金融数学第一章练习题详解
第1 章利息度量
1.1现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在3 年后的累积值。
600i ? 2 = 150 ?i = 12.5%
2000(1+12.5%)3= 2847.65
1.2在第 1 月末支付314 元的现值与第18 月末支付271 元的现值之和，等于在第T
月末支付1004 元的现值。年实际利率为5% 。求T。
1004v T/12= 314v1/12+ 271v18/12
其中v t= (1+i)-t= (1+ 5%)-t= 1.05-t
1.05-T/12= (314 ?1.05-1/12+ 271?1.05-18/12 ) /1004 = 0.562352
两边取对数，-
T
12
ln1.05 = ln 0.562352
T =-ln 0.562352 / ln1.05?12 = 141.58
1.3在零时刻，投资者A 在其账户存入X，按每半年复利一次的年名义利率i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入2X，按利率i（单利）来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求i。
A的半年实际利率为i
，A : X ((1+
2
i
)16
2
- (1+
i
)15
2
)B : 2 X?i?
1
2
=Xi
X ((1+i
)16- (1+
i
)15 ) =Xi 2 2
i = (1+i
)16- (1+
i
)15= (1+
i
)15?
i 2 2 2 2
(1+i
)15= 2 2
两边取对数
i = (21/15-1) ? 2 = 0.094588
1.4一项投资以δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为1 的投资以每两年复利一次的名义利率δ 累积n 年，累积值将成为7.04。求n。
= ln(1+i)
a(t) = (1+i)t=e t
e27.72= 2
= ln 2 / 27.72 = 0.025
i0.5 =
（1+ 2)n/2= 7.04
n = (ln 7.04 / ln1.05) ? 2 = 80
( 12t ? t t t - = 1.5 如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。
100(1- 4 ? 6%)-1/ 4?2 = 114.71
1.6 如果 i (m ) = 0.1844144 ， d (m ) = 0.1802608
，试确定 m 。
? i m ?m ? d m ?-m 1+ i = ?1+ m ? = ?1- m ?
= 1- d ? ? ? ? ? i m ?m ? d m ?m
?1+ m ? ? ?1- m ? = 1 ? ? ? ? ? i m ? ? d m ?
?1+ m ? ? ?1- m ? = 1 ? ? ? ?
i m - d m 1+ m i m ? d m m
2 1 i m - d m = i m ? d m m
i m ? d m m = i m - d m = 0.1844144 ? 0.1802608 = 8 0.1844144 - 0.1802608
1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以t = t / 6 的利息力累积。在
零时刻，分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。
t t / 6dt 2
0 两边取对数，12t ln1.01 = t 2 /12
t = 144 ?ln1.01 = 1.43
1.8 基金 A 以
t = a+bt 的利息力累积。基金 B 以t = g+ht 的利息力累积。基金 A 与
基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。求 n 。
a (t ) = e ?0
(a +bt )dt b (t ) = e ?0 ( g +ht )dt
(at + 1 bt 2 ) = e 2 ( gt + 1 ht 2 ) = e
2 a (0) = b (0), a (n ) = b (n )
? an + 1 bn 2 = gn + 1 hn 2
2 2
? n = 2(g - a ) b - h
2 ? B 1.9 在零时刻将 100 存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率 1
支付利息。从 t = 2 开始，利息按照 为 260。求δ。 指前两年内的年名义贴现率
?5 1 dt t =
1+ t 的利息力支付。在 t = 5 时，存款的累积值
100(1-/ 4)-4?2 ? e 21+t = 260
100(1-/ 4)-4?2 ? e (ln6-ln3) = 260
= 4 ? (1- (260 /(100 ? 2))-1/ 8 )
= 0.1290
1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数
为 1+t 2 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。
A = 1 t +1
,B = 2t 1+ t 2 令A = B ? 1 t +1 = 2t 1+ t 2 ? t 2 + 2t -1 = 0 ? t = -1 = 0.41
1.11 已知利息力为t = 1+ t
。第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元的现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X 元的现值。求 X 。
?t 2 dt
a (t ) = e 01+t = e 2ln(1+t ) = (1+ t )2 ? a -1(t ) = (1+ t )-2
300 ? a -1(3) + 600 ? a -1(6) = 200 ? a -1(2) + X ? a -1(5)
? X = (300 ?(1+ 3)-2 + 600 ?(1+ 6)-2 - 200 ?(1+ 2)-2 ) /((1+ 5)-2 ) = 315.82
t 3 1.12
已知利息力为t =
100
。请求 a -1(3) 。 a -1(3) = e - 3 t 3 dt 0100 = e -1/ 400?(34 -0) = e -81/ 400 = e -0.2025 = 0.8167
1.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资
金的利息力相等。
A : a (t ) = (1+10%t ) = 1+ 0.1t ? A = 0.1 1+ 0.1t
B : a -1(t ) = (1- 5%t ) = 1- 0.05t ? a (t ) = (1- 0.05t )-1 ? = 0.05 1- 0.05t
令A = B ? 0.1 1+ 0.1t
= 0.05 1- 0.05t ? 2 - 0.1t = 1+ 0.1t ? t = 5 2
? ? ? t 0 3 1.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资 1 年，在上半年的名义利率为
5%（每半年复利一次），全年的实际利率为 7%，试确定0.5 。
设累积函数为a (t ) = at 2 + bt + c
a (0) = c = 1
a (0.5) = 0.25a + 0.5
b +
c = 1+ 5% / 2
a (1) = a +
b +
c = 1+ 7%
? a = 0.04, b = 0.03, c = 1, a (t ) = 0.04t 2 + 0.03t +1
0.5 = t =0.5
= 0.06829
1.15 某投资者在时刻零向某基金存入 100，在时刻 3 又存入 X 。此基金按利息力
t = t 2 累积利息，其中 t > 0。从时刻 3 到时刻 6 得到的全部利息为 X ，求 X 。 100
3 t 2
A (3) = 100e 0100 dt + X = 109.42 + X 6 t 2
A (6) = (109.42 + X )e
3 100 dt = 1.8776(109.42 + X ) A (6) - A (3) = 0.8776(109.42 + X ) = X ? X = 784.61
1.16 一位投资者在时刻零投资 1000，按照以下利息力计息：
= ?0.02t ,0 ≤ t ≤ 3 t ?0.045, t > 3
求前 4 年每季度复利一次的年名义利率。
3 4
a (4) = e ?0.02tdt +?0.045dt = e 0.09+0.045 = 1.1445
设年名义利率为x ,1000(1+ x / 4)4?4 = 1000 ?1.1445
? x = 4 ?(1.14451/16 -1) = 0.0339 = 3.39%
1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为 7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度
贴现一次的年名义贴现率。
a (t ) = (1+ 7.5% / 2)2t
= ln(1+ 7.5% / 2)2 = 0.07363
设名义贴现率为x ,(1- x / 4)-4t = (1+ 7.5% / 2)2t
? x = 4 ?(1- (1+ 7.5% / 2)2?(-1/ 4) ) = 0.07295
t + x = 0.14658
0.08t + 0.03 0.04t 2 + 0.03t +1
2 1 ? dt 注：个人认为，求这两个数的和并没有实际意义
?kt ,0 < t ≤ 5 1.18 假设利息力为 = ? 1 ，期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到
2.7183。试求 k 。
t ? ?? 25
kt ,5 < t ≤ 10 5
10 1 2 25 1
?ktdt +? kt dt k + k (1000-125) 24.1667 k a (t ) = e 0 5 25 = e
2 75 = e = 2.718
3 ? k = 0.0414
1.19 已知利息力为t = 2 + t ，一笔金额为 1 的投资从 t=0 开始的前 n 年赚取的总利息是 8。试求 n 。
t 1
a (t ) = e 0 2+t = e ln(2+t )-ln 2 = 1+ t 2 a (n ) -1 = 1+ n -1 = 8 ? n = 16
2
1.20 1996 年 1 月 1 日，某投资者向一个基金存入 1000，该基金在 t 时刻的利息力为
0.1(t-1)2 ，求 1998 年 1 月 1 日的累积值。
?2
0.1(t -1)2 dt
A = 1000e 0 = 1000e 0.06667 = 1068.94
1.21 投资者 A 今天在一项基金中存入 10，5 年后存入 30，已知此项基金按单利 11%
计息；投资者 B 将进行同样数额的两笔存款，但是在 n 年后存入 10， 在 2n 年后存入
30，已知此项基金按复利 9.15%计息。在第 10 年末，两基金的累积值相等。求 n 。
A :10(1+11% ?10) + 30(1+11% ? 5) = 67.5
B :10(1+ 9.15%)10-n + 30(1+ 9.15%)10-2n
? 10(1+ 9.15%)10-n + 30(1+ 9.15%)10-2n = 67.5
令t = 1.0915-n ,即n = -ln t / ln1.0915
10 ?1.091510 ? t + 30 ?1.091510 ? t 2 = 67.5
t = 1.091510 = 2.40014
2 ? 30 ?1.091510
= 0.8017 n = -ln 0.8017 / ln1.0915 = 2.5244
注：不知道为什么，笔者算出来的答案恰好是参考答案的两倍，将 2.5244 带进去右边=66,
将 1.262 代进去，右边=80,由此可得 2.5244 接近真实结果
-10 ?1.091510 + (10 ?1.091510 )2 - 4 ? 30 ?1.091510 ?(-67.5)
2
1.22已知利息力为t =
t -1
，2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内，与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。
?n 2 dt
a(n) =a(2) ?e 2 t -1 =a(2) ? (n -1)2
a(n) -a(n -1) (n -1)2- (n - 2)2
d n = =
a(n) (n -1)2
(1-d (2) / 2)2= 1-d
d (2)= 2 ?(1- (1-d )1/2)= 2 ?(1-(n - 2)
) =
(n -1)
2
(n -1)
n n
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!