第四节 圆的方程
强化训练当堂巩固
1.直线y=x+1与圆221x y +=的位置关系为( ) A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离 答案:B
解析:圆心(0,0)到直线y=x+1的距离
d ==
而01<<,选B. 2.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A.22(2)1x y +-=
B.22(2)1x y ++=
C.22(1)(3)1x y -+-=
D.22(3)1x y +-= 答案:A
解析:设圆心坐标为(0,b),1=,解得b=2, 故圆的方程为2x +2(2)1y -=.
3.过原点且倾斜角为60 的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为( )
B.2 D.答案:D
解析:直线方程为y =,圆的标准方程为2x +2(2)y -=4,
圆心(0,2)到直线的距离1d =
=,
由垂径定理知所求弦长为d′==故选D.
4.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为( )
A.22(1)(1)2x y ++-=
B.22(1)(1)2x y -++=
C.22(1)(1)2x y -+-=
D.22(1)(1)2x y +++= 答案:B
解析:圆心在x+y=0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距
即可.
5.直线x-2y+5=0与圆228x y +=相交于A 、B 两点,则|AB|= .
答案:
解析:圆心为(0,0),半径为
圆心到直线x-2y+5=0
的距离为d ==
故222
(
)2
AB ||+=, 得
|AB|=.
6.已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l :12
x =,不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是
它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E,过点F 的直线交E 于B C AB AC l M N ,,,,.两点直线分别交于点 (1)求E 的方程;
(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F,并说明理由.
解:(1)设P(x,y),
2=|12
x -|,
化简得2
2
1(0)3
y
x y -=≠. (2)①当直线BC 与x 轴不垂直时,设BC 的方程为y=k (2)(0)x k -≠,
与双曲线方程2
2
13
y
x -=联立消去y 得 2222
(3)4(43)0k x k x k -+-+=.
由题意知230k -≠,且0?>.
设1122()()B x y C x y ,,,,则 2
1222
122
43
433k x x k k x x k ?+=,?-?+?=,
-?
222
2
2
2
12121212222
4389(2)(2)[2()4](4)333
k k k y y k x x k x x x x k k k k +-=--=-++=-+=---.
因为1211x x ≠-,≠-, 所以直线AB 的方程为11(1)1
y y x x =++.
因此M 点的坐标为1
131()22(1)
y x ,
,+
1
133()22(1)y FM x =-,,+
同理可得2
233()22(1)
y FN x =-,
,+ 因此FM FN ? 2
221222
1222819393()024(1)(1)44344(1)
33
k
y y k x x k k k k --=-+=+=+++++--. ②当直线BC 与x 轴垂直时,其方程为x=2,则B(2,3),C(2,-3),
AB 的方程为y=x+1,因此M 点的坐标为31
()22FM ,,
33()22
=-,.
同理可得33FN ()22
=-,-
.
因此2333FM FN ()()0222
?=-+-?=
.
综上FM FN ?
=0, 即FM FN ⊥.
故以线段MN 为直径的圆经过点F.
课后作业巩固提升 见课后作业A
题组一 圆关于点的对称的圆问题
1.圆22(2)5x y ++=关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( )
A.22(2)5x y -+=
B.22(2)5x y +-=
C.22(2)(2)5x y +++=
D.22(2)5x y ++= 答案:A
解析:点(x,y)关于原点P(0,0)对称的点为(-x,-y) , 则得22(2)()5x y -++-=,即2(2)x -+25y = .
2.将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与圆
2
2
240x y x y ++-=相切,则实数λ的值为( )
A.-3或7
B.-2或8
C.0或10
D.1或11 答案:A
解析:直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位得220x y λ-++=,
圆22240x y x y ++-=的圆心为C(-12)3
r d λ,,==
=
=-,或
7λ=.
题组二 直线与圆的位置关系
3.经过点P(2,-3)作圆(x+21)+225y =的弦AB,使点P 为弦AB 的中点,则弦AB 所在直线方程为
( ) A.x-y-5=0 B.x-y+5=0 C.x+y+5=0 D.x+y-5=0 答案:A
解析:设圆心为C,则AB 垂直于302(1)
CP CP k --,==---1,故AB:y+3=x-2,选A.
4.圆22221x y x y +--+=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是( )
A.2
B.1+
C.1+
D.1+答案:B
解析:圆心为C(1,1max )11r d ,=,=. 5.已知圆O 的半径为1,PA PB A B ,,,,为该圆的两条切线为两切点那么PA PB ?
的
最小值为 ( )
A.4-+
B.3-+
C.4-+
D.3-+
答案:D
解析:如图,设APO θ∠=,
PA PB ?= |PA |2?cos 2θ=|PA
|2
?(1-2sin 2)θ
=(|OP|2211)(12)OP --?
=|||OP|22
23OP +-||
3≥-,
当且仅当|OP|22
2OP =
,||
即
|OP|=
,“=”成立.
6.
直线y x =+与圆心为D
的圆y 1x θθ
?=,
??=+??([02θ∈,π))交于A
( )B AD BD ,,两点则直线与的倾斜角之和为
A.76
π
B.54
π C.43
π D.53
π
答案:C
解析:把
y 1x θθ
?=+,??=??
代入y x =+ 得
sin ()6πθ-=
所以512πθ=或1112
π,
由参数θ的意义知直线AD 与BD 的倾斜角之和为512
π+11412
3
ππ=.
题组三 直线与圆的弦长问题
7.设圆C 的圆心在双曲线2
2
21(0)2y x a a
-=>的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆C 被直线l
:0x =截得的弦长等于2,则a 的值为( )
C.2
D.3
答案:A
解析:圆C
的圆心0)C ,
0ay C ±=,到渐近线的距离为
=故圆C
方程为22
(2x y +=.由l 被圆C 截得的弦长
是2及圆C
,圆心C 到直线l 的距离为1,
1a =?=8.已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长
为则圆C 的标准方程为 .
答案:22
(3)4
x y
-+=
解析:由题意,设圆心坐标为(a,0),则由直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为得
2
+2=2
(1)
a-,解得a=3或-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以a=3.
故圆心坐标为(3,0).又已知圆C过点(1,0),所以所求圆的半径为2,
故圆C的标准方程为22
(3)4
x y
-+=.
题组四圆的方程
9.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .
答案:22
(1)2
x y
++=
解析:令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0).
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即
r==所以圆C的方程为22
(1)2
x y
++=.
10.已知圆心在x轴上,的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O
答案225
y
+=
解析:设圆心为(a,0)(a<0),则
r==解得a=-5.
11.点P(a,b)在直线x+y+1=0上,.
解的最小值为点(1,1)到直线x+y+1=0的距离,
而
min
d===
12.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为求圆C的方程.
解:设圆心为(3t,t),半径为r=|3t|,令
d==|,
而22222
9271
r d t t t
=-,-=,=±,
∴22
(3)(1)9
x y
-+-=或22
(3)(1)9
x y
+++=.
高考学习网－中国最大高考学习网站https://www.doczj.com/doc/cf16219535.html, | 我们负责传递知识！