数值分析课程设计实验三
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实验三
3.1
一、题目
用泰勒级数的有限项逼近正弦函数
013
2353()sin ,[0,](),[0,/2]()/6,[0,/2]()/6/120,[0,/2]
y x x x y x x x y x x x x y x x x x x ππππ=∈=∈=-∈=-+∈
用计算机绘出上面四个函数的图形
二、算法分析
需要运用matlab 中的画图函数plot ()
三、程序及运行结果 c1.m
x=0:pi/50:pi; y0=sin(x); x1=0:pi/50:pi/2; y1=x1; y2=x1-x1.^3/6;
y3=x1-x1.^3/6+x1.^5/120; plot(x,y0,... x1,y1,... '-.m',... x1,y2,... '-*b',... x1,y3,... '.r'); xlabel('x'); ylabel('y'); grid on 运行结果为:
四、精度分析
随着泰勒公式项数的不断增加,曲线的拟合效果越来越好。
3.2
一、题目
绘制飞机的降落曲线
一架飞机飞临北京国际机场上空时,其水平速度为540km/h ,飞行高度为1 000m 。飞机从距机场指挥塔的横向距离12 000m 处开始降落。根据经验,一架水平飞行的飞机其降落曲线是一条三次曲线。建立直角坐标系,设飞机着陆点为原点O ,降落的飞机为动点(,)P x y ,则x 表示飞机距指挥塔的距离,y 表示飞机的飞行高度,降落曲线为
230123()y x a a x a x a x =+++
该函数满足条件:
(0)0,(12000)1000
'(0)0,'(12000)0
y y y y ====
(1)试利用()y x 满足的条件确定三次多项式中的四个系数; (2)用所求出的三次多项式函数绘制出飞机降落曲线。
二、算法分析
由于
230123()y x a a x a x a x =+++,所以2123'()23y x a a x a x =++,根据初始条件,
可列出一个方程组0
1
2
3;[],[0100000]T T UX b X a a a a b ===,根据公式
1X U b -=即可求出X 。求出X 之后便可求出()y x 的表达式,然后画出它在区间[0,12000]
上的图像(即飞机的降落曲线)
三、程序及运行结果
首先求出系数0123a a a a 的值
U=[1 0 0 0;1 12000 12000^2 12000^3;0 1 0 0;0 1 24000 3*12000^2]; b=[0 1000 0 0]'; X=inv(U)*b; format long X
运行结果为: X =
1.0e-004 *
0 0 0.208333333333333 -0.000011574074074
所以4
2
4
3
()0.208333333333333100.00001157407407410y x x x --=⨯-⨯ 做出()y x 的图像:
x=0:12000;
y=0.208333333333333*10^(-4)*x.^2-0.000011574074074*10^(-4)*x.^3; plot(x,y,'.m');
xlabel('自变量x'); ylabel('因变量y');
title('飞机的降落曲线') grid on
整个程序为:
c2.m
U=[1 0 0 0;1 12000 12000^2 12000^3;0 1 0 0;0 1 24000 3*12000^2]; b=[0 1000 0 0]'; X=inv(U)*b; format long X;
x=0:12000;
y=X(1)+X(2)*x+X(3)*x.^2+X(4)*x.^3; plot(x,y,'.m');
xlabel('自变量x'); ylabel('因变量y');
title('飞机的降落曲线') grid on
运行结果为:
四、精度分析
在求解系数0123a a a a 时,由于计算时会出现舍入误差,所以求得的系数与准确值之间存在一定的误差,但由于对总体的影响很小。
3.3
一、题目
追赶曲线的计算机模拟
问题描述:欧洲文艺复兴时期的著名人物达·芬奇曾经提出一个有趣的“狼追兔子”问题,当一只兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时,一只饿狼出现在兔子正东的100码处。兔子急忙奔向自己的洞穴,狼立即以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。兔子一旦回到洞穴便逃脱厄,问狼是否会追赶上兔子?
这一问题的研究方法可以推广到如鱼雷追击潜艇、地对空导弹击飞机等问题上去。 在对真实系统做实验时,可能时间太长、费用太高、危险太大、甚至很难进行。计算机模拟是用计算机模仿实物系统,对系统的结构和行为进行动态演示,以评价或预测系统的行为效果。根据模拟对象的不同特点,分为确定性模拟和随机性模拟两大类。模拟通常所用的是时间步长法,即按照时间流逝的顺序一步一步对所研究的系统进行动态演示,以提取所需要的数据。
问题分析:首先计算狼的初始位置到兔子洞穴的直线距离:
2210060116.6190D =+≈
由于狼奔跑的速度是兔子速度的两倍,兔子跑60码的时间狼可以跑120码。如果狼沿直线奔向兔窝,应该是可以追上兔子的。但是,有人推导出狼在追赶兔子过程中的运动曲线为
31
2
21200()10303
y x x x =-+
根据曲线方程,当0x =时,200/3y =。也就是说,在没有兔窝的情况下兔子一直往北跑,