故A正确；
对于选项B，由条件可得m⊥n或m∥n，或m与n既不垂直也不平行，故B不正确；
对于选项C，由条件可得m∥n或m，n相交或m，n异面，故C不正确；
对于选项D，由题意得m⊥n，故D不正确.
(2)(2019·怀化模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案 A
解析由题意，取AC的中点O，连接BO，C1O，
因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， 侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以BO ⊥AC ，BO ⊥AA 1，
因为AC ∩AA 1＝A ，所以BO ⊥平面ACC 1A 1， 所以∠BC 1O 是BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角， 因为BO ＝
1－? ????122
＝32， C 1O ＝
2
2
＋? ????122＝32
， 所以tan∠BC 1O ＝BO OC 1＝3232
＝3
3
，
所以∠BC 1O ＝30°，BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角为30°.
真题体验1.(2018·全国Ⅰ，理，7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点
M 在正(主)视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧(左)视图上的对应点为B ，则在此圆
柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )
A.217
B.2 5
C.3
D.2 答案 B
解析 先画出圆柱的直观图，
根据题中的三视图可知，点M ，N 的位置如图①所示.
圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径. |ON |＝1
4
×16＝4，|OM |＝2，
∴|MN |＝|OM |2
＋|ON |2
＝22
＋42
＝2 5.
2.(2019·全国Ⅰ，理，12)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，
△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A.86π
B.46π
C.26π
D.6π
答案 D
解析因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.
取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P －ABC放在正方体中如图所示.因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对
角线长为6，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝
6
2
，所以球O的体积V＝
4
3
πR3＝
4
3
π
?
?
?
?
?6
2
3＝6π，故选D.
3.(2018·全国Ⅱ，理，9)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.1
5
B.
5
6
C.
5
5
D.
2
2
答案 C
解析方法一如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.
连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DB′，由题意，得DB′＝12＋1＋12＝5，B′B1＝12＋32＝2，DB1＝12＋12＋32＝ 5.
在△DB′B1中，由余弦定理，得
DB′2＝B′B21＋DB21－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，
即5＝4＋5－2×25cos∠DB1B′，
∴cos∠DB1B′＝
5
5
.
方法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.
由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，
D1(0,0，3)，B1(1,1，3)，
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？
. . 空间中的线面关系 要求层次 重难点 空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面，那么这条直线上所有的点 在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明
. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的 一条直线平行，那么该直线与此平面平 行． ◆如果一个平面的两条相交直线与 另一个平面都平行，那么这两个平面平 行． ◆如果一条直线与一个平面的两条 相交直线都垂直，那么该直线与此平面 垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行， 经过该直线的任一个平面与此平面相 交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平 行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平 面垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 知识内容
空间两条直线的位置关系 知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此， 异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两 个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点． 例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线． 变式1、一个正方体中共有对异面直线． 知识点二平行直线 1．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示： 2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为 AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1. a∥b b∥c a∥c C D B A1 C B1 D C D
青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛 教学案 参赛人: 王立广 参赛单位: 青岛幼儿师范学校
课题：10.2空间两条直线的位置关系 学习目标： 1、知识与技能 （1）理解空间两条直线的位置关系。 （2）会用平面衬托来画异面直线。 （3）掌握并会应用平行公理。 （4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 学习重点：异面直线的判断； 学习难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型 一、课前导学 平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有 个公共点；平行直线公共点。 【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？ 【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？） 二、新课导学A B D
1.异面直线的定义: 我们把 叫做异面直线。 【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内 在同一平面内 按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点 【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？ （学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合 作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断 经过 一点和 一点的直线，和 的直线是异面直线。 【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法 说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C
第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示
记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不
是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理
空间中的线面关系 要求层 次 重难点 空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的 点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ②以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，那么该直线与此平面公理1，公理2，公理3， 公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明
*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α?； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α?； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理： ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 知识内容
空间图形的基本关系与公理 2005-09-29 09:57:05 一、教学目标 1．使学生学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念. 2．掌握平面的基本性质，即公理1，2，3. 3. 掌握公理4和等角定理，并会应用它们解决问题. 4. 培养和发展学生的空间想像能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力. 5．通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的思想方法. 二、设计思路 1．本节先给出两幅实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体――长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察，具有很强的可读性. 2．本节设计了一些实例，并给出了两幅实物图片，旨在激发学生学习的兴趣，让学生觉得四个公理确实是显而易见的. 3．设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信. 三、教学建议 本节第一小节的主要内容：空间点与直线的位置关系的分类，空间点与平面的位置关系的分类，空间两条直线的位置关系的分类，空间直线与平面的位置关系的分类，空间平面与平面的位置关系的分类. 本节第二小节的主要内容：四个公理，等角定理. 1．本节第一小节的重点是五类位置关系的分类及其有关概念，难点是“异面直线”的理解.本节第二小节的重点是四个公理和等角定理的理解与应用，难点是四个公理和等角定理的与应用. 2．在教学空间图形基本关系的认识时，应先引导学生对“实例分析”中的长方体进行详细地观察，然后讨论8个顶点、12条棱、6个表面之间的关系.在此基础上，再进入“抽象概括”这一栏目. 3．空间点与直线、空间点与平面的位置关系，结合长方体模型和生活中的实物，学生容易理解. 4.本书中的空间两条直线指的是不重合直线. 若从两条直线是否共面的角度看，可以分为两类： （1）同一平面内：平行直线、相交直线； （2）不在同一平面内：异面直线. 若从有无公共点的角度看，也可以分为两类： （1）有只有一个公共点：相交直线； （2）没有公共点：平行直线、异面直线. 5．异面直线的理解是本节的难点，教学中应该结合正反两方面的例子，深刻理解“两条直线不同在任何一个平面内”的含义.这两条直线构成一个空间图形，绝不是平面图形.在学习了下一小节的公理2后，教师可以结合“思考交流”栏目的三个问题，向学生指出：能够同在一个平面内的两条直线有且只有平行和相交这两种情况，所以，两条直线是异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交. 6．在画异面直线时，一般要以平面为衬托，这样显示得更直观和清楚（如图1）.不然，就容易画成
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形 （其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下 上上 （④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =
题型一 平面的基本性质 【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件． D ．既不充分也不必要条件． 【例2】 判断下面说法是否正确： ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面． 【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个 【例4】 下列推理错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?= C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合 D ．,l A l A αα?∈?? 【例5】 已知点A ，直线l ，平面α， ①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________． 共线问题 【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1 O 典例分析 板块一.对平面的进一步认识
25、基本图形及其位置关系 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的 端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″ （2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角， 那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°?∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠ l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3． ⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○?∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果 ∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：对顶角相等． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正 确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”． 6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等， 同旁内角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条 平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行． 10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错 角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三 个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的， 因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错 角或同旁内角． 11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（）
2019-2020年中考数学培优复习 第16讲 基本图形及其位置关系 一、【课标要求】 1、线段的定义、中点。 2、线段的比较、度量 3、线段公理。 4、直线公理，垂线性质 5、对顶角的性质。 6、平行线的性质、判定 7、射线的定义。8、射线的性质 9、等角的余角(补角)相等、对顶角相等 10、垂线、垂线段等概念、垂线段最短的性质 11、用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线 12、线段的垂直平分线及其性质 13、探索平行线性质 14、用三角尺和直尺过已知直线外一点作这直线的平行线 15、度量两平行线间的距离 二：【知识梳理】 1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离. 2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________． 3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果 _____________________互为补角，__________________的补角相等. 4. 对顶角的性质： ． 5. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 6. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行. 7. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 三、【典型例题】 1. 如图,AD=DB, E 是BC 的中点,BE=AC=2cm,线段DE 的长,求线段DE 的长. 2.如图所示，AC 为一条直线，O 是AC 上一点，∠AOB ＝120° OE 、OF 分别平分∠AOB 和∠BOC ，． （1）求∠EOF 的大小； （2）当OB 绕O 旋转时，OE 、OF 仍为∠AOB 和∠BOC 平分线， 问：OF 、OF 有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题 E D B A
利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)． 知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________． 答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一 空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二 共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋
基本图形及其位置关系 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是的一部分。线段是的一部分，也是的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线 绕着它的端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°= ′，1′= ″（2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做 对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°?∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等， 如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3． ⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○?∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相 等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是： 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正 确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”．
6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内 角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么，． 10.两条直线被第三条直线所截，如果相等，那么这两条直线平行；如果 相等．那么这两条直线平行；如果互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角． 11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（） A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定 2.计算：⑴132°19′42″+ 2 6°3 0′28″=_____⑵34.51°= 度分秒． ⑶92 o3″－5 5°2 0′4 4″=_______；⑷33 °15′16″×5=_____ 3.下列说法中正确的个数有（） ①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线；③直 线AB和直线BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在射线AB 上． A．1个B．2个C．3个D．4个 4.如图，直线a ∥b，则∠A CB＝________ 5.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________ 二：【经典考题剖析】 1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则 CD= ________cm． 解：4 点拨：由题意，BC=0.5AB=10cm，DB=2 EB=6cm，则CD=BC－DB＝10－6=4（cm 2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120° OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，． （1）求∠EOF的大小； （2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线， 问：OF、OF有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题 ． 3.将一长方形纸片，按图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD 的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．95°
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为 简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
1 C _ A _ B _ M _ D _ E O _ C 空间位置关系与距离专题 【考题回放】 1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 C. 平面ABC 必与α相交 D. 平面ABC 必不垂直于α 2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中 点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别 是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则 四棱锥B —APQC 的体积为（ ） A ．16 B ．14 C ．13V D ．12 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列 四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥ ③若βαβα//,//,,则n m n m ? ?； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ??， 其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④ 5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线' BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( ) ① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形 ③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD ' 有可能垂直于平面D BB ' 以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号） 6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ==== AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ； （Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离. 【考点透视】 判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 1． 转化思想： ① ??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离， 平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影
翔宇教育集团课时设计纸 总课题：7.1直线的倾斜角和斜率 总课时2 第2课时 主备人：杨玉叶 课题： 直线的倾斜角和斜率（二） 课型：新授课 教学目的：（1）掌握经过两点的直线的斜率公式。 （2）能结合三角函数和反三角函数知识进行斜率和倾斜角间的转化运算。 （3）准确运用倾斜角和斜率的对应关系解题。 教学重点： 过两点的直线的斜率公式。 教学难点：过两点的直线的斜率公式的建立。 教学过程： 一 复习引入 1.判断正误（1）直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；（2）直线的斜率值为tan β，则该直线倾斜角为β；（3）因为所有直线都有倾斜角，故所有直线都有斜率；（4）因平行y 轴的直线斜率不存在，故平行y 轴的直线倾斜角不存在。 2.直线有倾斜角是直线斜率存在的 条件。 3．直线过A （1，1）B （－1，－1）求直线AB 的倾斜角和斜率。若B 点坐标改为（3，2）或（－3，－2），结果又如何？ 先求倾斜角再求斜率较繁，能否直接用点的坐标表示斜率？ 二 讲授新课 1．斜率公式 P 1（x 1，y 1） P 2(x 2,y 2) 当向量P 1 P 2方向向上时，斜率k= 当向量方向向下,斜率k= 当向量P 1 P 2垂直y 轴时，斜率k= 当向量P 1 P 2垂直x 轴时，斜率k= 综上有：当直线P 1 P 2斜率存在时，斜率k=2 121x x y y -- 指出：（1）斜率公式与两点的顺序无关； （2）若x 1≠x 2 ，y 1 ＝y 2直线平行x 轴或x 轴，k ＝0 （3）若x 1＝x 2 ，y 1≠ y 2直线垂直x 轴 k 不存在。 （4）在同一直线上的任两点所确定的斜率都相等 2.直线的方向向量 直线上的向量P 1 P 2及与它平行的向量都称为方向向量. 思考：（1）方向向量P 1 P 2的坐标为多少？ （2）当x 1≠x 2时向量2 11x x - P 1 P 2是直线P 1 P 2的方向向量吗？坐标为多少？由公式可知：如果知道直线上两点的坐标，即可求出直线的斜率。
章节第四章课题基本图形及其位置关系课型复习课教法讲练结合 教学目标（知识、能力、教育）1.了解线段、射线、直线、角等简单平面图形，了解平面上两条直线的平行和垂直关系．了解线段、平行、垂直的有关性质 2.会进行有关角度的换算．了解补角、余角J顶角，知道等角的余角相等，等角的补角相等、对顶角相等．掌握直线平行的条件以及平行线的特征. 教学重点线段、平行、垂直的有关性质 教学难点直线平行的判定方法 教学媒体 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直线、射线、线段之间的区别： 联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分． 2.直线和线段的性质： (1)直线的性质：①经过两点直线，即两点确定一条直线； ②两条直线相交，有交点. (2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短． 3.角的定义：有公共端点的所组成的图形叫做角；角也可以看成是由 一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． (1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″ （2）角的分类： （3）相关的角及其性质： ①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． ②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角． ③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． ④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90° ∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ∠3．
⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○ ∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ∠C． ⑥对顶角的性质：对顶角相等． （4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行 5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”； 同旁内角要抓住“内部、同旁”． 6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，角相等，角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上 7.任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 8.平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线。 9.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行． 10.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错 角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．11.常见的几种两条直线平行的结论： （1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行． （二）：【课前练习】 1.如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（） A．8 cm B、2㎝ C．4 cm D．不能确定 2.计算：⑴132°19′42″+ 2 6°3 0′28″=_____⑵34.51°= 度分秒． ⑶92 o3″－5 5°2 0′4 4″=_______；⑷33 °15′16″×5=_____ 3.下列说法中正确的个数有（） ①线段AB和线段BA是同一条线段；②射角AB和射线BA是同一条射线； ③直线AB和直线BA是同一条直线；④射线AC在直线AB上；⑤线段AC在 射线AB上．A．1个B．2个C．3个D．4个 4.如图，直线a ∥b，则∠A CB＝________ 5.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________ 二：【经典考题剖析】 1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝， 则CD= ________cm． 解：4 点拨：由题意，BC=0.5AB=10cm，DB=2 EB=6cm，则CD=BC－DB＝10－6=4（cm 2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°